Teoria de intervalos
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El documento explora los intervalos en matemáticas, clasificándolos en finitos (abiertos, cerrados y semiabiertos) e infinitos (con extremos indefinidos hacia infinito). Se detallan las definiciones, notaciones y propiedades de cada tipo de intervalo, así como la forma de calcular su longitud, centro y radio. Ejemplos ilustran cómo aplicar estos conceptos en situaciones prácticas.
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CALCULO I.E.T.I – www.rodrivelp.blogspot.com
INTERVALOS
1. INTERVALOS FINITOS O ACOTADOS
Es el conjunto de números reales comprendidos entre los reales a y b, tiene la particularidad que tiene un número inicial
como punto de partida y un número final como punto de llegada. Lo llamaremos Intervalo Acotado (con extremo inferior
a y Extremo Superior b).
Los intervalos finitos se clasifican en: Abiertos, cerrados y semiabiertos.
INTERVALO ABIERTO: (a,b)
Son todos los números reales comprendidos entre a y b en el que no se incluyen los extremos.
( )
a b
○ ○
a b
{x є R/ a < x < b}
INTERVALO CERRADO: [a,b]
Son todos los números reales comprendidos entre a y b en el que se incluyen los extremos.
[ ]
a b
● ●
a b
{x є R/ a ≤ x ≤ b}
INTERVALO SEMIABIERTO: [a,b) ó (a,b]
Son todos los números reales comprendidos entre a y b en el que se incluye solo uno de los extremos, ya sea el derecho
o el izquierdo.
[ )
a b
● ○
a b
{x є R/ a ≤ x < b}
( ]
a b
○ ●
a b](https://image.slidesharecdn.com/teoriaintervalos-160204202941/85/Teoria-de-intervalos-2-320.jpg)
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{x є R/ a < x ≤ b}
La siguiente tabla contiene la definición, la clasificación, notación y representación gráfica de algunos intervalos acotados:
2. INTERVALOS INFINITOS O NO ACOTADOS
Es el conjunto de números reales que están a la derecha o a la izquierda de un número Real a y se extiende indefinidamente
hacia el infinito (con extremo superior o inferior en a)
INTERVALO ABIERTO A LA IZQUIERDA: (a , ∞)
Son todos los números reales que inician en a y se extienden a la derecha hacia el infinito.
(
a
○
a
{x є R/ x > a}
INTERVALO CERRADO A LA IZQUIERDA: [a,∞]
Son todos los números reales que inician en a y se extienden a la derecha hacia más infinito.
[
a
●
a
{x є R/ x ≥ a}
INTERVALO ABIERTO A LA DERECHA: (∞ , b)
Son todos los números reales que inician en b y se extienden a la izquierda hacia menos infinito.
)
b
○
b
{x є R/ x < b}](https://image.slidesharecdn.com/teoriaintervalos-160204202941/85/Teoria-de-intervalos-3-320.jpg)
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INTERVALO CERRADO A LA DERECHA: (∞ , b]
Son todos los números reales que inician en b y se extienden a la izquierda hacia menos infinito.
]
b
●
b
{x є R/ x ≤ b}
La siguiente tabla contiene la definición, la clasificación, notación y representación gráfica de algunos intervalos infinitos
o no acotados:
3. LONGITUD DE UN INTERVALO:
La longitud de un intervalo, en todos los casos:(a,b), (a,b], [a,b), [a,b], se calcula como:
l = b - a
En el que el valor de b es el valor de la derecha y el valor de a es el valor de la izquierda, en la recta numérica.
Ejemplo 1.
Hallar la longitud de los intervalos
a. [-3,8)
b. (2,9)
Solución.
