20120309 formal semantics shilov_lecture04
Download as PPT, PDF0 likes192 views
Документ обсуждает формальную семантику программного обеспечения и верификацию программ через призму великих научных проблем, выделяя вклад Антони Хоара в область языков программирования. Основное внимание уделяется важности автоматизации процессов проверки и отладки программ, а также методам формальной верификации, включая метод Флойда и метод потенциалов для доказательства корректности программ. Приводятся примеры и упражнения для иллюстрации применения этих методов в вычислительных задачах.
![Неформальное введение
в формальную верификацию
• Для вычислительных программ используют два
вида логических спецификаций, которые
называются:
– условиями частичной корректности,
– условиями тотальной корректности.
• Эти условия имеют вид {ϕ}π{ψ} и [ϕ]π[ψ]
соответственно, где π – программа, предусловие
ϕ – это условие на входные данные, которое
требуется перед исполнением программы π, а
постусловие ψ – это условие на выходные
данные, гарантируемое после исполнения
программы π.
03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 12](https://image.slidesharecdn.com/20120309formalsemanticsshilovlecture04-120310093550-phpapp01/85/20120309-formal-semantics-shilov_lecture04-12-320.jpg)
![Неформальное введение
в формальную верификацию
• Говорят, что условие частичной корректности
[ϕ]π[ψ] истинно (верно), или что программа π
частично корректна по отношению к предусловию
ϕ и постусловию ψ (обозначение |=[ϕ]π[ψ]), если
на любых входных данных, которые
удовлетворяют свойству ϕ, любое вычисление
программы π останавливается с выходными
данными, которые удовлетворяют свойству ψ.
03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 14](https://image.slidesharecdn.com/20120309formalsemanticsshilovlecture04-120310093550-phpapp01/85/20120309-formal-semantics-shilov_lecture04-14-320.jpg)
![Пример Э. Дейкстры
применения метода потенциалов
• Для любого значения X типа СОЕД примем в
качестве его потенциала P(X) сумму длин
отрезков, которые входят в X: P(X)= Σ[B,W]∈X |B,W|.
• В силу неравенства треугольника |B’W”| + |B,W’|
< |B’W’| + |B,W’|.
03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 30](https://image.slidesharecdn.com/20120309formalsemanticsshilovlecture04-120310093550-phpapp01/85/20120309-formal-semantics-shilov_lecture04-30-320.jpg)
![Пример Э. Дейкстры
применения метода потенциалов
• Поэтому
P(X) = (Σ[B,W]∈X|B,W|) =
= (|B',W'| + |B",W"|) + (Σ[B,W]∈X{[B',W'],[B",W"]} |B,W|) >
>(|B',W"| + |B",W'|) + (Σ[B,W]∈X{[B',W'],[B",W"]} |B,W|) =
= (Σ[B,W]∈ЩЁЛК(X) |B,W|) = P(ЩЁЛК(X)).
• Следовательно, согласно методу потенциалов,
программа (вернее, алгоритм) завершает свою
работу.
03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 31](https://image.slidesharecdn.com/20120309formalsemanticsshilovlecture04-120310093550-phpapp01/85/20120309-formal-semantics-shilov_lecture04-31-320.jpg)
20120309 formal semantics shilov_lecture04
- 1. Computer Science клуб - Екатеринбург Март 2012 Fun with Formal Program Semantics (О формальной семантике программ – просто) Шилов Николай Вячеславович 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 1
- 2. Тема 4: Верификация программ с точки зрения семантики языков программирования (на примере диалекта ToyPL) 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 2
- 3. Великие научные проблемы • В 1980 г. премии Тьюринга был удостоен Антони Хоар за «основополагающий вклад в определение и разработку языков программирования». • По-видимому, такое признание заслуг А. Хоара может служить весомым аргументом для того, чтобы прислушаться к тому, что Антони Хоар называет Великими проблемами программирования как науки. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 3
- 4. Великие научные проблемы • По мнению А. Хоара, для того, чтобы какая-либо научная проблема могла называться Великой, она должна удовлетворять следующему ряду требований: – проблема должна носить фундаментальный характер, её решение будет иметь прежде всего научное значение; – решение может иметь и прикладное значение, но в масштабах всего человечества; 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 4
- 5. Великие научные проблемы – решение проблемы может потребовать десятилетий скоординированных усилий учёных и коллективов мирового класса; – есть чёткие критерии успеха или провала в решении проблемы. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 5
- 6. Великие научные проблемы • А. Хоар приводит примеры решённых Великих научных проблем: – полёт человека на Луну, – расшифровка генома человека, – доказательство Великой теоремы Ферма. • А в качестве примера «проваленной» Великой научной проблемы А. Хоар приводит проблему лечения рака: как оказалось, различных причин развития рака слишком много, а механизмы его развития слишком сложны для того, что бы надеяться на панацею. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 6
- 7. Великие проблемы программирования 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 7
