Apresentação Salão de Iniciação Científica da UFRGS 2013
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A apresentação resume a transformação das equações da teoria quase-linear para a interação feixe-plasma, de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Apresenta as novas equações obtidas em coordenadas polares e compara alguns resultados preliminares com o modelo anterior em coordenadas cartesianas.
Apresentação Salão de Iniciação Científica da UFRGS 2013
- 1. A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell A Intera¸˜o Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca ca Teoria Cin´tica de Plasmas na Aproxima¸˜o e ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell Instituto de F´ ısica - Grupo de F´ ısica de Plasmas Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil e-mail: sabrina.tigik@ufrgs.br 22 de outubro de 2013
- 2. Introdu¸˜o ca A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell Objetivos dessa apresenta¸˜o: ca Apresentar a mudan¸a de coordenadas das equa¸˜es da c co teoria quase-linear aplicadas ` intera¸˜o feixe-plasma, a ca escritas em coordenadas cartesianas - obtidas anteriormente por integrantes do Grupo de F´ ısica de Plasmas -, para coordenadas polares - tema principal desse trabalho. Fazer uma compara¸˜o entre os resultados preliminares ca dessa nova abordagem, com alguns resultados equivalentes obtidos com o modelo anterior. Motiva¸˜o para o trabalho: ca Contornar a instabilidade num´rica, que surgiu com a e adi¸˜o do termo colisional ao c´digo desenvolvido para as ca o equa¸˜es em coordenadas cartesianas, escrevendo co inteiramente o c´digo usando a mesma simetria deste o termo, isto ´, simetria polar. e
- 3. Resumo Da Apresenta¸˜o ca A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell Apresenta¸˜o das equa¸˜es da teoria quase-linear para a ca co intera¸˜o feixe-plasma, considerando ondas de Langmuir, ca em coordenadas cartesianas. Apresenta¸˜o das equa¸˜es obtidas ap´s a transforma¸˜o ca co o ca para coordenadas polares. Compara¸˜o entre alguns resultados obtidos com a ca integra¸˜o num´rica do modelo em coordenadas ca e cartesianas, com resultados equivalentes obtidos em coordenadas polares. Perspectivas para a nova abordagem.
- 4. Considera¸˜es Importantes Para Ambos Os co Modelos A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell Ser˜o consideradas apenas ondas de Langmuir. a Na faixa de frequˆncia em que estamos trabalhando, e podemos considerar os ´ ıons como um “background” est´tico neutralizador. a A fun¸˜o inicial de distribui¸˜o de velocidades para os ca ca el´trons do plasma foi definida como sendo Maxwelliana, e adicionada de uma Maxwelliana deslocada representando a distribui¸˜o de velocidades do feixe. ca A rela¸˜o de dispers˜o, adimensional, para ondas de ca a Langmuir ´ dada por e L zq = L onde zq ≡ ω ωpe eq≡ kve ωpe . 3 1 + q2 2 1/2 ,
- 5. Equa¸˜es Quase-Lineares em Coordenadas co Cartesianas A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell Definindo a dire¸˜o do feixe como paralela ao eixo z, as ca velocidades e os vetores de onda normalizados s˜o expressos da a seguinte forma u = ux ex + uz ez , q = qx ex + qz ez .
- 6. Equa¸˜o De Difus˜o Quase-Linear Em ca a Coordenadas Cartesianas A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell A equa¸˜o de difus˜o quase-linear, descreve como a fun¸˜o de ca a ca distribui¸˜o Φe evolui temporalmente, sob a influˆncia das ca e ondas geradas por efeitos n˜o-lineares de intera¸˜o a ca onda-part´ ıcula. Sua forma ´ a seguinte: e ∂Φe ∂ ∂ = (Ae Φe ) + (Ae Φe ) ∂τ ∂ux x ∂uz z + + ∂ e ∂Φe e ∂Φe + Dxz Dxx ∂ux ∂ux ∂uz ∂ e ∂Φe e ∂Φe Dzx + Dzz ∂uz ∂ux ∂uz .
