Доверительные интервалы. Распределения F,t,chi^2
- 1. Задачи к семинару 5 Распределения Стьюдента, Фишера, Пирсона. Доверительные инетрвалы 1. Для стандартной нормальной величины X найдите интервал (a; b) минимальной длины такой, что P(a < X < b) = 0.9545. Ответ:(-2;2) 2. Для случайной величины X ∼ N(µ; σ2 ) найдите интервал (a; b) минимальной длины такой, что P(a < X−µ σ < b) = 0.9973. Ответ:(-3;3) 3. Пусть среднее значение выборки из нормальной генеральной совокупности равно 130. По- стройте 98% доверительный интервал для среднего значения, если объем выборки равен 130, а дисперсия генеральной совокупности равна 12. Ответ:(124.41;135.59) 4. Оценка среднего значения нормальной выборки объема n = 9 равна 24, а оценка дисперсии равна 36. Построить 95% доверительный интервал для среднего значения. Ответ:(19.4;28.6) 5. Для выборки 13, 17, 18, 15, 18, 15 из нормальной генеральной совокупности построить 95% доверительный интервал для среднего. Ответ:(13.9;18.1) 6. Дана выборка из нормального распределения с неизвестным средним и дисперсией: 4, 1, 3, 6, 2, 2. а) Найти оценку медианы этой выборки; б) найти среднее значение этой выборки; в) найти оценку дисперсии; г) Построить 90% доверительный интервал для среднего значения этой выборки. Ответ: 11. а) 2, 5; б) 3; в) 9; г) (2, 92; 3, 08). 7. Из предыдущих исследований известно, что месячный доход преподавателей города N имеет нормальное распределение со стандартным отклонением 200 у.е. Опрошено слу- чайным образом 100 преподавателей. Их средний доход составил 1500 у.е. Найти 95%-ый доверительный интервал для среднего месячного дохода преподавателей города N. Ответ:(1460.8;1539.2) 8. Из предыдущих исследований известно, что месячный доход преподавателей города N имеет нормальное распределение со стандартным отклонением 200 у.е. Опрошено слу- чайным образом 100 преподавателей. Их средний доход составил 1500 у.е. Определите минимально необходимый объем выборки для построения 95% доверительного интервала для среднего длины 20. Ответ: 75 1
- 2. 9. У студентов на контрольной сердце бьётся со скоростью 96 ударов в минуту. Известно, что стандартное отклонение равно 15 ударам в минуту. Определите минимально необходимый объем выборки для определения среднего с надёжностью 98% и точностью 1. Ответ:162 10. У 20 студентов на контрольной сердце билось со скоростью 96 ударов в минуту. Известно, что стандартное отклонение равно 5 ударам в минуту. Найти 98% доверительный интервал для среднего. Ответ:(93.4;98.6) 11. Выборочный опрос 80 студентов показал, что 24 из них не поддерживают введение двух- балльной системы экзаменационной оценки: "ХОРОШО" и "ОТЛИЧНО". Найти 96%-ый доверительный интервал для фактической доли студентов, поддерживающих это ново- введение. Ответ: (0.194;0.406) 12. Опрос 100 иногородних студентов показал, что 73 из них живут в общежитии, а осталь- ные снимают квартиры. Найдите 94%-ый доверительный интервал для фактической доли иногородних студентов, которые снимают квартиры. Ответ: (0.647;0.813) 13. Постройте 90% доверительный интервал для стандартного отклонения, если выборочная дисперсия равна 625, объем выборки равен 19. Ответ:(19.74;34.61) 14. Найдите 96% доверительный интервал для дисперсии по выборке объема n = 18, если выборочное стандартное отклонение равно 10. Ответ:(55;234) 15. По результатам обследования была оценена доля людей, страдающих сердечно-сосудистыми заболеваниями и получен симметричный 90% доверительный интервал (0.11;0.15). Какой объем выборки при этом использовался? Ответ: 770 16. Найти минимальный объем выборки, при котором с надёжностью 0.975 точность оценки математического ожидания по выборочному среднему равна 0.3, если известно среднее квадратическое отклонение σ = 1.2 нормальной генеральной совокупности. Ответ: n = 81. 17. Оцените объём выборки, который необходим для построение 90% доверительного интер- вала для доли длины 0.02. Ответ:6765 18. По выборке из нормального распределения с известной дисперсией σ2 постройте односто- ронний 95% доверительный интервал для среднего вида (θ; +∞). 19. По выборке из нормального распределения с известной дисперсией σ2 постройте односто- ронний 99% доверительный интервал для среднего вида (−∞; θ). 2
