20120309 formal semantics shilov_lecture06
Download as PPT, PDF0 likes450 views
Документ представляет собой материалы к лекции о формальной семантике программ, с акцентом на денотационную семантику языка программирования ToyPL. В нем рассматриваются синтаксические элементы, аксиоматическая семантика, теоремы, комбинаторы и основные свойства лямбда-исчисления. Также указаны темы и важные даты для предстоящего международного семинара по семантике и верификации программ.
![Реляционная денотационная семантика
ToyPL
• Assign the elements of the algebra to ToyPL-
programs and the operations of this algebra toToyPL-
constructs as follows:
• [[x:=t]]= UPDx,t;
• [[(...)]]= I = λF.F;
• [[;]]= ◦ = λF,G.(F ◦ G);
• [[if ϕ then...else...]] = IFϕ = λF,G. IFϕ(F,G);
• [[while ϕ do...]]= WHϕ = λF.WHϕ(F);
• [[prog_constr(α,β,...)]]=[[prog_constr]]([[α]] ,
[[β]] ,...) for every prog_constr∈{ ; , if−then...else...,
while−do...}.
03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 10](https://image.slidesharecdn.com/20120309formalsemanticsshilovlecture06-120314003733-phpapp01/85/20120309-formal-semantics-shilov_lecture06-10-320.jpg)
![Реляционная денотационная семантика
ToyPL
• Relational denotational semantics for ToyPL is sound
and complete with respect to SOS ToyPL semantics in
the following sense.
• Statement 1: ForeveryToyPL-program α the following
holds:
– Soundness: For all states s′, s′′, if |=ToyPL s′<α>s′′
then [[α]](ss′)= ss′′ for all super-states ss′=(ss′|α)
and ss′′=(ss′′|α) that are equal on all variablesin
VRSVAR(α).
– Completeness: For all super-states ss′ and ss′′, if
[[α]](ss′) = ss′′, then |=ToyPL(ss′|α)<α>(ss′′|α).
03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 11](https://image.slidesharecdn.com/20120309formalsemanticsshilovlecture06-120314003733-phpapp01/85/20120309-formal-semantics-shilov_lecture06-11-320.jpg)
![Стандартные комбинаторы
• Для любых термов M иN имеем
– «свёртка» [M,N] ≡ [_,_]MN = λz.zMN,
– «проекции» ([M,N])0=M и ([M,N])1=N.
• Упражнение #7: Проверьте приведённые свойства
комбинаторов булевских значений, композиции,
если-то-иначе, свёртки и проекций.
03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 24](https://image.slidesharecdn.com/20120309formalsemanticsshilovlecture06-120314003733-phpapp01/85/20120309-formal-semantics-shilov_lecture06-24-320.jpg)
![Натуральные числа
• Для каждого n∈N определим комбинатор {n} по
индукции: {0} ≡ λx.x и {n+1} ≡ [F,{n}].
• Комбинаторы «следующий» S ≡ λx.[F,x],
«предшественник» P ≡ λx.xF и «ноль-тест» Z ≡
λx.xT.
• Для любого n∈N имеем:
– S{n} = {n+1} и P{n+1} = {n},
– Z{0} = T и Z{n+1} = F.
• Упражнение #8: Проверьте приведённые свойства
следующий, предшественник и ноль-тест.
