P 1 7

แผนการจัดการเรียนรูที่1
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3
รายวิชา คณิตศาสตรเพิ่มเติม รหัสวิชา ค 23201 จํานวน 2 คาบ / สัปดาห
หนวยที่ 1 ชื่อหนวยการเรียนรู กรณฑที่สอง จํานวน 6 คาบ
สาระการเรียนรู สมบัติของ a เมื่อ 0a
ชื่อผูสอน นายเล็ก สินวิชัย ใชสอนวันที่ ถึงวันที่
1. มาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัดชั้นปที่เกี่ยวของ
มฐ. ค 6.1 ม.3/1-6
2. เปาหมายการเรียนรู
2.1 ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. บวก ลบ คูณและหารจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่กําหนดใหและนําไปใชแกปญหาได
2. ตระหนักถึงความสนเหตุสมผลของคําตอบที่ได
2.2 จุดประสงคการเรียนรู
ดานความรู(K)
1. นักเรียนสามารถบอกสมบัติของ a เมื่อ 0a ได
ดานกระบวนการ(P)
1. นักเรียนสามารถหาคารากที่สองของจํานวนจริงได
2. นักเรียนสามารถใชสมบัติของ a เมื่อ 0a แกปญหาได
ดานคุณลักษณะ(A)
1. นักเรียนมีการทํางานอยางเปนระบบ
2. นักเรียนมีความเชื่อมั่นในตนเอง
3. นักเรียนมีความตรงตอเวลา
4. นักเรียนมีความกระตือรือรนสนใจในการเรียน

3.สาระสําคัญ
สาระการเรียนรู
สมบัติของ a เมื่อ 0a
1. เมื่อ a แทนจํานวนจริงบวกใดๆหรือศูนย รากที่สองของ a คือจํานวนจริงที่ยก
กําลังสองแลวได a
2. เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก รากที่สองของ a คือ รากที่สองที่เปนบวก ซึ่งแทน
ดวยสัญลักษณ a (เรียกอีกอยางหนึ่งวา กรณฑที่สองของ a ) และรากที่สองที่
เปนลบ ซึ่งแทนดวย สัญลักษณ - a
3. เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก ( aa 2
) และ aa  2
)(
||2
aa  เมื่อ a เปนจํานวนจริงใดๆและ || a แทนคาสัมบูรณของ a
4.รองรอยการเรียนรู
4.1 ผลงาน / ชิ้นงาน / การทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนจบหนวยการเรียนรู
- แบบฝกหัด
4.2 กระบวนการ / ขั้นตอนการปฏิบัติไดแก
- แบบประเมินพฤติกรรมการเรียนรูรายบุคคล
4.3 พฤติกรรมตามคุณลักษณะที่พึงประสงค
- แบบประเมินคุณลักษณะที่พึงประสงค
5. แนวทางการวัดผลประเมินผล
สิ่งที่วัดผล วิธีการประเมิน เครื่องมือวัดผล เกณฑการประเมินผล
1. นักเรียนสามารถบอกสมบัติ
ของ a เมื่อ 0a ได
- สังเกตจากการ
ตอบคําถาม
- คําถาม - นักเรียนตอบคําถามถูกตอง
รอยละ 80 จึงจะผาน
ดานทักษะกระบวนการ(P)
1. นักเรียนสามารถหาคารากที่สอง
ของจํานวนจริงได
2. นักเรียนสามารถใชสมบัติของ
a เมื่อ 0a แกปญหาได
- สังเกตจากการทํา
แบบฝกหัด
- แบบฝกหัด - นักเรียนแบบฝกหัดถูกตอง

