Lection04
- 1. Лекция 4 Каноническая теория возмущений Малышев А.И. Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского
- 2. В случае, когда точное решение задачи невозможно или сильно затруднено, используются приближенные методы, одним из которых является аппарат теории возмущений. Стандартная постановка задачи такова: на некоторую систему, уравнения движения которой решаются точно, накладывается малое возмущение, в результате чего задача перестает быть точно решаемой. Рассмотрим для начала одномерную систему с гамильтонианом: H ( p, q ) H0 ( p, q ) V ( p, q ), где H0(p,q) – гамильтониан точно решаемой задачи, a εV(p,q) – малое возмущение. Считая далее ε << 1, найдем приближенное решение уравнений Гамильтона с помощью рядов теории возмущений… 2
- 3. Введя переменные действие-угол для невозмущенной системы, получим H I, H0 I V I, . Здесь возмущение является периодической функцией угла θ. Уравнения движения при ε ≠ 0 в общем виде уже не интегрируются: V V I , 0 (I ) . I Попробуем теперь в рамках теории возмущений ввести новые переменные действие-угол, отвечающие возмущенной системе. Возьмем производящую функцию в виде F2 J, J F J, , где функция F(J,θ) подлежит последующему определению. Заметим, что такая функция F2 при ε = 0 задает тождественное преобразование. 3
- 4. Связь между старыми и новыми переменными: F2 F F2 F I J , . J J Подставляя это в гамильтониан и оставляя слагаемые не выше первого порядка по ε, получим: F H J, H0 J 0 J V J, . Здесь умышленно оставлена зависимость от угла θ, поскольку слагаемые, зависящие от угла, уже имеют первый порядок малости. Разложим функцию V(J, θ) в ряд Фурье, выделив постоянную составляющую: V J, V0 J Vm J e im , m 0 4
- 5. Потребуем, чтобы новый гамильтониан не зависел от угла θ, тогда должно быть F 0 J Vm J e im 0. m0 Представив функцию F в виде ряда с нулевым средним F Fme im , m 0 получим: Vm J Fm i . m0 J Таким образом, функции F и F2 теперь полностью определены. Гамильтониан приобретает вид: H J H0 J V0 J . Уравнения решаются известным образом. Нетрудно определить поправку к частоте: dV0 . dJ 5
- 6. Применимость теории возмущений 1. Сходимость рядов теории возмущений может нарушаться при ω0(J) → 0, что возможно в области экспоненциально узкого присепаратрисного слоя. 2. Построение следующих порядков теории возмущений аналогично – необходимо выделить в производящей функции слагаемые F (1) 2 F ( 2) ..., которые могут быть найдены из требования независимости гамильтониана от угловой переменной. 3. Процедура подбора функции F эквивалентна усреднению функции Гамильтона по углу. Часто, говоря об усреднении гамильтониана по угловым переменным, подразумевают каноническую теорию возмущений. 6
- 7. Нелинейный сдвиг частоты Рассмотрим прямоугольную потенциальную яму ширины a. Для нее: H(I ) 2I 2 2ma2 Зависимость координаты х от угла можно представить в виде ряда Фурье: 4a 1 n x 2 sin2n 1 n 0 2n 12 7
- 8. При наложении возмущения V(x), гамильтониан приобретает вид: 2I 2 H (I ) 2 V ( ), 2ma причем V(θ) – периодическая функция угла. Выполняя усреднение по углу θ, приходим к следующему: 2J 2 H (J ) 2 V0 , 2ma где V0 – среднее значение возмущения, постоянная величина. dV0 Рассчитывая поправку к частоте как , найдем δω = 0. dJ При фиксированной энергии для невозмущенной системы найдем 0 2 2E ma2 . Для возмущенной – 2 E V0 ma . 2 2 Тогда сдвиг частоты, обусловленный малым сдвигом дна ямы: V0 E 0 E . a 2mE 8
- 9. V0 Получили с одной стороны = 0, с другой стороны . a 2mE Разрешение противоречия состоит в выяснении условий, при которых вычисляется поправка: что остается неизменным при переходе от невозмущенной системы к возмущенной (энергия, действие, …)? Рассмотрим далее две системы – невозмущенную и возмущенную – с гамильтонианами H0 I и H I H0 I V0 I . Соответствующие частоты колебаний вычисляются по определению: dH0 I dH I 0 I , I . dI dI Рассмотрим два возможных подхода к вычислению сдвига частоты, обусловленного возмущением… 9
