Modelo de crescimento de Solow

Modelo de Solow, Res´
ıduo de Solow e
Contabilidade do Crescimento
Roberto Ellery Jr.‡

Victor Gomes‡‡

Universidade de Bras´
ılia

Universidade Cat´lica
o
de Bras´
ılia

11 de mar¸o de 2003
c

1

Modelo de Crescimento de Solow

Explicar os determinantes do crescimento de uma economia ´ um dos prine
cipais desafios com que se depara a ciˆncia econˆmica. Associadas ao crese
o
cimento estõ quest˜es que costumam prender a aten¸ao de todos que se
a
o
c˜
dedicam ao tema, como por exemplo:
1. Quais os determinantes da riqueza de uma na¸ao?
c˜
2. Por que alguns pa´ sõ mais ricos que outros?
ıses a
3. Existe alguma tendˆncia natural para que a renda de todos os pa´
e
ıses
venham a se igualar?
Para podermos tratar destas quest˜es precisamos de uma estrutura l´gica
o
o
que nos ajude a conduzir a nossa an´lise, tal estrutura deve ser conter o que
a
acreditamos ser os principais fatores que podem explicar o crescimento de
uma economia, deve ser de tal forma que todas as hip´teses que fizermos
o
fiquem bem claras, assim como devem estar claras todas as implica¸oes de
c˜
nossas hip´teses. Uma maneira adequada e bastante popular de realizar esta
o
tarefa consiste no uso de modelos matem´ticos, estes modelos sõ constru´
a
a
ıdos
de forma que nos for¸am a explicitar as nossas hip´teses, nos obriga a manter
c
o
a coerˆncia l´gica de nossos argumentos de forma a nos garantir que nossas
e
o
‡
‡‡

ellery@unb.br
victor@pos.ucb.br

1

conclus˜es decorrem, de forma l´gica, de nossos argumentos. Embora moo
o
delos matem´ticos nõ sejam a unica forma de garantir a consistˆncia l´gica
a
a
´
e
o
entre nossas hip´teses e nossas conclus˜es, sõ a maneira mais simples e
o
o
a
segura de atingir este objetivo.
O problema do crescimento econˆmico sempre esteve presente nas diso
cuss˜es sobre economia sendo este problema, de forma question´vel, a princio
a
pal motiva¸ao do primeiro tratado sobre economia, chamado “Um Inqu´rito
c˜
e
sobre a Natureza e as Causas da Riqueza das Na¸oes”, escrito por Adam
c˜
Smith e publicado em 1776, apesar deste livro tratar de pr´ticamente todos
a
os temas relacionados a economia o t´
ıtulo j´ denuncia a preocupa¸ao central
a
c˜
com problemas relacionados ao crescimento econˆmico.
o
No decorrer do tempo v´rios modelos matem´ticos foram constru´
a
a
ıdos
para estudar o crescimento econˆmico por´m, apenas em 1956, apareceu um
o
e
modelo que capaz de explicar o crescimento a partir do comportamento de
firmas e fam´
ılias, e nõ a partir de hip´teses ad hoc sobre a rela¸ao entre
a
o
c˜
agregados macroeoconˆmicos. Este modelo foi devido a Robert Solow que o
o
apresentou em um artigo chamado “A contribution to the theory of economic
growth”. O comportamento das fam´
ılias era trivial,1 de acordo com a teoria
keynesiana da ´poca assumiu-se que as fam´
e
ılias poupavam uma fra¸ao fixa
c˜
da renda, ou seja,
St = σYt
(1)
onde St representa a poupan¸a, Yt a renda e σ ∈ (0 1) representa a fra¸ao da
c
c˜
renda que ser´ poupada no per´
a
ıodo t. Isto equivale a assumir que o agente
representativo nesta economia trabalha um n´mero fixo de horas ht = 1,
u
poupa ou investe it = σyt , e consome ct = (1 − σ)yt , em cada per´
ıodo. Tal
que h representa o total de horas de cada trabalhador, i o investimento, c o
consumo e y a renda de cada agente.
Da contabilidade nacional sabemos que o investimento, definido como o
total de m´quinas, equipamentos, constru¸oes mais as varia¸oes nos estoques
a
c˜
c˜
das firmas, deve ser igual a poupan¸a a cada per´
c
ıodo, ou seja
It = St = σYt

(2)

tamb´m sabemos que por defini¸ao, o investimento representa a varia¸ao no
e
c˜
c˜
estoque de capital, ou seja
Kt+1 = (1 − δ)Kt + It

(3)

onde δ ∈ (0, 1) representa a taxa de deprecia¸ao do estoque de capital, ou
c˜
seja, a cada per´
ıodo o correspondente a δKt ´ depreciado. Esta equa¸ao ´
e
c˜ e
conhecida na literatura como a lei de movimento do capital.
1

Este problema foi resolvido em 1965 por David Cass (1965) e tamb´m por Tjalling
e
Koopmans (1965).

2

Considere que a popula¸ao cresce a uma taxa η e a tecnologia cresce a
c˜
uma taxa γ, de forma que Nt+1 = (1 + η)Nt e At+1 = (1 + γ)At , isto nos
permite escrever a equa¸ao (3) da seguinte forma:
c˜
Kt+1
(1 − δ)Kt
It
=
+
⇒
At+1 Nt+1
At+1 Nt+1
At+1 Nt+1
(1 − δ)Kt
It
Kt+1
=
+
⇒
⇒
At+1 Nt+1
(1 + γ)At (1 + η)Nt (1 + γ)At (1 + η)Nt
Kt
It
Kt+1
= (1 − δ)
+
⇒ (1 + γ)(1 + η)
At+1 Nt+1
A t Nt A t Nt
definindo a vari´vel por unidade de eficiˆncia como a vari´vel dividida pela
a
e
a
t
mõ-de-obra vezes o n´ de tecnologia, ou seja, fazendo kt = AKNt e it =
a
ıvel
t
It
, temos que:
At N t
(1 + γ)(1 + η)kt+1 = (1 − δ)kt + it .

