20120309 formal semantics shilov_lecture05
Download as PPT, PDF0 likes332 views
Документ представляет собой лекцию о формальной семантике программирования и верификации программ на основе языка toypl, проведённую Николаем Шиловым. Основное внимание уделяется аксиоматической семантике, квазидоказательствам и инвариантам циклов в аннотированных программах. Также рассматриваются алгоритмы для автоматизации построения условий корректности и процесс верификации аннотированных toypl-программ.
20120309 formal semantics shilov_lecture05
- 1. Computer Science клуб - Екатеринбург Март 2012 Fun with Formal Program Semantics (О формальной семантике программ – просто) Шилов Николай Вячеславович 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 1
- 2. Тема 4: Верификация программ с точки зрения семантики языков программирования (на примере диалекта ToyPL) Продолжение лекции от 10.03.12 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 2
- 3. Основы верификации программ ToyPL Уже знакомая нам аксиоматическая семантика ToyPL 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 3
- 4. Основы верификации программ ToyPL • Специфицированная ToyPL программа – это тройка Хоара, в которой пред- и пост-условия – формулы первого порядка над Z/2N, а программа – это программа ToyPL. • Аксиоматическая семантика специфицированной ToyPL-программы – это любое её доказательство в аксиоматической семантике. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 4
- 5. Основы верификации программ ToyPL • В силу надёжности аксиоматической семантики ToyPL, если специфицированная ToyPL-программа {ϕ}α{ψ} имеет аксиоматическую семантику, то {ϕ}α{ψ} – истинная тройка Хоара. • В силу полноты аксиоматической семантики ToyPL, если специфицированная ToyPL-программа {ϕ}α{ψ} – истинная тройка Хоара, то {ϕ}α{ψ} имеет аксиоматическую семантику. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 5
- 6. Основы верификации программ ToyPL • Как следует из доказательства утверждения о надёжности и полноте аксиоматической семантики для языка ToyPL, – поиск доказательства специфицированная ToyPL-программы – алгоритмическая, – но неэффективная процедура, использующая явное построение слабейших предусловий. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 6
- 7. Основы верификации программ ToyPL • Как следует из доказательства утверждения о надёжности и полноте аксиоматической семантики для языка ToyPL,поиск доказательства специфицированная ToyPL-программы – алгоритмическая, – но неэффективная процедура в силу генерации слабейших предусловий. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 7
- 8. Основы верификации программ ToyPL • При переходе от ToyPL к его диалекту, в котором единственный тип данных – математические целые числа Z (а не кольцо вычетов Z/2N) поиск доказательства специфицированной программы вообще перестаёт быть алгоритмической процедурой в силу – неэффективности алгоритма генерации слабейших предусловий – и неразрешимости теории первого порядка кольца целых чисел Z. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 8
- 9. Основы верификации программ ToyPL • Квазидоказательство специфицированной ToyPL- программы – это любое «доказательство» в аксиоматической семантике, в котором при использовании правила Stretching (усиления предусловия и ослабления заключения) не проверяются условия его применения. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 9
- 10. Основы верификации программ ToyPL • Все формулы первого порядка, встречающиеся в квазидоказательстве в качестве условий применения правила Stretching, называются условиями корректности этого квазидоказательства. • Очевидно, что специфицированная ToyPL- программа корректна, если для неё есть квазидоказательство, в котором все условия корректности – истинные формулы (над Z/2N). 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 10
- 11. Основы верификации программ ToyPL • Для того, чтобы автоматизировать процесс доказательства специфицированных программ, разработчику программы и ее спецификации (ее предусловия и постусловия) предлагается аннотировать все циклы программы утверждениями, которые разработчик считает инвариантами этих точек (т.е. которые остаются верными при каждой легальной итерации тела соответствующего цикла). 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 11
- 12. Основы верификации программ ToyPL • Аннотированная ToyPL-программа – это специфицированная программа, в которой каждый цикл «while-do» аннотирован некоторой формулой, которая называется инвариантом этого цикла. • В дальнейшем лексему «WHILE» цикла, аннотированного инвариантом ι, будем записывать в виде «WHILEι». 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 12
- 13. Пример аннотированной ToyPL-программы {ϕ}(((x:=1 ; y:=1) ; ( WHILEι y≤z DO (y:=y+2×x+1 ; x:=x+1))) ; x:=x–1){ψ} где ϕ ≡ (z≥1), ψ ≡ (x2≤ z ∧ (x+1)2> z), ι ≡ (y=x2 ∧ (x-1)2≤ z). 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 13
- 14. Правильные (квази)доказательства аннотированных программ • (Квази)доказательство в аксиоматической семантике аннотированной программы называется правильным, если в этом (квази)доказательстве все правила для цикла используют инварианты этих циклов: 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 14
- 15. Пример правильного квазидоказательства для аннотированной ToyPL-программы 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 15
- 16. Пример правильного квазидоказательства для аннотированной ToyPL-программы 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 16
- 17. Пример правильного квазидоказательства для аннотированной ToyPL-программы 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 17
- 18. Пример правильного квазидоказательства для аннотированной ToyPL-программы • Как видно из квазидоказательства, его условия корректности – это следующие три формулы: 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 18
- 19. Пример правильного квазидоказательства для аннотированной ToyPL-программы • Упражнение #1: Является ли приведённое квазидоказательство доказательством для языка ToyPL? А для диалекта ToyPL, в котором переменные интерпретируются математическими целыми числами Z? Ответ объяснить. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 19
- 20. О генерации условий корректности для ToyPL • Для автоматизации построения условий корректности для аннотированных программ определим два рекурсивных алгоритма AC (от «Annotation Condition») и VC (от «Verification Condition»). • Оба алгоритма имеют два аргумента: аннотированная программа и формула первого порядка. Алгоритм AC возвращает формулу, а алгоритм VC – конечное множество формул. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 20
- 21. О генерации условий корректности для ToyPL 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 21
- 22. О генерации условий корректности для ToyPL • Утверждение 1: Для любой аннотированной ToyPL-программы δ и формулы первого порядка ξ над кольцом вычетов тройка Z/2N аннотированная программа {AC(δ, ξ)}δ{ξ} имеет правильное квазидоказательство, условия корректности которого – это формулы из VC(δ, ξ) и некоторые пропозициональные тавтологии. • Упражнение #2: Попробуйте доказать утверждение 1 индукцией по структуре аннотированной программы. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 22
- 23. О генерации условий корректности для ToyPL • Из доказанного утверждения следует, что любая аннотированная ToyPL-программа {ϕ}α{ψ} имеет правильное квазидоказательство, в котором все условия корректности – это пропозициональные тавтологии, формулы множества VC(α, ψ) и формула (ψ → AC(α, ψ)). 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 23
- 24. О генерации условий корректности для ToyPL • Утверждение 2: Для любой аннотированной ToyPL-программы {ϕ}α{ψ} всякое её правильное доказательство может быть перестроено в правильное доказательство, в котором все условия корректности – это пропозициональные тавтологии, формулы множества VC(α, ψ) и формула (ϕ → AC(α, ψ)). • Упражнение #3: Попробуйте доказать утверждение 2 индукцией по высоте исходного правильного доказательства. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 24
- 25. О генерации условий корректности для ToyPL • Вывод: Для верификации аннотированной ToyPL- программы {ϕ}α{ψ} не надо искать доказательство, но можно и надо – cгенерировать множество условий корректности VC(α, ψ) ∪ {(ϕ → AC(α, ψ))} – и проверить истинность всех этих формул в кольце вычетов Z/2N. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 25 25