- 7. Coeficiente De Emiss˜o Espontˆnea a a A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell Na equa¸˜o anterior, Ae e Ae s˜o as componentes do ca x z a coeficiente relacionado a processos de flutua¸˜es espontˆneas. co a Sua express˜o ´ a seguinte: a e Ae = g i ∞ ∞ dqz dqx −∞ −∞ 2 qx qi 2 + qz L L σzq δ(σzq −qx ux −qz uz ) . σ=±1
- 8. Coeficiente De Emiss˜o Induzida a A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell e e e e Dxx , Dxz , Dzx e Dzz , s˜o as componentes do coeficiente de a emiss˜o induzida, que relaciona a evolu¸˜o temporal de Φe , a ca com as ondas geradas por efeitos n˜o-lineares, atrav´s da a e seguinte equa¸˜o: ca e Dij = ∞ ∞ dqz dqx −∞ −∞ qi qj 2 + qz 2 qx σL L Eq δ(σzq −qx ux −qz uz ) . σ=±1
- 9. Espectro De Amplitude A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell σL e Eq ´ a amplitude do espectro das ondas geradas pela intera¸˜o onda-part´ ca ıcula. Sua evolu¸˜o temporal depende de ca Φe , como pode ser visto na equa¸˜o abaixo: ca σL ∂Eq π ne = 2 ∂τ q n∗ × + π ne q 2 n∗ ∞ ∞ duz −∞ −∞ 1 ne ∂Φe L σL g Φe + σzq Eq qx 2 n∗ ∂ux ∞ ∞ duz −∞ × L dux δ(σzq − qx ux − qz uz ) −∞ L dux δ(σzq − qx ux − qz uz ) 1 ne ∂Φe L σL g∗ Φe + σzq Eq qz . 2 n∗ ∂uz
- 10. Abordagem Em Coordenadas Polares A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell Foi definida a dire¸˜o de propaga¸˜o do feixe como sendo ca ca paralela ao eixo z. Sendo assim, as velocidades normalizadas e o vetor de onda normalizados, foram escritos da seguinte forma: u = ux ex + uz ez = u sin θex + u cos θez , q = qx ex + qz ez = q sin ϕex + q cos ϕez .
- 11. Equa¸˜es Quase-Lineares em Coordenadas Polares co A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell A equa¸˜o de difus˜o quase-linear obtida ap´s a mudan¸a de ca a o c coordenadas ficou da seguinte forma: ∂Φe 1 ∂ 1 ∂ = (uAe Φe ) + (Ae Φe ) u ∂τ u ∂u u ∂θ θ 1 ∂ 1 ∂ e ∂Φe e 1 ∂Φe uDuu + uDuθ + u ∂u ∂u u ∂u u ∂θ + 1 ∂ u ∂θ Dθθ 1 ∂Φe u ∂θ + 1 ∂ u ∂θ e Dθu ∂Φe ∂u .
- 12. Coeficiente de Emiss˜o Espontˆnea a a A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell As componentes do coeficiente de emiss˜o espontˆnea Ae e a a u e , por simplicidade, foram escritas em termos das Aθ componentes perpendicular e paralela: Ae = (sin θAe + cos θAe ) , u x z Ae = (cos θAe − sin θAe ) . x z θ
- 13. Coeficiente de Emiss˜o Induzida a A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell O mesmo procedimento foi feito para as componentes do coeficiente de emiss˜o induzida: a e e e e e Duu = Dxx sin2 θ + Dzz cos2 θ + Dxz sin θ cos θ + Dzx sin θ cos θ , e e e e e Dθθ = Dxx cos2 θ + Dzz sin2 θ − Dxz sin θ cos θ − Dzx sin θ cos θ , e e e e e Duθ = Dxx sin θ cos θ − Dzz sin θ cos θ + Dzx cos2 θ − Dxz sin2 θ . e e Sendo Dθu = Duθ .
- 14. M´todo e A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell Em ambas as abordagens, as equa¸˜es foram aproximadas por co equa¸˜es de diferen¸as finitas e um c´digo num´rico utilizando co c o e linguagem de programa¸˜o FORTRAN foi desenvolvido. Para a ca integra¸˜o da equa¸˜o de difus˜o foi usado o m´todo ca ca a e “splitting” e para a equa¸˜o da onda foi empregado o m´todo ca e Runge-Kutta de quarta ordem.
- 15. Compara¸˜o Entre Resultados Obtidos Nas Duas ca Abordagens A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell 1 0.01 0.0001 1e-06 1e-08 1e-10 1e-12 1e-14 1e-16 ½ Fe ½ ¹½¼ τ =0 τ =0 ½ ¹½ ½ ¹¾¼ -15 -10 ¹½ ¹½¼ -5 u⊥ Fe ½ ¹¼ ¹ 0 5 10 15 -15 -10 -5 5 0 u 10 15 u⊥ ¼ ½¼ ½ ¹½ ¹½¼ ¹ ½¼ ¼ ½ u Figura: Est´gio inicial de Fe. Podemos ver o pico gerado pelo feixe a com velocidade uf = 5. Os resultados s˜o os mesmos, visto que a ainda n˜o ocorreu evolu¸˜o temporal. a ca
- 16. A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell 1 0.01 0.0001 1e-06 1e-08 1e-10 1e-12 1e-14 1e-16 ½ Fe ½ ¹½¼ τ = 100 ½ ¹½ ½ ¹¾¼ -15 -10 ¹½ ¹½¼ -5 u⊥ Fe ½ ¹¼ τ = 100 ¹ 0 5 10 15 -15 -10 -5 5 0 u 10 15 u⊥ ¼ ½¼ ½ ¹½ ¹½¼ ¹ ½¼ ¼ ½ u Figura: Para τ = 100, n˜o h´ muitas diferen¸as entre as abordagens. a a c Em ambas as figuras, vemos um leve achatamento da fun¸˜o de ca distribui¸˜o, mas n˜o h´ evolu¸˜o aparente no feixe. ca a a ca
- 17. A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell 1 0.01 0.0001 1e-06 1e-08 1e-10 1e-12 1e-14 1e-16 ½ Fe ½ ¹½¼ τ = 500 ½ ¹½ ½ ¹¾¼ -15 -10 ¹½ ¹½¼ -5 u⊥ Fe ½ ¹¼ τ = 500 ¹ 0 5 10 15 -15 -10 -5 5 0 u 10 15 u⊥ ¼ ½¼ ½ ¹½ ¹½¼ ¹ ½¼ ¼ ½ u Figura: Para τ = 500, a diferen¸a entre os modelos ´ consider´vel. c e a Comparando com o modelo em coordenadas cartesianas, podemos ver que, al´m de algumas regi˜es de instabilidade num´rica, h´ e o e a crescimento de ondas em regi˜es onde n˜o deveria ocorrer o a ressonˆncia. a
- 18. Evolu¸˜o Temporal do Espectro de Amplitude ca A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 1e-05 1e-06 T Eq ½ ¼º½ τ =0 τ =0 ¼º¼¼¼½ ½ ¹¼ ½ ¹¼ -0.6 -0.4 -0.2 q⊥ T Eq ¼º¼½ ¼º¼¼½ 0 0.2 0.4 0.6 -0.6 ¹¼º ¹¼º ¹¼º¾ -0.4 -0.2 0.2 0 q 0.4 0.6 q⊥ ¼ ¼º¾ ¼º ¼º ¹¼º ¹¼º ¹¼º¾ ¼º¾ ¼ ¼º ¼º q σL Figura: Est´gio inicial de Eq , ainda n˜o ocorrreu o crescimento de a a ondas.
