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Modelagem Matemática e Seqüências Didáticas:
uma relação de complementaridade

Mathematical Modelling and Didactics
Sequences: a relationship of complementarity

Pedro Augusto Pereira Borges1
Cátia Maria Nehring2

Resumo

A Modelagem Matemática tem sido apresentada na literatura como uma eficiente forma
de contextualização dos conceitos matemáticos escolares e possibilidade de o aluno
vivenciar a experiência de pesquisador. Porém o uso da modelagem como método de
ensino de Matemática ainda apresenta questões a serem esclarecidas do ponto de vista
educacional. Este artigo discute o ensino gerado pela modelagem, através da análise de
duas formas de uso desta: como parte de uma seqüência didática e como uma seqüência
didática gerada a partir de um problema real. As conclusões consideram que o ensino
gerado por seqüências didáticas de modelagem é: integrador de conceitos e desenvolve
a habilidade de associar os conceitos matemáticos às situações reais; o ensino é, de
modo geral, incompleto com relação à aprendizagem dos conteúdos planejados,
necessitando de outras seqüências didáticas; e a modelagem, complementada com
seqüências didáticas, contribui para uma aprendizagem mais significativa, sem perder
sua característica de investigação de problemas.

Palavras-Chave: Modelagem Matemática no Ensino. Engenharia Didática. Ensino de
Matemática.

1
Mestre em Educação (UNICAMP) e em Modelagem Matemática (UNIJUI); Doutor em Engenharia
Mecânica (UFRGS). Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul/UNIJUI,
DeFEM, Rua São Francisco, 501, C.P. 560 , 98700-000, Ijuí,RS, e-mail.pborges@unijui.edu.br.
2
Mestre e doutora em Educação (UFSC). Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio
Grande do Sul/UNIJUI, DeFEM, Rua São Francisco, 501, C.P. 560 , 98700-000, Ijuí,RS, e-mail.
catia@unijui.edu.br.

132 Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147

Abstract

The mathematical modelling has been presented in literature as an efficient way of
contextualizing of elementary mathematical concepts, and as a possibility to the students
living a researcher experience. But its use as a mathematic teaching method still presents
questions to be explained from the educational point of view. This article analyses two
kinds of use of modelling on the teaching, and treats the possible teaching results: as a
part of a didactic sequence and as a didactic sequence generated from a real problem.
The conclusions consider that the teaching resultant of didactic sequences of modelling
is: an integrator of concepts and develops the ability to associate the mathematical
concepts to the real situations; the teaching is, in a general analysis, incomplete when
relationed to the learning of planned contents, needing other didactics sequences; and
the modelling, when is complemented with didactic sequences, contributes to a more
significant learning, without losing its characteristic of investigation of problems.

Keywords: Mathematical Modelling at Teaching. Didactic Engineering. Mathematics
Teaching.

Introdução

A Modelagem Matemática no Ensino tem sido discutida por
pesquisadores, tais como D’Ambrósio (1993), Bassanezi (2002), Barbosa
(1999 e 2001), Biembengut (1999) e Bean (2001), e é consenso a sua
eficiência na função de significar os conhecimentos matemáticos escolares,
associando esses a problemas reais e com isso levando os alunos a conhecerem
qualificadamente partes da realidade. Um modo de a Matemática escolar
estar engajada na formação do cidadão de modo geral (e não somente formar
cientistas da área das ciências exatas) é relacionar seus conteúdos com
problemas reais, além dos seus próprios. A Modelagem Matemática dá conta
desse relacionamento. Talvez mais do que isso. D’Ambrósio (1993) enfatiza
a propriedade da Modelagem Matemática (ou da Etnomatemática, pois esta
utiliza a Modelagem Matemática) de qualificar a reflexão sobre a realidade
com o instrumental matemático, tornando a ação do cidadão sobre a sociedade
diferenciada de outras ações. A resolução de problemas reais usando a
Modelagem Matemática como instrumento é um procedimento de pesquisa,
com coleta e análise de dados, avaliações, cálculos, comparação de resultados,

Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147 Modelagem Matemática... 133

que melhora consideravelmente a qualidade das decisões e das ações do
cidadão sobre a realidade.
A prática da modelagem nas escolas ainda apresenta questões que
necessitam estudos mais detalhados, tais como: a aceitação do método3 pelos
professores (BARBOSA, 2001); as dificuldades em problematizar os objetos
de estudo; a associação da realidade com as estruturas matemáticas; o
relacionamento entre os conteúdos envolvidos no modelo e os do plano de
ensino; a verificação de como o processo de modelagem contribui para a
aprendizagem da matemática; etc. A prática da modelagem no ensino
(BORGES, 2003) mostra claramente que uma seqüência de modelos leva à
repetição de alguns conteúdos e à negligência de outros. Com relação ao
Ensino Fundamental, conforme Borges (2003), os conteúdos associados a
proporções repetem-se demasiadamente, enquanto que os de álgebra e
operações com números irracionais praticamente não aparecem nos modelos
produzidos por alunos da disciplina de Modelagem Matemática de um curso
de licenciatura. Esse fato leva a pensar que a modelagem como único recurso
didático, apresenta dificuldades para ensinar determinados conteúdos e repete
demasiadamente outros, fazendo uso indevido do tempo escolar.
A Modelagem Matemática, como atividade científica, é um método
de pesquisa que objetiva encontrar soluções eficientes para problemas reais.
Os praticantes dessa modelagem são, em geral, pesquisadores pós-graduados
com formações diversas (matemáticos, físicos, engenheiros,...), com razoável
conhecimento matemático para modelar em suas áreas de especialidades,
mas que também precisam investir tempo de estudo em tópicos de matemática
desconhecidos ou relativos ao assunto a ser modelado. A transposição dessa
modelagem para o ensino mantém o mesmo objetivo de investigação e
acrescenta a função de ensinar matemática. Uma pergunta muito comum dos
professores que estão conhecendo a modelagem é: Como os alunos podem
resolver um problema com conteúdos que ainda não sabem? Essa dificuldade
é superada com a pesquisa dos conceitos necessários em alguma fonte: livros,
intervenção do professor, atividades de ensino, etc. É o momento da
3
Neste artigo é admitido que a modelagem é um método de ensino de Matemática, porque o
modelador tem acesso ao conhecimento matemático, cria, revisa, amplia a compreensão e exercita
o uso desses na prática da modelagem.


intervenção do professor, com a intencionalidade de ensinar um conceito
matemático. Depois do conceito aprendido, ao menos em um nível que
possibilite usá-lo, os alunos voltam aos problemas da modelagem. Dessa forma,
a aprendizagem dos conceitos matemáticos ocorre em atividades de ensino
paralelas às ações da modelagem, o que leva a concluir, provisoriamente, que
na modelagem propriamente não há aprendizagem de matemática. Há apenas
a contextualização. Isso é verdade? Ou a modelagem contribui para o ensino
dos conceitos matemáticos? Nesse caso, quais são as características da
aprendizagem gerada pela modelagem? Essas constatações e questões
mostram a importância de analisar a Modelagem Matemática no ensino,
primeiro quanto à natureza do processo ensino-aprendizagem e, segundo,
quanto ao tipo de aprendizagem decorrente da sua utilização.
A Engenharia Didática é um método de pesquisa que concentra seu
campo de análise nas ações e nos meios da ação sobre o sistema de ensino
como um processo empírico e conduz a investigação sobre as ações de ensino
com particular cientificidade (Chevallard apud ARTIGUE, 1996). Esse método
de pesquisa considera o aluno com sua capacidade cognitiva, os interesses
pessoais, a criatividade e um conjunto de influências sociais e políticas
manifestadas nos conteúdos e procedimentos escolares que conectam escola
e sociedade. Essa compreensão global do processo educacional, segundo
Machado (1999), é considerada ao propor as ações de ensino na forma de
seqüências didáticas que auxiliam os pesquisadores a detalhar os passos do
ensino e a identificar os momentos em que ocorre a aprendizagem. Entendendo
que os procedimentos de pesquisa da Engenharia Didática podem ser usados
no planejamento do ensino de conceitos matemáticos na forma de situações
didáticas, estas podem complementar a modelagem, compondo um processo
de ensino com aprendizagens significativas?
Para resolver essa questão, foram analisados neste trabalho dois
planejamentos de ensino4 que utilizam a modelagem associada às seqüências
didáticas: na primeira, a modelagem de um problema é uma das situações de

