Lecture 4 bernoulli_poisson
- 1. Лекция 4. Схема испытаний Бернулли и его теорема. Курбацкий А. Н. МШЭ МГУ 22 сентября 2016 Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 1 / 18
- 2. Содержание 1 Испытания Бернулли. Биномиальное распределение 2 Распределение Пуассона 3 Теорема Бернулли Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 2 / 18
- 3. Испытания Бернулли Определение Испытанием Бернулли называют случайный эксперимент с двумя возможными элементарными исходами: ω1 и ω2. Один из этих исходов обычно условно именуют ”успехом”, а другой - ”неудачей”. Вероятность ”успеха” обозначают через p, а вероятность ”неудачи” - q = 1 − p. Пример Подбрасывание монеты можно считать испытанием Бернулли. Если монета симметричная, то вероятность выпадения орла и решки одинакова и равна 1/2. Один из этих исходов, скажем, выпадение орла можно условно назвать ”успехом”. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 3 / 18
- 4. Испытания Бернулли Определение Последовательностью (или серией) из n испытание Бернулли называют такой случайный эксперимент, в котором независимо повторяют испытание Бернулли n раз. При этом вероятность успеха p не меняется от опыта к опыту. Число элементарных исходов в серии из n испытаний Бернулли равно 2n. Вероятность любого элементарного исхода в серии из n испытаний Бернулли равна: pkqn−k, где k - число успехов в этой серии, а n − k - число неудач. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 4 / 18
- 5. Пример Задача Монету подбросили 3 раза. Найти общее число элементарных исходов в этом эксперименте. Найти число элементарных исходов в событии ”выпал ровно один орел”. Найти вероятность события A = {выпал ровно один орел}. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 5 / 18
- 6. Пример Задача Монету подбросили 3 раза. Найти общее число элементарных исходов в этом эксперименте. Найти число элементарных исходов в событии ”выпал ровно один орел”. Найти вероятность события A = {выпал ровно один орел}. Решение Указанный эксперимент является серией из трех испытаний Бернулли. Общее число элементарных исходов в этом эксперименте равно 23 = 8. Событию A = {выпал ровно один орел} соответствует три элементарных исхода ”орр”, ”рор”, ”рро”. Вероятность каждого из этих исходов равна 1/8, следовательно P(A) = 3/8. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 5 / 18
- 7. Биномиальное распределение В серии из n испытаний Бернулли представляет интерес общее число успехов - Sn. Эта величина может принимать значения от 0 до n. Определение Распределение числа успехов в серии из n испытаний Бернулли называют биномиальным распределением. Вероятность того, что в серии из n испытаний Бернулли произойдет ровно k успехов равна: P(Sn = k) = Ck n pk qn−k . Важно! Забегая вперёд, отметим, что рядом распределения дискретной случайной величины X называется множество всех возможных значений случайной величины и их вероятностей. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 6 / 18
- 8. Пример Задача В схеме из десяти испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании равной 0.1 найти вероятность того, что произойдет хотя бы 2 успеха. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 7 / 18
- 9. Пример Задача В схеме из десяти испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании равной 0.1 найти вероятность того, что произойдет хотя бы 2 успеха. Решение Для схемы Бернулли с вероятностью успеха p = 0.1, числом испытаний n = 10 и k = 0, 1 имеем P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − C0 10(0.1)10 (0.9)0 − C1 10(0.1)9 (0.9)1 = = 1 − (0.1)10 − 10 · 0.9(0.1)9 = 1 − 9.1 · (0.1)9 = 0.9999999909. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 7 / 18
- 10. Наивероятнейшее число успехов Задача При каком k вероятность P(X = k) максимальна? Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 8 / 18
- 11. Наивероятнейшее число успехов Задача При каком k вероятность P(X = k) максимальна? Решение np − q ≤ k ≤ np + p Задача Страховой агент заключает договор с вероятностью 0.1. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25 визитов. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 8 / 18
- 12. Наивероятнейшее число успехов Задача При каком k вероятность P(X = k) максимальна? Решение np − q ≤ k ≤ np + p Задача Страховой агент заключает договор с вероятностью 0.1. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25 визитов. Решение n = 25, p = 0.1, q = 0.9, поэтому np − q ≤ k ≤ np + p, 1.6 ≤ k ≤ 2.6. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 8 / 18
- 13. Содержание 1 Испытания Бернулли. Биномиальное распределение 2 Распределение Пуассона 3 Теорема Бернулли Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 9 / 18