(4)

Nesta economia existe um unico produto que as firmas produzem de
´
acordo com uma fun¸ao de produ¸ao agregada. Fa¸a esta fun¸ao de produ¸ao
c˜
c˜
c
c˜
c˜
ser Yt = f (Ht , Kt ). Assumimos por hip´tese que o trabalho empregado ´
o
e
idˆntico a popula¸ao, ou seja Ht = Nt . Aplicando o conceito de unidades
e
c˜
de eficiˆncia na fun¸ao de produ¸ao, temos que o produto por unidades de
e
c˜
c˜
eficˆncia ser´ dado por:
e
a
yt = f (kt )
(5)
considerando as equa¸oes (2), (5) temos que:
c˜
(1 + γ)(1 + η)kt+1 = (1 − δ)kt + σf (kt ) = g(kt )

(6)

esta equa¸ao a diferen¸as de primeira ordem, junto com o estoque de capital
c˜
c
inicial (k0 ), determina o comportamento do estoque de capital por unidades
de eficiˆncia e, por consequˆncia, determina como o produto, o consumo,
e
e
etc., se comportam no tempo.
Defini¸õ 1 Um estado estacion´rio do sistema ´ uma solu¸ao para k =
ca
a
e
c˜
g(k).
Dizemos que uma economia encontra-se no estado estacion´rio quando
a
todas as suas vari´veis (estoque de capital, produto, consumo, investimento
a
e poupan¸a) assumirem um valor constante no tempo.
c
Nossas hip´teses implicam que, como mostrado na Figura 1, g(0) = 0,
o
g (0) > 1, e existe um unico k ∗ > 0 tal que k ∗ = g(k ∗ ). Assim, o modelo
´
tem dois estados estacion´rios, k = 0 e k = k ∗ . Al´m disso, para todo
a
e
3

Figura 1: Modelo de Crescimento de Solow

[(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k

...
....

...............................
...............................
.....................
.....................
.....................................................................................................
.......
.........
........
..
........
.......
.......
......
......
σF (kt )
......
......
.....
.....
..
..
.....
.....
....
....

....
....
....
....
....
....
...
...

...
...
...
...
...
...
...

...
.
...
...
..
..
..

..
..
..
..
..
..

..
.
..
..
.
..
..

..
..
..
..
.

..
..
..
.
..

.
..
.
..

.
..
.
..
.
..

.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

k0

kt

k∗

4

k0 > 0, kt → k ∗ (monotonicamente). Assim, quando t → ∞, yt → y ∗ , ct → c∗ ,
etc.
A k ∗ temos que σF (k ∗ ) = [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k ∗ , que implica que a
poupan¸a apenas rep˜e a deprecia¸ao e que a razõ capital-produto ´ k = σ ,
c
o
c˜
a
e y
δ
e
e tamb´m que c∗ = y ∗ − δk ∗ . Claramente, k ∗ ´ crescente em σ . Al´m disso,
e
e
δ
c∗ ´ primeiro crescente e entõ decrescente em σ. A taxa de poupan¸a que
e
a
c
maximiza o consumo do estado estacion´rio pode facilmente ser mostrada
a
que satisfaz F (k ∗ ) = δ; esta ´ a chamada “regra de ouro” da acumula¸ao de
e
c˜
capital de Phelps (veremos em detalhes na se¸ao ).
c˜
Para entendermos o comportamento do modelo de Solow ser´ interesa
sante considerar um exemplo num´rico. Suponha que a taxa de crescimento
e
da popula¸ao seja de aproximadamente 2% a.a. e que a tecnologia, ou a proc˜
dutividade, cres¸a a uma taxa de 2,6% a.a., ou seja, η = 0,02 e γ = 0,026,2
c
assuma tamb´m que a = 0,353 e que a deprecia¸ao ´ de 10% ao ano, ou seja
e
c˜ e
δ = 0, 1. Para diversos valores de s iremos calcular o comportamento do
estoque de capital e do produto quando a economia parte de um estoque de
capital igual a um.4 A Tabela 1 mostra o resultado das simula¸oes.
c˜
Observando a Tabela 1 podemos chegar a duas conclus˜es importantes
o
sobre o modelo de Solow, uma de car´ter mais te´rico e outra capaz de sugerir
a
o
pol´
ıticas macroeconˆmicas. A primeira conclusõ ´ que a partir de um certo
o
a e
per´
ıodo o estoque de capital e o produto por unidades de eficiˆncia chegam
e
a um valor constante. Note que se o produto por unidade de eficiˆncia ´
e
e
constante o consumo e o investimento tamb´m devem ser constantes, visto
e
que ambos sõ fra¸oes do produto. Desta forma podemos dizer que em um
a
c˜
certo momento a economia chegar´ a uma situa¸ao onde todas as vari´veis
a
c˜
a
medidas em unidades de eficiˆncia tornar-se-õ constantes no tempo, quando
e
a
uma economia encontra-se nesta situa¸ao dizemos que ela atingiu o estado
c˜
estacion´rio.
a
A segunda conclusõ diz respeito ao valor do produto no estado estaa
cion´rio, note que quanto maior a taxa de poupan¸a maior ser´ o produto
a
c
a
por unidades de eficiˆncia no estado estacion´rio. Isto sugere que uma mae
a
neira de tornar um pa´ mais rico seria implementar pol´
ıs
ıticas que aumentem
a taxa de poupan¸a, este tipo de pol´
c
ıtica foi perseguida em v´rios pa´
a
ıses,
inclusive no Brasil, como forma de estimular o crescimento da economia. A
2

Estes valores sõ consistentes com os encontrados em Ellery Jr., Gomes e Sachsida
a
(2002) para a economia brasileira.
3
Mais adiante discutiremos o significado de a, por enquanto basta saber que este valor
´ consistente com algumas observa¸oes reportadas para a economia brasileira
e
c˜
4
O valor do estoque de capital inicial nõ ´ relevante para este exerc´
a e
ıcio, a demonstra¸ao
c˜
deste resultado necessita um conhecimento de equa¸oes em diferen¸as e foge ao objetivo
c˜
c
destas notas.

5

Tabela 1: Capital e Produto no Modelo de Solow
s = 0,10
s = 0,15
s = 0,20
s = 0,25
ano

capital

produto

capital

produto

capital

produto

capital

produto

001
002
003
004
005
.
.
.

1
0,9555
0,9158
0,8802
0,8484
.
.
.

1
0,9842
0,9697
0,9563
0,9441
.
.
.

1
1,0033
1,0063
1,0091
1,0116
.
.
.

1
1,0012
1,0022
1,0031
1,0041
.
.
.

1
1,0511
1,0984
1,1421
1,1824
.
.
.