4
Esses planejamentos de ensino constituem o objeto de análise da investigação deste trabalho e,
como planejamentos, são teóricos e passíveis de modificações. Portanto, não são o único caminho
para o ensino dos conteúdos propostos. São atividades de ensino que mostram formas possíveis de
utilizar a modelagem.


uma seqüência didática, com a função de contextualizar conceitos introduzidos
com outras situações; na segunda, a modelagem é uma ação dos alunos sobre
um problema, que gera uma seqüência didática com situações de ensino sobre
os conteúdos necessários para resolver o problema modelado. São discutidas
as características dessas seqüências e do que foi ensinado/aprendido sob a
ótica do conceito de aprendizagem significativa de Ausubel (1976).

Engenharia Didática, Aprendizagem Significativa e conteúdos mínimos
de matemática

A Engenharia Didática5 é caracterizada, em Pais (2001), por um
trabalho didático que compreende cinco passos básicos: 1º) A análise
preliminar, que caracteriza os sujeitos, as condições da realidade onde será
realizado o ensino; 2º) A análise a priori, que define as variáveis globais e
locais e a concepção de seqüências didáticas com base nos dados da análise
preliminar e no conhecimento que o professor possui sobre a Matemática e
sobre o processo ensino-aprendizagem; 3º) A aplicação da seqüência
didática, que consiste na ação de ensino, devidamente acompanhada com a
observação da ação dos sujeitos; 4º) A análise a posteriori, que trata das
informações coletadas com as observações da aplicação da seqüência didática
e 5º) A validação, que faz a confrontação entre as análises a priori e a
posteriori.
É importante observar que o momento no qual ocorre a aprendizagem,
dentro do trabalho de Engenharia Didática, é no terceiro passo, quando são
aplicadas as seqüências didáticas. Essas seqüências são compostas por
situações didáticas, que refletem a intencionalidade do professor em fazer
com que os alunos se apropriem de um determinado conhecimento matemático.
Tal intencionalidade se efetiva na forma de atividades organizadas e orientadas
de acordo com a análise a priori. Ou seja, o professor terá que escolher uma
concepção de aprendizagem (diretiva ou não-diretiva, tradicional ou
5
Em Artigue (1996, p.201), o trabalho didático é comparado “[...] ao trabalho do engenheiro que,
para realizar um projeto preciso, se apóia sobre conhecimentos científicos de seu domínio, aceita
submeter-se a um controle tipo científico, mas, ao mesmo tempo, se vê obrigado a trabalhar objetos
bem mais complexos que os objetos depurados da ciência e portanto a enfrentar praticamente, com
todos os meios que dispõe, problemas que a ciência não quer ou não pode levar em conta”.


construtivista) e propor atividades que a promovam. A natureza da seqüência
didática organizada em diversas situações didáticas é que caracteriza o tipo
de processo ensino-aprendizagem, e não a Engenharia Didática de modo geral.
Esta garante a efetivação da aprendizagem, quando realizados os passos quatro
e cinco. Seqüências com situações de pesquisa bibliográfica e aulas expositivas
podem levar ao aprendizado do mesmo conceito obtido com seqüências
compostas por situações didáticas que usam materiais concretos, experimentos
e aquisição de conceitos via seminários, ou por aquelas que utilizam estudo
dirigido, desenvolvendo diferentes habilidades lógicas e atitudes diante das
dificuldades inerentes ao aprendizado.
A Engenharia Didática tem, na sua concepção, a objetividade do ato
de ensinar, característico da escola formal6 e seus processos, assegurando
que a aprendizagem se efetive. Como a aprendizagem é o objetivo do ensino,
é necessário definir (e isso deve ser feito na análise a priori da Engenharia
Didática) o que se entende por aprendizagem. Neste trabalho será adotado o
conceito de aprendizagem significativa de Ausubel (1976) como ponto de
partida. Segundo esse autor, uma aprendizagem significativa ocorre quando o
aprendiz atribui algum significado aos conceitos, variáveis e símbolos que lhe
foram ensinados. Ou seja, a aprendizagem significativa é um processo através
do qual uma nova informação (um novo conhecimento) se relaciona de maneira
não-arbitrária e substantiva (não-literal) à estrutura cognitiva do aprendiz. É
no curso da aprendizagem significativa que o significado lógico do material de
aprendizagem se transforma em significado psicológico para o sujeito
(MOREIRA, 1999). Qual é o sentido dessa definição no processo ensino-
aprendizagem da matemática?
A definição de Ausubel (1976) pode ser detalhada qualificando o tipo
de significado a ser atribuído aos conceitos, variáveis e símbolos matemáticos:
significados internos e externos à matemática. Os internos são significados
que os conceitos, variáveis e símbolos possuem em um contexto dentro da
própria Matemática. Por exemplo, as letras “a” e “b” podem ter diferentes

