Wuilkar
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Este documento trata sobre integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida es la operación inversa de la derivación, que consiste en hallar todas las funciones cuya derivada sea una función dada. También presenta algunas integrales inmediatas como la integral de funciones trigonométricas y exponenciales, así como propiedades de la integral indefinida como que la integral de una suma de funciones es la suma de las integrales individuales.
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[F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x)
El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función ƒ(x) se denomina
integral indefinida de ƒ(x) dx. La integral indefinida se representa por:
( )
De lo expuesto se deduce que la integración indefinida es la operación inversa de la
diferenciación, ya que consiste en hallar todas las funciones cuya diferencial sea una dada.
Ejemplos:
= +
= | | +
cos( ) = sin( ) +
sin( ) = − cos( ) +
3.- INTEGRALES INMEDIATAS
Integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin
más que considerar (a la inversa) las reglas de derivación.
A continuación mostraremos las integrales inmediatas de uso más frecuente:
= +
= | | +](https://image.slidesharecdn.com/wuilkar-160224232153/85/Wuilkar-2-320.jpg)
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- 1. Pág.: 1 INTEGRALES INDEFINIDAS Br. Wuilker Pastor Rodríguez González CI: 26.107.494 1.- FUNCIÓN PRIMITIVA En los temas anteriores se ha estudiado como puede obtenerse la función derivada de una función dada. En ocasiones se presenta la necesidad de llevar a cabo el proceso contrario, esto es, dada una función hallar otra, denominada "Función Primitiva", cuya derivada sea la primera. Función primitiva de una función dada: ƒ(x), es otra función: F(x), cuya derivada es la primera. F(x) = función primitiva de ƒ(x) ⇒ F '(x) = ƒ(x) Ejemplo: F(x) = ln x, es función primitiva de : ƒ(x) = 1/x , ya que la derivada de ln x es 1/x 2.- INTEGRAL INDEFINIDA No todas las funciones poseen función primitiva, ya que dada una función puede no existir otra que la tenga por derivada. Ahora bien, cuando una función: ƒ(x), posee función primitiva: F(x), ésta no es única, sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las que difieren de F(x) en una cantidad constante. En efecto, si F(x) es función primitiva de ƒ(x), se verifica que: F '(x) = ƒ(x), pues bien, la función F(x) + C, donde C es un número real cualquiera, también es una función primitiva de ƒ(x), ya que:
- 2. Pág.: 2 [F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x) El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función ƒ(x) se denomina integral indefinida de ƒ(x) dx. La integral indefinida se representa por: ( ) De lo expuesto se deduce que la integración indefinida es la operación inversa de la diferenciación, ya que consiste en hallar todas las funciones cuya diferencial sea una dada. Ejemplos: = + = | | + cos( ) = sin( ) + sin( ) = − cos( ) + 3.- INTEGRALES INMEDIATAS Integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin más que considerar (a la inversa) las reglas de derivación. A continuación mostraremos las integrales inmediatas de uso más frecuente: = + = | | +
- 3. Pág.: 3 cos( ) = sin( ) + sin( ) = − cos( ) + = + 1 + 1 √ = 2√ + = + 3.1.- INTEGRACIÓN INMEDIATA DE ALGUNAS FUNCIONES DE FUNCIONES Sean = ( ), = ( ) dos funciones continuas. La función = ( )! es una función de función. Supuesto que "( ) es una primitiva de ( ) respecto a ; es decir se cumple "( ) = ( ) ⇒ ( ) = "( ) + Como = $ ( ) , sustituyendo resulta ( )! $ ( ) = "( ) + 4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA De las reglas de derivación del producto de una constante por una función, de una suma de funciones y de una diferencia de funciones, se deducen las siguientes propiedades de la integral indefinida:
- 4. Pág.: 4 1ª.- La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función. ( ) = ( ) Ejemplo: 4 cos( ) = 4 cos( ) = 4 sin( ) + 2ª.- La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones sumando. & ( ) + '( )( = ( ) + '( ) Ejemplo: & + )( = + ) = * 2 + + 4 + 3ª.- la integral de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de las integrales de las funciones minuendo y sustraendo. & ( ) − '( )( = ( ) − '( )
- 5. Pág.: 5 4ª.- Como consecuencia de las dos propiedades anteriores: La integral de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de todas y cada una de las funciones sumandos. Ejemplo: & * − + 2( = * − + 2 = ) 3 − * 2 + 2 + 5.- INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN SUMANDOS Como su nombre indica, este método consiste en descomponer en sumandos la integral a resolver aplicando a continuación las propiedades anteriormente enunciadas. Ejemplo: -( + 4)* Desarrollamos el binomio y aplicamos las propiedades anteriormente establecidas, ( + 4)* = ( * + 8 + 16) = * + 8 + 16 = ) 3 + 8 * 2 + 16 + = ) 3 + 4 * + 16 +