03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 25](https://image.slidesharecdn.com/20120309formalsemanticsshilovlecture06-120314003733-phpapp01/85/20120309-formal-semantics-shilov_lecture06-25-320.jpg)
![Идея в основе классической денотационной
семантике для ToyPL
• [[;]] = comp
• [[if-then-else]] = if-th-el
• [[while-do]] = (fix)(if-th-el)
03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 26](https://image.slidesharecdn.com/20120309formalsemanticsshilovlecture06-120314003733-phpapp01/85/20120309-formal-semantics-shilov_lecture06-26-320.jpg)
20120309 formal semantics shilov_lecture06
- 1. Computer Science клуб - Екатеринбург Март 2012 Fun with Formal Program Semantics (О формальной семантике программ – просто) Шилов Николай Вячеславович 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 1
- 2. Тема 3: Понятие о денотационной семантике языков программирования (на примере ToyPL) 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 2
- 3. Реляционная денотационная семантика ToyPL • Let VRS be the set of all variables that are admissible in ToyPL and let SupSts be the set of all total functions ss: VRS → Z/2N.Letusdenote • Thus, for every super-state ss and every ToyPL- program α, the restriction (ss|α)of ss on the set VAR(α) is a state of α. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 3
- 4. Реляционная денотационная семантика ToyPL • Let SupSts⇒SupSts denote the set of all partial functions f:SupSts → SupSts. • Some useful functions in this set are defined below: – abort is the totally undefined function ∅ on super-states; – skip is the identical function λss.ss on super- states; – for every condition ϕ the test function ϕ?= {(ss,ss): ss |= ϕ}; – for every variable x and every expression t the update function UPDx,t = λss. upd(ss, x, ss(t)). 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 4
- 5. Реляционная денотационная семантика ToyPL • Several operations can be defined on functions in SupSts ⇒SupSts: – the unary identity operation I = λF.F; – binary composition operation such that (F◦G)(ss)= G(F(ss)) for allfunctions F,G∈(SupSts⇒SupSts) and every super-state ss; – (in)finitary union operation such that (∪m∈MFm) (ss)= Fm(ss), if ss∈dom(Fm) for every (finite or infinite) family of functions Fm∈(SupSts⇒SupSts), m∈M, with disjoint domains, and everysuper- state ss. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 5
- 6. Реляционная денотационная семантика ToyPL • Some other useful operations can be derived as follows: – for every m≥0 a unary m-power operation such that F0= skip, F1= F and Fm+1 F◦Fm for every function F∈(SupSts⇒SupSts); – a binary union operation (F1∪F2)= ∪m∈{1,2}Fm for all functions F1, F2 with disjoint domains; 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 6
- 7. Реляционная денотационная семантика ToyPL – for every condition ϕ, a binary choice operation IFϕ such that IFϕ(F,G)= ((ϕ? ◦ F) ∪ ((¬ϕ)? ◦ G)) for all functions F,G∈(SupSts⇒SupSts); • Упражнение #1: Проверте, что (ϕ?◦F) и ((¬ϕ)?◦G) дизъюнктивны (т.е. имеют непересекающиеся области определения). 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 7
- 8. Реляционная денотационная семантика ToyPL – for every condition ϕ, a unary loop operation WHϕ such that WHϕ(F)= (∪m≥0((ϕ? ◦ F)m ◦(¬ϕ)?) for every function F∈(SupSts⇒SupSts). • Упражнение #2: Проверьте, что все функции (ϕ? ◦F)m◦(¬ϕ)?, m ≥ 0, дизъюнктивны. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 8
- 9. Реляционная денотационная семантика ToyPL • Now we are ready to define the relational (denotational) semantics forToyPL. Let us consider the following algebra ⟨(SupSts⇒SupSts), I,◦, UPD, IF, WH⟩, • where – UPD is the set of all update operations UPDx,t for all variables x and expressions t, – IF is the set of all choice operations IFϕ for every condition ϕ, – WH is the set of all loop operations WHϕ for every condition ϕ. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 9
- 10. Реляционная денотационная семантика ToyPL • Assign the elements of the algebra to ToyPL- programs and the operations of this algebra toToyPL- constructs as follows: • [[x:=t]]= UPDx,t; • [[(...)]]= I = λF.F; • [[;]]= ◦ = λF,G.(F ◦ G); • [[if ϕ then...else...]] = IFϕ = λF,G. IFϕ(F,G); • [[while ϕ do...]]= WHϕ = λF.WHϕ(F); • [[prog_constr(α,β,...)]]=[[prog_constr]]([[α]] , [[β]] ,...) for every prog_constr∈{ ; , if−then...else..., while−do...}. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 10
