Obmep (1)

Módulo de Áreas de Figuras Planas
Áreas de Figuras Planas: Resultados Básicos
Nono Ano

Área de Figuras Planas: Resultados Básicos
1 Exerc´ıcios Introdutórios
Exerc´ıcio 1. Determine a área dos retângulos abaixo:
a)
b)
Exerc´ıcio 2. Determine a área de um quadrado
a) cujo lado mede 8cm.
b) cujo lado mede 7, 1cm.
c) cujo lado mede
√
3cm.
d) cuja diagonal mede 6cm.
Exerc´ıcio 3. Determine a medida do lado de um quadrado
cuja área é
a) 25cm2
.
b) 12cm2
.
Exerc´ıcio 4. Determine a área de um losango
a) cujas diagonais medem 5cm e 8cm.
b) cujo lado mede 5cm e a diagonal menor mede 6cm.
c) cujo lado mede 8cm e um dos ângulos internos mede
120 o
.
Exerc´ıcio 5. Determine a área de um trapézio de bases
medindo 5cm e 7cm e altura medindo 4cm.
Exerc´ıcio 6. Determine a área de um quadrado cujo
per´ımetro é 72cm.
Exerc´ıcio 7. Determine a área de um trapézio isósceles
cujos bases têm 6cm e 12cm de medida e os outros lados,
5cm.
Exerc´ıcio 8. Calcule a área dos paralelogramos abaixo
a)
b)
Exerc´ıcio 9. Calcule a área dos triângulos abaixo.
2 Exerc´ıcios de Fixa¸cão
Exerc´ıcio 10. A altura de um retângulo é a metade de sua
base. Se sua área é 450m2
, determine suas dimensões.
Exerc´ıcio 11. Aumentando em 10% o comprimento de um
retângulo e diminuindo em 10% sua largura, determine sua
nova área, sabendo que a área inicial era 100cm2
.
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Exerc´ıcio 12. Determine a área hachurada nas figuras
abaixo.
a)
b)
c)
Exerc´ıcio 13. A cerâmica constitui-se em um artefato bas-
tante presente na história da humanidade. Uma de suas
várias propriedades é a retra¸cão (contra¸cão), que consiste
na evapora¸cão da água existente em um conjunto ou bloco
cerâmico quando submetido a uma determinada tempe-
ratura elevada. Essa eleva¸cão de temperatura, que ocorre
durante o processo de cozimento, causa uma redu¸cão de até
20% nas dimensões lineares de uma pe¸ca. (Dispon´ıvel em:
www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar 2012). Suponha que
uma pe¸ca, quando moldada em argila, possu´ıa uma base
retangular cujos lados mediam 30cm e 15cm. Após o cozi-
mento, esses lados foram reduzidos em 20%. Em rela¸cão à
área original, a área da base dessa pe¸ca, após o cozimento,
ficou reduzida em
(a) 4% (b) 20% (c) 36% (d) 64% (e)
96%.
Exerc´ıcio 14. Determine a área hachurada nas figuras
abaixo.
a)
b)
c)
3 Exerc´ıcios de Aprofundamento e
de Exames
Exerc´ıcio 15. Um forro retangular de tecido traz em sua
etiqueta a informa¸cão de que encolherá após a primeira
lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a
seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho
do encolhimento x no comprimento e y na largura. A ex-
pressão algébrica que representa a área do forro após ser
lavado é (5–x)(3–y).
Nestas condi¸cões, a área perdida do forro, após a primeira
lavagem, será expressa por
(a) 2x (b) 15 − 3x (c) 15 − 5x (d) −5y − 3x
(e) 5y + 3x − xy.
Exerc´ıcio 16. Para decorar a fachada de um edif´ıcio, um
arquiteto projetou a coloca¸cão de vitrais compostos de