6
O termo “escola formal” é usado neste texto com referência à escola organizada em séries ou
ciclos, com conteúdos separados em disciplinas e o ensino gerenciado por professores. O processo
de ensino-aprendizagem que ocorre na escola formal difere do processo da escola natural, onde o
aluno aprende por observação/convivência com o pai, ou o aprendiz com o mestre-artesão.


sentidos dependendo do contexto: em uma função linear y = ax + b são
coeficientes que definem a posição particular de retas no plano; na fração a/b
são números inteiros que representam a relação entre as partes do inteiro e o
número de partes desse inteiro. Se o aluno reconheceu o sentido dessas letras
em cada estrutura matemática, ele lhes atribuiu significado matemático. Outros
significados internos também estão presentes nesse caso, como o
reconhecimento das estruturas de função e fração, dos símbolos de igualdade
e adição na função e de divisão na fração. Todos esses significados são internos
à Matemática. O significado geométrico da função linear e suas relações com
os parâmetros “a” e “b” também são significados internos, assim como a
verificação da propriedade das frações equivalentes (a n)/(b n) para n natural.
Os significados que os conceitos, variáveis e símbolos possuem em
um determinado contexto fora da Matemática são externos. Por exemplo, ao
associar as variáveis x e y à quantidade (massa) e ao custo final de areia
comprada por um consumidor, respectivamente, temos o parâmetro “a” o
preço de uma tonelada de areia e o parâmetro “b” o frete, obtendo a função
custo da areia y = ax+b. Esses parâmetros e variáveis adquirem um significado
externo à Matemática. O conceito de aprendizagem significativa de Ausubel
(1976), portanto, está fortemente vinculado à atribuição de um sentido lógico
dos conceitos matemáticos aos significados internos ou externos à Matemática.
Ou seja, a aprendizagem só é significativa quando o aluno atribui um sentido
lógico, coerente dentro de um contexto para um símbolo, conceito ou variável.

Na modelagem, os conteúdos ensinados são aqueles presentes nos
modelos trabalhados; por isso, esse processo de ensino não enfoca grande
parte dos conteúdos mínimos planejados para a aprendizagem da matemática
escolar. Em Borges (2003) e Barbosa (1999 e 2001), observa-se que alguns
conteúdos são mais trabalhados do que outros em situações de modelagem.
Isso gera um problema no uso da modelagem na escola, já que esta possui um
currículo pré-definido. A totalidade do conhecimento matemático em relação
aos conteúdos mínimos de cada série é definida pelas orientações dos
professores e dos órgãos de gerenciamento da educação (escolas, secretarias
e coordenadorias) para cada nível de escolaridade. Do ponto de vista da


socialização do conhecimento, a totalidade é um dos objetivos da educação
formal, pois a formação do aluno ficaria prejudicada se uma das operações
com números racionais, a divisão, por exemplo, não lhe fosse ensinada, mesmo
que essa operação não seja comum em aplicações. Limitar a oferta de
conteúdos às aplicações cotidianas, ou ao modelo estudado, pode causar
problemas na formação dos alunos que seguirão estudando na área das ciências
exatas. Haja vista que a modelagem não consegue cumprir com a propriedade
da totalidade do conhecimento matemático escolar, no sentido descrito acima,
as seqüências de situações didáticas poderiam ser uma possibilidade de resolver
esse problema.

