Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)
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Le document présente une étude détaillée des signaux discrets, y compris leur définition mathématique et des exemples spécifiques tels que l'impulsion et l'échelon unité. Il aborde également les systèmes discrets simples et la transformée en z, qui généralise la transformée de Fourier et se révèle essentielle pour l'analyse des systèmes discrets. Enfin, des propriétés clés de la transformée en z et des méthodes pour inverser cette transformation sont discutées.
![2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
H (z) est donc la transformée en z de (hn ), avec
∞
Z [ fn ] =
∑
n=−∞
fn z − n .
quelles sont ses propriétés ?
quelles sont ses conditions d’existence et de convergence ?
⇒ suites et séries numériques et de fonctions
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![3.1. D ÉFINITION
(D ÉFINITION ) La transformée en z d’un signal discret (xn ) est
∞
X ( z ) = Z [ fn ] =
∑
n=−∞
fn z − n
où z est une variable complexe.
La TZ peut-être considérée comme une généralisation de
la transformée de Fourier (poser z = eiω )
La TZ constitue l’outil privilégié pour l’étude des système
discrets.
Elle joue un rôle équivalent à la transformée de Laplace
Par exemple, la TZ permet de représenter un signal possédant
une infinité d’échantillons par un ensemble fini de nombres.
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![3.3 E XEMPLES
TZ de l’impulsion unité
Z[δn ] = 1
TZ de l’échelon unité
Z [ un ] =
1
1 − z−1
TZ du signal exponentiel
Z [ an u n ] =
z
z−a
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![3.4 P ROPRIÉTÉS
(D ÉRIVÉE ) La dérivée d’une TZ multipliée par −z est la TZ
du signal multiplié par n :
−z
∞
dX(z)
= ∑ nxn z−n = Z[nxn ]
dz
n=−∞
(C ONVOLUTION ) La convolution discrète étant définie par
∞
xn ∗ yn =
∑
xn−k yn ,
k=−∞
la TZ est
Z[xn ∗ yn ] = X(z)Y(z).
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![3.5 R EPRÉSENTATION PAR PÔLES ET ZÉROS
Considérons H (z) = Z[hn ].
Les pôles de H(z) sont les valeurs de z pour lequelles H (z)
tend vers l’infini.
Les zéros de H(z) sont les valeurs de z pour lesquelles H (z)
est nul.
Les pôles et les zéros complexes de H (z) sont de la forme
α ± iβ.
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![3.6. TZ INVERSE
Le théorème des résidus indique que l’intégrale sur un
contour fermé C d’une fonction complexe holomorphe
F(z) rationnelle vaut
C
F(z)dz = 2iπ
∑
pi ∈C
Résidu(pi )
où pi est un pôle de F(z).
(Fonction holomorphe = fonction à valeurs complexes, définie et
dérivable en tout point d’un sous-ensemble ouvert du plan complexe.)
si pi est un pôle simple : Résidu(pi ) = limz→pi (z − pi )F(z)
1
Exemple : calcul de Z−1 [ 1+az−1 ].
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Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)
- 1. MA32 (GEII - S3) B - T RANSFORMÉE EN Z ET CONVOLUTION DISCRÈTE : EXPOSITION F. Morain-Nicolier frederic.nicolier@univ-reims.fr 2013 - 2014 / URCA - IUT Troyes 1 / 25
- 2. O UTLINE 1. S IGNAUX DISCRETS 2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE 3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ 2 / 25
- 3. 1.1 S IGNAUX DISCRETS ? Un signal est le support physique d’une information (ex : signaux sonores, visuels) signaux continus (analogiques), discrets (échantillonnés), numériques (échantillonnés et quantifiés) F IGURE : Signal échantillonné 3 / 25
- 4. 1.1 S IGNAUX DISCRETS ? F IGURE : Signal mal échantillonné 4 / 25
- 5. 1.2 N OTATION MATHÉMATIQUE DES SIGNAUX DISCRETS Un signal discret est donc un liste ordonné de valeurs réelles ou complexes En mathématique, on le représente donc par une suite numérique (D ÉFINITION ) Une suite numérique (un )n∈N est une application de N sur R (ou C). un est le terme général de la suite. 5 / 25
- 6. 1.2 S UITES ET SÉRIES Une série est obtenue en sommant les termes généraux d’une suite, en particulier : (Définition) Une série {un } est la somme des termes généraux un de la suite (un ). ∞ {un } = ∑ n=0 ∞ un ou {un } = ∑ n=−∞ un ex : série de Fourier 6 / 25
- 7. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES impulsion unité δn = 1 0 si n = 0 . sinon 7 / 25
- 8. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES Échelon unité un = 1 0 si n ≥ 0 sinon 8 / 25
- 9. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES Signal exponentiel xn = an 9 / 25
- 10. O UTLINE 1. S IGNAUX DISCRETS 2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE 3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ 10 / 25
- 11. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE (xk) (yk) + a retard F IGURE : système discret simple yk = xk + ayk−1 . (0) C’est une équation aux différences (simple) Cherchons à exprimer explicitement (yk ) en fonction de (xk ) 11 / 25