quadrados de lado medindo 1m, conforme a figura a se-
guir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos
lados do quadrado de área 1m e os segmentos AP e QC
medem 1/4. Para confeccionar um vitral, são usados dois
tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura,
que custa R$30, 00 o m2
e outro para a parte mais clara
(regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$50, 00 o m2
.
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais
usados na fabrica¸cão de um vitral?
(a) R$22, 50 (b) R$35, 00 (c) R$40, 00 (d)
R$42, 50 (e) R$45, 00.
Exerc´ıcio 17. Considere um quadrado ABCD de lado 1.
Externamente ao quadrado, são formados os triângulos
equiláteros ABE, BCF, CDG e DAH. Qual a área do
quadrilátero EFGH?
a) 2 b) 2
√
3 c) 2 +
√
3 d) 3 e) 6.
Exerc´ıcio 18. O quadrado ABCD da figura abaixo está
dividido em 16 quadradinhos iguais. O quadrado sombre-
ado tem os vértices sobre os pontos médios do quadrado
EFGH.
a) A área do quadrado EFGH corresponde a que fra¸cão
da área do quadrado ABCD?
b) Se o quadrado ABCD tem 80cm2
de área, qual é o lado
do quadrado sombreado?
Exerc´ıcio 19. Um prefeito quer construir uma pra¸ca qua-
drada de 10m de lado, que terá canteiros triangulares
iguais de pedra e um canteiro quadrado de grama, como
na figura. O prefeito ainda não decidiu qual será a área do
canteiro de grama, por isso o comprimento deste segmento
AB está indicado por x na figura.
a) Calcule a área do canteiro de grama para x = 2.
b) Escreva a expressão da área do canteiro de grama em
fun¸cão de x.
c) Sabe-se que o canteiro de grama custa R$4, 00 por me-
tro quadrado e os canteiros de pedra custam R$3, 00
por metro quadrado. Qual a menor quantia que o pre-
feito deve ter para construir os cinco canteiros?
Exerc´ıcio 20. O retângulo da figura foi repartido por meio
de três segmentos em várias regiões, algumas retangulares
e outras triangulares. A linha não paralela aos lados é uma
diagonal e os números indicam as áreas em m2
das regiões
brancas em que se encontram. Qual é a do retângulo ori-
ginal?
(a) 60cm2
(b) 80cm2
(c) 90cm2
(d) 100cm2
(e) Imposs´ıvel saber.

Exerc´ıcio 21.
a) Temos abaixo um trapézio e suas diagonais. Mostre que
a área do triângulo ABC é igual à área do triângulo
ADE.
b) Na figura a seguir, BCFE é um retângulo, o triângulo
ABC tem área 5cm2
e o triângulo DEF tem átea 4cm2
.
Calcule a área do quadrilátero AGDH.
Exerc´ıcio 22. João e Maria herdaram um terreno, re-
presentado pelo pol´ıgono ABCDEF. Havia uma cerca
reta separando o terreno em duas partes, mas como as
áreas eram diferentes, João e Maria resolveram deslocá-
la, mantendo-a reta, de forma que a extremidade em F
fosse para o ponto P. Com isso, as duas áreas tornaram-se
iguais. Supondo que os ângulos em A, B, D, E e F são
retos, dequantos metros foi o deslocamento FP?
a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 20.
Exerc´ıcio 23. Seja ABCD um retângulo tal que AD = 6 e
DC = 8. Construa um triângulo equilátero CED tal que
E, A e B estão no mesmo semi-plano determinado pela
reta CD. Determine a área do triângulo AEC.
Exerc´ıcio 24. Considere o triângulo ABC inscrito em uma
circunferência em que os menores arcos AB, BC e AC são
congruentes.
Se a circunferência menor, inscrita ao triângulo ABC, tem
raio igual a 1cm, então o número que representa a área
hachurada, em cm2
, é igual ao número que representa
a) o comprimento do c´ırculo menor, em cm.
b) a área do c´ırculo maior em cm2
.
c) o comprimento do c´ırculo maior, em cm.
d) o dobro da área do triângulo ABC, em cm2
.
Exerc´ıcio 25. Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono
regular de lado a e os arcos AB, BC, CD, DE e EA
são congruentes e arcos de circunferência cujo raio mede
a. Assim, determine a área hachurada nessa figura, em
fun¸cão de ”a”.