A Modelagem Matemática e a Engenharia Didática

Para analisar a aprendizagem na modelagem e a complementação
com a Engenharia Didática foram desenvolvidas duas seqüências de situações
didáticas, nas quais a modelagem desempenha funções com objetivos didáticos
diferentes. Na primeira, a modelagem é parte de uma seqüência didática, com
a função de contextualizar conceitos introduzidos com outras situações didáticas
e, na segunda, a modelagem é uma seqüência didática gerada a partir da
necessidade de estudar um problema real e complementada com situações
didáticas que resolvem as questões de ensino dos conteúdos associados ao
problema real.

Modelagem matemática como parte de uma seqüência didática

O ensino da função linear para o primeiro ano do Ensino Médio pode
ser proposto (obviamente existem outras tantas alternativas) como uma
seqüência de situações didáticas com vistas a desenvolver a noção de
proporcionalidade, diferenciar variáveis proporcionais de não-proporcionais,
expressar a proporcionalidade como uma função, analisar o efeito dos
coeficientes da função e contextualizar a função linear, associando esta a
variáveis reais.


Situação 1 (S1)
Usando triângulos retângulos semelhantes, meça o comprimento do cateto
adjacente (X) e do cateto oposto (Y). Anote os dados em uma tabela onde as
colunas são os valores de X e Y. Coloque os dados da tabela em um gráfico
cartesiano.
É possível determinar o cateto adjacente de um triângulo retângulo semelhante
aos triângulos usados, sendo que o cateto oposto mede 100 m ?

Situação 2 (S2)
Calcule o perímetro de quadrados de lados x = 2, 4, 6, 8, ... cm. Anote os
dados em uma tabela onde as colunas são os valores de x e do perímetro P.
Coloque os dados da tabela em um gráfico cartesiano.
É possível determinar o perímetro de um quadrado de lado 100 m com base
na análise do comportamento das variáveis x e P?

Situação 3 (S3)
a) Calcule a área dos triângulos da Situação 1. Faça o gráfico do cateto
oposto em função da área.
b) Calcule a área dos retângulos da Situação 2. Faça o gráfico do lado dos
quadrados em função da área.
c) Usando círculos de raios diferentes calcule suas áreas. Faça o gráfico do
raio em função da área dos círculos.
Compare os gráficos obtidos nas Situações 1 e 2 com os da Situação 3.

Experimente criar um conceito de proporcionalidade, juntamente com seus
colegas e professor. Compare o conceito criado com os conceitos encontrados
em livros didáticos de 6ª série.

Situação 4 (S4)
Dados os conjuntos X={1,2,3,4,5,...}, Y1={1,2,3,4,5,...},
Y2={2,4,6,8,10,...} e Y3={3,6,9,12,15,..}
a) Forme pares ordenados com os elementos correspondentes do conjunto
X e do conjunto Y1 e faça um gráfico cartesiano.


b) Repita o procedimento (a) com os elementos de X e Y2 e com os elementos
de X e Y3.
c) Seria possível prever os elementos dos conjuntos Y1, Y2 e Y3 se o conjunto
X fosse X={9, 11, 13,...}.
d) Existe proporcionalidade entre os elementos dos conjuntos X e Y1, X e
Y2, X e Y3?

Situação 5 (S5)
a) Usando o conceito de proporcionalidade entre duas variáveis, escreva uma
fórmula que relacione duas variáveis proporcionais.
b) Teste sua fórmula com os valores das tabelas das Situações 1, 2 e 4.
Sua fórmula deveria funcionar para as variáveis da Situação 3? Explique sua
resposta.

Situação 6 (S6)
O custo da água potável vem sendo cada vez mais significativo no orçamento
das famílias urbanas. O desperdício de água pode estar em atividades cotidianas,
como lavar carros, calçadas e tomar banho.
Calcule o custo de banhos de 15 minutos para a torneira do chuveiro aberta
com ângulos de 90º, 180º, 270º, 360º e 450º. (A solução deste problema
necessita de experimentos para determinar a vazão de água para cada ângulo
de abertura da torneira).

