GEII - Ma3 - Matrices

1. MA3 (GEII - S3) D - MATRICES frederic.nicolier@univ-reims.fr 2014 - 2015 / URCA - IUT Troyes

2. PLAN 1. NOTION DE MATRICE 1.1 Définition 1.2 Matrices élémentaires 2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES 2.1 Addition 2.2 Multiplication par un scalaire 2.3 Transposition 2.4 Produit matriciel 3. INVERSE D’UNE MATRICE 3.1 Définition 3.2 Existence 3.3 Déterminant 3.4 Inversion d’une matrice 4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES 4.1 Système de Cramer

3. 1. NOTION DE MATRICE 1.1 DÉFINITION : Soit deux espaces vectoriels E et F, avec dim E = p (1) dim F = n. (2) Si f est une application linéaire de E dans F, il est possible de caractériser f par un jeu de coefficients que l’on place dans un tableau de n lignes et p colonnes : la matrice de f . REMARQUE Si M est la matrice de f , on écrit M 2Mn,p pour indiquer que c’est une matrice de n lignes et p colonnes. On note (ai,j) son terme général. 3 / 23

4. 1. NOTION DE MATRICE 1.1 DÉFINITION : CONSTRUCTION D’UNE MATRICE DÉFINITION Si ( !e j )1jp est une base de E, la matrice de f est obtenue en rangeant en colonnes les composants de f ( !e j ) EXEMPLE Matrice d’une rotation de centre O dans la base ( !i , !j ) 4 / 23

5. 1. NOTION DE MATRICE 1.2 MATRICES ÉLÉMENTAIRES : I matrice ligne (ie vecteur ligne), I matrice colonne (ie vecteur colonne), I matrice carrée, I matrices diagonales, I matrice nulle 0, I matrice identité I. 5 / 23

7. 2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES 2.1 ADDITION : DÉFINITION Soient A et B sont deux matrices deMn,p, la somme A + B est une matrice deMn,p de terme général (ai,j + bi,j). 7 / 23

8. 2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES 2.2 MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE : DÉFINITION Soit A 2Mn,p et a 2 C, le produit aA est une matrice deMn,p de terme général (aai,j). 8 / 23

9. 2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES 2.3 TRANSPOSITION : DÉFINITION Soit A 2Mn,p, sa transposée At est la matrice deMp,n, de terme général (aj,i). REMARQUE Une matrice carrée est symétrique si A = At. 9 / 23

10. 2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES 2.4 PRODUIT MATRICIEL : Soient A et B deux matrices, on souhaite définir le produit AB. DÉFINITION Soient A = (ai,j) 2Mn,p et B = (bi,j) 2Mp,q, le produit AB est la matrice deMn,q de terme général på k=1 ai,kbk,j. (3) REMARQUE Le calcul est aisé en disposant les matrices A et B en quinconce. REMARQUE Le produit AB n’est défini que si : nb colA = nb ligB. 10 / 23

11. 2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES 2.4 PRODUIT MATRICIEL : PROPRIÉTÉS Le produit matriciel I n’est pas commutatif ; I est associatif et distributif. 11 / 23

13. 3. INVERSE D’UNE MATRICE 3.1 DÉFINITION : Si f est l’application linaire sous-jacente à une matrice M, alors et si elle existe, la matrice associées à la fonction f1 est la matrice inverse de M. DÉFINITION On appelle inverse de A, si elle existe, la matrice notée A1 telle que A.A1 = A1A = I (4) (I étant la matrice identité). REMARQUE Seules les matrices carrées peuvent être inversibles. EXEMPLE Inverse d’un produit. 13 / 23

14. 3. INVERSE D’UNE MATRICE 3.2 EXISTENCE : Cherchons à calculer l’inverse de A = 0 @ 1 0 1 2 3 5 1 1 4 1 A. (5) Pour cela : I cherchons à résoudre le système d’équations représenté par AX = Y avec X = 0 @ xyz 1 A et Y = 0 @ abc 1 A. 14 / 23

