5. 예제46경계 조건 (boundary condition)0개 의객체, 즉 공집합의 순서화된 배열은 하나만 존재하나의 객체의 순서화된 배열은 n개가 존재n개의 서로 별개인 객체들의 순서화된 배열들은n!개가 존재
6. 예제 47a, b, c 세 가지 객체들의 순열의 수는P(3, 3) = 3! = 3•2•1=6abc, acb, bac, bca, cab, cba
7. 예제 48만일 어떠한 문자도 반복될 수 없다면,단어 compiler로부터 얼마나 많은 3자리의 단어가 만들어질 수 있을까?문자의 배열이 중요하다8개의 객체로부터 얻어질 수 있는 세 개의 서로별개인 객체의 순열의 수를 알고자 하는 것임P(8,3) = 8!/5! = 336
8. 예제 4910명의 운동 선수들이 메달을 받는 방법10명의 선수와 금, 은, 동순서가 중요A-금, B-은, C-동 ≠ C-금, B-은, A-동P(n,r) 사용P(10,3) = 10!/7! = 10•9•8 = 720
9. 예제50OS-4, PR-7, DS-3같은 과목에 관한 모든 책이 함께 놓여야 함책들을 배열할 수 있는 방법의 수는?연속적인 하위의 작업들로 나누어 생각세 가지 과목을 배열하는 작업을 고려3!가지 과목의 다른 순서 존재OS배열: 4!PR배열: 7!DS배열: 3!그러므로, 곱셈 원리에 의해 모든 책을 배열할 수 있는 방법의 수는(3!)(4!)(7!)(3!)=4,354,560
12. 예제 52n개의 객체들로부터 0개의 객체, 즉 공집합을 선택하기 위해서는 단지 하나의 방법만이 존재n개의 객체들로부터 1개의 객체를 선택하기 위해서는 n개의 방법이 존재n개의 객체들로부터 n개의 객체들을 선택하기 위해서는 단지 한 가지 방법만이 존재
13. 예제 5352장의 카드로부터 받아볼 수 있는 5장의 카드는 몇 가지?단순히 무슨 카드인지에 관심 순서 X52개중 5개를 선택하는 방법의 수를 계산C(52,5) = 52!/(5!47!) = 2,598,960
14. 예제 5410명의 운동 경기 선수들이 경기, 3명이 우승우승자들에 대해서는 순서를 고려하지 않음그러므로, 10명중 3명을 선택하는 것임C(10,3) = 10!/(3!7!) = 120
15. 중복 제거계산 문제는 종종 다른 방법으로 해결될 수 있음하지만, 해결책을 유도하는 과정에서 하나 이상 중복하여 계산하기 때문에 틀리기도
16. 예제 57FLORIDA,MISSISSIPPI몇 가지의 서로 별개인 순열이 만들어지나?FLORIDA7!MISSISSIPPI11! 이 아님중복된 문자열이 존재하기 때문MIS1S2ISSIPPI == MIS2S1ISSIPPI재배치 하는 것은 변화가 없음4개의 S, 4개의 I, 2개의 P서로 별개인 순열의 수 11!/4!4!2!
17. n개의 객체들이 존재하고,그 객체들 중에서 n1개의 객체들이 서로 동일하고… nK개의 객체들이 서로 동일한 경우이런 n개의 객체들에 대한 서로 별개인 순열의 수
18. 반복을 허용하는 순열과 조합P(n,r), C(n,r)N개의 객체들 중에서 r개를 배열하거나 선택즉, r ≤ n그러나 n개의 객체들이 원하는 만큼 많이 재사용 될 수 있다면? 알파벳 26개를 이용하여 단어를 구성N개 중에서 r개의 객체들의 순열/조합을 구성가능하지만, 반복을 허용교묘한 방법을 사용… (예제58)
19. 예제 58다이아몬드, 루비, 에메랄드로부터 5개의 보석을 선택하여 사용할 때… 몇 가지 방법?보석의 배열의 순서에는 관심 X순열X 조합O반복을 허용하면서, 3개 중에서 5개의 조합의 수를 계산1다야, 3루비, 1에메*|***|*5다야, 0루비, 0에메*****||즉, 7개의 slot중에서 5개의 품목을 선택C(7,5) = 7!/(5!2!)
