Sistemas Numéricos -- Numeric systems N1_x4.pdf

1
SISTEMAS NUMÉRICOS
La palabra número proviene etimológicamente del latín “numerus”;
expresa cantidad, referida comparativamente a la unidad,
que es la base de todo sistema numérico.
NUMERACIÓN ARÁBIGA
El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el
mundo es la numeración arábiga.
Europeo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Arábico-Índico ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
Arábico-Índico Oriental
(Persa y Urdu) ٠ ١ ٢ ٣ ۴ ۵ ۶ ٧ ٨ ٩
Devanagari (Hindi) ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९
Tamil ௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯
glifo es un signo grabado o, por extensión, pintado
NUMERACIÓN ARÁBIGA
Este sistema fue desarrollado primero por los
hindúes y luego por los árabes que introdujeron
la innovación de la
Notación posicional.
Solo es posible si existe un número para el cero.
El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que
agregar símbolos adicionales.
LA NOTACIÓN POSICIONAL
En la notación posicional los números
cambian su valor según su posición.
por ejemplo el digito 2 en el número 20 y el
mismo digito en el 2,000 toman diferente
valor.

2
FORMULA GENERAL
Los sistemas numéricos que utilizan la notación
posicional se pueden describir con la siguiente
formula.
FORMULA GENERAL
N = Numero
i = Posición
a = Coeficiente
n = el numero de dígitos
R = Raíz o base
FORMULA GENERAL
Subíndice para indicar a que base pertenecen.
Los números de notación posicional se usa el
subíndice.
385(10) es el numero trescientos ochenta y cinco de
base diez, el subíndice (10) indica que pertenece al
sistema decimal
101(10) 101(2) 101(16) 101(7)
IDENTIFICACIÓN DE LA POSICIÓN

3
EJEMPLO 385(10)
En donde el digito 5 ocupa la posición cero, el 8
la uno y el 3 la posición dos, como lo indica la
figura.
EJEMPLO 385(10)
0
1
2
)
10
(
5
)
10
(
8
)
10
(
3 


N
EJEMPLO 385(10)
0
1
2
)
10
(
5
)
10
(
8
)
10
(
3 


N
N= 3 (100) + 8 (10) + 5 (1)
En donde se puede observar que el número adquiere valor dependiendo la
posición que guarde.
El 3 que esta en la posición 2 se multiplica por 100 que es 102 como lo
llamamos tradicionalmente centenas.
al 8 de posición uno por 101 o decenas unidades.
al 5 de posición cero 100 unidades.
Numero posición Potencia Nombre
1 0 10° Unidades
10 1 10¹ Decenas
100 2 10² Centenas
1000 3 10³ Unidades de Millar
10000 4 104
Decenas de Millar
100000 5 105
Centena de Millar
1,000,000 6 106
Unidad de Millón
10,000,000 7 107
Decena de Millón
100,000,000 8 108
Centena de Millón
1000,000,000 9 109
Unidad de Millar de Millón
10,000,000,000 10 1010
Decena de Millar de Millón
100,000,000,000 11 1011
Centena de Millar de Millón
1,000,000,000,000 12 1012
Unidad de Billón

4
Además del sistema decimal existen otras bases de notación posicional que son
empleadas en los sistemas digitales como:
Binario o base 2 que consta de solo dos símbolos 0 y 1.
Octal o base 8 consta de ocho símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y es una
representación corta del binario.
ejemplo 111101110(2) = 756(8).
Hexadecimal o base 16 consta de 16 símbolos
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F), es la representación corta mas
usada del binario
Ejemplo 111101111010(2) = F7A(16).
Decimal Binario
N(10) N(2)
0 0000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Decimal Binario Octal
N(10) N(2) N(8)
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
1101 15
Decimal Binario Octal Hexadecimal
N(10) N(2) N(8)
N(16)
0 0 0
1 1 1
2 10 2
3 11 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7
8 1000 10
9 1001 11
10 1010 12
11 1011 13
12 1100 14
13 1101 15
14 1110 16
15 1111 17
16 10000 20
17 10001 21
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11

5
CONVERSIONES ENTRE SISTEMAS
NUMÉRICOS
FORMULA GENERAL
Para números con decimales
EJEMPLO 1
convertir un número binario a decimal:
1011.11(2) N(10)
EJEMPLO 1
N(10) = 1(2)3
+ 0(2)2
+ 1(2)1
+ 1(2)0
+ 1(2)-1
+ 1(2)-2
1011.11(2) N(10)