a. l = b – a
l = 8 – (-3)
l = 8 + 3
l = 11
b. l = b – a
l = 9 – 2
l = 7
4. CENTRO DE UN INTERVALO:
Si se cumple que a ≤ b, se define el centro del intervalo (a,b) como:
C =
(a + b)
2](https://image.slidesharecdn.com/teoriaintervalos-160204202941/85/Teoria-de-intervalos-4-320.jpg)
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- 1. Matemáticas Grado Once Cálculo Intervalos Docente Rodrigo Velasco Palomino www.rodrivelp.blogspot.com Institución Educativa Técnico Industrial I.E.T.I Popayán Cauca Colombia
- 2. 2 CALCULO I.E.T.I – www.rodrivelp.blogspot.com INTERVALOS 1. INTERVALOS FINITOS O ACOTADOS Es el conjunto de números reales comprendidos entre los reales a y b, tiene la particularidad que tiene un número inicial como punto de partida y un número final como punto de llegada. Lo llamaremos Intervalo Acotado (con extremo inferior a y Extremo Superior b). Los intervalos finitos se clasifican en: Abiertos, cerrados y semiabiertos. INTERVALO ABIERTO: (a,b) Son todos los números reales comprendidos entre a y b en el que no se incluyen los extremos. ( ) a b ○ ○ a b {x є R/ a < x < b} INTERVALO CERRADO: [a,b] Son todos los números reales comprendidos entre a y b en el que se incluyen los extremos. [ ] a b ● ● a b {x є R/ a ≤ x ≤ b} INTERVALO SEMIABIERTO: [a,b) ó (a,b] Son todos los números reales comprendidos entre a y b en el que se incluye solo uno de los extremos, ya sea el derecho o el izquierdo. [ ) a b ● ○ a b {x є R/ a ≤ x < b} ( ] a b ○ ● a b
- 3. 3 CALCULO I.E.T.I – www.rodrivelp.blogspot.com {x є R/ a < x ≤ b} La siguiente tabla contiene la definición, la clasificación, notación y representación gráfica de algunos intervalos acotados: 2. INTERVALOS INFINITOS O NO ACOTADOS Es el conjunto de números reales que están a la derecha o a la izquierda de un número Real a y se extiende indefinidamente hacia el infinito (con extremo superior o inferior en a) INTERVALO ABIERTO A LA IZQUIERDA: (a , ∞) Son todos los números reales que inician en a y se extienden a la derecha hacia el infinito. ( a ○ a {x є R/ x > a} INTERVALO CERRADO A LA IZQUIERDA: [a,∞] Son todos los números reales que inician en a y se extienden a la derecha hacia más infinito. [ a ● a {x є R/ x ≥ a} INTERVALO ABIERTO A LA DERECHA: (∞ , b) Son todos los números reales que inician en b y se extienden a la izquierda hacia menos infinito. ) b ○ b {x є R/ x < b}
- 4. 4 CALCULO I.E.T.I – www.rodrivelp.blogspot.com INTERVALO CERRADO A LA DERECHA: (∞ , b] Son todos los números reales que inician en b y se extienden a la izquierda hacia menos infinito. ] b ● b {x є R/ x ≤ b} La siguiente tabla contiene la definición, la clasificación, notación y representación gráfica de algunos intervalos infinitos o no acotados: 3. LONGITUD DE UN INTERVALO: La longitud de un intervalo, en todos los casos:(a,b), (a,b], [a,b), [a,b], se calcula como: l = b - a En el que el valor de b es el valor de la derecha y el valor de a es el valor de la izquierda, en la recta numérica. Ejemplo 1. Hallar la longitud de los intervalos a. [-3,8) b. (2,9) Solución. a. l = b – a l = 8 – (-3) l = 8 + 3 l = 11 b. l = b – a l = 9 – 2 l = 7 4. CENTRO DE UN INTERVALO: Si se cumple que a ≤ b, se define el centro del intervalo (a,b) como: C = (a + b) 2
- 5. 5 CALCULO I.E.T.I – www.rodrivelp.blogspot.com Ejemplo 1. Hallar el número que se encuentre a la misma distancia de los extremos del intervalo (-2,7) Solución 1. C = (a + b) 2 C = (-2 + 7) 2 C = 5 2 C = 2.5 5. RADIO DE UN INTERVALO: Si se cumple que a ≤ b, se define el radio del intervalo (a,b) como: r = (b - a) 2 O también, una vez conocida la longitud del intervalo, su radio es la mitad de la longitud del intervalo r = L 2 Ejemplo 1. Hallar el radio del intervalo semiabierto [-4,15) Solución 1. r = (b - a) 2 r = (15 – (-4)) 2 r = 15 + 4 2 r = 19 2 r = 9,5