Situação 7 (S7)
Existe uma relação proporcional entre as variáveis quantidade de água (Q) e
tempo (t)?
Faça fórmulas (funções) para relacionar a quantidade de água (Q) e o tempo
(t) para cada ângulo de abertura da torneira. Coloque as funções no mesmo
gráfico e compare as retas obtidas.
a) O que faz com que as retas tenham inclinações diferentes?
b) Retas horizontais ou verticais teriam sentido no problema?


Figura 1 – Modelagem Matemática como parte de uma seqüência didática.

A Figura 1 ilustra a seqüência de situações didáticas descrita, onde
somente a S6 é de Modelagem Matemática. Essa situação, como foi proposta,
tem características diretivas, indicando as ações do aluno e pré-formulando
um problema a ser investigado. Esse direcionamento é característico da forma
como a situação didática de modelagem é inserida na seqüência didática.
A S6 pode gerar outra(s) seqüência(s) didática(s) (S61 e S62), com a
finalidade de ensinar ou revisar conteúdos necessários para a modelagem
(medidas de ângulos, por exemplo). Neste caso, ter-se-ia uma Engenharia
Didática de seqüências não mais unidirecionais, mas em redes, imitando o
formato do sistema de raízes de uma planta, onde os ramos têm derivações e
intersecções, mesmo mantendo uma direção preferencial. Ou seja, conceitos
e habilidades desenvolvidas em uma seqüência didática podem ser retomados
em outras, formando uma rede integrada, descompartimentalizando o
conhecimento matemático.
A S6, nessa seqüência didática, tem apenas a função de aplicar o
conceito construído nas seqüências anteriores, mesmo que faça muito mais
do que isto: desenvolve a habilidade de trabalhar com experimentos (geração,
organização e análise de dados); aplica unidades de medida de capacidade,
ângulos e tempo; introduz o conceito físico de vazão; e leva o aluno a pensar
sobre um problema real contemporâneo e que, de alguma forma, tem
implicações com suas decisões pessoais. A modelagem, assim aplicada, integra
(do ponto de vista da didática), contextualiza conceitos e, ainda, pode ser
usada para enriquecer as seqüências didáticas.
A segunda parte da S3 e a S5 são situações didáticas sistematizadoras


das noções desenvolvidas nas situações S1, S2 e S4. Elas provocam o aluno
para tirar conclusões, escrever e testar resultados. É nessas situações que
ocorre a efetiva aprendizagem do conhecimento matemático, pois o aluno
registra as observações feitas nas atividades S1, S2 e S4 na forma de conceitos
escritos em linguagem matemática. Isso caracteriza um processo de
generalização e construção de conhecimento matemático. Na S6 ocorre a
aplicação dos mesmos conteúdos em contextos diferentes dos anteriores. Na
S7 é proposta a análise da relação entre a declividade das retas e o coeficiente
angular. Nesta atividade é feita a sistematização das noções desenvolvidas na
S6. Com isso, observa-se que a Modelagem Matemática também ensina
matemática, mesmo que sua mais forte potencialidade seja a aplicação.

A Modelagem matemática como uma seqüência didática

O ensino da função linear (assim como de outros conteúdos) pode
ser proposto através da Modelagem Matemática de um (ou mais de um)
problema, combinada com situações didáticas criadas especificamente para
ensinar conceitos que o aluno desconhece e que serão necessários para a
resolução dos problemas criados pela modelagem. As ações de estudo
(situações didáticas) vão sendo planejadas e elaboradas pelo grupo (professor
+ alunos) na medida em que há a necessidade de estudar determinado
conteúdo. Formas diretivas da Modelagem Matemática no ensino consideram
problemas já pesquisados e, com isso, o professor pode dispor de uma coleção
de situações didáticas para trabalhar determinados conteúdos que,
previamente se sabe, serão necessários para a modelagem.
A conservação da água é um tema atual e pode ser objeto de discussão
em uma classe de Ensino Médio. Considere-se que, com base em dados
coletados em jornais, internet e revistas, um grupo de alunos observou a
relevância do problema, pois a água é um bem fundamental para uma série de
processos vitais. Observou também que a poluição dos rios tem diminuído a
disponibilidade de água potável do planeta e que lavar carros, calçadas, tomar
banhos demorados, com torneiras abertas ao máximo é um desperdício, além
de um dano ecológico e, de alguma forma, é um problema associado à vida


