![RETA TANGENTE À
CURVA
y = f (x), no ponto
P ( a, f (a) ), pode ser
considerada como sendo a
reta que passa por P e
possui inclinação m
m= lim [f ( a + h) - f(a)] /h
h 0
Pela definição de Derivada:
f ’ (a) = lim [f ( a + h) - f(a) ]/h
h 0
4](https://image.slidesharecdn.com/derivadacomotaxadevariacao2-120620195732-phpapp02/85/Derivada-como-taxa-de-vari-aca-o2-4-320.jpg)
![EXEMPLO: ENCONTRE A DERIVADA DA FUNÇÃO:
f (x) = x2 - 8x + 9, NO PONTO P(a, f(a))
Pela definição:
f ’ (a) = lim [f ( a + h) - f(a) ]/h =
h 0
x = a + h, então:
lim[ ( a + h )2 – 8 ( a + h ) + 9 – ( a2 -8a + 9 ) ]/ h =
Lim [a2 + 2ah + h2 – 8a - 8h + 9 – a2 + 8a -9 ] /h
Lim [2ah + h2 – 8h ]/ h = lim [h( 2a + h – 8)] /h =
5](https://image.slidesharecdn.com/derivadacomotaxadevariacao2-120620195732-phpapp02/85/Derivada-como-taxa-de-vari-aca-o2-5-320.jpg)
![f(x) - f(a)
lim , sendo f (x) = x 2 - 8x + 9, NO PONTO P(a, f(a))
x-a
x→a
x 2 - 8x + 9 - (a 2 -8a+9) x 2 - 8x + 9 - a 2 +8a-9
f '(x) = lim = lim =
x-a x-a
x→a
x 2 - a 2 - 8x +8a + 9 -9 (x+a)(x-a) - 8x +8a
lim = lim
x-a x-a
(x+a)(x-a) - 8(x -a) (x-a)[(x+a) - 8]
= lim = lim = lim [(x+a) - 8] = 2a − 8
x-a (x-a)
x→a x→a x→a
Resp: 2a-8
7](https://image.slidesharecdn.com/derivadacomotaxadevariacao2-120620195732-phpapp02/85/Derivada-como-taxa-de-vari-aca-o2-7-320.jpg)
Derivada como taxa de vari aca o2
- 1. DERIVADA A Derivada de uma função f pode ser interpretada como: 1- Uma função cujo valor em x é a Inclinação da Reta Tangente ao gráfico de y = f(x) em x, ou 2- Uma função cujo valor em x é a taxa instantânea de variação de y em relação à x, no ponto x. 1
- 2. INTERPRETAÇÃO DA DERIVADA COMO A INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE Profa. Rosana G. S. Miskulin 2
- 3. f(x) - f(a) lim x-a x→a m 3
- 4. RETA TANGENTE À CURVA y = f (x), no ponto P ( a, f (a) ), pode ser considerada como sendo a reta que passa por P e possui inclinação m m= lim [f ( a + h) - f(a)] /h h 0 Pela definição de Derivada: f ’ (a) = lim [f ( a + h) - f(a) ]/h h 0 4
- 5. EXEMPLO: ENCONTRE A DERIVADA DA FUNÇÃO: f (x) = x2 - 8x + 9, NO PONTO P(a, f(a)) Pela definição: f ’ (a) = lim [f ( a + h) - f(a) ]/h = h 0 x = a + h, então: lim[ ( a + h )2 – 8 ( a + h ) + 9 – ( a2 -8a + 9 ) ]/ h = Lim [a2 + 2ah + h2 – 8a - 8h + 9 – a2 + 8a -9 ] /h Lim [2ah + h2 – 8h ]/ h = lim [h( 2a + h – 8)] /h = 5
- 6. PELA DEFINIÇÃO DE DERIVADA TEMOS QUE: f’(x)= f(x) - f(a) lim x-a x→a EXEMPLO: ENCONTRE A DERIVADA DA FUNÇÃO: f (x) = x2 - 8x + 9, NO PONTO P(a, f(a)) 6
- 7. f(x) - f(a) lim , sendo f (x) = x 2 - 8x + 9, NO PONTO P(a, f(a)) x-a x→a x 2 - 8x + 9 - (a 2 -8a+9) x 2 - 8x + 9 - a 2 +8a-9 f '(x) = lim = lim = x-a x-a x→a x 2 - a 2 - 8x +8a + 9 -9 (x+a)(x-a) - 8x +8a lim = lim x-a x-a (x+a)(x-a) - 8(x -a) (x-a)[(x+a) - 8] = lim = lim = lim [(x+a) - 8] = 2a − 8 x-a (x-a) x→a x→a x→a Resp: 2a-8 7
- 8. EXEMPLO: ENCONTRE A DERIVADA DA FUNÇÃO: f (x) = x2 - 8x + 9, NO PONTO P(a, f(a)) f (x) = x2 - 8x + 9, no ponto P(a, f(a)) f ’(x) = 2x - 8 , no ponto P(a, f(a)) f ’(x) = 2a- 8 8
- 9. EXEMPLO 2 ENCONTRE A EQUAÇÃO DA RETA tangente à PARÁBOLA y = x2 – 8x + 9, no ponto P (3, -6). Como no ex. anterior, a derivada da função f , no ponto a é f ’ (a) = m = lim f ( a + h) - f(a) /h = 2a-8 h 0 PORTANTO, A INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE EM (3, -6 ) É: f ’ (x) = f’ (3) = 2 . 3 – 8 = 6 – 8 = m=-2 PORTANTO, A EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE É: y – f (a) = f’ (a) . (x – a) No ponto (3, -6) y – (-6) = f ’ (a) (x –a) y +6 = -2 (x – 3) = y + 6 = -2x +6 y = -2x 9
- 10. 10
- 11. INTERPRETAÇÃO DA DERIVADA COMO A TAXA INSTANTANEA de VARIAÇÃO EXEMPLO: Para uma motocicleta viajando a uma velocidade v milhas /h quando é freada, a distância d (em pés) necessária para parar a motocicleta pode ser aproximada da fórmula d = 0,05v2 + v . Encontre a taxa de variação instantânea da distância em relação à velocidade, quando a velocidade for 49 milhas/h. Profa. Rosana G. S. Miskulin 11
- 12. Resolução: d = 0,05v2 +v a taxa de variação instantânea da distância em relação à velocidade = derivada = d’= 2. (0,05) v +1 = = 0,10. 49 + 1 = 5,9 milhas/h 12