- 11. Реляционная денотационная семантика ToyPL • Relational denotational semantics for ToyPL is sound and complete with respect to SOS ToyPL semantics in the following sense. • Statement 1: ForeveryToyPL-program α the following holds: – Soundness: For all states s′, s′′, if |=ToyPL s′<α>s′′ then [[α]](ss′)= ss′′ for all super-states ss′=(ss′|α) and ss′′=(ss′′|α) that are equal on all variablesin VRSVAR(α). – Completeness: For all super-states ss′ and ss′′, if [[α]](ss′) = ss′′, then |=ToyPL(ss′|α)<α>(ss′′|α). 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 11
- 12. Реляционная денотационная семантика ToyPL • Proof: Soundness by induction on the height of the inference tree, completeness by induction on the program structure. • Упражнение #3: Докажите утверждение 3. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 12
- 13. Элементы лямбда-исчисления: синтаксис • Лямбда-термы – это слова в алфавите, состоящем из переменных (x, y, z, …), абстрактора λ, точки - разделителя и круглых скобок: – любая переменная – это терм, – для любой переменной x и терма M выражение (λx. M) – терм, – для любых термов M и N выражение (MN) – терм. • Упражнение #4: Является ли множество лямбда- термов контекстно-свободным языком? 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 13
- 14. Элементы лямбда-исчисления: синтаксис • Соглашения об обозначениях: – внешние скобки опускаются; λx,y,z. M ≡ λx.(λy.(λz. M)); – MNPQ ≡ ((MN)P)Q. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 14
- 15. Элементы лямбда-исчисления: синтаксис • Различают связанные (посредством λ) и свободные вхождения переменных в термах. • Например, первое вхождение x в λy.xy(λx.xy) – свободное, второе – связанное, оба вхождения y в λy.xy(λx.xy) – связанные. • Комбинатор – это терм, в котором все вхождения переменных связанные. Например, λxy.xy(λx.xy) – комбинатор, а λy.xy(λx.xy) – нет. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 15
- 16. Элементы лямбда-исчисления: аксиоматическая семантика ∀ λ-исчисление является эквициональной теорией, т.е. формулами являются равенства термов M=N. Оно аксиоматизируется следующим образом: α-конверсия: λx.M = λy.M, если y не имеет свободных вхождений в M; β-конверсия: (λx.M)N = MN/x, т.е. осуществляется подстановка N вместо всех свободных вхождений x в M но так (с использованием α-конверсии), что бы никакая свободная переменная N не стала связанной после подстановки; 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 16
- 17. Элементы лямбда-исчисления: аксиоматическая семантика – M=M; M=N ⇒ N=M; – M=N, N=L ⇒ M=L; – M=N ⇒ ML=NL; – – M=N ⇒ LM=LN; правило ξ: M=N ⇒ λx.M= λx.N. – • Упражнение #5: Представьте аксиоматику λ- исчисления в виде секвенциальной форме. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 17
- 18. Элементы лямбда-исчисления: теорема о неподвижной точке • Теорема: Для любого терма F существует такой терм X, что FX=X доказуемо в λ-исчислении. • Доказательство: Пусть W≡ λx.F(xx), а X ≡WW. Тогда X ≡WW ≡ λx.F(xx)W = F(WW) ≡ F(X). 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 18
- 19. Элементы лямбда-исчисления: теорема о неподвижной точке • Следствие: Существует комбинатор неподвижной точки, т.е. такой комбинатор fix, что для любого терма F в λ-исчислении доказуемо равенство F(fixF) = fixF. • Доказательство: fix ≡ λF.(λx.F(xx) λx.F(xx)). 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 19
- 20. Элементы лямбда-исчисления: о противоречивости λ-исчисления • Эквициональная теория называется противоречивой, если в ней доказуемо любое равенство. ∀ λ-исчисление непротиворечиво (как это следует из теоремы Чёрча – Россера). 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 20
- 21. Найди ошибку • Однако, если выполнять α- или β-редукции неаккуратно, то можно получить противоречие. – Пусть F≡ λxy.yx. – Тогда FMN ≡ ((λx.(λy.yx))M)N = (λy.yM)N = NM для любых термов M и N. – В частности Fyx = xy. – Но Fyx = ((λx.(λy.yx))y)x = (λy.yy)x = xx. – Следовательно, xy=xx. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 21
- 22. Найди ошибку • Упражнение #6: Покажите, что из равенства xy=xx можно вывести равенство любых термов. Найдите ошибку в приведённом выше доказательстве. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 22