- 10. 1. Поправка к частоте при постоянной энергии Найдем разность частот двух систем при фиксированной полной энергии Е: E E 0 E . Пусть в невозмущенной системе этой энергии отвечает действие I, а в возмущенной – (I + ΔI), т.е. H0 (I ) E H(I I ). dH0 Ввиду малости ΔI, получим H0 (I ) H (I I ) H0 (I ) I V0 (I ), dI V0 (I ) откуда I . 0 (I ) Рассчитаем теперь частоту в возмущенной системе с энергией Е, т.е. при значении действия I + ΔI: dH (I I ) dV (I I ) (E ) (I I ) 0 (I I ) 0 d (I I ) d (I I ) dV (I ) 0 (I ) 0 (I )I 0 . dI 10
- 11. 1. Поправка к частоте при постоянной энергии Разность ω(I + ΔI) – ω0(I) дает искомый сдвиг частоты: d V0 (I ) (E ) 0 (I ) . dI 0 (I ) Поскольку вычисляется поправка при постоянной энергии, выразим правую часть через энергию. Поскольку E = H0(I), то d dI 0 d dE , тогда: d V0 (E ) (E ) 0 (E ) 2 . dE 0 (E ) В примере с прямоугольной ямой 0 E 2 2E ma2 , что и приводит к ненулевому сдвигу вида V0 . a 2mE 11
- 12. 2. Поправка к частоте при постоянном действии Найдем разность частот двух систем при фиксированном действии I, тогда dH I 0 I 0 , dI dH I dH0 I dV I dV I I 0 0 I 0 . dI dI dI dI Считая разность ω(I) – ω0(I) , для искомой поправки имеем dV0 I I , dI что было получено в рамках канонической теории возмущений. В примере с прямоугольной ямой сдвиг частоты при постоянном действии, рассчитанный по данной формуле, равняется нулю. 12
- 13. Каноническая теория возмущений для многомерных систем Обобщим соотношения канонической теории возмущений, выведенные для одномерных систем, на случай большего числа степеней свободы. Итак, рассмотрим систему с n степенями свободы H( p,q ) H0 ( p,q ) V ( p,q ). Вводя переменные действие-угол для невозмущенной системы, получим H I , H0 I V I , . Для исключения переменных угла произведем каноническое преобразование F2 J , J F J , , где функция F J , подлежит последующему определению. 13
- 14. Связь между старыми и новыми переменными: F2 F F2 F I J , . J J Замечание. Производная по вектору действия, например, здесь и далее понимается как вектор, компонентами которого являются производные по компонентам вектора действия. Гамильтониан с точностью до слагаемых не выше первого порядка по ε принимает вид: F H J , H0 J 0 J V J , . Как и ранее, здесь оставлена зависимость от угла , поскольку слагаемые, зависящие от угла, уже имеют первый порядок малости. Чтобы новый гамильтониан не зависел от углов, должно быть F 0 J V J , 0. 14
- 15. Как и ранее, разложим функцию возмущения в ряд Фурье i m V J , V0 J Vm J e , m 0 а функцию F также представим в виде ряда с нулевым средним: i m F Fme . m 0 Тогда: F 0 J V J V J , 0 Fm i m . m 0 J Таким образом, функции F и F2 теперь полностью определены, а гамильтониан приобретает вид: H J H0 J V0 J . В общем, все аналогично одномерной ситуации, однако появилась одна новая проблема… 15
- 16. Ограниченность применимости теории возмущений В одномерном случае сходимость рядов теории возмущений нарушается при ω0(J) → 0, что возможно в области экспоненциально узкого присепаратрисного слоя. В многомерном случае сходимость нарушается при m 0 J 0, т.е. вблизи резонансов. Резонансом называется ситуация, когда m I 0, и она требует отдельного рассмотрения. Вблизи резонансов необходимо построение резонансной теории возмущений, чему будет посвящена следующая лекция. 16
- 17. Задания по теме 1. Найти нелинейную поправку к частоте колебаний математического маятника, обусловленную ангармонизмом колебаний. 2. Определить нелинейную поправку к частоте колебаний бусинки в поле тяжести, скользящей без трения по проволочке, изогнутой в форме параболы y = αx2. 17