de todos. Com o intuito de desenvolver ações que contribuam para diminuir o
problema, alunos e professor poderiam encaminhar uma pesquisa da seguinte
forma:

a) Pesquisar informações sobre o tratamento da água potável e sobre o
problema de conservação dos mananciais de água do planeta.
b) Calcular o custo de banhos de 15 minutos para a torneira do chuveiro
aberta com ângulos de 90º, 180º, 270º, 360º e 450º. (A solução deste problema
necessita de experimentos para determinar a vazão de água para cada ângulo
de abertura da torneira).
c) Com os resultados obtidos, programar estratégias para tomar banhos mais
econômicos e ecológicos.
d) Elaborar um problema de interesse da classe sobre o tema “economia da
água potável”, que demande alguma investigação quantitativa.

Com base em dados experimentais sobre a quantidade de água que
sai da torneira por unidade de tempo, pode-se calcular a quantidade de água
para qualquer tempo, usando regra de três ou função. Porém, para isso, os
alunos necessitam do conceito de proporcionalidade, que pode ser introduzido
com as situações didáticas S1 a S5, como ilustra a Fig. 2. Observa-se que,
nesse caso, o trabalho de modelagem é interrompido e os alunos realizam
seqüências didáticas que formarão os conceitos necessários para resolver o
problema do custo do banho de 15 minutos. Terminado o processo de
modelagem, as situações S4 e S7 poderiam ser aplicadas para estudar e
sistematizar o conhecimento sobre proporcionalidade e o coeficiente angular
da função linear.
A atividade de modelagem proposta poderia ser considerada uma
situação didática, porém com características não tão diretivas como as
apresentadas no primeiro exemplo da modelagem como parte de uma
seqüência didática. Uma pesquisa geral sobre o tema foi proposta (item (a))
para que os alunos reconheçam a importância do assunto. A elaboração prévia
de um problema (item (b)) pode ser usada, em modelagem, para objetivar o
estudo na direção de um conceito que se deseja ensinar, sem tolher a iniciativa


dos alunos, pois outros problemas poderão ser formulados, como sugerem
os itens (c) e (d).
Observa-se que a sistematização da aprendizagem de conhecimento
matemático ocorre efetivamente nas situações didáticas e não necessariamente
no processo de modelagem, mesmo que – como observado anteriormente –
a modelagem preste sua colaboração para a aprendizagem, dando motivação
para aprender proporcionalidade e função linear, produzindo dados sobre as
variáveis e fornecendo elementos para a observação da proporcionalidade.
Nesse exemplo, observa-se que as situações didáticas de sistematização
possibilitam ações de aprendizagem do conhecimento matemático, por isso
são didaticamente fundamentais, pois, durante a modelagem, a prioridade da
ação é a solução dos problemas e não propriamente a aprendizagem de
matemática.

Figura 2 – Passos da Modelagem Matemática associados às situações
didáticas em paralelo.

A complementaridade entre Engenharia Didática e Modelagem
Matemática

A modelagem ensina Matemática na medida em que produz dados
para a construção dos conceitos, exemplifica aplicações e pratica exercícios
(fixação). A modelagem também é um excelente recurso para contextualizar
os conteúdos de matemática e contribui com elementos para que a
aprendizagem significativa ocorra, pois oportuniza a associação dos conteúdos
aos significados externos à Matemática. Esses fatos foram ilustrados nas duas
seqüências apresentadas. No entanto, a modelagem, sem os momentos de