- 3. Аналогичные упражнения из пособия Иванов О.В. Статистика / Учебный курс для социологов и менеджеров. Часть 2. Доверительные интервалы. Проверка гипотез. Методы и их применение. – М. 2005. – 220 с. 1. Из предыдущих исследований известно, что месячный доход студентов университета име- ет нормальное распределение со стандартным отклонением 60. Опрошено случайным об- разом 225 человек. Их средний доход составил 310. Найти 95%-ый доверительный интер- вал для среднего месячного дохода всех студентов университета. 2. Для случайно отобранных 16 студентов университета средний возраст составил 23 года. Найти 95%-ый доверительный интервал для генерального среднего, если известно, что: а) распределение возрастов всех студентов нормальное со стандартным отклонением 0,6. б) распределение возрастов всех студентов нормальное, но стандартное отклонение гене- ральной совокупности неизвестно, а выборочное стандартное отклонение равно 0,6. 3. Средний возраст 12-ти ассистентов в крупном университете оказался равен 26,8 года. Стандартное отклонение выборки 4,8 года. Найдите 95%-ый доверительный интервал для среднего возраста генеральной совокупности, состоящей из всех ассистентов этого уни- верситета. 4. В одной городской местности для исследования было случайно отобрано 5 месяцев. Оказа- лось, что в среднем в каждый из них собаки кусают 28 почтальонов. Стандартное откло- нение по выборке равно 3. Найдите 90%-ый доверительный интервал для среднего числа почтальонов, ежемесячно страдающего от укусов собак. 5. Недавнее исследование, проведенное среди 150 студентов, выявило, что 86 из них доби- раются до университета на общественном транспорте. Найдите 95%-ый доверительный интервал для фактической доли таких студентов. 6. Исследование 200 несчастных случаев, при которых требовалась срочная медицинская помощь, выявило, что 40% из них произошло с людьми у них дома. Найдите 90%-ый до- верительный интервал для действительной доли несчастных случаев, которые случаются дома. 7. Ограничение власти правительства. Политический аналитик выявил, что 60% из 300 че- ловек, голосующих за демократов, считают, что у федерального правительства слишком много власти. Найдите 95%-ый доверительный интервал генеральной доли тех, кто голо- сует за демократов и придерживается этого мнения. 8. Диетолог хочет определить с максимальной ошибкой в 2% долю людей, которые едят перед сном. Каков должен быть размер выборки, если он хочет быть на 95% уверен в том, что его оценка содержит значение генеральной доли? Предыдущее исследование выявило, что 18% опрошенных сказали, что они едят перед сном. 3
- 4. 9. Для отрасли, включающей 1200 фирм, составлена случайная выборка из 19 фирм. По выборке оказалось, что среднее квадратическое отклонение для числа работающих на фирме составляет 25 человек. Построить 90%-ный доверительный интервал для среднего квадратического отклонения числа работающих на фирме по всей отрасли. 10. Исследователь хочет узнать, сколько времени студенты тратят на интернет. Опрос 15 случайно выбранных студентов дал следующий результат (в минутах): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 80 60 95 65 95 53 62 71 59 49 71 81 76 94 85 Построить 98% доверительный интервал для среднего времени. Ответы: 1. (302, 2; 317, 8); 2. а) (22, 7; 23, 3), б) (22, 68; 23, 32); 3. (23, 8; 29, 8); 4. (25, 1; 30, 9); 5. (49, 4%; 65, 2%); 6. (34, 3%; 45, 7%); 7. (54, 5%; 65, 5%); 8. больше 1418; 9. (19, 74; 34, 61); 10. (73, 95; 74, 05). Дополнительные задачи 1. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, имеющей χ2 - распределение с k степенями свободы. 2. Рассмотрим случайную величину ξ ∼ χ2 (k). Доказать, что ξ стремится к нормальному распределению при k → ∞. 3. Пусть tk – случайная величина, имеющая распределение Стьюдента. Тогда t2 k = F1,k. 4. Даны независимые случайные величины ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, имеющие нормальное распределение N(0; σ2 = 1). Вычислите P(4ξ1 − 3ξ2 < ξ2 3 + ξ2 4). 5. Даны три случайные величины ξ1, ξ2, ξ3, имеющие нормальное распределение N(0; σ2 = 5), и случайная величина η ∼ χ2 (2). Найдите число a такое, что P(4ξ1 − 3ξ2 > a ξ2 3 + 5η) = 0.9, если известно, что все они независимы. 6. Даны независимые случайные величины ξ ∼ χ2 (3) и η ∼ χ2 (2). Найдите P(ξ < η). Необходимые термины • Распределения Стьюдента, Фишера, Пирсона. • Интервальные оценки • Доверительный интервал • Асимптотический доверительный интервал • Уровень значимости • Уровень доверия Функции распределения и обратные к ним Функции в MS Excel Квантиль нормального распределения НОРМСТОБР Нормальное распределение НОРМСТРАСП Распределение Стьюдента СТЬЮДРАСП Квантиль распределения Стьюдента СТЬЮДРАСПОБР Распределение Фишера FРАСП Квантиль распределения Фишера FРАСПОБР Распределение Хи-квадрат ХИ2РАСП Квантиль распределения Хи-квадрат ХИ2ОБР Ещё есть функция ДОВЕРИТ для точности доверительного интервала для среднего. 4