15. 3. INVERSE D’UNE MATRICE 3.2 EXISTENCE : On obtient A1 = 1 12 0 @ 7 1 3 13 5 3 5 1 3 1 A. (6) REMARQUE Il est possible de vérifier que AA1 = A1A = 0 @ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 A. REMARQUE Le nombre 12 qui apparait au dénominateur du terme en facteur est important : il s’agit du déterminant de A. Il permet de déterminer si A est inversible ou non. 15 / 23

16. 3. INVERSE D’UNE MATRICE 3.3 DÉTERMINANT : Formellement, le déterminant est obtenu de la façon suivante. DÉFINITION Soit A une matrice carrée deMn,n, de terme général (ai,j). Son déterminant, noté jAj ou detA est le nombre jAj = å p2P e(p)a1,p1)a2,p(2) . . . an,p(n), (7) P étant l’ensemble des permutations possibles des n indices (au nombre de n!) et e(p) la parité d’une permutation (définie à partir de l’ordre des indices). EXEMPLE Déterminant de matrices 2 2 et 3 3. 16 / 23

17. 3. INVERSE D’UNE MATRICE 3.3 DÉTERMINANT : CALCUL PRATIQUE Pratiquement, on calcule le déterminant selon d’autres méthodes : I développement par rapport à une rangée, I simplification du déterminant par des opérations sur les lignes et les colonnes, I en se ramenant à une matrice triangulaire. 17 / 23

18. 3. INVERSE D’UNE MATRICE 3.3 DÉTERMINANT : DÉVELOPPEMENT PAR RAPPORT À UNE RANGÉE Soient une matrice A = (ai,j). I Le mineur du terme ai,j est le déterminant noté Di,j, obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j. I Le cofacteur du terme ai,j est la quantité (1)i+jDi,j. DÉFINITION Le déterminant jAj est alors égal à la somme des produits de chacun des éléments d’une rangée (ligne ou colonne) par leur cofacteurs respectifs : jAj =åi (1)i+jDi,jai,j (8) =åj (1)i+jDi,jai,j (9) (i et j sont à choisir librement). 18 / 23

19. 3. INVERSE D’UNE MATRICE 3.3 DÉTERMINANT : EXEMPLE Calculons

25. 2 1 2 4 3 1 2 6 5

31. en développant par rapport à la seconde colonne. REMARQUE Il vaut mieux choisir une rangée simple (comportant des 0). REMARQUE Il est possible (et conseillé) de faire apparaitre des zéros dans une rangée en ajoutant à une rangée une combinaison linéaire des rangées parallèles. C’est une opération qui conserve le déterminant. 19 / 23

32. 3. INVERSE D’UNE MATRICE 3.4 INVERSION D’UNE MATRICE : DÉTERMINANT DE L’INVERSE On montre aisément que detA1 = 1 detA . (10) REMARQUE Une matrice carrée n’est inversible que si son déterminant est nul. DÉFINITION L’inverse de A, s’il existe, est donné par A1 = 1 A (comA)t. (11) I comA est la comatrice (ou matrice adjointe) de A, obtenue en remplaçant chaque terme par son cofacteur. 20 / 23

34. 4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES 4.1 SYSTÈME DE CRAMER : DÉFINITION Un système de Cramer est un système de n équations à n inconnues, admettant une solution unique. THÉORÈME Un système de Cramer admet la solution unique (x1, x2, . . . , xn) donnée par xi = Di D , (12) D étant le déterminant de la matrice des coefficients du système et Di le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la colonne i par le vecteur colonne des seconds membres des équations. 22 / 23

35. 4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES 4.1 SYSTÈME DE CRAMER : RÉSOLUTION MATRICIELLE En écrivant le système AX = B, (13) une résolution matricielle est toujours envisageable (si l’inverse existe) : X = A1B. (14) 23 / 23

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