1
1,0176
1,0334
1,0476
1,0604
.
.
.

1
1,0989
1,1919
1,2791
1,3604
.
.
.

1
1,0335
1,0634
1,0900
1,1137
.
.
.

025
.
.
.

0,5960
.
.
.

0,8343
.
.
.

1,0330
.
.
.

1,0114
.
.
.

1,5467
.
.
.

1,1649
.
.
.

2,1281
.
.
.

1,3026
.
.
.

050
.
.
.

0,5593
.
.
.

0,8160
.
.
.

1,0364
.
.
.

1,0126
.
.
.

1,6077
.
.
.

1,1808
.
.
.

2,2614
.
.
.

1,3305
.
.
.

075
.
.
.

0,5560
.
.
.

0,8143
.
.
.

1,0367
.
.
.

1,0127
.
.
.

1,6134
.
.
.

1,1822
.
.
.

2,2739
.
.
.

1,3331
.
.
.

098
099
100

0,5557
0,5556
0,5556

0,8141
0,8141
0,8141

1,0367
1,0367
1,0367

1,0127
1,0127
1,0127

1,6139
1,6139
1,6139

1,1823
1,1823
1,1823

2,2749
2,2749
2,2749

1,3333
1,3333
1,3333

ado¸ao deste tipo de pol´
c˜
ıtica nem sempre ´ bem sucedida, existem dois fatoe
res que muitas vezes nõ sõ levados em conta e que podem comprometer as
a a
pol´
ıticas de incentivo a poupan¸a. O primeiro ´ que, segundo o Modelo de
c
e
Solow, aumentos na taxa de poupan¸a levam a um crescimento do produto
c
por unidades de eficiˆncia no estado estacion´rio, nada pode ser afirmado
e
a
quanto a taxa de crescimento da economia, at´ porque, de acordo com a
e
defini¸ao de estado estacion´rio, a taxa de crescimento seria zero, trataremos
c˜
a
deste problema a seguir. O segundo fator importante ´ que o Modelo de
e
Solow assume que a taxa de poupan¸a ´ constante e determinada de forma
c e
ex´gena, ou seja, as pessoas nõ decidem o quanto poupar, por hip´tese elas
o
a
o
apenas poupam uma determinada fra¸ao de sua renda, nõ importa o que
c˜
a
aconte¸a, esta ´ uma das principais cr´
c
e
ıticas ao Modelo de Solow e consiste em
um problema te´rico que foi resolvido por David Cass e Tjalling Koopmans
o
em 1965, adiante retornaremos a este t´pico.
o

1.1

Poupan¸a e Crescimento no Modelo de Solow
c

Na se¸ao anterior vimos que a partir de um certo momento no tempo as
c˜
vari´veis macroeconˆmicas, medidas em unidades de eficiˆncia, assumem um
a
o
e
6

valor constante, definimos esta situa¸ao como estado estacion´rio. Nõ proc˜
a
a
vamos, mas o exemplo da Tabela 1 sugere que a economia alcan¸a o estado
c
estacion´rio independente do estoque de capital inicial estar acima ou abaixo
a
do valor do estado estacion´rio, de outra forma podemos afirmar que, no Moa
delo de Solow, a economia sempre converge para seu estado estacion´rio.5
a
Afirmar que a economia sempre converge para o estado estacion´rio equia
vale a dizer que, no longo prazo, o produto de uma economia sempre vai
parar de crescer. Este ´ um resultado estranho, mesmo ap´s muitos anos
e
o
da Revolu¸ao Industrial as economias ocidentais continuam a crescer, como
c˜
conciliar este fato com o Modelo de Solow ´ o objetivo desta se¸ao, em outras
e
c˜
palavras procuramos saber como o Modelo de Solow explica o crescimento
de longo prazo.
Uma sa´ tentadora seria argumentar que as economias ainda nõ alıda
a
can¸aram seus estados estacion´rios, que o estado estacion´rio s´ ocorre dec
a
a
o
pois de milhares de anos. Apesar de tentadora esta alternativa nõ resolve
a
nosso problema, de fato, argumentar que a realidade nõ se comporta de
a
acordo com previsto em um modelo porque as condi¸oes do modelo nunca
c˜
sõ alcan¸adas, nõ parece estar de acordo com a idía de falseabilidade que
a
c
a
e
guia o m´todo cientifico. Se tivessemos que seguir por este caminho seria
e
mais apropriado abandonar o Modelo de Solow sob o argumento de que ele
nõ explica a realidade. De fato, o Modelo de Solow apresenta s´rios proa
e
blemas e foi amplamente revisado desde 1956, mas, por enquanto, nõ nos
a
deparamos com estes problemas e o Modelo de Solow pode, e deve, continuar
a ser explorado.6
Uma alternativa muito mais interessante e consistente de abordar a questõ
a
do crescimento no Modelo de Solow ´ considerar as unidades em que as
e
vari´veis estõ sendo medidas. Em nossa an´lise estamos trabalhando com
a
a
a
vari´veis medidas em unidades de eficiˆncia, enquanto ao medir o desema
e
penho das economias costumamos usar vari´veis per-capita, ora o fato da
a
vari´vel estar estacion´ria quando medida em unidades de eficiˆncia nõ ima
a
e
a
plica que ela deva estar estacion´ria quando medida de forma per-capita,
a
considere o produto medido por unidades de eficiˆnica:
e
yt =

Yt
A t Nt

sabemos que o produto per-capita ´ igual ao produto dividido pela popula¸ao,
e
c˜
5

Mais adiante discutiremos melhor a questõ da convergˆncia para o estado estaa
e
cion´rio.
a
6
Apesar de amplamente revisado o Modelo de Solow constinua sendo a referencia fundamental para o estudo do crescimento econˆmico.
o

7

ou seja:

Yt
Nt
onde yt representa o produto per-capita. Consideramos as duas defini¸oes
ˆ
c˜
temos que o produto per-capita pode ser escrito como:
yt =
ˆ

y t = A t yt
ˆ
ou seja, o produto per capita ´ igual ao produto por unidade de eficiˆncia
e
e
multiplicado pela vari´vel que mede o progresso tecnol´gico, qual seja At .
a
o
Para determinar a taxa de crescimento do produto per-capita quando o produto por unidades de eficiˆncia encontra-se no estado estacion´rio, basta usar
e
a
o fato que, no estado estacion´rio, yt+1 = yt = y. Logo temos que, no estado
a
estacion´rio, o produto per-capita ser´ tal que:
a
a
yt = A t y
ˆ
yt+1 = At+1 y = (1 + γ)At y
ˆ
portanto temos que:

yt+1
=1+γ
yt

(7)