6
EJEMPLO 1
N(10) = 1(2)3
+ 0(2)2
+ 1(2)1
+ 1(2)0
+ 1(2)-1
+ 1(2)-2
N(10) = 1(8) + 0(4) + 1(2) + 1(1) + 1(0.5) + 1(0.25)
N(10) = 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 =11.75(10)
1011.11(2) 11.75(10)
EJERCICIO 1
• Convertir 100.01(2) → N(10)
EJERCICIO 1
• Convertir
100.01(2) → N(10)
2 1 0 -1 -2
1 0 0 . 0 1(2)
= 4.25 (10)
EJEMPLO 2
convertir un número octal a decimal
25.4(8) N(10)

7
EJEMPLO 2
N(10) = 2(8)1
+ 5(8)0
+ 4(8)-1
25.4(8) N(10)
EJEMPLO 2
N(10) = 2(8) + 5(1) + 4(0.125)
N(10) = 2(8)1
+ 5(8)0
+ 4(8)-1
N(10) = 16 + 5 + .5 = 21. 5(10)
25.4(8) N(10)
25.4(8) 21.5(10)
EJEMPLO 3
convertir un número hexadecimal a decimal
AB.8(16) N(10)
A B . 8 (16)
0 -1
1
N (10) =
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15
10 (16)1 + 11 (16)0 + 8(16)-1
N (10) = 10 (16) + 11 (1) + 8(1/16)
N (10) = 160 + 11 + 0.5 = 171.5 (10)
EJEMPLO 4
convertir un número hexadecimal a decimal
1D.8(16) N(10)
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

8
EJEMPLO 4
convertir un número binario a decimal
1001.01(2) N(10)
0 -1
1
1 0 0 1 . 0 1
-2
2
3
NUMÉRICOS
MULTIPLICAR POR LA BASE
Y SUMAR
N(X)  N(10)
PARA NÚMEROS ENTEROS
En un número de notación posicional el dígito más
significativo es la tiene la ponderación más alta (MSD) y se
encuentra más a la izquierda y el dígito menos significativo
es la que tiene es la tiene la ponderación más baja (LSD) y se
encuentra más a la derecha
MSD Digito mas significativo
LSD Digito menos significativo

9
En el caso del sistema binario se le llama
Bit (Dígito Binario)
MSB Bit mas significativo
LSB Bit menos significativo
• Bit = La Unidad de medida más pequeña de la información
digital. Un bit sólo tiene dos posibles valores: 0 o 1. La
palabra "bit" se forma al combinar "b”- de binary y la letra "t"
de digit, o sea dígito binario.
Byte = Unidad de medida de la información digital,
equivalente a 8 bits o un carácter de información.
• El byte es una unidad común de almacenamiento en un
sistema de cómputo y es sinónimo de carácter de datos o
de texto; 100,000 bytes equivalen a 100,000 caracteres.
• Los bytes se emplean para hacer referencia a la
capacidad del hardware, al tamaño del software o la
información.
• Se llama también octeto.
MULTIPLICAR POR LA BASE Y SUMAR
Este método consiste en multiplicar el MSD o MSB (más
significativo dígito o más significativo Bit) por la base y el producto
se suma al valor del dígito siguiente, el resultado se
multiplica de nuevo por la base y el producto se suma al
dígito siguiente y así sucesivamente hasta llegar al LSD o
LSB, de modo que el resultado de todas las operaciones
es el número equivalente decimal.
Ejemplo 1 convertir un número binario a decimal:
1011011 (2) N(10)

10
1X2=2
2
2X2=4
5
5X2=10
11
11X2=22
22
22X2=44
45
45X2=90
= 91(10)
Ejemplo 2 convertir un número Octal a decimal:
352 (8) N(10)
3 5 2 (8)
3X8=24
29
29X8=232
= 234(10)
= 719(10)
Ejemplo 3 convertir un número Hexadecimal a decimal:
2CF (16) N(10)
2 C F (16)
2X16=32
44
44X16=704
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15
= 63(10)
Ejemplo 4 convertir un número de base cinco a decimal:
223 (5) N(10)
2 2 3 (5)
2X5=10
12
12X5=60