- 8. Проблема верифицирующего транслятора • Решение проблемы Верифицирующего Транслятора может иметь огромное значение в эпоху информационных технологий, т.к. – проверка синтаксической правильности программы и её трансляция в исполняемый машинный код осуществляется полностью автоматически, – но этап отладки программ до сих пор плохо автоматизирован. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 8
- 9. Великие верифицирующего транслятора • Воспользуемся следующим образным сравнением Владимира Анатольевича Захарова: – Средства отладки программы, которые входят в состав всякой развитой системы программирования, могут помочь разработчику в той же мере, в какой лопата оказывает помощь кладоискателю. Главные вопросы - где копать и стоит ли копать вообще? 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 9
- 10. Великие верифицирующего транслятора – Здесь скорее пригодилось бы устройство наподобие металлоискателя. Но хороший металлоискатель - это тонкий инструмент, требующий знания его устройства и умелого обращения. Так что кроме лопаты неплохо бы использовать и автоматические системы поиска ошибок и проверки правильности функционирования программ… 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 10
- 11. Неформальное введение в формальную верификацию • Формальная верификация – это доказательство специфицированных программ, т.е. программ, свойства которых специфицированы некоторым специальным образом. • Вычислительная программа – это программа, которая за конечное время преобразует начальные (входные) в заключительные (выходные) значения. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 11
- 12. Неформальное введение в формальную верификацию • Для вычислительных программ используют два вида логических спецификаций, которые называются: – условиями частичной корректности, – условиями тотальной корректности. • Эти условия имеют вид {ϕ}π{ψ} и [ϕ]π[ψ] соответственно, где π – программа, предусловие ϕ – это условие на входные данные, которое требуется перед исполнением программы π, а постусловие ψ – это условие на выходные данные, гарантируемое после исполнения программы π. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 12
- 13. Неформальное введение в формальную верификацию • Говорят, что условие частичной корректности {ϕ}π{ψ} истинно (верно), или что программа π частично корректна по отношению к предусловию ϕ и постусловию ψ (обозначение |={ϕ}π{ψ}), если на любых входных данных, которые удовлетворяют свойству ϕ, программа π или не останавливается (зацикливается, зависает и т.п.), или останавливается с выходными данными, которые удовлетворяют свойству ψ. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 13
- 14. Неформальное введение в формальную верификацию • Говорят, что условие частичной корректности [ϕ]π[ψ] истинно (верно), или что программа π частично корректна по отношению к предусловию ϕ и постусловию ψ (обозначение |=[ϕ]π[ψ]), если на любых входных данных, которые удовлетворяют свойству ϕ, любое вычисление программы π останавливается с выходными данными, которые удовлетворяют свойству ψ. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 14
- 15. Неформальное введение в формальную верификацию • Таким образом, для детерминированных программ разница между частичной и тотальной корректностью состоит в завершаемости программы: частичная корректность допускает неостановку программы, а тотальная – запрещает. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 15
- 16. Неформальное введение в формальную верификацию • Для доказательства специфицированных вычислительных программ существуют два метода, разработанных Р. Флойдом в 1960-х гг. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 16
- 17. Метод Р. Флойда доказательства частичной корректности // Предусловие метода. { {ϕ}π{ψ} – условие частичной корректности детерминированной программы } • Представить программу π графически в виде блок-схемы и выбрать множество контрольных точек (на дугах), включающее начало и конец программы, такое, чтобы любой цикл по графу блок-схемы содержал контрольную точку. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 17
- 18. Метод Р. Флойда доказательства частичной корректности // Аннотация «инвариантами». • Сопоставить началу программы предусловие ϕ, концу программы – постусловие ψ, а каждой из оставшихся контрольных точек – некоторое (своё) условие «инвариант» этой точки. • Построить множество «участков» L, состоящее из всех невырожденных ациклических маршрутов по графу блок-схемы программы между всеми парами контрольных точек. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 18
- 19. Метод Р. Флойда доказательства частичной корректности // Доказательство инвариантов. • Для каждого участка из L доказать: если условие, сопоставленное началу участка, верно перед началом исполнения участка, то условие, сопоставленное концу участка, верно после исполнения этого участка. // Постусловие метода. • {|={ϕ}π{ψ}, т. е. программа π частично корректна по отношению к предусловию ϕ и постусловию ψ} 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 19
