Função todo

TOBIAS CABRAL
FUNÇÃO APROFUNDAMENTO
1. (Unifesp 2015) A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na
corrente sanguínea após t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial
2
C(t) 0,05t 2t 25.    Nessa função, considera-se t 0 o instante em que o paciente ingere
a primeira dose do medicamento.
Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose
às 11 horas da manhã de uma segunda-feira.
a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá
40 ppm pela primeira vez?
b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na
corrente sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário
ele deverá prescrever a segunda dose?
2. (Unesp 2015) A tabela indica o gasto de água, em 3
m por minuto, de uma torneira (aberta),
em função do quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas posições do registro.
Abertura da torneira
(volta)
Gasto de água por minuto
3
(m )
1
2
0,02
1 0,03
(www.sabesp.com.br. Adaptado.)
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta, e que o gasto de água, por
minuto, quando a torneira está totalmente aberta, é de 3
0,034 m . Portanto, é correto afirmar
que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no seu registro de abertura
de 1 volta completa e mais
a)
1
2
de volta. b)
1
5
de volta. c)
2
5
de volta.
d)
3
4
de volta. e)
1
4
de volta.
3. (Uem-pas 2015) Dadas a função afim f e a função afim g, definidas por f(x) ax 3  e
g(x) 15x m 3,   em que a,m¡ e a 0, assinale o que for correto.
01) Se m 3, então o gráfico de g passa pela origem.
02) As funções f e g são crescentes.
04) A função composta f go é crescente, para todo m  ¡ e a 0.
08) Se a 15 e m ,¡ então os gráficos de f e g são duas retas paralelas e distintas.
16) Se a m 5,  então os gráficos de f e g interceptam-se no ponto
1 11
P , .
2 2
 
  
 
4. (Uepa 2015) Segundo a Organização das Nações Unidas (ONU) a população da Terra
atingiu a marca de 7,2 bilhões de habitantes em 2013, dados publicados no estudo
“Perspectivas de População Mundial”. De acordo com as projeções de crescimento
demográfico, seremos 8,1 bilhões de habitantes em 2025 e 9,6 bilhões de habitantes em
2050. Supondo que a partir de 2025, a população mundial crescerá linearmente, a expressão

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que representará o total de habitantes (H), em bilhões de pessoas, em função do número de
anos (A) é:
a) H 0,060 A 8,1   b) H 0,036 A 7,2   c) H 0,060 A 9,6  
d) H 0,036 A 8,1   e) H 0,060 A 7,2  
5. (Insper 2014) Analisando o comportamento das vendas de determinado produto em
diferentes cidades, durante um ano, um economista estimou que a quantidade vendida desse
produto em um mês (Q), em milhares de unidades, depende do seu preço (P), em reais, de
acordo com a relação
2P
Q 1 4 (0,8) .  
No entanto, em Economia, é mais usual, nesse tipo de relação, escrever o preço P em função
da quantidade Q. Dessa forma, isolando a variável P na relação fornecida acima, o economista
obteve
a) 0,8
Q 1
P log .
4

 b) 0,8
Q 1
P log .
8
 
  
 
c) 0,8 Q 1
P 0,5 .
4

 
d) 0,8 Q 1
P .
8

 e) 0,8
Q
P 0,5 log 1 .
4
 
   
 
6. (Ufpr 2014) Considereas funções f e g, definidas por f(x) x 1  e g(x) 2x sen(x), com x real.
a) Esboce os gráficos de f e g.
b) Obtenha as expressões de f go e g fo em função de x, e esboce o gráfico dessas duas
funções compostas.
7. (Unicamp 2014) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura
abaixo.

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O valor de f(g(1)) g(f(1)) é igual a
a) 0. b) – 1. c) 2. d) 1.
8. (Uepg 2014) Considerando as funções f(x) e g(x), tais que
x 3
f(x)
4

 e
5x
f(g(x)) ,
4x 4


assinale o que for correto.
01) O domínio de g(x) é {x | x 1}.  ¡ 02) 1 3
g (0) .
2


04)
1
g(1) .
2
  08)
1
g(f(5)) .
3

16) O domínio de f(x) é {x | x 3}.  ¡
9. (Mackenzie 2014) Se a função f : ¡ ¡ é definida por x
f(x) | 3 1|,  a afirmação correta
sobre f é
a)    D f e Im f . ¡ ¡
b) f é uma função crescente para todo x real.
c) f não é injetora nem sobrejetora.
d) f é injetora mas não é sobrejetora.
e)   *
Im f . ¡
10. (Espm 2015) Considere as funções reais f(x) 2x 1  e g(x) x k,  com k .¡ Podemos
afirmar que f g(x) g f(x)o o para qualquer x real se o valor de k for igual a:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 e) 1
11. (Pucrj 2015) Sejam as funções 2
f(x) x 6x  e g(x) 2x 12. 
O produto dos valores inteiros de x que satisfazem a desigualdade f(x) g(x) é:
a) 8 b) 12 c) 60 d) 72 e) 120
12. (Ufsm 2015) A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os
alimentos. Em regiões com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a
captação e armazenamento da água da chuva.
Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, a expressão
21
V(t) t 3
43200
  
representa o volume (em 3
m ) de água presente no tanque no instante t (em minutos).

TOBIAS CABRAL
Qual é o tempo, em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado?
a) 360. b) 180. c) 120. d) 6. e) 3.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) Queremos calcular o menor valor de t para o qual se tem C(t) 40. Assim, temos
2 2
0,05t 2t 25 40 (t 20) 100
t 10 h ou t 30 h.
      