Exerc´ıcio 26. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de
lado 12 e BE é um segmento de comprimento 16. Deter-
mine o comprimento do segmento AF.
Exerc´ıcio 27. Dado o quadrado ABCD de lado 2. Sejam
O o centro do quadrado e E e F os pontos médios dos lados
AB e CD. Se os segmentos FH e GE são iguais e os arcos
FE, EH, GO, OG, FG são semicircunferências, encontre a
área sombreada.
Exerc´ıcio 28. Na figura a seguir, ABCD é um quadrado
de lado 4, K pertence ao lado AD, L pertence ao lado AB,
M pertence ao lado BC e KLM é um triângulo retângulo
isósceles, sendo L o ângulo reto. Então a área do qua-
drilátero CDKM é igual a
a) 6 b) 8 c) 10 d) d) 12 e) 14

Respostas e Solu¸cões
1 Exerc´ıcios Introdutórios
1.
a) A = 8 · 4 = 32cm2
.
b) A altura h mede 12 · sen 30◦
= 6cm e a base b mede
12 · cos 30◦
= 6
√
3cm. Assim
A = 6 · 6
√
3 = 36
√
3cm2
.
2.
a) A = 82
= 64cm2
.
b) A = 7, 12
= 50, 41cm2
.
c) A = (
√
3)2
= 3cm2
.
d) Se a diagonal mede 6cm, o lado mede 3
√
2cm, então a
área é A = (3
√
2)2
= 18cm2
.
3.
a) l =
√
25 = 5cm.
b) l =
√
12 = 2
√
3cm.
4.
a) A = (5 · 8)/2 = 20cm2
.
b) Se 2b é o comprimento da outra diagonal, como as di-
agonais de um losango são perpendiculares, usando o
Teorema de Pitágoras obtemos:
b2
+ 32
= 52
b = 52 − 32
b = 4.
Portanto, a outra diagonal mede 8cm e a área do lo-
sango vale A = 24cm2
.
c) Dois ângulos internos consecutivos de um losango são
suplementares. Assim, um de seus ângulos internos será
60◦
. Temos, então, dois triângulos equiláteros de lados
medindo 8cm. A área de cada um deles é
82
√
3
4
. Por-
tanto, a área do losango é 2 ·
82
√
3
4
= 32
√
3cm2
.
5. A =
4(5 + 7)
2
= 24cm2
.
6. Podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar-
mos a altura h.
h2
+ 32
= 52
h = 52 − 32
h = 4.
Da´ı, segue que A =
4(6 + 12)
2
= 36cm2
.
7.
a) A = 6 · 4 = 24cm2
.
b) Temos que a altura do paralelogramo mede 6·sen 60◦
=
3
√
3. Da´ı, segue que A = 8 · 3
√
3 = 24
√
3cm2
.
8.
a) A = (8 · 5)/2 = 20.
b) Pelo Teorema de Pitágoras, a medida do outro cateto é
12cm. Da´ı, segue que A = (12 · 5)/2 = 30.
c) A =
62
√
3
4
= 9
√
3cm2
.
d) A =
6 · 8 · sen 45◦
2
= 12
√
2cm2
.
2 Exerc´ıcios de Fixa¸cão
9. Se o per´ımetro é 72cm2
, então o lado é 72/4 = 18cm,
segue que A = 182
= 324cm2
.
10. Chamando a altura de x, a base é 2x. Temos, então,
que 2x2
= 450. Da´ı segue que x = 15. Portanto, as
dimensões do retângulo são 15cm e 30cm.
11. Sendo x e y as dimensões iniciais, temos xy = 100.
Após as modifica¸cões nas dimensões, sua área será
A = 0, 9x · 1, 1y = 0, 99 · 100 = 99cm2
.
12.
a) A altura de um triângulo de lado 8 é (8
√
3)/2 = 4
√
3.
Como o raio do c´ırculo inscrito é a ter¸ca parte da altura
do triângulo, o raio do c´ırculo do desenho mede
4
√
3
3
.
Assim, a área da região hachurada pode ser calculada
pela diferen¸ca entre as áreas do triângulo equilátero e
do c´ırculo.
Ahachurada = Atriângulo equilátero − Ac´ırculo
A =
82
√
3
4
− π
4
√
3
3
2
= 16
√
3 −
16π
3
=
48
√
3 − 16π
3
cm2