- 20. Метод Р. Флойда доказательства частичной корректности • Заметим, что метод Р. Флойда для условий частичной корректности не является алгоритмом, так как он описан (по-просту говоря) неформально, включает необходимось придумать и доказать инварианты. • В силу своей неформальности его корректность неможет быть доказана (как и корректность метода математической индукции), а только «показана». 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 20
- 21. Метод Р. Флойда доказательства частичной корректности • Упражнение #1: Покажите, что если условие частичной корректности верно, то всегда можно выбрать контрольные точки и приписать им инварианты таким образом, который гарантирует успешное применение метода Р. Флойда. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 21
- 22. Понятие о методе потенциалов • Метод Р. Флойда для доказательства условий тотальной корректности называется методом потенциалов, он применим только к детерминированным программам. • Частный случай применения этого метода для доказательства завершаемости детерминированных программ кратко можно описать следующим образом: 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 22
- 23. Понятие о методе потенциалов – выбирается конечное множество числовых значений, которые называются потенциалами; – каждому возможному набору значений используемых переменных сопоставляется некоторый потенциал; – тогда, если каждое исполнение тела любого цикла в алгоритме уменьшает значение потенциала, то алгоритм завершает работу. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 23
- 24. Понятие о методе потенциалов • Метод Р. Флойда тоже не является алгоритмом, так как необходимо придумать фундированное множество, отображение в это множество и доказать, что потенциалы убывают в результате выполнения циклов. • Корректность метода потенциалов также невозможно формально доказать, а только неформально обосновать. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 24
- 25. Пример Э. Дейкстры применения метода потенциалов • Задача начальника порта – На рейде порта с N причалами находится ровно N кораблей. Начальник порта получает сообщение о штормовом предупреждении и должен назначить каждому из кораблей его определенный (индивидуальный) причал. – Положения всех кораблей в момент получения штормового предупреждения известны. Положения причалов фиксированы и тоже известны. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 25
- 26. Пример Э. Дейкстры применения метода потенциалов – Непосредственно в этот момент никакое препятствие (особенности береговой линии, расположение других причалов или положение других кораблей на рейде) не мешает любому из кораблей двигаться прямо к любому из причалов. – Во избежание столкновений маршруты кораблей не должны пересекаться. • Помогите начальнику порта распределить корабли по причалам. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 26
- 27. Пример Э. Дейкстры применения метода потенциалов • Геометрическая модель проблемы – это N чёрных и N белых точек на плоскости, соответствующих положениям кораблей на рейде и расположению причалов, а возможные (гипотетические) маршруты – отрезки прямых между белыми и чёрными точками. • По условию задачи никакие три из этих точек не являются коллинеарными (т. е. не лежат на одной прямой). 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 27
- 28. Пример Э. Дейкстры применения метода потенциалов • Необходимо построить (если это вообще возможно) N попарно непересекающихся отрезков, у каждого из которых один конец – это некоторая белая точка, а другой – некоторая чёрная точка. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 28
- 29. Пример Э. Дейкстры применения метода потенциалов VAR X: СОЕД; X:= ПЕРВ ; WHILE ¬ХОР(X) DO X := ЩЁЛК(X) OD. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 29
- 30. Пример Э. Дейкстры применения метода потенциалов • Для любого значения X типа СОЕД примем в качестве его потенциала P(X) сумму длин отрезков, которые входят в X: P(X)= Σ[B,W]∈X |B,W|. • В силу неравенства треугольника |B’W”| + |B,W’| < |B’W’| + |B,W’|. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 30
- 31. Пример Э. Дейкстры применения метода потенциалов • Поэтому P(X) = (Σ[B,W]∈X|B,W|) = = (|B',W'| + |B",W"|) + (Σ[B,W]∈X{[B',W'],[B",W"]} |B,W|) > >(|B',W"| + |B",W'|) + (Σ[B,W]∈X{[B',W'],[B",W"]} |B,W|) = = (Σ[B,W]∈ЩЁЛК(X) |B,W|) = P(ЩЁЛК(X)). • Следовательно, согласно методу потенциалов, программа (вернее, алгоритм) завершает свою работу. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 31
- 32. Метод потенциалов доказательства завершаемости • Упражнение #2: Покажите, что если детерминированный алгоритм (программа) завершается, то всегда можно выбрать потенциальную функцию, которая гарантирует успешное применение метода потенциалов. 03/10/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 32 32