КР 1 с решением
- 1. Математическая статистика Контрольная работа 1 ФИО, группа задача 1 задача 2 задача 3 задача 4 Сумма баллов ВАРИАНТ 0 1. (1+1+1+1+1+1+1) Дана выборка: 0, 2, 13, 5, 5, 3, 1, 4, 5, 2. Построить вариацион- ный ряд, определить ранги наблюдений, вычислить моду, межквартильный размах, несмещённую оценку дисперсии, выбросы. Нарисовать коробчатую диаграмму. 2. (2+2) Дана выборка из нормального распределения со средним значением 4 и дис- персией 1: 2, 4, 1.5, 5, 3, 6.5, 5.5, 2. Найти разность Fn(x)−F(x) при x = 5.1, где Fn(x) и F(x) эмпирическая и теоретическая функции распределения. Нарисовать график ЭФР. 3. (1+1+1) По выборке x1, x2, x3, x4, x5 из нормального распределения N(θ, σ2 ) постро- ена следующая оценка параметра θ: ˆθ = 0.1x1 + 0.2x2 + 0.3x3 + 0.3x4 + 0.1x5. а) Выяснить является ли оценка ˆθ несмещенной; б) Найти дисперсию оценки ˆθ; в) Является ли оценка ˆθ эффективной среди всех линейных оценок? 4. (3+3) Для случайной величины с распределением X 0 1 2 4 P 0, 5 + θ 0, 1 − θ 0, 2 0, 2 получена выборка: 1, 4, 2, 2, 0, 1. а) Выпишите функцию правдоподобия и ее логарифм. б) Вычислите оценку максимального правдоподобия.
- 2. Решения задач 1. 1. Вариационный ряд - это упорядоченная выборка, он имеет вид: 0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 13 2. Ранги наблюдений - это их порядковые номера в вариационном ряду 1, 2.5, 10, 8, 8, 5, 2, 6, 8, 2.5 3. Мода – это наиболее часто встречающееся значение Mo = 5. 4. Медиана – это среднее арифметическое двух центральных элементов для чётного числа наблюдений: Me = 3+4 2 = 3.5 5. Нижняя квартиль - это точка, ниже которой лежит примерно 25% наблюдений. Для её вычисления надо определить медиану для меньшей подвыборки 0,1,2,2,3, на которые разбивает выборку медиана Me: Q0.25 = 2. Верхняя квартиль - это точка, выше которой лежит примерно 75% наблюдений. Для того, чтобы её найти надо определить медиану для большей подвыборки 4,5,5,5,13: Q0.75 = 5. 6. Межквартильный размах d = Q0.75 − Q0.25 = 5 − 2 = 3. 7. Размах данных, то есть разность между максимальным и минимальным элемен- тами, составляет r = 13 − 0 = 13 8. Среднее ¯x = 1 n n i=1 xi = 0+1+2+2+3+4+5+5+5+13 10 = 4. 9. Дисперсия s2 = 1 n − 1 n i=1 (xi − ¯x)2 = = 1 10 − 1 ((0 − 4)2 + (1 − 4)2 + (2 − 4)2 + (2 − 4)2 + (3 − 4)2 + (4 − 4)2 + (5 − 4)2 + + (5 − 4)2 + (5 − 4)2 + (13 − 4)2 ) = 118 9 ≈ 13.1. (1) Среднеквадратическое отклонение s = 1 n − 1 n i=1 (xi − ¯x)2 = 118 9 ≈ 3.62. 10. Выбросы - это те наблюдения, которые меньше Q0.25−1.5d или больше Q0.75+1.5d. В данном случае, Q0.25 − 1.5d = 2 − 1.5 · 3 = −2.5 и Q0.75 + 1.5d = 5 + 1.5 · 3 = 9.5, поэтому выбросы следующие: x = 13. 2. Левее точки 5.1 лежит 6 наблюдений, поэтому Fn = 6 8 = 0.75. Найдём значение тео- ретической функции распределения по таблице. Для этого надо провести процедуру стандартизации z = x−µ σ = 5.1−4 1 = 1.1, F(5.1) = Φ(1.1) ≈ 0.8643. Окончательно находим Fn(5.1) − F(5.1) ≈ 0.75 − 0.8643 = −0.1143.
- 3. 3. а) Оценка ˆθ является несмещенной, если E(ˆθ) = θ: E(ˆθ) = E(0.1x1 + 0.2x2 + 0.3x3 + 0.3x4 + 0.1x5) = = 0.1E(x1) + 0.2E(x2) + 0.3E(x3) + 0.3E(x4) + 0.1E(x5) = = 0.1θ + 0.2θ + 0.3θ + 0.3θ + 0.1θ = θ. (2) Следовательно, оценка несмещённая. б) Дисперсия оценки: D(ˆθ) = E(0.1x1 + 0.2x2 + 0.3x3 + 0.3x4 + 0.1x5) = = 0.12 D(x1) + 0.22 D(x2) + 0.32 D(x3) + 0.32 D(x4) + 0.12 D(x5) = = 0.01σ2 + 0.04σ2 + 0.09σ2 + 0.09σ2 + 0.01σ2 = 0.24σ2 . (3) в) Оценка не является эффективной, так как среди линейных несмещённых оценок эффективной оценкой является среднее ¯x. Можно это проверить явно для данного случая, найдя её дисперсию: D(¯x) = D(1 5 (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)) = 1 25 (σ2 + σ2 + σ2 + σ2 + σ2 ) = 1 5 σ2 = 0.2σ2 . Откуда получаем, что 0.24σ2 = D(ˆθ) > D(¯x) = 0.2σ2 . 4. а) Функция правдоподобия имеет вид: L(λ) = P(X = 1) · P(X = 4) · P(X = 2) · P(X = 2) · P(X = 0) · P(X = 1) = = (0.1 − θ)2 (0.2)3 (0.5 + θ). (4) Выпишем натуральный логарифм функции правдоподобия: ln L = ln (0.1 − θ)2 (0.2)3 (0.5 + θ) И воспользуемся свойствами логарифма: ln L = 2 ln(0.1 − θ) + ln(0.2)3 + ln(0.5 + θ). б) Чтобы найти максимум функции, вычислим производную по параметру θ и приравняем ее к нулю: (ln L)′ = − 2 0.1 − θ + 1 0.5 + θ = 0 ⇒ 1 + 2θ = 0.1 − θ ⇒ θ = −0.3. Остаётся убедиться, что это действительно максимум, для этого проверим до- статочное условие: (ln L)′′ = − 2 (0.1 − θ)2 − 1 (0.5 + θ)2 < 0.