  
A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela
primeira vez às 11 10 21h  da segunda-feira.
b) A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá seu valor máximo
após
2
20
2 ( 0,05)
 
 
horas. Portanto, o médico deverá prescrever a segunda dose para as
20 (24 11) 7   horas da terça-feira.
[B]
Seja g:  ¡ ¡ a função dada por g(x) ax b,  em que g(x) é o gasto de água por minuto
para x voltas da torneira. Logo, a taxa de variação da função g é
0,03 0,02
a 0,02.
1
1
2

 

Desse modo, temos
0,03 0,02 1 b b 0,01.    
Para um gasto de 3
0,034 m por minuto, segue que
0,034 0,02 x 0,01 0,02 x 0,024
x 1,2
x 1 0,2
1
x 1 .
5
     
 
  
  
A resposta é
1
5
de volta.
01 + 04 + 16 = 21.
[01] Verdadeira, pois 0 15 0 3 3.   
[02] Falsa. Depende do valor de a.
[04] Verdadeira. f g(x) a (15x m 3) 3 15ax (m 3) a 3,         o pois com a 0, temos
15a 0.

TOBIAS CABRAL
[08] Falsa. Se a 15 e m 0, elas serão paralelas iguais.
[16] Verdadeira, pois resolvendo o sistema
y 5x 3
y 15x 2
 
 
, temos
1
x
2
  e
11
y .
2
 
[A]
Seja H:[0, [   ¡ a função dada por H(A) mA h,  em que H(A) é a população mundial,
em bilhões, A anos após 2025. Tomando A 0 para o ano de 2025 e A 25 para o ano de
2050, obtemos os pontos (0; 8,1) e (25; 9,6). Desse modo, vem
9,6 8,1
m 0,06.
25 0

 

Portanto, a lei de H é
H(A) 0,06 A 8,1.  
[A]
Lembrando que c
b blog a c log a  e blog b 1, com a, b, c reais positivos e b 1, temos
2P 2P
2P
0,8 0,8
0,8
0,8
0,8
Q 1
Q 1 4 (0,8) (0,8)
4
Q 1
log log (0,8)
4
Q 1
2P log
4
1 Q 1
P log
2 4
Q 1
P log .
4

    

 

 

  

 
a) O zero e o valor inicial de f são, respectivamente, 1 e 1. Logo, o gráfico de f é

TOBIAS CABRAL
Considere a função ¡ ¡h: , tal que h(x) sen(x). Logo, g(x) 2 h(x)  e, portanto, o
gráfico da função g corresponde ao gráfico de h esticado verticalmente por um fator igual a
2.
b) O gráfico da função o ¡ ¡f g: , tal que (f g)(x) 2sen(x) 1, o é obtido do gráfico de g por
meio de uma translação vertical de 1 unidade no sentido positivo do eixo das ordenadas.
O gráfico da função o ¡ ¡g f : , tal que  o(g f)(x) 2sen(x 1), é obtido do gráfico de g por
meio de uma translação horizontal de 1 unidade no sentido negativo do eixo das abscissas.
[D]
Do gráfico, sabemos que g(1) 0 e f(1) 1.  Logo, como f(0) 1 e g( 1) 0,  obtemos
f(g(1)) g(f(1)) f(0) g( 1)
1 0
1.
   
 


TOBIAS CABRAL
01 + 02 + 04 + 08 = 15.
Lembrando que uma função está bem definida apenas quando são fornecidos o domínio, o
contradomínio e a lei de associação, vamos supor que f : A  ¡ ¡ e g:B . ¡ ¡
Desde que
x 3
f(x)
4

 e
5x
f(g(x)) ,
4x 4


temos
g(x) 3 5x g(x) 3
f(g(x))
4 4x 4 4
2x 3
g(x) .
x 1
 
  


 

[01] Correto. Supondo que se queira determinar o maior subconjunto B dos números reais
para o qual g está definida, é fácil ver que B {x | x 1}.   ¡
[02] Correto. Calculando a inversa de g, obtemos
2x 3
y yx y 2x 3
x 1
yx 2x y 3
y 3
x ,
2 y

    

    

 

ou seja,
1 x 3
g (x) .
2 x
 


Desse modo, encontramos facilmente
1 3
g (0) .
2


[04] Correto. Com efeito, pois
2 1 3 1
g(1) .
1 1 2
 
  

[08] Correto. De fato, temos
2 2 3 1
g(f(5)) g(2) .
2 1 3
 
  

[16] Incorreto. Supondo que se queira determinar o maior subconjunto A dos números reais
para o qual f está definida, é fácil ver que A . ¡
[C]
Considere o gráfico de f.

TOBIAS CABRAL
É fácil ver que existem 1 2x , x  ¡ tais que 1 2f(x ) f(x ). Logo, f não é injetiva. Além disso,
tem-se CD(f)  ¡ e Im(f) [0, [.   Daí, f não é sobrejetiva, pois CD(f) Im(f).
[A]
Substituindo e desenvolvendo a expressão dada:
f g(x) g f(x) f(g(x)) g(f(x))
f(g(x)) 2 (x k) 1 f(g(x)) 2x 2k 1
g(f(x)) 2x 1 k
2x 2k 1 2x 1 k
2k k
k 0
  
       
  
    
  

o o
[C]
2 2
f(x) g(x) x 6x 2x 12 x 8x 12 0        
Estudando o sinal de
2
x 8x 12,  temos:
O produto dos valores inteiros de x que satisfazem a desigualdade f(x) g(x) é:
60543 
Resposta da questão 12: [D]
2
2
2
1
V(t) t 3
43200
1
0 t 3
43200
t 129600
t 360min
t 6h
  
   




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