03 trigonometria
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O documento apresenta os principais conceitos da trigonometria. Aborda triângulos retângulos e as relações trigonométricas neles envolvidas, como seno, cosseno e tangente. Também define ângulos centrais, ciclo trigonométrico e as funções seno e cosseno, apresentando suas propriedades e gráficos.
03 trigonometria
- 1. MATEMÁTICA TRIGONOMETRIA 1. TRIÂNGULO RETÂNGULO III) medida do cateto oposto a α BC B C BC , = 1 1 = 2 2 = ... = n n medida do cateto adjacente a α AB1 AB2 ABn 1.1. Definição essa medida é denominada de tangente de α e indica- Define-se como triângulo retângulo a qualquer da por tgα. triângulo que possua um de seus ângulos internos re- 2.2. Demais Razões to (medida de 90º). 1 Representação e Elementos sec α = , com cos α ≠ 0 , a secante de α cos α A representa o inverso multiplicativo do cos- seno de α, desde que o mesmo seja diferen- te de zero. 1 cot gα = , com tgα ≠ 0 , a cotangente de tgα α representa o inverso multiplicativo da tangente de α, desde que a mesma seja dife- rente de zero. B C 1 cos sec α = , com senα ≠ 0 , a cossecante senα Catetos: lados AB e BC. de α representa o inverso multiplicativo do Hipotenusa: lado AC (oposto ao ângulo reto). seno de α, desde que o mesmo seja diferen- 2. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO te de zero. TRIÂNGULO RETÂNGULO 2.3. Conseqüências da Definição c Cn C4 β β C3 c β a C2 β C1 β α A B β b Relações: A a B1 B2 B3 B4 Bn senα = = cos β(I) c b Observe que os triângulos cosα = = senβ(II) c ( ∆AB1C1, ∆AB2C2 ,..., ∆ABnCn ) são todos semelhantes en- a 1 tgα = = (III) tre si, critério AAr. Logo, as razões envolvendo seus b tgβ elementos correspondentes é constante. Conclui-se, a partir das relações (I), (II) e (III), 2.1. Razões usadas com maior fre- que: qüência Senα = Cos ( 90º −α ) , o seno de um ângulo medida do cateto oposto a α B1C1 B2C2 BC agudo é igual ao Cosseno de seu comple- I) = = = ... = n n , medida da hipotenusa AC1 AC2 ACn mento. essa razão é denominada seno de α e indicada por Tgα = 1 , a tangente de um ângulo senα. tg ( 90º −α ) II) agudo é igual ao inverso multiplicativo da medida do cateto adjacente a α AB1 AB2 ABn tangente de seu complemento. = = = ... = , medida da hipotenusa AC1 AC2 ACn essa razão é denominada cosseno de α e indicada por cosα. Editora Exato 8
- 2. 2.4. Relações Fundamentais 4. UNIDADES DE MEDIDAS DO ÂNGULO C 4.1. Unidade Grau a Define-se como 1 (um) grau, a medida do ân- c β gulo central cujo arco correspondente representa 1 partes da circunferência. α 360 A B b Exemplo: E.1) a senα = c 2 2 (I) → sen α + cos α = 1 , lembre-se que b A cosα = c c2 = a2 + b 2 (Teorema de Pitágoras). a 30º senα = c centro B b senα cosα = → tgα = . c c os α a tgα = b Dividindo a relação (I) por sen2α, temos: 1+ cotg2α = cos sec 2 α . Comprimento do arco AB indicado representa 30 Dividindo a relação (I) pois cos2α, temos: partes da circunferência, visto que o ângulo cen- 360 1+ tg2α = sec2 α . tral correspondente é 30º. 2.5. Ângulos Notáveis 4.2. Unidade Radiano Trabalhando com o triângulo eqüilátero e o tri- Define-se como 1 radiano (unidade rad) a