- 23. Стандартные комбинаторы • «Булевские значения» T ≡ λxy.x и F ≡ λxy.y. Для любых термов M и N имеем TMN=M и FMN=N. • «Композиция» comp ≡ λxyz.y(xz). Для любых термов M иN имеем (comp)MN = λz.N(Mz). • «Если-то-иначе» if-th-el ≡ λxyz.xyz. Для любых термов M иN имеем – (if-th-el)TMN = M, – (if-th-el)FMN = N. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 23
- 24. Стандартные комбинаторы • Для любых термов M иN имеем – «свёртка» [M,N] ≡ [_,_]MN = λz.zMN, – «проекции» ([M,N])0=M и ([M,N])1=N. • Упражнение #7: Проверьте приведённые свойства комбинаторов булевских значений, композиции, если-то-иначе, свёртки и проекций. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 24
- 25. Натуральные числа • Для каждого n∈N определим комбинатор {n} по индукции: {0} ≡ λx.x и {n+1} ≡ [F,{n}]. • Комбинаторы «следующий» S ≡ λx.[F,x], «предшественник» P ≡ λx.xF и «ноль-тест» Z ≡ λx.xT. • Для любого n∈N имеем: – S{n} = {n+1} и P{n+1} = {n}, – Z{0} = T и Z{n+1} = F. • Упражнение #8: Проверьте приведённые свойства следующий, предшественник и ноль-тест. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 25
- 26. Идея в основе классической денотационной семантике для ToyPL • [[;]] = comp • [[if-then-else]] = if-th-el • [[while-do]] = (fix)(if-th-el) 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 26
- 27. Что читать? • Шилов Н.В. Основы синтаксиса, семантики, трансляции и верификации программ. Новосибирск: РИЦ НГУ. 2011. 292 стр. • (Спросить у лектора в формате PDF.) 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 27
- 28. Куда податься? • Третий международный семинар «Семантика, спецификация и верификация программ: теория и приложения» (г. Нижний Новгород, 1-2 июля 2012). • 7th International Computer Science Symposium in Russia (CSR-2012) • Specification and Verification: Theory and Applications (PSSV 2012) 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 28
- 29. Куда податься? • Семинар пройдет в рамках седьмого международного симпозиума по компьютерным наукам в России (7th International Computer Science Symposium in Russia, CSR-2012, July 3-7, 2012) http://agora.guru.ru /display.php?conf=csr2012&page=item009 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 29
- 30. Важные даты • Представление докладов по электронной почте: 18.03. 2012 • Извещение о включении доклада в программу семинара: 09.04.2012 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 30
- 31. Тематика • формализмы для описания семантики; • формальные модели и семантики программ и систем; • семантика языков программирования и языков спецификаций; • языки формальной спецификации программ и систем; • логики для формальной спецификации и верификации; 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 31
- 32. Тематика • дедуктивная верификация программ; • автоматическое доказательство теорем; • верификация моделей (model checking) программ и систем; • статический анализ программ; • формальный подход к тестированию и валидации; • системы и инструментальные средства тестирования и верификации. 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 32
- 33. Программный комитет • Непомнящий Валерий Александрович (Институт систем информатики СО РАН, vnep@iis.nsk.su), • Соколов Валерий Анатольевич (Ярославский государственный университет, sokolov@uniyar.ac.ru). • Natasha Alechina (University of Nottingham, UK), • Баранов Сергей Николаевич (Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН), 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 33
- 34. Программный комитет • Alexander Bolotov (University of Westminster, UK), • Евтушенко Нина Владимировна (Томский государственный университет), • Захаров Владимир Анатольевич (Московский государственный университет), • Ицыксон Владимир Михайлович (Санкт- Петербургский государственный политехнический университет), • Климов Андрей Валентинович (Институт прикладной математики РАН, Москва), 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 34
- 35. Программный комитет • Boris Konev (University of Liverpool, UK), • Кулямин Виктор Вячеславович (Институт системного программирования РАН, Москва), • Ломазова Ирина Александровна (Высшая школа экономики, Москва), • Andrey Rybalchenko (Technical University, Munich, Germany), • Sergey Tverdyshev (SYSGO AG, Germany), • Шилов Николай Вячеславович (Институт систем информатики СО РАН, Новосибирск). 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 35
- 36. До встречи ELSEWHERE! 03/14/12 Шилов Николай Вячеславович Всего слайдов 36 36