- 19. A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 1e-05 1e-06 T Eq ½ ¼º½ τ = 100 τ = 100 ¼º¼¼¼½ ½ ¹¼ ½ ¹¼ -0.6 -0.4 -0.2 q⊥ T Eq ¼º¼½ ¼º¼¼½ 0 0.2 0.4 0.6 -0.6 ¹¼º ¹¼º ¹¼º¾ -0.4 -0.2 0.2 0 q 0.4 0.6 q⊥ ¼ ¼º¾ ¼º ¼º ¹¼º ¹¼º ¹¼º¾ ¼º¾ ¼ ¼º ¼º q Figura: Para τ = 100, aparece um pico na regi˜o de ressonˆncia. A a a forma e a regi˜o de surgimento do pico ´ a mesma em ambas as a e abordagens.
- 20. A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 1e-05 1e-06 T Eq ½ ¼º½ τ = 500 τ = 500 ¼º¼¼¼½ ½ ¹¼ ½ ¹¼ -0.6 -0.4 -0.2 q⊥ T Eq ¼º¼½ ¼º¼¼½ 0 0.2 0.4 0.6 -0.6 ¹¼º ¹¼º ¹¼º¾ -0.4 -0.2 0.2 0 q 0.4 0.6 q⊥ ¼ ¼º¾ ¼º ¼º ¹¼º ¹¼º ¹¼º¾ ¼º¾ ¼ ¼º ¼º q Figura: Para τ = 500, o crescimento do pico no espectro de amplitude, aparentemente, ´ igual, tanto para o modelo em e coordenadas cartesianas, quanto para o modelo em coordenadas polares.
- 21. Perspectivas A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell Os resultados obtidos at´ o momento, para a simula¸˜o em e ca coordenadas polares, s˜o preliminares. O programa ainda est´ a a em fase de testes e algumas revis˜es da implementa¸˜o o ca num´rica dos coeficientes est˜o sendo feitas. A perspectiva, e a daqui para frente, ´ que solucionemos logo esse problema, para e ent˜o adicionarmos o termo de colis˜es e verificarmos a a o estabilidade do c´digo com a nova abordagem. o
- 22. Referˆncias e A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell F. F. Chen. Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion. Plenum, New York, 1984, 2a. ed. J. A. Bittencourt. Fundamentals of Plasma Physics. INPE-FAPESP, S˜o Jos´ dos Campos, 1995, 2a. ed. a e D. A. Gurnett & A. Bhattacharjee. Introduction to Plasma Physics. Cambrige University Press, 2005. V. N. Tsytovich. Non Linear Effects In Plasmas. Plenum Press, New York, 1970. V. N. Tsytovich. Theory Of Turbulent Plasma. Consultants Bureau, New York, 1977.
- 23. Referˆncias e A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell Peter H. Yoon. Generalized weak turbulence theory. Phys. Plasmas, 7(12):4858–4871, Dec. 2000. Peter H. Yoon. Statistical theory of electromagnetic weak turbulence. Physics of Plasmas, 13:022302, 15p., 2006. L. F. Ziebell, R. Gaelzer, J. Pavan, and P. H. Yoon. Two-dimensional nonlinear dynamics of beam-plasma instability. Plasma Phys. Contr. Fusion, 50(8):085011, 15p., 2008.
- 24. Agradecimentos A Intera¸˜o ca Feixe-Plasma Como Aplica¸˜o da ca Teoria Cin´tica de e Plasmas na Aproxima¸˜o ca Quase-Linear Autora: Sabrina Tigik Ferr˜o a Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell Obrigada! * Fim *