Variables separables
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Este documento describe el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales. Explica que este método involucra reescribir la ecuación como una ecuación con variables separadas de la forma f(y)g(x), y luego integrar ambos lados para obtener la solución. Proporciona ejemplos como dy/dx = -x para ilustrar cómo aplicar este método. También discute cómo algunas ecuaciones pueden convertirse fácilmente a esta forma mediante un cambio de variables apropiado antes de aplicar la separación de variables.
Variables separables
- 1. ECUACIONES DIFERENCIALES WILSON ARIEL MENESES BARROSO 1150400 UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER INGENIERIA DE SISTEMAS 2013
- 2. SEPARACIÓN DE VARIABLES La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas: Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x. Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados: dxxgdyyf )()( x x y y dxxgdyyf 00 )()(
- 3. SEPARACIÓN DE VARIABLES La ED de la forma Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas: dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211 dx xg xg dy yf yf )( )( )( )( 2 1 1 2
- 4. SEPARACIÓN DE VARIABLES Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: Separando variables ydy = -xdx integrando Reescribiendo x2+y2 = c2 dy dx x y . 1 22 22 c xy
- 5. SEPARACIÓN DE VARIABLES Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a variables separables, por ejemplo cuyo campo vectorial es función de una combinación lineal de x e y: Haciendo el cambio z= ax+by, se obtiene: testanconssonb,adonde),byax(f dx dy )z(bfa dx dz
- 6. SEPARACIÓN DE VARIABLES Ejemplo: La ecuación Se puede reescribir como Donde z= x+y. Integrando se obtiene Regresando a las variables originales: 1 dx dy )yx( 2 2 z 1 1 dx dz cx)z(tanz 1 )cytan(yx