- 14. Закон редких явлений Пуассона (n велико, p мало) Теорема Пусть в схеме испытаний Бернулли n → ∞, p → 0, np → λ = const, тогда P(X = k) → λk k! e−λ Задача Докажите теорему. На практике теорема используется, если np < 10 и p < 0.1. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 10 / 18
- 15. Распределение Пуассона Во многих практических задачах теории массового обслуживания, страхования, надежности для описания случайного числа наступающих событий за некоторый промежуток времени хорошо подходит распределение Пуассона. Определение Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона, если она может принимать значения 0, 1, 2, 3, . . ., k, . . ., а вероятность конкретного значения задается формулой P(X = k) = λk k! e−λ , где λ > 0 - параметр распределения. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 11 / 18
- 16. Простой пример Пример Случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ = 1. Найти вероятность того, что X ≥ 2. P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = = 1 − 10 0! e−1 − 11 1! e−1 = 1 − 2e−1 ≈ 0.24. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 12 / 18
- 17. Самостоятельно Задача В офис некоторой компании в среднем поступает 90 звонков в час. Найти вероятность того, что в течение двух минут в офис поступит ровно 1 звонок. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 13 / 18
- 18. Самостоятельно Задача В офис некоторой компании в среднем поступает 90 звонков в час. Найти вероятность того, что в течение двух минут в офис поступит ровно 1 звонок. Решение Если в час в среднем поступает 90 звонков, то в течение 2 минут в среднем поступает 90 : 30 = 3 звонка. То есть для интервала времени 2 минуты λ = 3. Тогда P(X = 1) = 31 1! e−3 = 3 e3 ≈ 0.152. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 13 / 18
- 19. И ещё Задача В лавку по ремонту обуви в среднем заходят 3 человека в час. Считая, что число посетителей распределено по закону Пуассона, найдите вероятность того, что в течение двадцати минут зайдут не менее трех человек. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 14 / 18
- 20. И ещё Задача В лавку по ремонту обуви в среднем заходят 3 человека в час. Считая, что число посетителей распределено по закону Пуассона, найдите вероятность того, что в течение двадцати минут зайдут не менее трех человек. Решение Так как число посетителей X лавки в течение двадцати минут распределено по закону Пуассона со средним λ = 1, то P(X ≥ 3) = 1 − P(X < 3) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) − P(X = 2) = = 1 − 10 0! e−1 − 11 1! e−1 − 12 2! e−1 = 1 − 5 2e . Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 14 / 18
- 21. Теорема Пусть независимые случайные величины X и Y имеют распределения Пуассона с параметрами λ1 и λ2 соответственно. Тогда случайная величина X + Y также имеет распределение Пуассона с параметром λ = λ1 + λ2. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 15 / 18
- 22. Теорема Пусть независимые случайные величины X и Y имеют распределения Пуассона с параметрами λ1 и λ2 соответственно. Тогда случайная величина X + Y также имеет распределение Пуассона с параметром λ = λ1 + λ2. Задача Докажите её. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 15 / 18
- 23. Содержание 1 Испытания Бернулли. Биномиальное распределение 2 Распределение Пуассона 3 Теорема Бернулли Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 16 / 18
- 24. Теорема Бернулли Теорема Рассмотрим схему испытаний Бернулли. Для любого положительного числа a справедливо равенство lim n→∞ P(| k n − p| ≥ a) = 0 Важно! Частота появления успеха k n с любой точностью даст нам величину p (вероятность успеха). Так как неравенство |k n − p| ≤ a выполнено с вероятность 1, то, говорят, что доля успехов почти наверно даёт вероятность. Грубо говоря, получается, что при n кратном повторении опыта событие произойдет примерно np раз. Теорема Якоба Бернулли была опубликована в 1713 году после его смерти. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 17 / 18
- 25. Доказательство теоремы Бернулли Для доказательства нам потребуется вспомогательное утверждение, называемое неравенством Чебышёва, которую приведём в частной формулировке для нашего случая. В общем случае она будет доказана позднее. Теорема P(|k n − p| ≥ a) ≤ pq a2n Задача Докажите теорему Бернулли. Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 18 / 18
- 26. Доказательство теоремы Бернулли Для доказательства нам потребуется вспомогательное утверждение, называемое неравенством Чебышёва, которую приведём в частной формулировке для нашего случая. В общем случае она будет доказана позднее. Теорема P(|k n − p| ≥ a) ≤ pq a2n Задача Докажите теорему Бернулли. Решение Вспомним теорему о двух милиционерах! Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Схема Бернулли 22 сентября 2016 18 / 18