Lection03
- 1. Лекция 3 Гамильтоновские системы. Канонические преобразования Малышев А.И. Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского
- 2. Рассмотрим подробно гамильтоновские системы – такие, чья эволюция описывается каноническими уравнениями движения. Их характеризуют функцией Гамильтона, численное значение которой совпадает с полной механической энергией: H (q, p, t ) E Состояние системы задается канонически сопряженными переменными – импульсами и координатами, которые удовлетворяют каноническим уравнениям H H qi , pi . pi q i Гамильтоновский формализм подразумевает независимость переменных – импульсов и координат. Обсудим далее преобразования, позволяющие перейти от одного набора переменных к другому.
- 3. Решение канонических уравнений в исходных переменных H H qi , pi . pi q i может быть затруднено. Для упрощения уравнений можно подобрать другой набор переменных. Подберем новые переменные так, чтобы канонические уравнения для новой функции Гамильтона H сохранили свою форму: H H Qi , Pi . Pi Qi Как это осуществить?
- 4. Как известно, уравнения движения могут быть получены из принципа наименьшего действия 2 S pi dq i Hdt 0 1 где 1 и 2 – начальная и конечная точки траектории. Для того, чтобы в новых переменных уравнения имели тот же вид, что и в старых, необходимо, чтобы новые переменные входили в функционал действия так же, как и старые: 2 S Pi dQi H dt 0 1 Чтобы вариации интегралов в обоих случаях одновременно обращались в нуль необходимо, чтобы траектории были либо подобны, либо эквивалентны.
- 5. Подобию траекторий отвечает масштабное преобразование с некоторым коэффициентом «растяжения»: pi dq i Hdt Pi dQi H dt Далее их рассматривать не будем. Эквивалентность достигается каноническим преобразованием pi dq i Hdt Pi dQi H dt dF1 где F1 – производящая функция (после интегрирования она не дает вклада в вариацию). Ее полный дифференциал, как следует: dF1 pi dq i Pi dQi H H dt Связь старых и новых канонических переменных тогда задается равенствами (каноническими преобразованиями): F1 F1 F1 pi , Pi , H H . q i Qi t
- 6. Чтобы задать каноническое преобразование, нужно придумать некоторую функцию F1 q,Q и в соответствии с формулами перейти к новым переменным. Если функция F1 не будет явно зависеть от времени, то новая функция Гамильтона численно будет совпадать со старой. Например, с помощью функции F1 = q·Q можно поменять местами импульсы и координаты: p = Q, P = – q. Наоборот, функция F1 q 2 Q 2 2 не задает вообще никакого преобразования: p = q, P = – Q. С помощью F1 также нельзя задать тождественного преобразования. Наряду с новыми возможностями существуют и ограничения.
- 7. Чтобы функция F1 q,Q производила какие-либо преобразования переменных, необходимо выполнение условия: Qi det p 0, , j иначе каноническое преобразование с помощью такой функции F1 невозможно. В этом случае можно использовать другую производящую функцию. Пусть, например, F2 F1 Pi Qi , тогда dF2 pi dq i Qi dPi H H dt F2 зависит от старых координат, новых импульсов, времени и задает каноническое преобразование вида: F2 F2 F2 pi , Qi , H H . q i Pi t
- 8. Чтобы функция F2 q, P производила какие-либо преобразования переменных, также необходимо выполнение условия: Pi det p 0, , j иначе каноническое преобразование с помощью такой функции F2 невозможно. Например, если взять F2 q P , то будет произведено тождественное преобразование переменных, что было невозможно с функцией F1. Однако, с помощью F2 импульсы и координаты невозможно «поменять местами».
- 9. Существуют еще две менее употребляемые производящие функции, вводимые согласно равенствам: F3 F1 pi qi преобразования для которой: F F F3 Pi 3 , q i 3 , H H , Qi pi t а также F4 F3 Pi Qi , преобразования для которой: F4 F4 F4 Qi , qi , H H . Pi pi t Замечание. Производящая функция F2 употребляется чаще, чем остальные, поскольку сразу определяет связь между старыми и новыми координатами.
- 10. Пример канонического преобразования: переменные «действие-угол» Остановимся на одном очень важном каноническом преобразовании – преобразовании к переменным «действие-угол». Преимущество этих переменных заключается в том, что уравнения движения в них выглядят наиболее просто и сразу интегрируются. Введение переменных действие-угол в многомерных системах, хотя и затруднительно, но не невозможно. В одномерных колебательных системах переход к переменным действие-угол достаточно прост. Эту ситуацию мы сейчас и обсудим…
- 11. Рассмотрим одномерную систему с гамильтонианом H(p, q), совершающую финитное движение с энергией Е. Фазовые траектории – замкнутые. Совершим каноническое преобразование, введя новый импульс – действие – согласно выражению: 1 I 2 p(H, q )dq Численно I – площадь, ограниченная кривой H(p, q) = E, деленная на 2π. Производящую функцию запишем в виде: F2 pH (I ),q dq
- 12. Очевидно, старый импульс равен p(I, q), а новая координата – угол – определяется так: F pH (I ),q 2 dq. I I Возвращаясь назад, заметим, что действие I оказывается функцией только от H. Обращая зависимость, имеем: H H (I ), Уравнения Гамильтона тогда: H H dH I 0, (I ). I dI Их решение: I (t ) I 0 , (t ) (I )t 0 . Обозначение ω(I) введено не случайно…
- 13. Изменение производящей функции за период есть ΔF2 = 2πI. F2 Согласно равенству , изменение угла можно вычислить: I F2 2 . I Из решения канонических уравнений следует (I ) T , где Т – период колебаний. 2 В итоге, получаем (I ) , т.е. функция ω(I) – есть частота колебаний. T Замечание. Переменные q и p периодические во времени с периодом T, за время которого угол θ меняется на 2π. Значит, pI, 2 pI, , qI, 2 q I, , т.е. импульс и координата являются периодическими функциями угловой переменной θ.
- 14. Пример. Ввести переменные действие-угол для гармонического осциллятора с частотой ω0. p 2 m0 q 2 2 Гамильтониан осциллятора: H . 2m 2 По определению, m0 q 2 q0 2 2 H I 0 2m H 2 dq 0 , Здесь q0 2H m0 – амплитуда колебаний осциллятора. 2 Производящая функция по определению: F2 2m0 I m0 q 2 2 dq, а угол находим через производную: F2 dq m0 arcsin q . I 2I m0 q 2 2I
- 15. Выражая координату и импульс через I и θ, получим: 2I q sin , m0 p 2m0I cos . Как и ожидалось, p и q являются периодическими функциями угла. Гамильтониан имеет простой вид: H = ω0I. Отсюда, очевидно, ω(I) = ω0 и соответственно θ(t) = ω0t + θ0. При подстановке этой зависимости в систему получим хорошо известные законы изменения импульса и координаты для гармонического осциллятора.
- 16. Задания по теме 1. Найти производящую функцию F2 и канонические преобразования для перехода от декартовых координат к цилиндрическим, сферическим. 2. Функция Гамильтона системы имеет вид 2 p H x y y z 2 2 2m 2 2 Совершив каноническое преобразование, найти комбинацию импульсов px, py, pz, являющуюся интегралом движения.