b) A área hachurada é a diferen¸ca entre as áreas do qua-
drado e do setor circular (quarta parte do c´ırculo).
Ahachurada = Aquadrado − Asetor
= 102
−
102
π
4
= 100 − 25π
= 25(4 − π)cm2
c) A medida do ângulo do setor circular é 180◦
− 60◦
=
120◦
, que equivale a 1/3 do c´ırculo. Temos, então
A =
62
π
3
= 12πcm2
.
13. (Extra´ıdo do ENEM 2013) Como a área inicial era
30 · 15 = 450cm2
e a área final ficou (30 − 6)(15 − 3) =
288cm2
, sua redu¸cão foi de
450 − 288
450
= 0, 36 = 36%.
Resposta C.
14.
a) A área hachurada é a diferen¸ca entre as áreas do setor
circular e do triângulo. Temos então
A =
3
8
π82
−
8 · 8 · sen 135◦
2
= 24π − 16
√
2
= 8(π −
√
2)cm2
b) Para o cálculo do raio r, utilizaremos o Teorema de
Pitágoras no triângulo formado pela reta que passa pe-
los centros das duas circunferências, pelo centro da cir-
cunferência menor e é perpendicular ao lado do qua-
drado e pelo lado do quadrado como indica a figura
abaixo.
Os lados deste triângulo são (6 + r), (6 − r) e (12 − r).
Temos, então
(6 + r)2
= (6 − r)2
+ (12 − r)2
12r = −12r + 144 − 24r + r2
r2
− 48r + 144 = 0
r = 12(2 −
√
3)cm
Assim, a área do c´ırculo menor é π[12(2 −
√
3)]2
=
144(7 − 4
√
3)cm2
c) Tra¸cando um segmento pelos pontos de interseçcão das
circunferências, teremos dois segmentos circulares, cu-
jas áreas são a diferen¸ca entre as áreas dos setores circu-
lares e dos triângulos gerados. A medida do ângulo des-
tes setores é 120◦
, pois pode-se formar dois triângulos
equiláteros ligando os centros das circunferências e seus
pontos de interseçcão. A distância entre estes pontos
de interseçcão é 4
√
3cm, pois é o dobro da altura de um
dos triângulos. Temos, então
A = 2
42
π
3
−
4 · 4 · sen 120◦
2
= 2
16π
3
− 4
√
3
= 4
8π
3
− 2
√
3 cm2
3 Exerc´ıcios de Aprofundamento e
de Exames
15. (Extra´ıdo do ENEM 2012) A área perdida é a dife-
ren¸ca entre as áreas inicial e final. Temos, então
A = 15 − (5 − x)(3 − y)
= 15 − 15 + 3x + 5y − xy
= 5y + 3x − xy
Resposta E.
16. (Extra´ıdo do ENEM 2012) Calculando a área ABPD,
temos
[ABPD] = [ABD] − [PBD]
=
1 · 1
2
2
−
1 · 1
4
2
=
1
4
−
1
8
=
1
8
m2
Consequentemente, a soma das áreas não sombreadas é
2 ·
1
8
=
1
4
e a área restante é 1 −
1
4
=
3
4
. Temos, então,
que o custo é
1
4
· 50 +
3
4
· 30 = 12, 50 + 22, 50 = R$35, 00.
Resposta B.
17. (OBM 2014) Como cada triângulo equilátero tem al-
tura
√
3
2 , as diagonais do quadrado EFGH medem 1+
√
3,
e sua área pode ser calculada como
(1 +
√
3)2
2
= 2 +
√
3.
Resposta C.

