Variables de Estado-Daniel Velasquez
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El documento aborda la definición y características de las variables de estado en sistemas dinámicos, destacando su utilidad en la representación de sistemas de múltiples entradas y salidas. También se explica cómo transformar ecuaciones diferenciales en ecuaciones de estado mediante modelos matemáticos, utilizando matrices para simplificar la representación. Se concluye que esta metodología permite una descripción más clara de sistemas complejos a través de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Variables de Estado-Daniel Velasquez
- 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN PORLAMAR INGENIERÍA DE SISTEMAS ELABORADO POR: Velásquez Daniel 47-10.799.021 Catedra: Simulación Digital Profesor: Ing. Diógenes Rodriguez VARIABLES DE ESTADO MODELOS MATEMATICOS
- 2. DEFINICION DE VARIABLES DE ESTADO De forma general, una variable de estado de un sistema dinámico es una señal del sistema, es decir, una magnitud medible del mismo, por ejemplo: Temperatura, posición, velocidad, capacidad, tensión.
- 3. VARIABLES DE ESTADO La representación en Variables de Estado de un proceso es sumamente útil cuando se trata se sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas, los cuales resultan complicados de tratar bajo el concepto de Función de Transferencia, una sola entrada-una sola salida.
- 4. VARIABLES DE ESTADO CARACTERISTICAS Pueden tener o no sentido físico. Pueden o no ser medibles. Para un mismo sistema dinámico las variables de estado no son únicas, se pueden definir infinitos conjuntos de variables que funjan como variables de estado.
- 5. TRANSFORMAR ECUACIONES DIFERENCIALES EN ECUACIONES DE ESTADO Una Función de Transferencia en un Sistema Lineal e Invariante en el tiempo, se define como la relación entre la Transformada de Laplace de la variable de salida y la Transformada de Laplace de la variable de entrada, asumiendo que todas las condiciones iniciales se hacen igual a cero. Esta forma se denomina “Representación Externa” debido a que atiende a las señales presentes en sus terminales de entrada y salida.
- 6. CONSTRUCCIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO MEDIANTE MODELOS MATEMÁTICOS Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real y su formulación implica: Identificar las variables que causan el cambio en el sistema. Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema Problema Mundo Real Modelo Matemático Conclusiones Matemáticas Predicciones
- 7. REPRESENTACION DE SISTEMAS EN ECUACIONES DE ESTADO Es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del numero de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial. La representación en Variables de Estado de un proceso es sumamente útil cuando se trata se sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas, los cuales resultan complicados de tratar bajo el concepto de Función de Transferencia, una sola entrada- una sola salida, como se muestra a continuación: • • ym(t) = gm (x1(t), x2(t), ... xn(t), u1(t), u2(t), ... un(t), t)
- 8. REPRESENTACION DE SISTEMAS EN ECUACIONES DE ESTADO (CONT.) Lo anterior puede ser expresado en forma matricial como se muestra a continuación, en donde las matrices A, B, C y D dependerán de las funciones f y g que determinan el modelo del sistema. x = Ax + Bu y = Cx + Du Para los siguientes ejemplos se disponen de las ecuaciones diferenciales que describen diferentes procesos y se requiere que las mismas se expresen a través de su representación de estado. Cuando las ecuaciones del modelo son todas de primer orden y lineales x˙1 = x2 x˙2 = −K2x1 − K1x2 + u1 + K3u2 x˙3 = −K5x2 − K4x3 + K6u1 y1 = x1 y2 = x3 A partir de allí se obtiene la representación de estado en funciones de las matrices características tal como se muestra a continuación:
- 9. GRACIAS