ดานคุณลักษณะ/เจตคติ (A)
1. นักเรียนมีการทํางานอยางเปน
ระบบ
4. นักเรียนมีความกระตือรือรน
สนใจในการเรียน
- สังเกตพฤติกรรม
ในการทํากิจกรรม
- แบบประเมิน
คุณลักษณะที่พึง
ประสงค
- ผานเกณฑการประเมิน
คุณลักษณะที่พึงประสงค
อยางต่ํา ระดับคะแนน
คุณภาพ 4ขึ้นไป
6. กิจกรรมการเรียนการสอนเพื่อการเรียนรู
คาบที่ 1-2
6.1 ขั้นนํา
1. ครูทบทวนเกี่ยวกับรากที่สองของจํานวนจริงและเลขยกกําลังโดยถาม-ตอบ
6.2 ขั้นสอน
1. ครูทบทวนเกี่ยวกับสมบัติของ a เมื่อ 0a และทบทวนความหมายของรากที่สอง
รากที่สองของ a คือ จํานวนจริงใดๆที่ยกกําลังสองแลวได a
สมบัติของ a เมื่อ 0a
1. เมื่อ a แทนจํานวนจริงบวกใดๆหรือศูนย รากที่สองของ a คือจํานวนจริงที่ยกกําลัง
สองแลวได a
2. เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก รากที่สองของ a คือ รากที่สองที่เปนบวก ซึ่งแทนดวย
สัญลักษณ a (เรียกอีกอยางหนึ่งวา กรณฑที่สองของ a ) และรากที่สองที่เปนลบ ซึ่งแทนดวย
สัญลักษณ - a
ตัวอยาง รากที่สองของ 36 มีสองราก คือ 36 และ - 36
หรือ 6 และ -6
3. เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก ( aa 2
) และ aa  2
)(
ตัวอยาง 2
)31( = 31
2
)25.0( = 0.25
2
)112( = 112
||2
aa  เมื่อ a เปนจํานวนจริงใดๆและ || a แทนคาสัมบูรณของ a

ตัวอยาง 2
11 = | |11 = 11
2
)7( = |7|  = 7
2
)5.0( = - |5.0| = -0.5
2
)112( = |112|  = -112
2
4x = 2
)2( x = |2x| =2x
24
25
81
nm = 22
)
5
9
( nm = | nm2
5
9
| = nm2
5
9
จํานวนในรูป a มีสมบัติสําคัญ ดังนี้
1. ba = ab เมื่อ 0,0  ba
2.
b
a
=
b
a
เมื่อ 0,0  ba
ตัวอยางที่ 1 จงเขียน 12 ใหอยูในรูปอยางงาย
วิธีทํา เนื่องจาก 12 = 322 
= 322

= 32
ดังนั้น 12 = 32
ตัวอยางที่ 2จงหาผลลัพธของ 2 32
วิธีทํา เนื่องจาก 2 32 = 322
= 64
= 2
8
= 8
ดังนั้น 2 32 = 8

ตัวอยางที่ 3จงหาผลลัพธของ
2
200
วิธีทํา เนื่องจาก
2
200
=
2
200
= 100
= 2
10
= 10
ดังนั้น
2
200
= 10
ตัวอยางที่ 4จงหาผลลัพธของ 45 เมื่อกําหนดให 236.25 
วิธีทํา เนื่องจาก 45 = 533 
= 532

= 53
= 236.23
= 6.708
ดังนั้น 45  6.708
3. ครูยกตัวอยางบางจํานวนใหนักเรียนหาคารากที่สองโดยถามปากเปลา และใหนักเรียน
ถามขอสงสัย
4. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด1.1
6.3 ขั้นสรุป
1. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปเนื้อหาเกี่ยวกับรากที่สองและสมบัติของ a เมื่อ 0a
7.สื่อการเรียนรู / แหลงการเรียนรู
7.1 สื่อการเรียนรู
- หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตรเลม1 ชั้นม. 3
- คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตรเลม1 ชั้นม. 3
7.2 แหลงการเรียนรู
- หองสมุดโรงเรียน
- อินเตอรเน็ต

8. บันทึกหลังการสอน
บันทึกสรุปผลการจัดการเรียนรู
ดานความรู(K) ดานกระบวนการ(P) ดานคุณลักษณะ(A)

บันทึกเพิ่มเติม/ กิจกรรมเสนอแนะ
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
ลงชื่อ .........................................
( นายเล็ก สินวิชัย)
......../ ......../ ........
บันทึกความเห็นของผูตรวจสอบแผนการจัดการเรียนรู
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
ลงชื่อ .........................................
( )
......../ ......../ ......

