Trigonometria3

Trigonometría:
• La trigonometría es la rama de las matemáticas cuyo significado etimológico es “la
medición de los triángulos”.

• Es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre los ángulos y los lados
del triangulo.

• En términos generales es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente,
cotangente, secante, cosecante. Que son aplicadas en todos aquellos ámbitos en los
que se requieren medidas de precisión.

Pitágoras de Samos.
(aproximadamente 582 a. c. - 507 a. C.)

Fue un filósofo y matemático griego, famoso

sobre todo por el Teorema de Pitágoras.
Afirmaba que todo es matemáticas, y estudió y

clasificó los números.

TEOREMA DE PITAGORAS

hi
po
te
nu
a s
cateto

(CATETO)2 + (CATETO)2 = (HIPOTENUSA)2

EJEMPLO
a2 = b2 + c2

a=x
b=12 a2 = 122 + 52

a2 =144 + 25

a2 = 169 /√
c=5

a= 13

RAZONES
TRIGONOMETRICAS.

Seno Coseno
SEN α = CATETO OPUESTO α COS α= CATETO ADYACENTE α
HIPOTENUSA HIPOTENUSA

Tangente Cotangente
Tan α= CATETO OPUESTO α Cot α= CATETO ADYACENTE α
CATETO ADYACENTE α CATETO OPUESTO α

Secante Cosecante
Sec α= HIPOTENUSA Csc α= HIPOTENUSA
CATETO ADYACENTE α CATETO OPUESTO α

Ejemplos:
a= x b= 8 c= 6

Teorema de Pitágoras

cateto2 + cateto2 = hip2

a2 = 8 + 6
a2 = 64+ 36
a= 10
sen α = 8 tan α = 8 Sec α =
10 6 10
6
cos α = 6 Cot α = 6 Csc α = 8
10 8 10

Razones trigonometricas reciprocas.

1 = sec α 1 = csc α 1 = cot α
Cos α Sen α tan α

Cos α sec α = 1 Sen α csc α = 1 Tan α cot α = 1

Ejemplos:

1 = sec 30º Csc 60º = 1 Tan 45º = 1
Cos 30º sen 60º cos 45º

ley del seno
Senα = senβ + senγ
A B C

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que
siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo
cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipo de problemas de
triángulos.

γ
A B
β α
C

ejemplo
γ es muy fácil de encontrar ya que todos los
ángulos de un triangulo suman 180º.
?
γ= 128º
A=5 B=?
ahora tenemos los 3 ángulos y nos falta
encontrar los lados B y C, y lo haremos
27º 25º
mediante la formula.
C=?
Senα=Senβ Sen25º=Sen27º
A B = 5 x
A=5
X= sen27º*5 = 5,3 ; B= 5,3
B=?
sen25º
C=?
Senβ=senγ Sen27º=Sen128º
β= 27º B C = 5,3 x
α= 25º X= Sen128º*5,3 = 9,1 ; C= 9,1
γ= ? sen27º

Ley del coseno
La ley de los Coseno es una
expresión que te permite conocer un
C2 = A2 + B2 – 2ABcosγ lado de un triángulo cualquiera, si
conoces los otros dos y el ángulo
opuesto al lado que quieres
conocer. Esta relación es útil para
γ
B resolver ciertos tipos de problemas
A
de triángulos
β α
C

Ejemplo.
? Reemplazando en la formula nos queda que:
A=? B=9
Que A =5,4071.

? 25º De ahí en adelante con el valor de A podemos

C=12
encontrar las demás incógnitas que faltan por
calcular mediante la ley del seno, donde nos
A=?
B=9 quedan los siguientes resultados:
C=12 senβ=0.7034297712, ahora invertir, y queda
α=25º sen-1 (0.7034297712),
β=?
β= 44. 703 = 44° 42'
γ= ?
ahora es muy fácil de encontrar el ultimo dato, solo
hay que estarle a 180º el valor de α y β:
γ= 180° -25°- 44°42' = 180° - 69°42' = 110°17'
γ= 110°17'

Ángulos de elevación y de
Depresión
HORIZONTAL OBSERVADOR

Son aquellos formados por la Angulo de
depresion (
horizontal, considerada a nivel del
ojo del observador y la linea de
i ra
mira, segun que el objeto m
de
ea
observado este por sobre o bajo Lin

esta ultima.
Angulo de
) elevacion

Horizontal

Definición:

• Definición Angulo de Elevación.

Si un objeto esta por encima de la
horizontal, se llama Angulo de
elevación al Angulo formado por una
línea horizontal y la línea visual hacia
el objeto.
Definición Angulo de Depresión.

Si un objeto esta por debajo de la
horizontal, se llama Angulo de depresión
al Angulo formado por una línea horizontal
y la línea visual hacia el objeto.

Ejemplo visual:

ANGULO DE ELEVACION
α ) HORIZONTAL
β
) ANGULO DE DEPRESION

Ejemplos:

La distancia de un observador a la azotea de un edificio es de 169 metros
y el angulo de elevacion que se forma es 24. Hallar la distancia del
observador a la base del edificio.
azotea

Solucion.
Usaremos la relacion coseno: 169m.
edificio
cos 24º = x
169
x = 169 cos 24º
x = 154 base observador
x

La distancia buscada es de 154 metros
aproximadamente.

Angulo de depresion:

Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 120 metros, el Angulo de
depresión de una embarcación es de 15º. ¿A que distancia del faro esta la embarcación ?

Solución.
Lo primero que tenemos que hacer es dibujar el triangulo que se forma
con los datos del problema.

Aunque el problema viene con un angulo de
depresion de 15, por la nota anterior el Angulo de depresion= 15º
angulo de elevación mide lo mismo. A partir de
120 m.
aquı hacemos uso de la relacion tangente:
tan 15º =120
15º )
x
x
x =120 tan 15º
x = 448
Respuesta: la distancia del barco al faro
es entonces, aproximadamente de 448 metros.

Funciones trigonométricas:

• Las funciones trigonométricas son igualdades que involucran las
funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor que
tome la variable.

t Cos t Sen t Tg t Cot t Sec t Csc t
0 1 0 0 Ɇ 1 Ɇ

π √3 1 √3 √3 2 √3 2
6 2 2 3 3
π √2 √2 1 1 √2 √2
4 2 2
π 1 √3 √3 √3 2 2 √3
3 2 2 3 3
π 0 1 Ɇ 0 Ɇ -1
2

Representación gráfica del seno

Representación grafica de las funciones
trigonométricas

Ejemplos
• Determinar Cos π
12

Cos π - π = cos π . cos π + sen π . Sen π
3 4 3 4 3 4

= 1 . √2 + √3 . √2
2 2 2 2

= √2 + √6
4 4

= √2 1 + √3
4

BIBLIOGRAFIA
• http://www.scribd.com/doc/198857/Ley-del-seno-y-ley-del-coseno
• http://www.monografias.com/trabajos13/trigo/trigo.shtml#cose
• http://www.hispanosnet.com/paginas/gif_animados.html
• http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
•

INTEGRANTES:

CLAUDIA ANDREA ROJAS LLAITUL
BARBARA CATALINA ROJAS OJEDA
DANIELA ALEJANDRA MILLAPAN REYES

GRACIAS POR SU ATENCION

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