The Art of Computer Programming 1.2.5

The Art of Computer Programming1.2.5 순열과 계승아키텍트를 꿈꾸는 사람들cafe.naver.com/architect1현수명 soomong.net#soomong

순열 Permutation계승 Factorial

Definition순열Permutationn 객체들의 순열은 n개의 서로 다른 객체들을한 줄로 늘어 놓는 것서로 다른 3개의 객체 에는총 6개의 서로 다른 순열들이 존재(1)

Example3개의 객체들 중 1개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수3개의 객체들 중 2개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수3개의 객체들 중 3개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수(3)

Generalizationn개의 객체들 중 k개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수(2)따라서 전체 순열의 수는n개의 객체들 중 n개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수

2개 객체들의 순열에서?3개 객체들의 순열을 얻는 방법은 없을까?

의 순열의 순열?방법 1Example새로운 객체 을 가능한 자리들에 삽입!

방법 1Generalization의 각 순열 에 대해 수 을 모든 가능한 자리에 삽입!

방법 2Example이런 배열을 만든다.이름을 객체 크기 순으로 변경

방법 2Generalization의 각 순열 에 대해 아래 방식으로 나머지 개의 순열을 얻는다.그런 다음 순열의 요소들의 이름을수 을 요소 크기 순으로 사용해서 바꾼다

Definition계승Factorial 차례곱1부터 n 까지의 연속된 자연수를 차례로 곱한 값(4)

처음 몇 계승들은 기억해두는것이 좋다.(5)(6)

이렇게 써보자!알고리즘이 10! 개 이상의 경우들을 판단해야만한다면 실용적이지 못한 것이다.알고리즘이 10! 가지를 판단해야하고 각 경우가 1msec 걸린다면 알고리즘 전체에는 약 한시간 (60.48분) 이 걸린다.

여기서 떠오르는 자연스러운 의문!?일일히 곱하지 않고 의 값이대략 어느정도인지 알 수 있을까?정말 자연스럽지 않은가?

의 예측 방법 1 Generalization스털링 James Stirling(7) : 대략 같다 : 자연로그의 기수(밑) p.50

의 예측 방법 1Example스털링 James Stirling오차 1%

의 정확한 값을 소수들로 소인수 분해하는 방법Generalization다음과 같은 중복도를 가진 소수 는 을 나눌 수 있다(8)

소인수 분해하는 방법 Example(8)따라서 은 로 나누어지나 로는나누어지지 않는다.

또 하나의 자연스러운 의문!?음이 아닌 정수 에 대해 을 정의 할 수 있다면 유리수, 심지어 실수 에 대한 계승함수도 정의 할 수 있지 않겠는가?이 얼마나 자연스러운 의문인가?

Example(4)곱하기 대신 더하기를 생각해보면(9)(10)

Generalization Try…스털링 James Stirling비정수 에 대하여 을 일반화하기 위해서 여러가지 시도를 해 보았다.식(7)을 무한합으로 확장했으나안타깝게도 그 합은 어떠한 값에대해서도 수렴하지 않았다.

Generalization Try…스털링 James Stirling이것을 발견했지만이 음이 아닌 정수에 대해서만 유효이 합이 의 모든 분수값들에 대해 을 정의함을증명하지 못했다.(11)(12)

Generalization !오일러 Leonhard Euler (1729년)같은 시기에 동일한 문제를 고민!결국 Euler 가 적절한 일반화를 최초로 발견(13)단, 이 음의 정수가 아닐때왜냐하면 이 음의 정수이면 분모가 0 이 되고은 무한대가 되어버리기 때문에

Generalization !에르미트 C.Hermite (1900년)지금 여러분은즐거운 계승Factorial 의 역사시간을함께 하고 계십니다.ㅜㅜ스털링의 아이디어가실제로 비정수 에 대해 을 성공적으로 정의하며사실 오일러와 스털링의 일반화들이 동일함을 증명!

계승의 표기 방법오일러Euler가우스Gauss영국과 이탈리아크랑Kramp르장드르A.M.Legendre

Definition감마함수Gamma Funtion이 함수를 감마함수라고 부른다감마함수는 계승의 개념을 실수와 복소수까지확장시킨 함수이다(wikipedia)(14)(15)오일러 극한정의

저 위에 (4,6).(3,2).(1,1)..(2,1).X함수실수축 상에서의 감마함수 그래프

감마함수는 복소수에서도 유효복소수는 보통 대신 라는 글자를 사용(16)오일러 반사공식가 정수가 아닌 경우 항상 성립한다

복소평면 전체로 확장된 버전의 감마함수(wikipedia)

는 가 0 이나 음의 정수일때 무한이 되는 반면 는 모든 복소수 에 대해유효한 정의를 가진다 (well-defined)(17)복소 적분의 경로는 에서 시작해서원점을 반시계방향으로 돌아 로 돌아온다ㅠㅠ

Definition차례거듭제곱Factorial powers가 양의 정수일때(18)의 내림제곱의 올림제곱(19)

n개의 객체들 중 k개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수(2)결국 아래와 같음(18)

차례거듭제곱들의 관계(20)(21)이상 스털링에서 오늘날에 이르기까지의계승의 흥미로운 역사 였습니다. ㅜㅜ

ReferenceFactorial http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%84%EC%8A%B9Gamma Functionhttp://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

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