De acordo com a equa¸ao (7) quando a economia encontra-se no estado
c˜
estacion´rio, medida em unidades de eficiˆncia, o produto per-capita cresce
a
e
a uma taxa γ, que ´ tamb´m a taxa de crescimento da tecnologia. Podemos
e
e
mostrar que todas as outras vari´veis medidas em termos per-capita crescem
a
a mesma taxa que o produto per-capita, o que caracteriza uma situa¸ao
c˜
conhecida como caminho de crescimento equilibrado.
Defini¸õ 2 Uma economia encontra-se em um caminho de crescimento
ca
equilibrado quando todas as vari´veis macroeconˆmicas crescem a mesma
a
o
taxa.
Desta forma podemos afirmar que quando uma economia se encontra no
caminho de crescimento equilibrado o produto per-capita cresce a uma taxa
igual a do progresso tecnol´gico, dito de outra forma, o Modelo de Solow
o
conclui que, no longo prazo, a taxa de crescimento da economia (determinada pela taxa de crescimento do produto per-capita ser´ igual a taxa de
a
crescimento da produtividade. A principal implica¸ao deste resultado ´ que
c˜
e
aumentar a taxa de poupan¸a nõ aumenta a taxa de crescimento da econoc a
mia no longo prazo.
No curto prazo, por´m, o aumento da taxa de poupan¸a leva a um aue
c
mento da taxa de crescimento da economia. O motivo ´ simples, uma vez
e
8

que a maior taxa de poupan¸a leva a um maior n´ de produto per-capita
c
ıvel
a economia dever´ crecer a uma maior taxa at´ encontrar o novo estado esa
e
tacion´rio. Uma vez que a economia alcan¸a este novo estado estacion´rio,
a
c
a
ou este novo caminho de crescimento equilibrado, o produto per-capita volta
a crescer a uma taxa igual a da produtividade.
`
Podemos fazer um experimento num´rico para avaliar os efeitos de um
e
aumento na taxa de poupan¸a. Considere uma economia onde η = 0,02,
c
γ = 0,026, a = 0,35 e δ = 0,10, assuma tamb´m que a taxa de poupan¸a ´
e
c e
de 15%, ou seja s = 0,15. Suponha que o governo implementa uma pol´
ıtica
que faz com que a taxa de poupan¸a suba para 25%, ou seja, s = 0,25.
c
Como vimos na Tabela 1 o produto por unidades de eﬁciˆncia saltar´ de
e
a
aproximadamente 1,01 para 1,33. Por meio das equa¸oes (4) e (7) podemos
c˜
determinar o comportamento do produto per-capita antes, durante e depois
da transi¸ao para o novo caminho de crescimento equilibrado, que estar´
c˜
a
associado ao novo estado estacion´rio.
a
Figura 2: Caminho de Crescimento Equilibrado com Mudan¸a em σ
c
2.5

2

1.5

1

0.5

0
2000

2020

2040

2060

2080

2100

2120

Na Figura 2 assume-se que a mudan¸a na taxa de poupan¸a ocorreu em
c
c
2010, a area hachureada, que vai de 2010 a 2025, representa o per´
´
ıodo de
transi¸ao, a partir de 2025 a economia volta a seu caminho de crescimento
c˜
equilibrado. Na ﬁgura o produto per-capita est´ representado em escala logaa
ritmica, de forma que a taxa de crescimento da economia ´ igual a inclina¸ao
e
c˜
9

da curva no gr´fico. Desta forma, fica fćil perceber que a taxa de crescimento
a
a
da economia, ou seja, a inclina¸ao da curva, s´ aumenta durante o per´
c˜
o
ıodo
de transi¸ao. A Figura 2 ilustra o que foi discutido acima, de maneira que
c˜
podemos enunciar a seguinte proposi¸ao:
c˜
Proposi¸õ 1 A taxa de poupan¸a ´ importante na determina¸ao do n´vel
ca
c e
c˜
ı
de renda e da taxa de crescimento de curto prazo, por´m a taxa de poupan¸a
e
c
nõ influencia a taxa de crescimento no longo prazo. Quando consideramos
a
o longo prazo a taxa de crescimento da economia ser´ determinada apenas
a
pela taxa de crescimento tecnol´gico, ou seja, a economia s´ ir´ apresentar
o
o a
um crescimento sustent´vel se for capaz de operar com tecnologias cada vez
a
mais produtivas.
Em termos de pol´
ıtica econˆmica a proposi¸ao acima diz que a forma de
o
c˜
o governo aumentar a taxa de crescimento da economia ´ permitir que as
e
empresas adotem as melhores tecnologias. Pol´
ıticas de gerenciamento macroeconˆmico que busquem o aumento da taxa de poupan¸a apenas afetarõ
o
c
a
o crescimento da economia no curto prazo.

1.2

A Regra de Ouro da Acumula¸õ de Capital e a
ca
Ineficiˆncia Dinˆmica
e
a

Para uma dada fun¸ao de produ¸ao e valores de δ, existe um unico valor de
c˜
c˜
´
estado estacion´rio k ∗ > 0 para cada valor da taxa de poupan¸a σ. Vamos
a
c
∗
∗
representar esta rela¸ao por k (σ), tal que dk (σ)/dσ > 0. Do n´
c˜
ıvel do
consumo per-capita de estado estacion´rio temos
a
c∗ (σ) = F (k ∗ (σ)) − [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k ∗ (σ)

(8)

A Figura 3 mostra a rela¸ao entre c∗ e σ que ´ determinada pela equa¸ao
c˜
e
c˜
∗
(8). A quantidade de c ´ crescente em σ para n´
e
ıveis baixos de σ e decrescente
para altos valores de σ. A quantidade de consumo de estado estacion´rio c∗
a
ser´ m´ximo quando
a a
∂c∗ (σ)
∂F (k ∗ (σ)) dk ∗
dk ∗
=
− [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]
=0
∂σ
∂k ∗
dσ
dσ
Dado que c∗ = y ∗ −i∗ . Se chamarmos o valor de k ∗ por kouro , que corresponde
ao estoque de capital que maximiza o consumo de estado estacion´rio c∗ ,
a
entõ a condi¸ao que determina kouro ´
a
c˜
e
∂F (kouro )
= (1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)
∂kouro
10

(9)

Figura 3: Regra de Ouro da Acumula¸ao de Capital
c˜
c∗

couro

............................
.............................
........
......
........
......
.....
......
.....
......
....
.....
.....
.....
....
....
....
....
..
..
....
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....
....
.
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.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.