me- ângulo isósceles retângulo, conseguimos calcular os dida do ângulo central, cujo arco correspondente re- valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos a- presenta o mesmo comprimento do raio dessa baixo. Esses ângulos são denominados ângulos notá- circunferência. veis. Exemplo: α 30º 45º 60º E.1) Senα 1 2 3 2 2 2 A Cosα 3 2 1 R 2 2 2 Tgα 3 1 3 1 rad 3 centro B 3. ÂNGULO CENTRAL Um ângulo é denominado de central quando possuir o vértice no centro da circunferência. A medida de um ângulo central é igual à O comprimento do arco AB é igual à medida medida de seu arco correspondente. do raio da circunferência. Ilustração: Conclui-se, pela definição acima, que o ângulo A central em radiano representa a razão entre o com- primento de seu arco correspondente e a medida do raio. Observe a seguir. 0 α = AB B Editora Exato 9
- 3. A sentido R anti-horário (positivo) centro P(1,0) α 0 1 sentido horário B (negativo) 5.1. Elementos α= comp AB ( ) R Exemplo: 90º E.1) Determine a medida do ângulo de uma λ volta em radiano. Resolução: O comprimento da circunferência de raio R é origem 0º 2πR 2πR. Logo, α= = 2πrad . R E.2) A ilustração representa os arcos de 90º, 180º 360º 180º, 270º e 360º. Resolução: 270º Considere o ciclo trigonométrico acima. Os eixos cartesianos limitam a circunferên- cia trigonométrica (λ) em quatro partes de- nominadas quadrantes e numeradas de 1 a 1 de 1 volta: 90° ou π rad 1 de 1 volta: 180° ou π rad 4 2 2 4, no sentido anti-horário. 1º quadrante: arcos entre 0º e 90º, medidos a partir da origem. 2º quadrante: arcos entre 90º e 180º, medidos a partir da origem. 3º Quadrante: arcos entre 180º e 270º, medidos a partir da origem. 4º Quadrante: arcos entre 270º e 360º, medidos a partir da origem. 3 de 1 volta: 270° ou 3π rad 1 volta: 360° ou 2 π rad Exemplos: 4 2 E.1) 5. CICLO TRIGONOMÉTRICO π p 90° 2 2 = 1,57 Define-se como ciclo trigonométrico a toda 180° 0° circunferência orientada, de raio unitário e centro no π 2p π = 3,14 2p= 6,28 360° sistema de coordenadas cartesianas. Por convenção, o ponto P(1, 0) é a origem da orientação, o sentido posi- 270° 3p 3π = 4,71 2 2 tivo é o sentido anti-horário e negativo no sentido ho- rário. Observe a representação. Editora Exato 10
- 4. π 2π 2 π 7. PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA 3 3 3π 4 π 4 Um arco θ é chamado de primeira determina- 5π π ção positiva ao arco α, se satisfaz as condições abai- 6 6 π xo: 0° I) θ é côngruo a α. 7π 6 10π II) 0 rad ≤ θ < 2π rad. 6 5π 7π Exemplo: 4 4 4π 5π E.1) 30º é a primeira determinação positiva dos 3 3π 2 3 arcos 390º, pois, 390º = 30º +1⋅ 360º . E.2) Determine a primeira determinação posi- 4π 3π 2 5π tiva do ângulo 1910º. 3 3 Resolução 5π 7π 4 4 7π 11π π 6 6 1910 360º 0° 5π π 6 6 110º 5 Número de voltas 3π π 4 4 2π π 1ª determinação positiva 3 π 3 2 E.3) Encontre a primeira determinação positiva do ângulo 1720º. 180° a α π α α Resolução: 1720º 360º 180° + a 360° a π+α 2π α 280º 4 Número de voltas α a em graus (0° < a < 90°) a em radianos 0 < a < 2 1ª determinação positiva ângulos correspondentes ângulos correspondentes a a no 2ºQ, 3ºQ e 4ºQ a a no 2ºQ, 3ºQ e 4ºQ 8. DEFINIÇÃO DE SENO, COSSENO