Total probability and bayes theorem in decision theory
5 recomendaciones2,064 vistas
Este documento presenta conceptos fundamentales de probabilidad total y el teorema de Bayes para la toma de decisiones. Explica que la probabilidad total permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso cuando se conocen las probabilidades condicionales de eventos mutuamente excluyentes. El teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de las causas a partir de los efectos observados. Como ejemplo, calcula la probabilidad total de que una pieza sea defectuosa y la probabilidad de que la máquina que la produjo sea cada una de las tres máquinas disponibles
Total probability and bayes theorem in decision theory
- 1. Probabilidad Total y Teorema de Bayes en la Toma de Decisiones. G. Edgar Mata Ortiz
- 2. “You can use all the quantitative data you can get, but you still have to distrust it and use your own intelligence and judgment. Alvin Tofler Puedes emplear todos los datos cuantitativos que puedas conseguir, pero aún así debes desconfiar de ellos y aplicar tu inteligencia y buen juicio.
- 3. Conocimientos previos Experimento aleatorio Espacio muestral Evento Probabilidad de un evento Asignación de probabilidades Probabilidad condicional Para la mejor comprensión de este material es necesario revisar los siguientes conceptos.
- 4. Probabilidad Total y Teorema de Bayes El artículo que contiene dicho teorema fue publicado después de la muerte de Bayes y, probablemente, no imaginó el impacto tan grande que tendría en el desarrollo de la teoría de probabilidades. Estos conceptos son fundamentales en la toma de decisiones, especialmente el Teorema de Bayes porque permite determinar la probabilidad de las causas a partir de los efectos observados. http://www.amazon.com/Theory-That-Would-Not-Die/dp/0300169698/?tag=viglink20784-20
- 5. Probabilidad Total Si se conocen las probabilidad condicionales P(S|Ei) de un suceso S, entonces la probabilidad de ocurrencia del suceso S, conocida como probabilidad total, se determina con la siguiente expresión: Cuando se sabe que el espacio muestral está formado por un conjunto de eventos mutuamente excluyentes E1, E2, E3, ..., EN. 𝑷 𝑺 = 𝑷 𝑬 𝟏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟏 + 𝑷 𝑬 𝟐 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟐 + ⋯ , +𝑷 𝑬 𝒏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝒏
- 6. Teorema de Bayes Si se conocen las probabilidad de los eventos Ei y las probabilidades condicionales P(S|Ei), entonces se puede determinar la probabilidad condicional de que haya ocurrido uno de los eventos Ei dado que ocurrió el suceso S mediante la fórmula: Cuando se sabe que el espacio muestral está formado por un conjunto de eventos mutuamente excluyentes E1, E2, E3, ..., EN. 𝑷 𝑬𝒊|𝑺 = 𝑷 𝑬𝒊 × 𝑷 𝑺|𝑬𝒊 𝑷 𝑬 𝟏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟏 + 𝑷 𝑬 𝟐 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟐 + ⋯ , +𝑷 𝑬 𝒏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝒏
- 7. Probabilidad Total y Teorema de Bayes 𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.
- 8. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo (continuación): Por datos históricos sabemos que la máquina 1 tiene una probabilidad de piezas defectuosas del 2.4%; la máquina 2, del 1.5%; y la máquina 3, del 0.5%. 𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.
- 9. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Continuación) 1. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza resulte defectuosa? 𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.
- 10. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Continuación) 1. Si una pieza está defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido manufacturada en la máquina 1? ¿y en la máquina 2? ¿y en la 3? 𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.
- 11. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 1. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza resulte defectuosa? Esta pregunta corresponde a probabilidad total y se resuelve fácilmente mediante un diagrama de árbol. 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂. 𝑷 𝑫 = ?
- 12. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂. Evento aleatorio M: El producto puede ser manufacturado en cualquiera de las tres máquinas: M1, M2 ó M3.
- 13. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂. La producción de piezas defectuosas en cada máquina, tambén es un evento aleatorio. En cada máquina se pueden presentar dos resultados posibles: D = Pieza defectuosa ND = Pieza no defectuosa
- 14. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂. Anotamos las probabilidades en las líneas que unen los nodos aleatorios: La probabilidad de que una pieza sea manufacturada en la máquina1 es del 55%; en la máquina 2, del 28%, y en la máquina 3, del 17%.
- 15. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂. Anotamos las probabilidades de defectos en cada máquina: La probabilidad de que una pieza que se manufactura en la máquina1 resulte defectuosa es del 2.4%; en la máquina 2 y defectuosa, del 1.5%; y en la máquina 3, defectuosa, del 0.5%.
- 16. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂. El porcentaje puede interpretarse como una división entre 100.
- 17. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂. El porcentaje puede interpretarse como una división entre 100.
- 18. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂.
- 19. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑷 𝑫 = 𝑷 𝑴 𝟏 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟏 + 𝑷 𝑴 𝟐 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟐 + 𝑷 𝑴 𝟑 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟑 𝑷 𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟓 𝑷 𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟐𝟓 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂.