สาระการเรียนรู การดําเนินการของจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สอง
มฐ. ค 6.1 ม.3/1-6
1. นักเรียนสามารถอธิบายวิธีการบวก ลบคูณและหารจํานวนจริงเกี่ยวกับกรณฑที่สองได
2. นักเรียนสามารถอธิบายการแยกตัวประกอบของจํานวนจริงได
1. นักเรียนสามารถบวก ลบ คูณและหารจํานวนจริงเกี่ยวกับกรณฑที่สองได
2. นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของจํานวนจริงได

การบวกและคูณจํานวนในรูป a เมื่อ 0a มีสมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนกลุม
และสมบัติการแจกแจงดังนี้
สมบัติการสลับที่สําหรับการบวก
a + b = b + a
สมบัติการเปลี่ยนกลุมสําหรับการบวก
( a + b )+ c = a +( b + c )
สมบัติการสลับที่สําหรับการคูณ
a  b = b  a
สมบัติการเปลี่ยนกลุมสําหรับการคูณ
( a  b ) c = a ( b  c )
สมบัติการแจกแจง
a ( b + c ) = ( a  b )+( a  c ) และ
( b + c ) a = ( b  a )+( c  a )

1. นักเรียนสามารถอธิบายวิธีการ
บวก ลบ คูณและหารจํานวนจริง
เกี่ยวกับกรณฑที่สองได
2. นักเรียนสามารถอธิบายการ
แยกตัวประกอบของจํานวนจริงได
- คําถาม
- นักเรียนตอบคําถามถูกตอง
1. นักเรียนสามารถบวก ลบ คูณและ
หารจํานวนจริงเกี่ยวกับกรณฑที่สอง
ได
2. นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบ
ของจํานวนจริงได
- นักเรียนแบบฝกหัดถูกตอง
ระบบ
1. ครูทบทวนเกี่ยวกับการหารากที่สองโดยการถามนักเรียน
1. ครูอธิบายเกี่ยวกับสมบัติการสลับที่ สมบัติการคูณ และสมบัติการเปลี่ยนกลุมของ
จํานวนที่อยูในรูป a เมื่อ 0a ดังนี้

สมบัติการสลับที่สําหรับการบวก
a + b = b + a เชน
2 + 3 = 3 + 2
สมบัติการเปลี่ยนกลุมสําหรับการบวก
( a + b )+ c = a +( b + c ) เชน
( 2 + 3 )+ 5 = 2 +( 3 + 5 )
สมบัติการสลับที่สําหรับการคูณ
a  b = b  a เชน
2  3 = 3  2
สมบัติการเปลี่ยนกลุมสําหรับการคูณ
( a  b ) c = a ( b  c ) เชน
( 2  3 ) 5 = 2  ( 3  5 )
สมบัติการแจกแจง
a ( b + c ) = ( a  b )+( a  c ) เชน
2  ( 3 + 5 ) = ( 2  3 )+( 2  5 )
เราใชสมบัติดังกลาวขางตน และสมบัติของ a เมื่อ 0a ในหัวขอ 1.1 ในการ
ดําเนินการดังนี้
การบวกและการลบ
ตัวอยางที่1 จงหาผลบวกของ 21324 
วิธีทํา เนื่องจาก 21324  = 2)134( 
= 217
ดังนั้น 21324  = 217
ตัวอยางที่2 จงหาผลลบของ 522519 
วิธีทํา เนื่องจาก 522519  = 5)2219( 
= 53
ดังนั้น 522519  = 53