E TAN- 6. ARCOS CÔNGRUOS GENTE DE UM ARCO Como os arcos no ciclo trigonométrico possu- Considere no ciclo trigonométrico um arco AP em a mesma origem, então dois arcos no ciclo são de medida α e uma reta t paralela ao eixo das orde- côngruos quando a diferença entre suas medidas pos- nadas, que passa pelo ponto A, origem do ciclo. Ob- sui a forma 2kπ ( com k ∈ z ) , ou seja, podemos ex- serve a figura. pressar todos os arcos côngruos a α, no ciclo, na forma α + k ⋅ 2π (com k ∈ z ). De modo análogo, repre- t sentamos os arcos côngruos ao ângulo α, em graus, P na forma α + k360º (com k ∈ z ). Exemplo: E.1) Os arcos −330º, 390º e − 690º são congru- α A entes ao arco de 30º, pois as diferenças 0 30 − ( −330º ) , 30º − 390º e − 690º − 30º são múltiplas de 360º. E.2) Os arcos −10º e 710º são côngruos ao ar- co 350º, pois −10º = 350º −1.360º e 710º = 350º +1.360º . Define-se como seno do arco AP (indicado por senα) a medida algébrica do segmento OP’, em que P’ é a projeção ortogonal do Editora Exato 11
- 5. ponto P no eixo vertical. O eixo vertical se- 9.2. Gráfico rá chamado de eixo dos senos. Define-se como cosseno do arco AP (indi- cado por cosα) a medida algébrica do seg- y mento OP’’, em que P’’ é a projeção 1 Período ortogonal do P no eixo horizontal. O eixo horizontal será chamado de eixo dos cosse- nos. 0 3π /2 2π π /2 π x Define-se como tangente do arco AP (indi- cado por tgα) a medida algébrica do seg- mento AT, em que T é o ponto de -1 intersecção da reta suporte do raio OP com a reta t. O eixo t será chamado de eixo das tangentes. 9.3. Propriedades As definições acima podem ser ilustradas na Os valores máximo e mínimo da função se- figura a seguir. no são, respectivamente, iguais a 1 e –1. sen tg A função seno é positiva no 1º e 2º qua- drante e negativa no 3º e 4º quadrante. P A função seno e periódica de período igual P’ a 2π. 10. FUNÇÃO COSSENO α A 0 P’’ cos 10.1. Definição Define-se como função cosseno a toda função f : R → R que associa a cada x ∈ D ( f ) um número { { D( f ) CD ( f ) f ( x ) ∈ CD ( f ) na forma: f ( x ) = cos x . 10.2. Gráfico Sen α= medida algébrica de OP’. Cos α = medida algébrica de OP’’. y Tg α = medida algébrica de AT. 1 Período Observação: Se a reta suporte de OP coincidir com a reta suporte do eixo dos senos, não teremos o ponto T, π suu r -π /2 pois OP // t . A tangente de um arco só está definida 0 π /2 3π /2 2π x π se α ∈ R e α ≠ + kπ , com k ∈ Z . -1 2 9. FUNÇÃO SENO 10.3. Propriedades 9.1. Definição Os valores máximo e mínimo da função Define-se como função seno a toda função cosseno são, respectivamente, iguais a 1 e – f : R → R que associa a cada x ∈ D ( f ) um número { { D( f ) CD ( f ) 1. f ( x ) ∈ CD ( f ) na forma: A função cosseno é positiva no 1º e 4ºquadrante e negativa no 2º e 3º quadran- f ( x ) = senx . te.. A função cosseno é periódica de período igual a 2π. Editora Exato 12