σouro

σ

Neste caso, a taxa de poupan¸a correspondente ´ denominada σouro , e o n´
c
e
ıvel
associado do consumo por unidades de eficiˆncia no estado estacion´rio ´
e
a
e
dado por couro = F (kouro ) − [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]kouro .
A condi¸ao da equa¸ao (9) ´ chamada a regra de ouro da acumula¸ao de
c˜
c˜
e
c˜
capital, originalmente formulada por Phelps (1966).7 Na Figura 4 mostramos
como funciona a regra de ouro. A figura considera trˆs taxas de poupan¸a
e
c
poss´
ıveis, σ1 , σouro , σ2 , onde σ1 < σouro < σ2 . O consumo por unidade de
eficiˆncia, c, ´ igual a distˆncia vertical entre a fun¸ao de produ¸ao, F (k), e
e
e
a
c˜
c˜
a curva de poupan¸a. Para cada σ, o valor do estoque de capital de estado
c
estacion´rio corresponde k ∗ a interseçao entre a curva σF (k) e a reta [(1 +
a
c˜
γ)(1 + η) − (1 − δ)]k. O valor de c∗ ´ maximizado quando k ∗ = kouro , porque
e
a tangente da fun¸ao de produ¸ao neste ponto ´ paralela a [(1 + γ)(1 + η) −
c˜
c˜
e
(1 − δ)]k. A taxa de poupan¸a que resulta em k ∗ = kouro ´ uma que faz a
c
e
curva σF (k) cortar a reta [(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k no valor kouro .
Quando uma taxa de poupan¸a ´ melhor do que outra? A resposta dic e
reta para esta questõ seria endogeinizar esta escolha ao comportamento
a
das fam´
ılias, ou seja, seria a utiliza¸ao do modelo neocl´ssico de crescimento
c˜
a
Cass-Koopmans. Todavia, podemos fazer uma breve an´lise de est´tica coma
a
parativa para endere¸ar esta questõ. Podemos argumentar que no presente
c
a
7

A fonte deste nome ´ a b´
e
ıblica conduta da regra de ouro. ...

11

Figura 4: A Regra de Ouro e a Ineﬁciˆncia Dinˆmica
e
a
kt+1

[(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)]k ..............................
...................
.....
.....
.......
.......
.......
.......
......
...... F (k)
......
......
.....
.....
......
......

......
......
......
......
.....
.....
......
......
..

..
......
......
...
...
.....
.....

.........................
....
....
.....
.....

...
∂F (k) ........

....
.
....
...
∂k .........

.
c∗
..
2
..
..
..

.

..
..
.
..
..
σ2 F (k)..........

..

..
..
..
............................
............................
.
..................................................................................................
....
..
.
couro
..
..
.
.
..
..................................
..
.....
.....
..
..
.......
.......
..
..
......
......
..
......
..
......
.
..
..............
...
................
..
.....
.........................
........................
..
.....
.
..
.
.
.....
.....
..
∆c..................................................................................................................
..
.....
.....
..
..
....
....
.
..
..
....
...........
..
...........
....
σouro F (k)
.
.
..
.
..........................
....
....
..
.....
.....
..
....
....
........
........
..
...
..
...
.......
.......
..
....
...
..
.....
.....
..
.... .........
.... .........
..
.
..
.
... ....
.. ..... .......
...
.
..
............................
...............................

.. .... ......
.......................................
.....................................
.. .... .....
........................
.......................
.. ... ....
.. ... ....
.. ..... ......
..........................................................................................
.. ..... ......
.. .. ...
...... ......
. .
σ1 F (k)
.
.. .. ....
.... ...
...............................
..
.... ...
...
.... ...
......
......
.... ...
..
... ...
......
......
. .
......
...
.....
......
.
...
...
..
.. ..
.....
.....
.. .
....
.....
....
.....
....
....
....
....
..
....
....
....
....
.... ......
..
....
.
..
..

.
.... .....
...
..
... ..
... ...
..
.. .
.. ..
.. ..

.. .
.. ...
.
... ....
..
..
.. ..
.. .

. .
.. ..
.. ..
.. ..
. .
.. ..
.
.
. .
....
....
.
..
...
....
.. .
...
...
...
...
.
...
..
...
..
..
..
.
.

∗
kouro k2

12

kt

contexto que uma taxa de poupan¸a que sempre exceda σouro ´ ineficiente
c
e
porque maiores quantidades de consumo podem ser obtidas em todos os pontos do tempo atrav´s da redu¸ao da poupan¸a.
e
c˜
c
Considere uma economia tal como descrita pela taxa de poupan¸a σ2 na
c
Figura 4. Neste caso σ2 > σouro , tal que kouro > k2 e c∗ < couro . Imagine que,
2
partindo do estado estacion´rio, a taxa de poupan¸a ´ reduzida permanentea
c e
mente para σouro . Neste caso, o consumo por unidade de eficiˆncia aumenta
e
inicialmente em ∆c, como descrito na Figura 4. Uma vez que c∗ < couro ,
2
conclu´
ımos que durante a transi¸ao para o novo estado estacion´rio o valor
c˜
a
de c sempre ser´ maior do que c∗ . Portanto, quando s > souro , a econoa
2
mia est´ super-poupando, no sentido de que o consumo pode ser aumentado
a
em todos os pontos do tempo pela diminui¸ao da taxa de poupan¸a. Uma
c˜
c
economia que poupa em excesso ´ dita ser dinamicamente ineficiente, pore
que a trajet´ria do consumo por unidades de eficiˆncia permanece abaixo de
o
e
trajet´rias alternativas em todos os pontos do tempo.
o
Se σ1 < σouro , como na Figura 4 entõ o montante do consumo por
a
unidades de eficiˆncia de estado estacion´rio pode ser aumentado por meio
e
a
de um aumento da taxa de poupan¸a. Todavia, deve se notar que o aumento
c
da poupan¸a pode diminuir c ao inv´s de aument´-lo durante o per´
c
e
a
ıodo de
transi¸ao. O resultado final depende por tanto do valor que os indiv´
c˜
ıduos dõ
a
ao consumo ao longo do tempo, questõ esta que apenas pode ser endere¸ada
a
c
com o modelo de crescimento Cass-Koopmans.