11
= 175(10)
Ejemplo 5 convertir un número de base siete a decimal:
340 (7) N(10)
3 4 0 (7)
3X7=21
25
25X7=175
11001(2)= 25(10)
Realice la siguiente Actividad
convertir un número binario a decimal:
11001 (2) N(10)
1121(4)= 89(10)
convertir un número de base 4 a decimal:
1121 (4) N(10)
NUMÉRICOS

12
EXTRACCIÓN DE POTENCIAS.
Para números con decimales
Este método consiste en tres pasos
Primero elaborar una tabla de potencias de la base a la cual se va a
convertir el número decimal.
Segundo restar sucesivamente al numero en base diez la potencia igual o
próxima menor hasta que la diferencia sea igual a cero.
Tercer con las potencias utilizadas en la resta formar el numero.
Ejemplo 1 convertir un numero decimal a binario
25.5(10)  N(2)
2-2 .25
2-1 .5
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
1.- Tabla de potencias
En donde el rango de valores asignado a la
tabla para efectuar la resta deberá cubrir de
un valor menor a 0.5 que representa la parte
mas pequeña de numero 25.5 la potencia
requerida es 2-2 = 0.25 y un valor mayor a 25
como 25 = 32.
25.5(10)  N(2)
2-2 .25
2-1 .5
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
25.5
2.- Restar sucesivamente
16.0 24
9.5
8.0 23
1.5
1.0 20
0.5
0.5 2-1
0.0
25.5(10)  N(2)
2-2 .25
2-1 .5
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
1.- Tabla de potencias 2.- Restar sucesivamente 3.- Formar el numero
4 3 2 1 0 -1
1 1 0 0 1 1
25.5(10)=11001.1(2)
25.5
16.0 24
9.5
8.0 23
1.5
1.0 20
0.5
0.5 2-1
0.0

13
Ejemplo 2 25.5(10)  N(8)
8-1 .125
80 1
81 8
82 64
25.5
24.0 3 veces 81
1.5
1.0 80
0.5
0.5 4 veces 8-1
0.0
Ejemplo 2 25.5(10)  N(8)
8-1 .125
80 1
81 8
82 64
25.5
24.0 3 veces 81
1.5
1.0 80
0.5
0.5 4 veces 8-1
0.0
3.- Formar el numero
1 0 -1
3 1
25.5(10)=31.4(8)
4
Ejemplo 3 27.5(10)  N(16)
16-1 .0625
160 1
161 16
162 256
Ejemplo 3 27.5(10)  N(16)
16-1 .0625
160 1
161 16
162 256
27.5
16.0 161
11.5
11.0 11 veces 160
0.5
0.5 8 veces 16-1
0.0

14
Ejemplo 3 27.5(10)  N(16)
16-1 .0625
160 1
161 16
162 256
27.5
16.0 161
11.5
11.0 11 veces 160
0.5
0.5 8 veces 16-1
0.0
1 0 -1
1 B
27.5(10)=1B.8(16)
8
Ejemplo 4 16.5(10)  N(16)
16-1 .0625
160 1
161 16
162 256
16.5
16.0 161
0.5
0.5 8 veces 16-1
0.0
1 0 -1
1 0
16.5(10)=10.8(16)
8
27.6(10)  N(5)
5-1 .2
50 1
51 5
52 25
1.- Tabla de potencias 2.- Restar sucesivamente 3.- Formar el numero
2 1 0 -1
1 2
27.6(10)=102.3(5)
3
0
NUMÉRICOS

15
RESIDUOS
Este método consiste en dividir sucesivamente el
numero decimal entre la base a la que se desee
convertir hasta que el cociente sea menor que la
base.
El numero equivalente se forma con el ultimo
cociente y los residuos.
N(10)  N(X)
EJEMPLO 1
convertir un numero decimal a binario
35 (10)  N(2)
35 2
17
1
LSB 2
8
1 2
4
0 2
2
0 2
1
0 MSB
100011(2)
EJEMPLO 2
convertir un numero decimal a octal
85 (10)  N(8)
85 8
10
5
LSD 8
1
2
MSD
125(8)
EJEMPLO 3
convertir un numero decimal a Hexadecimal
46 (10)  N(16)
46 16
2
14
LSD
MSD
2E(16)
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

16
EJEMPLO 4
convertir un numero decimal a base 5
47 (10)  N(5)
47 5
9
2
LSD
MSD
142(5)
5
1
4
REALICE LA SIGUIENTE ACTIVIDAD
47 (8)  N(16)
27(16)
N(x)  N(10) Multiplicar por la base y sumar
N(10)  N(X) Residuos

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