- 6. 11. FUNÇÃO TANGENTE Arco no 2º quadrante 11.1. Definição Define-se como função tangente a toda função 90º π f : x ∈ R x ≠ + kπ, comk ∈ Z} → R que { associa a cada 2 CD ( f ) M 144444 244444 3 D( f ) X ∈D(f ) um número f ( x ) na forma: t ( x ) = tgx . 0º 180º 360º 11.2. Gráfico: y Período 270º O Quanto falta para 180º? π/2 π/2 π 3π /2 Verifique o sinal da função. 2π x Arco no 3º quadrante 90º 11.3. Propriedade: A tangente é positiva nos quadrantes 1º e 3º e negativa no 2º e 4º quadrante. O período da função tangente é π. 0º A imagem da função tangente é o conjunto 180º 360º dos reais. 12. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS E AUXI- LIARES M Se x é um ângulo agudo num triângulo retân- 270º gulo. De acordo com as definições das funções trigo- nométricas, podemos verificar que: Quanto passa de 180º? sen x = 1 − cos x 2 2 Verifique o sinal da função. F.1) sen x + cos x = 1 ⇔ 2 2 2 2 Arco no 4º quadrante cos x = 1 − sen x senx F.2) tgx = cos x 90º 1 cos x F.3) cot gx = = tgx senx 1 F.4) sec x = cos x 1 0º F.5) cos sec x = 180º senx 360º A.1) sec x = 1 + tg x 2 2 A.2) cos sec x = 1 + cot g x 2 2 13. REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE M Reduzir um arco do 2ºQ, 3ºQ ou 4ºQ. ao 1ºQ é 270º obter um novo arco, entre 0º e 90º (1ºQ), que possui Quanto falta para 360º? os mesmos valores para as funções trigonométricas Verifique o sinal da função. que o arco dado ao mesmo sinal. Editora Exato 13
- 7. 14. ARCOS COMPLEMENTARES - Eventualmente, a menor determinação de um arco deve ser reduzida ao 1º quadrante. Sejam α e β dois ângulos complementares ( α + β = 90º ) pertencentes ao 1º quadrante, então: 16. SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS Conhecendo os valores de senos, cossenos e senα = cos β tangentes dos ângulos notáveis, podemos calcular es- sas razões para alguns ângulos não notáveis. Exemplos: Veremos, então, algumas expressões que nos 1 1 permitem encontrar o seno, o cosseno e a tangente de sen30º = e cos 60º = , portanto: 2 2 um arco, transformando-o em uma soma ou uma di- ferença de arcos. Dados dois arcos α e β, temos: sen30 = cos 60º sen (α + β) = sen α . cos β + sen β . cos α sen (α – β ) = sen α . cos β – sen β . cos α em que 30º e 60º são arcos complementares. cos (α + β) = cos α . cos β – sen α . sen β Observação: cos (α – β) = cos α . cos β + sen α . sen β tgα + tgβ Utilizando as relações fundamentais e as fun- tg (α + β) = 1 − tgα.tgβ ções inversas, concluímos que essa mesma relação é tgα − tgβ válida também para as demais funções trigonométri- tg (α − β) = cas. Assim: 1 + tgα.tgβ senα = cos β Condição de existência da tangente: Se α + β = 90º tgα = cot gβ α, β ≠ + kπ rad. π sec α = cos sec β [ 2 15. MENOR DETERMINAÇÃO DE UM AR- 17. ARCO DUPLO CO Estas expressões nos permitem encontrar o se- Um arco, cujo valor ultrapassa 360º, é repre- no, o cosseno e a tangente de arcos que medem o do- sentado, na circunferência trigonométrica, por um bro de um arco α dado. certo número de voltas múltiplo de 360º e outro nú- sen 2α = 2 sen α . cos α mero menor que 360º, que é a menor determinação cos 2α = cos 2 α − sen 2 α deste arco. 2tgα Veja, como exemplos, os arcos de 750º e 390º. tg 2α = 1 − tg2α 750º = 720º + 30º cos 2α = 2 cos2α – 1 ou cos 2α = 1 – 2 sen2 α 2.360º M.D. (2 voltas) (menor determinação) Observe como se calcula a menor determina- ção: 750º 360º 30º (2 voltas) 390º = 360º + 30º 1. 360º M.D. (1 volta) (menor determinação) Observação: - Os arcos de 390º e 750º são denominados ar- cos côngruos a 30º, porque suas menores determina- ções são iguais. - Se o arco for negativo e maior que 360º, pro- cedemos da mesma forma e somamos a menor de- terminação (negativa) com 360º. Editora Exato 14