2

Res´
ıduo de Solow

Anteriormente vimos que a taxa de crescimento de longo prazo de uma economia ´ determinada pela taxa de crescimento da produtividade. Este ree
sultado ´ comum a outros modelos onde a decisõ de poupar ´ tomada de
e
a
e
forma end´gena mas que preservam as outras hip´teses do Modelo de Solow,
o
o
de fato podemos dizer que esta ´ uma conclusõ comum a teoria neocl´ssica
e
a
a
do crescimento econˆmico, da qual o Modelo de Solow ´ o grande inspirador.
o
e
Desta forma podemos afirmar que, para os te´ricos neocl´ssicos, a produtio
a
vidade ´ o determinante do desempenho de uma economia no longo prazo.
e
O problema desta conclusõ, que tamb´m foi obtida por Adam Smith, ´ que
a
e
e
nõ sabemos como medir a produtividade.
a
Este ´ um problema grave, se nõ podemos medir a produtividade nõ
e
a
a
podemos checar se a Proposi¸ao da se¸ao anterior ´ verdadeira e, portanto,
c˜
c˜
e
nõ poder´
a
ıamos mostrar que o Modelo de Solow est´ errado, como j´ foi
a
a
discutido se nõ ´ poss´ mostrar que um modelo est´ errado, nõ devea e
ıvel
a
a
mos utilizar este modelo pois qualquer proposi¸ao cient´
c˜
ıfica deve poder ser
13

testada. Para resolver o problema da falta de uma medida de produtividade
Solow (1957) sugeriu que esta fosse calculada como um res´
ıduo na fun¸ao de
c˜
produ¸ao.
c˜
Se conhecermos o estoque de capital, o que nem sempre ´ verdade, a mõe
a
de-obra ocupada e o produto de uma economia podemos usar a fun¸ao de
c˜
produ¸ao para obter o n´ de tecnologia, que a partir de agora chamaremos
c˜
ıvel
de produtividade total dos fatores. Se considerarmos a fun¸ao de produ¸ao
c˜
c˜
Cobb-Douglas descrita temos que:
Yt = At Ktθ Nt1−θ
A partir da equa¸ao podemos determinar a produtividade total dos fatores,
c˜
At , de forma bem simples. Basta isolar At na parte esquerda da equa¸ao, ou
c˜
seja:
Yt
At = θ 1−θ
(10)
Kt Nt
uma forma mais elegante, e simples, de calcular a produtividade total dos
fatores seria tomar o logaritmo da equa¸ao (10), ou seja, fazendo:
c˜
ln At = ln Yt − θ ln Kt − (1 − θ) ln Nt

(10 )

como em geral estamos interessados na taxa de crescimento de At o uso de
(10 ) ´ mais recomendado que o de (10).
e
Note que o c´lculo da produtividade toral dos fatores foi feito de forma
a
a que a fun¸ao de produ¸ao fosse observada. Se pensarmos em um contador
c˜
c˜
que deseje fechar o balan¸o de uma firma a produtividade total dos fatores
c
corresponderia a conta lan¸ada sobre a rubrica de outros, ou seja, o c´lculo da
c
a
produtividade total dos fatores (PTF) ´ feito de forma residual. Por tratar-se
e
de um residuo e pelo fato do m´todo de c´lculo ser devido a Solow ´ comum
e
a
e
chamar a produtividade total dos fatores de Res´
ıduo de Solow.

2.1

Contabilidade do Crescimento

Ap´s estudarmos o Res´
o
ıduo de Solow podemos caracterizar os trˆs fatores
e
que sõ respons´veis pelo n´ de produto de uma dada economia, sõ eles:
a
a
ıvel
a
produtividade, capital e trabalho. Tamb´m foi visto que, quando a economia
e
encontra-se em uma trajet´ria de crescimento equilibrado, a taxa de crescio
mento da produtividade ´ quem determina o quanto todas as vari´veis mae
a
croeconˆmicas võ crescer. Entretanto a maioria das economias sõ expostas
o
a
a
a choques que as retiram, mesmo que por pouco tempo, de sua trajet´ria de
o
crescimento equilibrado.
14

Neste caso seria interessante saber a contribui¸o de cada um dos fatores
a
acima para a taxa de crescimento de uma economia. Esta pergunta pode ser
respondida por meio de um exerc´ chamado de Contabilidade do Cresciıcio
mento.
Defini¸õ 3 A Contabilidade do Crescimento nos permite determinar
ca
o quanto a produtividade, o capital e o trabalho contribuem para a taxa de
crescimento de uma determinada economia em um dado peródo de tempo.
ı
Uma maneira simples de fazer a contabilidade do crescimento consiste em
dividir todos os termos da fun¸ao de produ¸ao descrita na equa¸ao (??) pela
c˜
c˜
c˜
popula¸ao, Lt , de forma a obter:
c˜
1−θ
Yt
θ Nt
= A t Kt
Lt
Lt

(11)

a equa¸ao (11) pode ser escrita da forma:
c˜
Yt
= At
Lt

Kt
Nt

θ

Nt
Lt

(11 )

onde o termo do lado esquerdo da equa¸ao representa o produto per-capita, o
c˜
primeiro termo do lado direito representa a produtividade total dos fatores,
o termo entre parˆnteses representa a rela¸ao entre capital e mõ de obra,
e
c˜
a
tamb´m chamado de intensividade do capital e o terceiro termo representa a
e
percentagem da popula¸ao empregada ou esfor¸o do trabalho.
c˜
c
A equa¸ao (11 ) nos mostra que o produto per-capita ´ determinado pela
c˜
e
produtividade, pela intensividade do uso do capital e pela propor¸ao de pesc˜
soas empregadas. A taxa de crescimento do produto per-capita ser´ determia
nada pela soma da taxa de crescimento de cada um dos trˆs termos descritos
e
acima8 , da forma:
ηq = γ + η k + η n
(12)
onde ηq representa a taxa de crescimento do produto per-capita, γ a taxa
de crescimento da produtividade, ηk a taxa de crescimento da rela¸ao cac˜
pital/mõ-de-obra e ηn a taxa de crescimento do emprego. Assim como no
a
caso do Res´
ıduo de Solow, conhecidos ηq , ηk e ηn , ´ poss´ determinar γ de
e
ıvel
forma residual.
Uma pol´
ıtica de crescimento muito usada na Am´rica Latina nas dćadas
e
e
de 50, 60 e 70 era promover a implanta¸ao de ind´strias intensivas em capic˜
u
tal, esta pol´
ıtica era inspirada em uma tese da Comissõ Econˆmica para a
a
o
8

Para chegar a este resultado basta derivar a equa¸ao (11 ) em rela¸ao ao tempo e obter
c˜
c˜
a taxa de crescimento do produto per-capita.