- 20. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 2. Si una pieza está defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido manufacturada en la máquina 1? ¿y en la máquina 2? ¿y en la 3? Esta pregunta corresponde al Teorema de Bayes. 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔: 𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔 𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
- 21. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑺ó𝒍𝒐 𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔. 𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 = 𝑷 𝑴 𝟏 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟏 𝑷 𝑴 𝟏 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟏 + 𝑷 𝑴 𝟐 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟐 + 𝑷 𝑴 𝟑 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟑 𝑷 𝑬𝒊|𝑺 = 𝑷 𝑬𝒊 × 𝑷 𝑺|𝑬𝒊 𝑷 𝑬 𝟏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟏 + 𝑷 𝑬 𝟐 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟐 + ⋯ , +𝑷 𝑬 𝒏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝒏
- 22. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑷 𝑬𝒊|𝑺 = 𝑷 𝑬𝒊 × 𝑷 𝑺|𝑬𝒊 𝑷 𝑬 𝟏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟏 + 𝑷 𝑬 𝟐 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟐 + ⋯ , +𝑷 𝑬 𝒏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝒏 𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 = 𝟎. 𝟓𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 𝟎. 𝟓𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 + 𝟎. 𝟐𝟖 × 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 + 𝟎. 𝟏𝟕 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟐 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟐𝟓 𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 =?
- 23. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑷 𝑬𝒊|𝑺 = 𝑷 𝑬𝒊 × 𝑷 𝑺|𝑬𝒊 𝑷 𝑬 𝟏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟏 + 𝑷 𝑬 𝟐 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟐 + ⋯ , +𝑷 𝑬 𝒏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝒏 𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 = 𝟎. 𝟓𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 𝟎. 𝟓𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 + 𝟎. 𝟐𝟖 × 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 + 𝟎. 𝟏𝟕 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟐 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟐𝟓 𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟑𝟐𝟖
- 24. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo (continuación): Debido a una reducción de la demanda, la producción debe reducirse de la capacidad máxima de 12,600 piezas a solamente 7,800. ¿Cómo debe distribuirse la producción? Argumenta tu respuesta. 𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.
- 25. Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) La disminución de la produción debe hacerse de modo que se utilice a plena capacidad la máquina 3, que presenta un menor porcentaje de defectos. Para determinar su capacidad de producción debemos recordar que 12,600 piezas es la capacidad total de las tres máquinas, y de ellas, la máquina 3 produce el 17%. El 17% de 12,600 es: 𝟏𝟐𝟔𝟎𝟎 × 𝟎. 𝟏𝟕 = 𝟐, 𝟏𝟒𝟐 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔: 𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔 𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
- 26. Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) Posteriormente la máquina 2 debe emplearse a su máxima capacidad o tanto como sea necesario para satisfacer la demanda. Para determinar su capacidad de producción aplicamos la misma estrategia que con la máquina 3: 12,600 piezas es la capacidad total de las tres máquinas, y de ellas, la máquina 2 produce el 28%. El 28% de 12,600 es: 𝟏𝟐𝟔𝟎𝟎 × 𝟎. 𝟐𝟖 = 𝟑, 𝟓𝟐𝟖 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔: 𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔 𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
- 27. Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) Finalmente la máquina 1, que es la que produce un mayor porcentaje de defectos, se empleará solamente en caso necesario para satisfacer el resto de la demanda. La máquina 3 producirá: 2,142 piezas La máquina 2 producirá: 3,528 piezas Entre las dos máquinas producirán: 5,670 piezas La máquina 1 producirá la cantidad faltante para satisfcer la demanda: 7,800 – 5,670 = 2,130 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔: 𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔 𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
- 28. Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) Debemos determinar los porcentajes de producción de cada máquina para modificar el diagrama de árbol. Máquina 3: 2,142 Máquina 2: 3,528 Máquina 1: 2,130 Total: 7,800 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔: 𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔 𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔. Para determinar el porcentaje de cada máquina dividimos la cantidad de piezas producidas por cada máquina, entre la producción total.
- 29. Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) Debemos determinar los porcentajes de producción de cada máquina para modificar el diagrama de árbol. Máquina 3: 2,142 𝟐, 𝟏𝟒𝟐 ÷ 𝟕, 𝟖𝟎𝟎 = 𝟐𝟕. 𝟓% Máquina 2: 3,528 𝟑, 𝟓𝟐𝟖 ÷ 𝟕, 𝟖𝟎𝟎 = 𝟒𝟓. 𝟐% Máquina 1: 2,130 𝟐, 𝟏𝟑𝟎 ÷ 𝟕, 𝟖𝟎𝟎 = 𝟐𝟕. 𝟑% Total: 7,800 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔: 𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔 𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔. Estos porcentajes se emplearán para modificar el diagrama de árbol.
- 30. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂. M M1 M2 M3 D ND D ND D ND 45.2% 𝑷 𝑴 𝟏 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟕𝟑 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟓𝟓𝟐 𝑷 𝑴 𝟐 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟓𝟐 × 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟖 𝑷 𝑴 𝟑 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟑 = 𝟎. 𝟐𝟕𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟕𝟓
- 31. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) M M1 M2 M3 D ND D ND D ND 45.2% 𝑷 𝑴 𝟏 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟕𝟑 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟓𝟓𝟐 𝑷 𝑴 𝟐 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟓𝟐 × 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟖 𝑷 𝑴 𝟑 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟑 = 𝟎. 𝟐𝟕𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟕𝟓 𝑷 𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟕𝟎𝟕
- 32. Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solución) M M1 M2 M3 D ND D ND D ND 45.2% 𝑷 𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟕𝟎𝟕 𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟓𝟓𝟐 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟕𝟎𝟕 = 𝟎. 𝟒𝟒𝟓𝟓 𝑷 𝑴 𝟐|𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟖 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟕𝟎𝟕 = 𝟎. 𝟒𝟔𝟏𝟎 𝑷 𝑴 𝟑|𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟕𝟓 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟕𝟎𝟕 = 𝟎. 𝟎𝟗𝟑𝟒
- 33. Gracias por su atención licmata@hotmail.com http://licmata-math.blogspot.com/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning http://www.slideshare.net/licmata/ http://www.facebook.com/licemata Twitter: @licemata