- 8. EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o 1 Encontre x, na figura abaixo: rio. A direção de seu deslocamento forma um ân- B gulo de 120º com a margem do rio. B 8cm x 60m 120º 30º A C A Resolução: Sendo a largura do rio 60m, a distância, em me- Cateto oposto ao ângulo 30º=x (hipotenusa) tros, percorrida pelo barco foi de: h=8cm (maior lado). a) 40 2 co senθ = b) 40 3 h x c) 45 3 sen 30º = (vide tabela de valor do sen 30º) d) 50 3 8 1 x e) 60 3 = →x =4 2 8 2 (UFPA) Num triângulo retângulo ABC tem-se 2 Encontre x na figura abaixo: ˆ A = 90 , AB=45 e BC=6. Pede-se a tangente do ângulo B. A 11 a) 5 11 x b) 5 6 c) 60º 5 C B 5 5m d) 11 Resolução: 6 e) X = cateto adjacente 5 x cos θ = (vide tabela cos60º) 5 1 x 3 (AAP) Um arame de 18 metros de comprimento = → x = 2,5 é esticado do nível do solo (suposto horizontal) 2 5 ao topo de um poste vertical. Sabendo que o ân- gulo formado pelo arame com o solo é de 30º, calcule a altura do poste. a) 18m. b) 36m. c) 9m. d) 4,5m. e) Nenhuma. Editora Exato 15
- 9. 4 (UNISANTOS) Uma pessoa na margem de um 9 (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro rio vê, sob um ângulo de 60º, uma torre na mar- dos minutos de um relógio em 50 minutos? gem oposta. Quando ela se afasta 40m, esse ân- a) 16π gulo é de 30º. A largura do rio é: 9 a) 5m 5π b) b) 10 3m 3 c) 20m 4π c) d) 20 3m 3 e) Nenhuma. 10π d) 3 7π e) 5π 3 5 Converta em graus: 3 a) 450º tgx cos2 x b) 320º 10 Simplifique a expressão y = ⋅ cot gx sen2 x c) 300º d) 270º a) sen2x e) 250º b) 1 c) sen2x.cos2x d) cos2x 6 Converta 15º em radianos: e) tg2x π a) rad 10 π 11 (PUC) O valor numérico da expressão b) rad 12 2π π c) rad y = cos 4x + sen2x + tg2x − sec 4x para x = é: 15 2 π d) rad a) 0 d) 3 13 π b) 1 e) 4 e) rad c) 2 7 7 (ITA) Transformando 12º em radianos, obtemos: 12 (FGV) Simplificando a expressão π a) rad cos2 x − cot gx 15 , obtemos: 15 sen2 x − tgx b) rad π π a) sec2x c) 30 b) sen2x 2π c) tg2x d) rad 15 c) cos2x e) 12rad d) cos2x e) cotg2x 8 (PUC) Dê o menor ângulo formado pelos pontei- ros de um relógio às 12 horas e 15 minutos. 13 Reduza tg300º ao 1º quadrante: a) 90º a) cotg 30º b) 85 b) tg 60º c) 82º30’ c) –tg60º d) 80º d) cotg30º e) 136º e) Nenhuma. Editora Exato 16
- 10. 14 (UFPA) A menor determinação positiva de um GABARITO arco de 1000º é: a) 270º 1 B b) 280º c) 290º 2 B d) 300º 3 C e) 310º 4 C 5 A 15 O valor de sen70º é: a) sen20º 6 B b) tg20º 7 A c) –sen20º d) –cos20º 8 C e) cos20º 9 B 10 A 2π 16 Sendo x = , calcule o valor da expressão 11 B 3 3 cos x − 2senx + tg2x 12 D y= . tgx − 2sen2x + cos 4x 13 C a) –3 b) 3 14 B c) 3/2 15 E d) 3/4 e) –3/4 16 C 17 C 17 (PUC) O valor de sen1200º é igual a: 18 B a) cos60º b) –sen60º c) cos30º d) –sen30º e) cos45º 3 12 18 Sabendo que senx = e seny = , com x, y ∈ 1º 5 13 quadrante. Determine o valor de cos ( x − y ) : 65 a) 53 56 b) 65 56 c) − 65 63 d) 65 e) Nenhuma. Editora Exato 17