20. 반복을허용하면서N개의 서로 별개인 객체들 중에서 R개의 객체들에 대한 조합을 표현N개의 객체들의 반복된 수를 나타내기 위해 n-1개의 수직선 필요수직선들을 포함한 전체가 차지하는 위치의 수는r+(n-1)이들 중에서 r개를 선택하는 방법의 수는
22. 예제 59하나의 동전을 던졌을 때 “앞면” 얻기2결과중 하나1/2하나의 주사위를 굴렸을 때 “3”을 얻기6결과중 하나1/6표준 카드 한 벌에서 ♠1 ♦Q둘중의 하나 뽑기1/52 + 1/52 = 2/52 = 1/26
23. 표본 공간어떤 행동의 모든 가능한 결과들의 집합사건표본 공간의 임의의 부분집합결과가 동일한 확률로 나타나는 임의의 유한 집합이 S라면, 사건 E의 확률 P(E)는
24. 예제 602개의 동전 동시 던짐각 동전은 공정 앞면,뒷면의 확률은 같다표본 공간은 S={HH,HT,TH,TT}사건 E를 집합 {HH}라 하자. E의 확률, 즉 두 동전 모두 앞면이 나타날 확률은?
25. 예제 61검사, 개발, 마케팅 붓서 직원들이 한 직원의 이름이 선택되는 뽑기에 참가검사5 ( 2M, 3W)개발23 (16M, 7W)마켓14 ( 6M, 8W)|S|=42|W|=3+7+8=18P(W)=|W|/|S|=18/42=3/7|마|=14P(마)=|마|/|S|=14/42=/3P(W ∩ M)=8/42=4/21P(W∪M)=P(3+7+14)=24/42=4/7
26. 확률 분포만일 임의의 행동이 초래하는 결과가전혀 동등한 확률로 나타나지 않는다면,이 상황을 처리하기 위한 한 가지 방법은해당 결과의 일부가 반복되는 대략적인 횟수를소개하는 것이다…. -_-;
27. 예제 63하나의 주사위6가지 가능한 결과가 존재 |S|=6T는 3이 나타나는 사건이 사건은 오직 한 번만이 존재|T|=1P(T)=|T|/|S|=1/6주사위가 치우쳐서 4가 3배 더 자주라고 가정F는 4가 나타나는 사건결과 집합={1,2,3,4,4,4,5,6} |S|=8P(F)=|F|/|S|=1/8
28. 모든 결과가 동등한 확률이 아님방법은 해당 표본 공간에 대해 하나의 확률 분포를 할당하는 것더 자주 발생하는 결과들의 복제품을 생성하여표본 공간을 오히려 더 크게 만들기 보다간단히 하나의 사건처럼 원래의 표본 공간에서각 별개의 결과를 고려하고, 임의의 확률을 할당만일 표본 공간에서 K개의 다른 결과들이 존재각 결과 Xi에는 다음과 같은 규칙이 적용됨
29. 사건 E ⊆ S를 고려사건 E의 확률은E안의 개별적인 결과들에 대한 모든 확률을 더할 수 있다E는 서로 별개인 결과 모두에 대한 합집합결과가 모두 동등하게 나타날 때,P(E)=|E|/|S|라는 정의는E안의 각 xi에 대해 p(xi)=1/|S|일 때 정의의특별한 경우가 된다
![Mathematical Structures for CS [Chapter3]456](https://image.slidesharecdn.com/chapter3456-100312123740-phpapp01/85/Mathematical-Structures-for-CS-Chapter3-456-46-320.jpg)