- 12. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE On a donc k yk = ∑ n=−∞ ak−n xn . Reformulons la sortie en posant hn = 0 an si t < 0 . si n ≥ 0 12 / 25
- 13. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE (hn ) est donc la réponse impulsionnelle du système. Cherchons la réponse à une entrée xk = zk où z est un nombre complexe fixé. Montrons alors que yk = z xk . z−a 13 / 25
- 14. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE H (z) = z z−a est la fonction de transfert du filtre. C’est une fonction de la variable z, définie dans le domaine |z| > |a|. Explicitons l’obtention de H (z) à partir de (hn ). 14 / 25
- 15. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE H (z) est donc la transformée en z de (hn ), avec ∞ Z [ fn ] = ∑ n=−∞ fn z − n . quelles sont ses propriétés ? quelles sont ses conditions d’existence et de convergence ? ⇒ suites et séries numériques et de fonctions 15 / 25
- 16. O UTLINE 1. S IGNAUX DISCRETS 2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE 3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ 16 / 25
- 17. 3.1. D ÉFINITION (D ÉFINITION ) La transformée en z d’un signal discret (xn ) est ∞ X ( z ) = Z [ fn ] = ∑ n=−∞ fn z − n où z est une variable complexe. La TZ peut-être considérée comme une généralisation de la transformée de Fourier (poser z = eiω ) La TZ constitue l’outil privilégié pour l’étude des système discrets. Elle joue un rôle équivalent à la transformée de Laplace Par exemple, la TZ permet de représenter un signal possédant une infinité d’échantillons par un ensemble fini de nombres. 17 / 25
- 18. 3.2 D OMAINE DE CONVERGENCE TRANSIORMATIONIN/ 45 r R*- la limite La TZ n’a de sens que si l’on précise le domaine des valeurs de lim lr( & 1l 1/* = 4,(2.8) z pour lesquelles la série existe. série Xr(z) converge alors pour lzl >Rr_. Avec le changement de variable / = -k, peut montrer d'ure madère similaire que la série Xl (z) converge pour lzl (Â,+, Nous montrerons (plus tard) que le domaine de convergence R,a est la lirnite de X(z) est un anneau du plan complexe. R,+ = 1/[ lim lx( -/)lt/t (2.e) : ,- + - si, série TZ converge si Ainsilaune(2.1) converge en général dans un anneau du plan complexe 0 ( R,- ( lzl ( R,* ( +R < |z| < R x− i est illustré sur la figure tt évident que si Àx- ) 2. I . x+ (2.r 0) Rjr, et .R, + caractérisent le signal x série (2.1) n'est pas convergente. Les limites À,-} , la des z donné ///l Fig.2.l ([ ). résiortr de convetzenî.e 18 / 25
- 19. 3.3 E XEMPLES TZ de l’impulsion unité Z[δn ] = 1 TZ de l’échelon unité Z [ un ] = 1 1 − z−1 TZ du signal exponentiel Z [ an u n ] = z z−a 19 / 25
- 20. 3.4 P ROPRIÉTÉS (L INÉARITÉ ) Soit sn = axn + byn alors S(z) = aX(z) + bY(z). Quel est le domaine de convergence ? (D ÉCALAGE ) Si yn = xn−n0 alors Y ( z ) = z − n0 X ( z ) . En particulier, si yn = xn−1 , Y(z) = z−1 X(z). 20 / 25
- 21. 3.4 P ROPRIÉTÉS (D ÉRIVÉE ) La dérivée d’une TZ multipliée par −z est la TZ du signal multiplié par n : −z ∞ dX(z) = ∑ nxn z−n = Z[nxn ] dz n=−∞ (C ONVOLUTION ) La convolution discrète étant définie par ∞ xn ∗ yn = ∑ xn−k yn , k=−∞ la TZ est Z[xn ∗ yn ] = X(z)Y(z). 21 / 25
- 22. 3.5 R EPRÉSENTATION PAR PÔLES ET ZÉROS Considérons H (z) = Z[hn ]. Les pôles de H(z) sont les valeurs de z pour lequelles H (z) tend vers l’infini. Les zéros de H(z) sont les valeurs de z pour lesquelles H (z) est nul. Les pôles et les zéros complexes de H (z) sont de la forme α ± iβ. 22 / 25
- 23. 3.5 R EPRÉSENTATION PAR PÔLES ET ZÉROS Si X(z) possède M zéros zm et N pôles pn , on peut la mettre sous la forme : X (z) Y (z) b + b1 z − 1 + . . . + bM z − M = 0 1 + a1 z−1 + . . . + aN z−N ∏M (z − zm ) = A m=1 ∏N=1 (z − pn ) n H (z) = On peut toujours écrire une TZ sous cette forme, et donc représenter le signal par des listes de pôles et de zéros. Exemple : H ( z ) = Z ( an u n ) = z z−a 23 / 25
- 24. 3.6. TZ INVERSE À partir de la TZ X(z) d’un signal, l’original xn peut être retrouvé de plusieurs manières : en développant X(z) en une série (puissance par exemple) en utilisant le théorème des résidus pour calculer xn = 1 2iπ Γ X(z)zn−1 dz où Γ est un lacet entourant l’origine, situé dans la couronne de convergence et orienté dans le sens positif. un formulaire 24 / 25
- 25. 3.6. TZ INVERSE Le théorème des résidus indique que l’intégrale sur un contour fermé C d’une fonction complexe holomorphe F(z) rationnelle vaut C F(z)dz = 2iπ ∑ pi ∈C Résidu(pi ) où pi est un pôle de F(z). (Fonction holomorphe = fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d’un sous-ensemble ouvert du plan complexe.) si pi est un pôle simple : Résidu(pi ) = limz→pi (z − pi )F(z) 1 Exemple : calcul de Z−1 [ 1+az−1 ]. 25 / 25