15

Am´rica Latina (CEPAL) que propunha que tais ind´strias agregavam mais
e
u
valor que as ind´strias que nõ sõ intensivas em capital. O resultado deste
u
a a
tipo de pol´
ıtica ´ que, via de regra, os pa´ latino-americanos tiveram seus
e
ıses
crescimento explicado quase que todo por maior uso do capital. Como j´ foi
a
visto este tipo de crescimento s´ ´ sustent´vel no curto prazo9 , de forma que
oe
a
a Am´rica Latina experimentou um grande crescimento neste per´
e
ıodo que
nõ mostrou-se sustent´vel nas dćadas de 80 e 90. A Tabela 2 mostra a
a
a
e
Contabilidade do Crescimento para alguns pa´ latino-americanos.
ıses
Tabela 2: Contabilidade do Crescimento na Am´rica Latina
e
Cresc. do Prod.
Produtividade
Pa´
is
Argentina
Bol´
ıvia
Brasil
Chile
Colombia
Paraguai
Uruguai
Venezuela
M´dia da A.L.
e

60s
3,5
6,7
5,9
4,2
5,5
4,2
1,7
6,1
5,1

70s
3,2
4,5
8,4
2,7
5,5
9,5
2,6
3,0
4,8

80s
-1,7
0,7
1,5
3,1
3,2
1,5
-0,2
0,7
0,6

60s
0,7
3,6
1,5
1,6
2,3
0,8
1,1
3,2
1,9

70s
0,6
0,8
2,5
0,5
2,0
3,6
1,6
-2,4
0,7

80s
-2,6
-0,6
-1,4
0,6
-0,2
-3,8
-0,9
- 2,0
-2,0

Contribui¸ao do(a):
c˜
Capital

60s
2,0
2,0
2,5
1,7
1,6
2,0
0,1
1,0
2,0

70s
2,0
2,4
3,8
0,8
2,0
4,0
0,9
2,6
2,5

80s
0,3
-0,2
1,7
1,0
1,8
3,4
0,4
0,8
1,2

Trabalho

60s
0,8
1,1
1,8
0,9
1,7
1,4
0,4
1,9
1,3

70s
0,6
1,3
2,1
1,5
1,5
1,9
0,1
2,9
1,6

Fonte: De Greg´rio e Lee (1999)
o

Como pode ser observado na Tabela 2 a experiencia de crescimento na
Am´rica Latina deveu-se, principalmente, a acumula¸ao de fatores, desta
e
c˜
forma, de acordo com o Modelo de Solow, este crescimento nõ poderia ser
a
sustentado, ou seja, teria de acabar. As colunas referentes aos anos 80 mostram que, neste aspecto, o Modelo de Solow pode explicar o que ocorreu na
Am´rica Latina e, em particular, no Brasil. Um t´pico que ser´ discutido
e
o
a
mais adiante diz respeito a razõ da queda de produtividade nos anos 80 e
a
90.

2.2

Convergˆncia
e

Foi visto que a economia convergir´ para seu estado estacion´rio indepena
a
dentemente das suas condi¸oes iniciais, ou seja, o n´
c˜
ıvel de renda de uma
9

No longo prazo apenas ganhos de produtividade causam crescimento.

16

80s
0,6
1,5
1,3
1,5
1,5
1,9
0,3
1,9
1,4

determinada economia nõ depende das riquezas que esta possuia no inicio
a
do pocesso de acumula¸ao. Este resultado decorre da hip´tese de rendimentos
c˜
o
decrescentes, a medida que uma economia acumula muito capital, o rendimento deste tende a diminuir e, portanto, a remunera¸ao do capital tende a
c˜
cair, induzindo as pessoas a acumular menos capital, ou seja, investir menos.
Por outro lado, em uma economia com pouco capital o efeito contr´rio deve
a
ocorrer, qual seja, o rendimento do capital deve ser alto de forma a induzir
as pessoas a acumular muito capital, ou seja, investir muito. Desta forma, a
medida que uma economia torna-se mais rica, sua taxa de crescimento, em
unidades de eficiˆncia, torna-se menor.
e
Este resultado levou alguns economistas a estudar uma hip´tese conhecida
o
como convergˆncia entre a renda dos pa´
e
ıses. Segundo esta hip´tese a taxa de
o
crescimento possui uma rela¸ao negativa com a riqueza de um determinado
c˜
pa´ de forma que pa´ pobres tendem a apresentar taxas de crescimento
ıs,
ıses
maiores que a de pa´ ricos. No extremo esta hip´tese corresponde a dizer
ıses
o
que, no longo prazo, a renda de todos os pa´ dever´ se igualar.
ıses
a
Defini¸õ 4 A Hip´tese da Convergˆncia diz que a taxa de crescimento
ca
o
e
de uma economia relaciona-se de forma inversa com a renda, de forma que,
no longo prazo, a renda de todos os pa´ses converge para o mesmo valor.
ı
Este resultado, que decorre do Modelo de Solow, provocou um grande debate entre os economistas, de fato, o desenvolvimento deste debate foi quem,
de certa forma, guiou o desenvolvimento das novas teorias do crescimento
econˆmico. O debate se origina em Baumol (1986), neste trabalho o autor
o
usa uma amostra com 16 pa´ para mostrar a existˆncia de convergˆncia.
ıses
e
e
Entretanto, De Long (1988) argumentou que o resultado obtido por Baumol
deveu-se a escolha dos pa´ 10 , se fosse escolhida uma amostra maior o reıses
sultado de convergˆncia nõ mais seria observado. O resultado de que, para
e
a
uma amostra grande de pa´ escolhidos ao acaso nõ existe convergˆncia
ıses
a
e
tamb´m foi encontrado por outros economistas e pode ser considerado um
e
fato que deve ser explicado pela teoria do crescimento econˆmico. A Fio
gura 5 mostra a rela¸ao entre a taxa de crescimento e o produto per-capita
c˜
para um conjunto de 68 pa´ no per´
ıses
ıodo entre 1955 e 1990, note que nõ
a
11
existe nenhuma rela¸ao significativa entre a taxa de crescimento e o produto
c˜
per-capita.
Uma maneira de conciliar o resultado obtido por De Long com o obtido
por Baumol, foi a hip´tese de clubes de convergˆncia, ou ainda, convergˆncia
o
e
e
10
11