ตัวอยางที่3 จงหาผลบวกของ 2712 
วิธีทํา เนื่องจาก 2712  = 322  + 333 
= 3332 
= 35
ดังนั้น 2712  = 35
ตัวอยางที่4 จงหาผลบวกของ 72200450 
วิธีทํา เนื่องจาก 72200450  = 15152  + 10102  - 662 
= 26210215 
= 219
ดังนั้น 72200450  = 219
2. ครูอธิบายการคูณและการหารจํานวนที่อยูในรูป a เมื่อ 0a พรอมยกตัวอยาง
ประกอบ
การคูณและการหาร
ตัวอยางที่1 จงหาผลคูณของ 3212 
วิธีทํา เนื่องจาก 3212  = 32212 
= 1212 
= 12
ดังนั้น 3212  = 12
ตัวอยางที่2 จงหาผลลัพธของ 122(2 
วิธีทํา เนื่องจาก 122(2  = )122()22( 
= 242 
= 6222 
= 622 
ดังนั้น 122(2  = 622 

ตัวอยางที่3 จงหาผลลัพธของ
18
2422
วิธีทํา เนื่องจาก
18
2422
=
18
242
2
=
9
121
2
=
3
11
2
=
3
22
ดังนั้น
18
2422
=
3
22
หรือ
3
1
7
3. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.2 ก และ 1.2 ข
1. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปเนื้อหาขางตน โดยครูถามวิธีคิดหรือหลักการจําของนักเรียน
คนละ 1 ขอ

สาระการเรียนรู การนําไปใชเกี่ยวกับกรณฑที่สอง
มฐ. ค 6.1 ม.3/1-6
1. นักเรียนสามารถอธิบายการหาคารากที่สองของจํานวนจริงบวกหรือศูนยได
1. นักเรียนสามารถหาคารากที่สองของจํานวนจริงบวกหรือศูนยได
2. นักเรียนสามารถนําความรูเรื่องกรณฑที่สองแกปญหาได
นําสมบัติของ a เมื่อ 0a และการบวก ลบ คูณและหารจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับ
กรณฑที่สองมาใชแกปญหาหรือแกโจทยปญหาที่พบในชีวิตประจําวัน

1. นักเรียนสามารถอธิบายการหาคา
รากที่สองของจํานวนจริงบวกหรือ
ศูนยได
1. นักเรียนสามารถหาคารากที่สอง
ของจํานวนจริงบวกหรือศูนยได
2. นักเรียนสามารถนําความรูเรื่อง
กรณฑที่สองแกปญหาได
ระบบ

1. ครูถามคําถามเกี่ยวกับปญหาที่นักเรียนพบในชีวิตประจําวัน เชน ถานักเรียนวิ่งรอบสระ
น้ํา รูปวงกลมที่มีพื้นที่ 200 ตารางเมตร คิดเปนระยะทางเทาใด
1. ครูยกตัวอยางปญหาเพิ่มเติมและยกตัวอยางโจทยพรอมแสดงวิธีคิด ดังนี้
ตัวอยางที่1 กลองทรงลูกบาศกใบหนึ่งมีแตละดานยาว 12 นิ้ว ดังรูป จงหา AC ยาวเทาใด
วิธีทํา จากรูป ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมี CBA ˆ
เปนมุมฉาก
ABCมีมุม CDB ˆ เปนมุมฉาก
และ AB = BD = DC =12นิ้ว
หา BC เนื่องจาก 222
BCBDBC 
222
1212 BC
ดังนั้น 2882
BC
หา AC เนื่องจาก 222
BCABAC 
2881222
AC
= 288144 
= 432
จะได 432AC
= 31212 
= 312
ดังนั้น AC ยาว 312 นิ้ว
ตอบ AC ยาว 312 นิ้ว
ตัวอยางที่2 ลานกีฬากลางแจงรูปวงกลมสองแหง สําหรับผูใหญและเด็กมีพื้นที่20
ตารางเมตร และ 50 ตารางเมตรตามลําดับ จงหาวารัศมีของลานกีฬาสําหรับผูใหญยาวกวาเด็กกี่
เมตร
วิธีทํา กําหนดให รัศมีลานกีฬาสําหรับผูใหญเปน 1r เมตร
รัศมีลานกีฬาสําหรับเด็กเปน 2r เมตร
12
12
12
12
AD
C
B

