Lection10
- 1. Лекция 10 Способы диагностики хаоса Малышев А.И. Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского
- 2. Ранее мы уже касались хаотических режимов поведения систем и путей перехода к хаосу. Произведем обзор возможных способов анализа динамики и выяснения – является она хаотической или нет. Замечание: хаос, о котором мы говорим – детерминированный, т.е. динамика системы определена заданием уравнений или отображений. В чем же хаос? Хаос – в отсутствии корреляции между траекториями, отвечающими близким начальным условиям. 2
- 3. Способ 1. Наблюдение временной эволюции Способ состоит в попытке визуального обнаружения каких-либо закономерностей в динамике. Способ самый простой и самый ненадежный, поскольку регулярный сигнал может быть проинтерпретирован как хаотический в случаях: когда период в эволюции системы не обнаружится, если он превышает время наблюдения; Пример зависимости sin 10t sin t 4 x t sin t 2 5 Период T = 8π. 3
- 4. Способ 1. Наблюдение временной эволюции а также… когда сигнал содержит гармоники с некратными частотами. Период отсутствует, но поведение регулярно. Пример регулярной непериодической зависимости x(t) = sint + sinπt : 4
- 5. Способ 2. Метод фазовой плоскости Способ состоит в анализе траектории в фазовой плоскости, где по осям отложены импульс (скорость) и координата. Для автономных систем колебания отображаются замкнутыми кривыми. Для неавтономных – более сложными, самопересекающимися, но, как правило, тоже замкнутыми. Пример траектории в фазовой плоскости для sin 10t sin t 4 x t sin t 2 5 Через период T = 8π кривая замыкается. 5
- 6. Способ 2. Метод фазовой плоскости При случайном характере движения траектории не замыкаются и заполняют некоторую область фазовой плоскости. Контрпример для иллюстрации недостатков метода. Траектория в фазовой плоскости для x(t) = sint + sinπt на разных временных отрезках. Кривая не замкнута, но это не хаос! t 0; 50 t 0; 1000 6
- 7. Способ 3. Метод псевдофазового пространства Способ состоит в анализе траектории в плоскости, где по осям отложены координаты x(t) и x(t + Δt). При регулярном колебательном движении псевдофазовая траектория, как правило, замкнута, при хаотическом – разомкнута. Примеры траекторий в псевдофазовой плоскости для sin 10t x t sin t 2 sin t 4 5 t 1 t 10 7
- 8. Способ 4. Сечения Пуанкаре Это модификация метода фазовой плоскости: за траекторией следим не непрерывно, а «фотографируем» состояние в определенные моменты времени. Выбор шага по времени диктуется условиями задачи. Это может быть, например, период внешней силы. Сечения Пуанкаре для sin 10t sin t 4 x t sin t 2 5 через меньший из трех период, равный π/5. Серый пунктир – траектория. 8
- 9. Способ 5. Корреляционная функция Как и для отображений, можно ввести корреляционную функцию R T x t x x t T x dt x t x 2 dt 0 0 Критерий хаоса – отсутствие корреляции, т.е. стремление корреляционной функции к нулю: lim R T 0 T Пример корреляционной функции для x(t) = sint + sinπt не стремится к нулю → → сигнал регулярный, хоть и не периодический. 9
- 10. Способ 6. Фурье-анализ Пусть есть набор чисел xk, взятых в дискретные моменты времени: x0 , x1, x 2 , , xN 1. «Замыкаем» последовательность: xN = x0. Можем записать теперь дискретное преобразование Фурье: 2k 2n 1 N 1 1 N 1 i Fk e xne i n k xn N , откуда Fk N . N k 0 N n 0 Если значения xk действительны, то F0 тоже действительно, а также FN 1 F1, FN 2 F2 , FN 3 F3 , Модули амплитуд Fk – фурье-спектр системы: в регулярном режиме он состоит из отдельных пиков, в режиме хаоса – это сплошная полоса. 10
- 11. Способ 6. Фурье-анализ Посредством быстрого преобразования Фурье невозможно получить информацию • о частотах ниже 1 , что связано с конечным числом отсчетов N; N • о частотах выше 12 , что связано с наличием минимального временного шага между отсчетами. Замечание. Это верно, если интервал времени между отсчетами считать равным единице. Как выглядят фурье-спектры для уже знакомых нам систем? Насколько они объективны в диагностике хаоса? 11
- 12. Способ 6. Фурье-анализ (пример) Рассмотрим частицу, движущуюся в канале с гофрированной границей (см. подробнее лекцию 8). Структура фазовой плоскости системы при d = 1, k = 1 и a = 0.1. Возьмем последовательности xn для разных начальных условий и построим их фурье-спектры… 12
- 13. Способ 6. Фурье-анализ (пример) Фурье-спектры наглядно указывают на реализацию регулярного (2, 3 и 5) и хаотического (1 и 4) режимов. 13
- 14. Способ 7. Показатели Ляпунова Метод основан на свойстве экспоненциального разбегания траекторий при глобальной неустойчивости движения в системах с хаотическим поведением. В момент t0 выберем на малом расстоянии d0 от опорной траектории начальное условие, отвечающее «соседней» траектории. До момента времени t1 расстояние между ними будет меняться экспоненциально: d ( t 1 ) d 0 e t 1 1 t 0 λ1 – показатель разбегания траекторий. В момент времени t1 выберем на расстоянии d1 новое начальное условие… 14
- 15. Способ 7. Показатели Ляпунова Далее следим за расхождением каждой новой «соседней» и опорной траекторий. В результате получится набор значений λk, который следует усреднить: d ( t 1 ) d 0 e t1 1 t 0 1 t 2 t 1 d (t 2 ) d1e 2 2 t N t N 1 d (t N ) d N 1e N N N k t k t k 1 k 1 N t k t k 1 k 1 15
- 16. Способ 7. Показатели Ляпунова Критерий хаоса с точки зрения показателя Ляпунова: λ > 0 – движение хаотическое; λ ≤ 0 – движение регулярное. Критерий показателя Ляпунова требует большого объема вычислений и тщательности в расчетах, является самым надежным способом определения хаоса. 16
- 17. Задания по теме 1. Рассчитать фурье-спектры для различных траекторий в задаче о динамике материальной точки в канале с гофрированной границей; об осцилляторе с кубической нелинейностью в периодическом во времени поле (см. подробнее лекцию 5). 2. Путем численного моделирования рассчитать показатели Ляпунова в системах, описываемых уравнениями: dx d 2x dx a ). x 0, б ). 2 2 2 x 0. dt dt dt 17