sistematização bem definidos, produz um ensino parcial dos conteúdos
escolares, em relação ao que foi conceituado como totalidade da aprendizagem,
neste artigo. Essa observação só tem sentido se for assumido que a totalidade
é um objetivo da educação democrática (no sentido de socializar o
conhecimento). Admitir como resultado da aplicação da modelagem somente
a aprendizagem do ato de modelar e o conhecimento da realidade (que, se
sabe, é bem limitado com os recursos matemáticos e computacionais
trabalhados na escola de Ensino Fundamental e Médio) é não cumprir com o
objetivo básico do ensino da matemática, que é ensinar Matemática.
Neste trabalho, as situações didáticas foram elaboradas com o objetivo
de suprir a necessidade de conhecimentos demandados pela modelagem.
Outras situações didáticas poderiam ser elaboradas com o objetivo de
aprofundar o conhecimento de propriedades e aplicações da função linear,
tais como paralelismo, perpendicularismo, intersecção de retas, etc., dando
conta da qualidade de totalidade do conhecimento matemático. Essas novas
situações didáticas podem envolver modelagem ou não. No entanto,
dificilmente todos os conteúdos poderão ser aprendidos a partir de uma
investigação, devido aos problemas de tempo e disponibilidade de aplicações
significativas. Nessa concepção de modelagem associada com seqüências
didáticas, o planejamento de algumas situações didáticas mais diretivas
resolveria o problema da totalidade, provavelmente com economia de tempo
escolar.
As situações didáticas resolvem os problemas de ensino-
aprendizagem em um nível microdidático. Ocupam-se das complementações
na construção dos conceitos, das sínteses e das sistematizações necessárias
para a organização do aprendizado escolar, que a modelagem não contempla
totalmente. O desafio do professor é criar uma seqüência didática que leve o
aluno à aprendizagem de determinados conceitos matemáticos. Esta
preocupação não é tão central na modelagem. Entende-se que sua centralidade
é a busca de significação externa para os conteúdos de matemática. Porém,
se a modelagem for complementada com seqüências didáticas adequadamente
planejadas, pode se constituir em um processo de ensino eficiente (no sentido
de ensinar matemática) e abrangente (no sentido de trabalhar aspectos da


realidade na escola, contribuindo efetivamente para a formação do cidadão).
A modelagem dá uma característica não-linear às seqüências didáticas
na medida em que faz ligações entre diferentes conceitos, provocando a
necessidade de novas seqüências (retomar as Situações S6, S61 e S62). Essa
dimensão interligada de relações conceituais tem característica de rede de
seqüências didáticas, planejadas integradamente com o processo de
modelagem. Como podemos observar em S1, S2 e S3, os conceitos de
geometria são usados para trabalhar proporcionalidade e contribuem para a
sistematização do conhecimento de função linear.

Considerações Finais

As seqüências didáticas apresentadas nesse trabalho mostram que a
modelagem contribui para a aprendizagem, fornecendo elementos para a
construção dos conceitos matemáticos. Porém, sua característica principal no
processo ensino-aprendizagem é a de contextualizar o conhecimento. Ao fazer
isso, ela qualifica a aprendizagem, pois leva o aluno a atribuir significados
reais aos conceitos matemáticos, tornando a compreensão dos conceitos mais
efetiva e abrangente do que em seqüências com significados estritamente
internos à matemática.
A utilização da modelagem no ensino, associada às seqüências
didáticas, pode proporcionar melhores resultados, em relação a sua concepção
original como método essencialmente investigativo, considerando a estrutura
da escola formal (horários, conteúdos mínimos, seriação,...), porque se torna
um método mais diretivo (no sentido que direciona e sistematiza a
aprendizagem) sem perder sua característica investigativa. No entanto, a
redução da Modelagem Matemática a Seqüências Didáticas lineares,
simplesmente com o objetivo de contextualizar conceitos tenderia para simples
ilustrações e se descaracterizaria como processo de modelagem, pois perde
o caráter investigativo. No entanto, se forem admitidas seqüências na direção
dos problemas modelados, forma-se a rede de seqüências, que gera um ensino
integrado (pois vários conceitos serão estudados no mesmo assunto de
modelagem) e uma aprendizagem significativa (pois os significados são dados


pelas próprias situações didáticas e pela associação aos problemas reais
investigados).

Referências

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Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 193-218.

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Aprovado em fevereiro de 2008
Submetido em abril de 2007


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