Lection08
- 1. Лекция 8 Двумерное отображение Малышев А.И. Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского
- 2. Рассмотренные ранее одномерные отображения являются наиболее простыми с точки зрения анализа. Более сложную динамику могут демонстрировать многомерные отображения… Рассмотрим движение частицы в канале, одна из стенок которого гофрирована. 2
- 3. Полагая гофрировку слабой (a << d, ka << 1), из геометрических соображений нетрудно связать между собой координаты и углы последовательных соударений: n 1 n 2ka sinkxn kd tg n , xn 1 xn d tg n tg n 1 . Стационарные точки отображения означают периодичность траектории. Ее условие – скачки на целое число периодов гофрировки: m n 1 n tg 0 kd 2 xn 1 xn m x0 l k k Здесь m и l – целые числа. 3
- 4. m Примеры периодических траекторий tg 0 , x0 l : kd k 4
- 5. Рассмотрим периодические траектории с m = 1, стартующие из точек x0 = 0 и x0 = π/k под углом 0 arctg kd . Для выяснения их устойчивости, линеаризуем отображения. Начнем с траектории с l = 0. Пусть y n xn , y n 1 xn 1 2 k и т.д., n n 0 , тогда 2k 2ad n 1 1 cos 2 n 2k 2a y n 0 d y n 1 y n n n 1 cos 0 2 5
- 6. Переменные, отвечающие последовательным шагам отображения, теперь можно явно выделить: 2k 2ad 2d k 2ad y n 1 1 cos 2 y n cos 2 1 cos 2 n 0 0 0 n 1 2k 2a y n 1 2k ad n 2 cos 2 0 или 2k 2ad 2d k 2ad 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 y ˆ y ˆ 0 0 0 A , где A . n 1 n 2k ad 2 2k 2a 1 cos 2 0 ˆ , Важно, что в силу сохранения фазового объема det A 1 а также ˆ SpA 2 4k 2ad cos2 0 2, что указывает на неустойчивость выбранной траектории. 6
- 7. Чтобы выяснить тип положения равновесия, решим систему уравнений для переменных yn и βn. Будем искать решение в виде y n At n и n Bt n , тогда 2k 2ad t1,2 e , где ch 1 . cos 0 2 sh Нетрудно найти, что A 2 B , тогда 2k a 2k 2a sh y n B e n B e n sh 2 2 n 2 y n 4B B 2 n B e n B e n 2k a Таким образом, точка y = β = 0 является положением равновесия типа «седло». 7
- 8. Рассмотрим теперь периодическую траекторию с m = 1 и l = 1: Для выяснения ее устойчивости линеаризуем отображения. Пусть теперь y n xn k , y n 1 xn 1 3 k и т.д., n n 0 , тогда 2k 2ad 2d k 2ad y n 1 1 cos 2 y n cos 2 1 cos 2 n 0 0 0 n 1 2k a y n 1 2k 2ad cos 2 n 2 0 8
- 9. Перепишем систему уравнений в векторной форме 2k 2ad 2d k 2ad 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 y ˆ y ˆ 0 0 0 A , где A . n 1 n 2k ad 2 2k a 2 1 cos 2 0 ˆ , Здесь аналогично предыдущему случаю det A 1 но теперь ˆ 4k 2ad SpA 2 2, cos 0 2 что указывает на устойчивость данной траектории. Решая систему аналогично рассмотренному случаю, найдем i 2k 2ad t1,2 e , где cos 1 , cos 0 2 sin а также связь между амплитудами A i 2 B . 2k a 9
- 10. В итоге получаем решение 2k 2a i sin y n B e in B e in sin 2 n2 2 y n 4B B 2 n B e in B e in 2k a Таким образом, точка y = β = 0 является положением равновесия типа «центр». Замечание. Аналогично можно показать, что все периодические траектории с соударением в точке с максимальной шириной канала – устойчивы, с соударением в точке с минимальной шириной канала – неустойчивы. 10
- 11. Вопрос: как сшиваются между собой две отдельно описанные области? 11
- 12. Возможно, так: Для обоснования предположения необходимо найти уравнение сепаратрисы. 12
- 13. Для нахождения уравнения сепаратрисы, линеаризуем отображения по углу, введя β = α – α0, а также сделаем замену y n xn 2d tg0 n. После исключения слагаемых высоких порядков, получим n 1 n n 1 n 2ka sin ky n n 1 n 2ka sin ky n или y y 2d 2d y n 1 y n n n 1 n n cos 0 2 n 1 n cos 0 2 В такой форме отображения напоминают дифференциальные уравнения 2ka sin ky , 2d y , cos 0 2 13
- 14. являющиеся каноническими для гамильтониана d H 2 2a cos ky ! cos 2 0 Получили гамильтониан математического маятника, который позволяет найти уравнение сепаратрисы: d a ky 2a1 cos ky 2 2 cos 0 sin , cos 2 0 d 2 откуда и полная ширина резонанса: a 4 cos 0 . d Замечание. Ширина резонансов, связанных с другими, ранее рассмотренными, периодическими траекториями, рассчитывается по этой же формуле: меняется лишь величина α0. 14
- 15. Для полноты картины осталось описать лишь траектории, не попавшие в резонанс. Для них угол α меняется мало, поэтому xn 1 xn 2d tg xn x0 2d tg n. Здесь – некоторое среднее значение угла. Отображение для угла тогда дает n 1 n 2ka sinkx0 kd tg 2n 1 n 1 2kasinkx0 kd tg 2n 1 sinkx0 kd tg 2n 1 n 0 2ka sinkx0 kd tg 2 j 1 ? j 0 Для нахождения суммы синусов обратимся к другой сумме: n e i kx kd tg 2 j 1 ? j 0 0 15
- 16. n n 1 e i 2kd tg ( n 1) e j 0 i kx0 kd tg 2 j 1 e i kx0 kd tg e j 0 i 2 kd tg j e i kx0 kd tg 1 e i 2 kd tg sinkd tg (n 1) e ikx0 e ikd tg ( n 1) sinkd tg Тогда sinkd tg (n 1) n 1 0 2ka sinkx0 kd tg n 1 sinkd tg cos kx0 coskx0 2kd tg n 1 0 ka ka sinkd tg sinkd tg Первые слагаемые здесь – постоянная составляющая, относительно которой происходят колебания с амплитудой ~ka, описываемые последним слагаемым. Проиллюстрируем расчеты! 16
- 17. Структура плоскости (x, α) при k = 1, d = π, a = 0.002. По вертикали отложен тангенс угла α. Для данных параметров m tg 0 m. kd Видны резонансы с m = 0…4. ? Что будет, если увеличить амплитуду гофрировки? 17
- 18. Здесь а = 0.005 (слева) и а = 0.01 (справа) 18
- 19. Задания по теме 1. Записать отображение для материальной точки, движущейся между двумя стенками с координатами: xleft = 0, xright = L + a sinωt. Соударения абсолютно упругие, L >> a. Скорость шарика считать много большей aω. Определить положения равновесия и их устойчивость. 2. Записать отображение для материальной точки, движущейся в однородном гравитационном поле и соударяющейся с горизонтально расположенной гофрированной границей, заданной как y(x) = – a coskx. Амплитуду а считать много меньшей характерной высоты скачков и периода гофра. Определить положения равновесия и их устойчивость. 19