18. (Extra´ıdo da OBMEP 2005)
a) Sendo a o lado de cada quadradinho, temos
[EFGH] = [ABCD] − 4[AEH]
= 16a2
− 6a2
= 10a2
=
10
16
[ABCD]
b) Sendo A a área do quadrado sombreado, temos
A = [EFGH]/2
=
10
32
[ABCD]
= 25cm2
Portanto, o lado do quadrado sombreado é 5cm.
19. (extra´ıdo da OBMEP 2005)
a) A área de cada canteiro de pedra para x = 2 vale
2 · 8
2
=
8. Assim, a área do canteiro de grama é 100 − 4 · 8 =
68m2
.
b) A área de cada canteiro triangular é dada pela ex-
pressão
x(10 − x)
2
. Assim, a área do canteiro de grama
é dada por:
100 − 4 · x(10 − x)2 = 2x2
− 20x + 100m2
c) Como a diferen¸ca entre os pre¸cos das coberturas de pe-
dra e grama é de 1, o custo total é o mesmo que gastar
3 por metro quadrado em todo o quadrado e 1 extra
pela área dos canteiros de grama, ou seja, o custo total
é:
3 · 100 + 1 · (2x2
− 20x + 100) = 2x2
− 20x + 400.
Fatorando a expressão anterior, obtemos:
2x2
− 20x + 200 = 2(x − 5)2
+ 350
≥ 02
+ 350
= 350.
A igualdade ocorre apenas quando x = 5. Assim, o
prefeito precisa de pelo menos R$150, 00 reais.
20. (OBM 2014) Como a diagonal de um retângulo o
divide em dois triângulos de mesma área, as áreas dos
triângulos sombreados são 8m2
e 18m2
. Observando,
agora, o retângulo original, sua diagonal o dividiu em dois
triângulos, sendo um deles com área 24 + 8 + 18 = 50m2
,
ou seja, a área do retângulo original é 100m2
. Resposta D.
21. (Extra´ıdo da OBM 2013)
a) Como ACBE = AEDC, pois possuem a mesma base
e mesma altura, então, decompondo ambas as áreas,
AABC + AACE = AADE + AACE, segue que AABC =
AADE.
b) Tra¸cando o segmento GH, temos, pelo item anterior,
que AAGH = AABC = 5cm2
e ADGH = ADEF = 4cm2
.
Temos então que AAGDH = AAGH + ADGH = 5 + 4 =
9cm2
.
22. (Extra´ıdo da OBM 2012) Como a área total do terreno
é 160 · 120 − 60 · 50 = 16200m2
, cada parte deverá ter
8100m2
. Calculando a área do trapézio ABCP, temos
[ABCP] = 8100
(120 − x + 50)100
2
= 8100
170 − x = 162
x = 8m.
Resposta B.
23. (Extra´ıdo da OBM 2012) Se P o pé da altura do
DEC no lado DC, então EP = 4
√
3. Temos que
[AEC] = [AECD] − [ACD]
= [AEPD] + [ECP] − [ACD]
=
4(6 + 4
√
3)
2
+
4 · 4
√
3
2
− 24
= 12 + 8
√
3 + 8
√
3 − 24
= 16
√
3 − 12
= 4(4
√
3 − 3).

24. (Extra´ıdo da EPCAR 2014) Como os arcos são con-
gruentes, o ABC é equilátero, sendo 120◦
a medida do
seu ângulo central e a medida do raio da circunferência
maior o dobro do raio da menor, ou seja, 2cm. Dividire-
mos a área hachurada em três partes:
i) área de 2/3 do c´ırculo menor, que é 2π/3;
ii) área do segmento do c´ırculo maior, que é
4π
3
−
√
3;
iii) área do quadrilátero formado por dois segmentos per-
pendiculares aos lados do triângulo partindo do centro
do c´ırculo menor, que é
√
3.
Portanto, a área hachurada é 2π/3 +
4π
3
−
√
3 +
√
3 = 2π.
Resposta A.
25. (Extra´ıdo da EPCAR 2013 - Adaptada) Sendo cada
uma das cinco partes hachuradas a área de um segmento
circular de uma circunferência de raio que mede a, temos
que a área hachurada é 5(
a2
π
6
−
a2
√
3
4
)
26. A área do triângulo ABE é
AB · GE
2
= 72. Assim,
aplicando a mesma fórmula de área para a base BE e a
altura AF, temos:
72 =
AF · BE
2
=
AF · 16
2
= 8AF.
Portanto, o comprimento de AF é
72
8
= 9.
27. Como FH = GE, temos HO = FO − FH =
OE − GE = OG. Consequentemente o semic´ırculo de
diâmetro HO possui a mesma área do semic´ırculo de
diâmetro OG. Além disso, a área entre os arcos FG e
HO é igual à área entre os arcos GO e HE. Consequen-
temente, a área procurada corresponde a área de um
semic´ırculo de diâmetro FE. Como o raio do semic´ırculo
de diâmetro FE mede 1, a área sombreada mede
12
π
2
=
π
2
.
28. (Extra´ıdo da OBM 2009) Temos ∠ALK =
180◦
− ∠KLM − ∠BLM = 180◦
− 90◦
− ∠BLM =
90◦
− ∠BLM = ∠BLM, ambos os ângulos ∠KAL e
∠LBM são retos. Como KL = LM, segue que os
triângulos KAL e LBM são congruentes pelo caso LAAo.
Portanto, sendo x = AK, AL = 4 − x, LB = x e
BM = AL = 4 − x. Logo a área do trapézio AKMB é
igual a
AK + BM
2
· AB =
x + (4 − x)
2
· 4 = 8 e, con-
sequentemente, a área de CDKM é 42
−8 = 8. Resposta B
Observa¸cão. De fato, os trapézios AKMB e KMCD
são iguais.
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