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Resistência dos Materiais
Aula 6 – Estudo de Torção,
Transmissão de Potência e Torque
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Definição de Torque
Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Torque é o momento que
tende a torcer a peça em
torno de seu eixo
longitudinal. Seu efeito é de
interesse principal no
projeto de eixos ou eixos de
acionamento usados em
veículos e maquinaria.

Deformação por Torção

Equação da Torção
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um
torque interno correspondente no interior do eixo.
A equação da torção relaciona o torque interno com a
distribuição das tensões de cisalhamento na seção
transversal de um eixo ou tubo circular.
Para material linear-elástico aplica-se a lei de Hooke.
γ
τ ⋅
= G
onde: G = Módulo de rigidez
γ = Deformação por cisalhamento

Equação da Torção
J
c
T
máx
⋅
=
τ
onde:
τ = Tensão de cisalhamento no eixo
T = Torque interno resultante que atua na
seção transversal
J = Momento de inércia polar da área da seção
transversal
c = Raio externo do eixo
ρ = Raio medido a partir do centro do eixo
J
T ρ
τ
⋅
=

Dimensionamento de Eixo Sólido
∫ ⋅
=
A
dA
J 2
ρ ( )
∫ ⋅
⋅
⋅
⋅
=
c
d
J
0
2
2 ρ
ρ
π
ρ
∫ ⋅
⋅
=
c
d
J
0
3
2 ρ
ρ
π
c
J
0
4
4
2 ρ
π ⋅
⋅
=
2
4
c
J
⋅
=
π
Momento de inércia polar:

Falha na Torção

Dimensionamento de Eixo Tubular
( )
2
4
4
i
e c
c
J
−
⋅
=
π

Exercício 1
1) O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e diâmetro
externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o
apoio em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de
cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao
longo da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao
torquímetro.

Solução do Exercício 1
Torque interno: É feito um corte na localização
intermediária C ao longo do eixo do tubo, desse
modo:
∑ = 0
y
M
0
2
,
0
80
3
,
0
80 =
−
⋅
+
⋅ T
40
=
T Nm
( )
2
4
4
i
e c
c
J
−
⋅
=
π

( )
2
04
,
0
05
,
0 4
4
−
⋅
=
π
J
6
10
8
,
5 −
⋅
=
J m4
J
c
T
máx
⋅
=
τ
Tensão de cisalhamento:
6
10
8
,
5
05
,
0
40
−
⋅
⋅
=
máx
τ
6
10
344
,
0 ⋅
=
máx
τ
344
,
0
=
máx
τ
Na superfície interna:
6
10
8
,
5
04
,
0
40
−
⋅
⋅
=
i
τ
J
c
T i
i
⋅
=
τ
6
10
276
,
0 ⋅
=
i
τ
276
,
0
=
i
τ
Pa
Pa
MPa
MPa

Transmissão de Potência
Eixos e tubos com seção
transversal circular são
freqüentemente empregados
para transmitir a potência
gerada por máquinas. Quando
usados para essa finalidade,
são submetidos a torque que
dependem da potência gerada
pela máquina e da velocidade
angular do eixo.

Definição de Potência
A potência é definida como o
trabalho realizado por unidade
de tempo:
dt
d
T
P
θ
⋅
=
Onde:
T = Torque aplicado
dθ = Ângulo de rotação
dt
dθ
ω =
ω
⋅
= T
P
Sabe-se que a
velocidade angular do
eixo é dada por:
Portanto:
No SI, a potência é expressa em watts
1W = 1Nm/s

Relação Potência-Freqüência
No caso da análise de máquinas e
mecanismos, a freqüência de rotação
de um eixo, é geralmente conhecida.
Expressa em hertz (1Hz = 1 ciclo/s),
ela representa o número de revoluções
que o eixo realiza por segundo.
T
f
P ⋅
⋅
⋅
= π
2
f
⋅
⋅
= π
ω 2
Portanto, a equação da potência pode
ser escrita do seguinte modo:
Como 1 ciclo = 2π rad,
pode-se escrever que:

Dimensionamento de Eixos
Quando a potência transmitida por um
eixo e sua rotação são conhecidas, o
torque no eixo pode ser determinado.
Conhecendo-se o torque atuante no
eixo e a tensão de cisalhamento do
material é possível determinar a
dimensão do eixo a partir da equação
da torção da seguinte forma:
adm
T
c
J
τ
=
Para eixo maciço:
2
4
c
J
⋅
=
π
2
)
(
4
4
i
e c
c
J
−
⋅
=
π
Para eixo tubular:

Exercício 2
2) Um eixo tubular de diâmetro interno de 30 mm e diâmetro externo de 42 mm é
usado para transmitir 90 kW de potência. Determinar a freqüência de rotação do
eixo de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 50 MPa.

J
c
T
máx
⋅
=
τ
Solução:
O torque máximo que pode ser
aplicado ao eixo é determinado
pela equação da torção: c
J
T máx ⋅
=
τ
2
)
(
4
4
i
e c
c
J
−
⋅
=
π
Para eixo tubular:

Portanto:
c
c
c
T
i
e
máx
2
)
(
4
4
−
⋅
⋅
=
π
τ
021
,
0
2
)
015
,
0
021
,
0
(
10
50
4
4
6 −
⋅
⋅
⋅
=
π
T
538
=
T Nm
A partir da equação da freqüência:
T
f
P ⋅
⋅
⋅
= π
2
T
P
f
⋅
⋅
=
π
2
538
2
10
90 3
⋅
⋅
⋅
=
π
f
6
,
26
=
f Hz

Exercícios Propostos
1) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques
aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida
nos pontos C e D do eixo.

2) O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm. Determinar a tensão de
cisalhamento máxima absoluta nele desenvolvida e traçar o gráfico da distribuição
cisalhamento-tensão ao longo de uma reta radial onde o cisalhamento é máximo.
Considerar T1 = 20 Nm.

3) O eixo de aço está submetido à carga de torção mostrada. Determinar a tensão
de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B e desenhar o gráfico da tensão de
cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. O eixo onde A e
B estão localizados tem raio externo de 60 mm.

4) O acoplamento é usado para acoplar dois eixos. Supondo que a tensão de
cisalhamento nos parafusos seja uniforme, determinar o número de parafusos
necessários para que a tensão de cisalhamento máxima no eixo seja igual à tensão
de cisalhamento nos parafusos. Cada parafuso tem diâmetro d.

5) A bomba opera com um motor que tem potência de 85 W. Supondo que o
impulsor em B esteja girando a 150 rpm, determinar a tensão de cisalhamento
máxima desenvolvida em A, localizada no eixo de transmissão que tem 20 mm de
diâmetro.

Próxima Aula
Estudo de Torção.
Ângulo de Torção.
Distorção.

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