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- 1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN SISTEMA DE CALIDAD Y AMBIENTE. Matemática Aplicada. Unidad I. parte II Integrante: Johelbys Campos C.I.: 24.156.988 Trayecto 3 Fase 2 Grupo-A Febrero de 2021
- 2. Ejercicios propuestos 1.2: Verifique si la ecuación diferencial es exacta, separable, homogénea o lineal. 𝟒) (𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 𝒚𝟐)𝒅𝒚 = 𝒚𝟐 𝒅𝒙 Solución: Verificamos si la ecuación diferencial es de variable separable si se cumple que: 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝐻(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) (1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑦2)𝑑𝑦 = 𝑦2 𝑑𝑥 ; despejando queda: 𝑑𝑦 𝑦2 = 𝑑𝑥 1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2𝑦2 Por lo tanto (1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑦2)𝑑𝑦 = 𝑦2 𝑑𝑥 es separable. 𝟗) (𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + (𝒙 + 𝟐)𝒚 = 𝟐𝒙𝒆−𝒙 Solución: Veamos si la ecuación diferencial (𝑥 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥 + 2)𝑦 = 2𝑥𝑒−𝑥 se puede expresar en la forma estándar. Dividimos entre (𝑥 + 1) a ambos lados de la ecuación así obtenemos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥 + 2)𝑦 (𝑥 + 1) = 2𝑥𝑒−𝑥 (𝑥 + 1) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) Donde: 𝑝(𝑥) = (𝑥+2) (𝑥+1) 𝑦 𝑓(𝑥) = 2𝑥𝑒−𝑥 (𝑥+1) Asi la ecuación (𝑥 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥 + 2)𝑦 = 2𝑥𝑒−𝑥 es lineal
- 3. 𝟏𝟑) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 ) 𝟑𝒙𝒚𝟐 Solución: 𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − (𝑥3 + 𝑦3 ) 3𝑥𝑦2 Donde 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 𝑌 𝑁(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦2 Derivando 𝑀 con respecto a 𝑦 y a 𝑁 con respecto a 𝑥, se tiene que: 𝜕 𝜕𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 = 3𝑦2 𝜕 𝜕𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦2 = 3𝑦2 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝜕 𝜕𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝜕 𝜕𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦) por lo tanto 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − (𝑥3 + 𝑦3) 3𝑥𝑦2 𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂 𝟑𝟎) (𝒙 + 𝒚)𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒚 = 𝟎 Solución: Sabemos que 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Verifiquemos que 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 𝑌 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥 Son homogéneas del mismo grado. 𝑀(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥) + (𝑡𝑦) ; 𝑁(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥) = 𝑡(𝑥 + 𝑦) = 𝑡𝑥 = 𝑡𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑡𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑎1 = 1 𝑎2 = 1 Como 𝑎1 = 𝑎2 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑌 𝑁(𝑥, 𝑦) son homogéneas del mismo grado. Por lo tanto (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 es homogénea.