Baumos apenas considerou pa´ que atualmente sõ desenvolvidos.
ıses
a
A linha de regressõ ´ praticamente horizontal.
a e

17

Figura 5: Rela¸ao entre Taxa de Crescimento e Riqueza, 1955 - 1990
c˜
7

6

Taxa de crescimento 1955 − 1990

5

4

3

2

1

0

−1

0

1000

2000

3000

4000
5000
6000
PIB per−capita em 1955

7000

8000

9000

10000

condicional. Segundo esta idía apenas pa´ que guardam determinadas cae
ıses
racter´
ısticas em comum tenderiam a convergir para o mesmo n´ de renda
ıvel
per-capita. Para entender esta idía pode ser interessante determinar o ese
toque de capital do estado estacion´rio, para isto basta impor a condi¸ao de
a
c˜
estado estacion´rio na equa¸ao (6), assumindo a fun¸ao de produ¸ao Cobba
c˜
c˜
c˜
Douglas, de forma a obter:
(1 + γ)(1 + η)k = (1 − δ)k + sk θ
o que implica:
s
k=
(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)

1
1−α

(13)

de forma que o produto por unidades de eficiˆncia no estado estacion´rio ser´
e
a
a
dado por:
α
1−α
s
y=
(14)
(1 + γ)(1 + η) − (1 − δ)
Como mostra a equa¸ao (14), no estado estacion´rio, o valor do produto
c˜
a
medido em unidades de eficiˆncia ´ determinado pelos parˆmetros do modelo.
e
e
a
O tipo de tecnologia utilizada determina os valores da taxa de deprecia¸ao,
c˜
δ, e da participa¸ao do capital, α; as preferˆncias das fam´
c˜
e
ılias determinam a
18

taxa de poupan¸a; os fatores institucionais determinam a taxa de crescimento
c
da produtividade, γ. A proposta dos clubes de convergˆncia assume que
e
pa´ semelhantes tenderiam a dotar tecnologias semelhnates, possuir taxas
ıses
de poupan¸as pr´ximas uma das outras e dispor de sistemas institucionais que
c
o
permitam o mesmo ritmo de ado¸ao tecnol´gicas. Ao contr´rio da hip´tese
c˜
o
a
o
de convergˆnica, os clubes de convergˆncia nõ sõ refutados pelas evidˆncias
e
e
a a
e
emp´
ıricas.
Figura 6: Clubes de Convergˆncia
e
2

4

3.5
1.5


3

1

0.5

2.5

2

1.5

1
0
0.5

−0.5

0

1000

2000

3000
4000

5000

6000

0

7000

(a) Am´rica do Sul
e

0

1000

2000

3000

4000
5000 6000

7000

8000

9000

10000

(b) Europa

Como pode ser observado nas figuras 6a e 6b existe um claro processo
de convergˆncia tanto entre os pa´ da Europa quanto entre os pa´ da
e
ıses
ıses
Am´rica do Sul, de fato, ambas as figuras mostram retas de regressõ com
e
a
forte inclina¸ao negativa. A Figura 6 tamb´m mostra que a convergˆncia na
c˜
e
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Europa ocorre de forma mais velos que na Am´rica do Sul.
e
A proposta dos clubes de convergˆncia tenta resolver o problema emp´
e
ırico
da ausˆncia de convergˆncia a partir da idía de que pa´ diferentes devem
e
e
e
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ser descritos por parˆmetros diferentes, ou seja, as diferen¸as entre as tecnoloa
c
gias utilizadas e entre as preferˆncias dos agentes determinariam a riqueza de
e
longo prazo da economia, se os pa´ forem muitos diferentes nõ h´ porque
ıses
a a
esperar convergˆncia. Apesar do apelo emp´
e
ırico dos clubes de convergˆncia
e
alguns autores buscaram ir mais al´m no problema de por que existem pa´
e
ıses
ricos pa´ pobres.
ıses
19

Alguns autores argumentam que a hip´tese de rendimentos decrescentes
o
e sua implica¸— ao de as economias convergem para um estadoe stacion´rio,
c
a
ou um caminho de crescimento equilibrado, deve ser alterada, nesta linha
de pesuisa surge a nova teoria do crescimento econˆmico, nesta linha Roo
mer (1986) sugere que externalidades associadas ao capital podem explicar
a nõ convergˆncia; Lucas (1988) aponta na dire¸ao das externalidades assoa
e
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ciadas ao capital humano; e, finalmente, Romer (1990) sugere que a solu¸ao
c˜
pode estar na existˆncia de Pesquisa & Desenvolvimento (P & D) e poder de
e
monop´lio. Em outra dire¸ao Parente e Prescott (2000) sugerem que difeo
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ren¸as na tecnologia adotada pode ser a explica¸ao para a existˆncia de pa´
c
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e
ıses
pobres e pa´ ricos, estes autores argumentam que estas diferen¸as nas tecıses
c
nologias adotadas decorrem de diferentes arranjos institucionais. Estas e
outras teorias para explicar o crescimento de uma economia serõ estudadas
a
nas pr´ximos unidades.
o

Referˆncias
e
[1] Barro, Robert J. e Xavier Sala-i-Martin. Economic Growth. New York,
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sources and prospects. Nõ-publicado, 1999.
a
[5] De Long, Bradford. “Productivity growth, convergence, and welfare:
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[11] Romer, Paul M. “Endogenous technological change.” Journal of Political
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[12] Solow, Robert M. “A contribution to the theory of economic growth.”
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[13] Solow, Robert M. “Technical change and the aggregate production function.” Review of Economics and Statistics, 39, August, 1957, pp. 312320.

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