จากสูตร พื้นที่วงกลมลานกีฬาสําหรับผูใหญ
2
1r = 200 เมตร
2
1r = 200 เมตร
1r = 200 = 210
จากสูตร พื้นที่วงกลมลานกีฬาสําหรับเด็ก
2
2r = 50 เมตร
2
2r = 50 เมตร
2r = 50 = 25
ดังนั้นรัศมีลานกีฬาของผูใหญยาวกวารัศมีลานกีฬาของเด็ก = 21 rr 
= 25210 
= 25
ตอบ รัศมีลานกีฬาของผูใหญยาวกวารัศมีลานกีฬาของเด็ก 25 เมตร
ตัวอยางที่3 บันไดอันหนึ่งวางพาดขอบหนาตางพอดี ระยะทางจากโคนบันไดถึงตึกเทากับ20
เมตร และบันไดอยูสูงจากพื้น 12 เมตร จงหาวาบันไดยาวกี่เมตร
กําหนดให 12AB เมตร
20BC เมตร
หา AC
วิธีทํา ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี CBA ˆ เปนมุมฉาก
จากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส
2
AC 22
BCAB 
22
2012 
400144 
544
AC 544
344
ดังนั้น บันไดยาว 344 เมตร
2. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด1.3
CB
A

1. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปขั้นตอนการพิจารณาโจทยปญหาและการแกโจทยปญหาเรื่องการ
นําไปใชเกี่ยวกับกรณฑที่สอง

หนวยที่ 2 ชื่อหนวยการเรียนรู การแยกตัวประกอบของพหุนาม จํานวน 10 คาบ
สาระการเรียนรู การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
มฐ. ค 6.1 ม.3/1-6
1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณได
1. นักเรียนสามารถอธิบายการบวก ลบคูณและหารเอกนามและพหุนามได
2. นักเรียนสามารถอธิบายการแยกตัวประกอบของจํานวนเต็มได
1. นักเรียนสามารถบวก ลบ คูณและหารเอกนามและพหุนามได
2. นักเรียนสามารถการแยกตัวประกอบของจํานวนเต็มได

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางกําลังสอง
22
BA  = ))(( BABA  เมื่อ A และ B เปนพหุนาม
2. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ
222
)(2 BABABA 
222
)(2 BABABA  เมื่อ A และ B เปนพหุนาม
1. นักเรียนสามารถอธิบายการบวก
ลบ คูณและหารเอกนามและพหุนาม
ได
แยกตัวประกอบของจํานวนเต็มได
1.นักเรียนสามารถบวก ลบ คูณและ
หารเอกนามและพหุนามได
2. นักเรียนสามารถการแยกตัว
ประกอบของจํานวนเต็มได

ระบบ
1. ครูถามนักเรียนวาเอกนามและพหุนามคืออะไร ใหนักเรียนลองยกตัวอยางและครูอธิบาย
และยกตัวอยางเพิ่ม
1. ครูทบทวนการบวก ลบ คูณและหารเอกนามและพหุนามและยกตัวอยางพอสังเขป
2. ครูอธิบายวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางกําลังสองดังนี้
สูตร 22
BA  = ))(( BABA  เมื่อ A และ B เปนพหุนาม
aa 2
)( เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวกหรือศูนย
ตัวอยางที่1 จงแยกตัวประกอบของ 812
x
วิธีทํา 812
x = 22
9x
= )9)(9(  xx
x = )9)(9(  xx
25
1 2
x
25
1 2
x = 22
)6()
5
1
( x
= )6
5
1
( x )6
5
1
( x
25
1 2
x = )6
5
1
( x )6
5
1
( x

ตัวอยางที่3 จงแยกตัวประกอบของ 20)52( 2
x
วิธีทํา 20)52( 2
x = 22
)52()52( x
= )5252( x )5252( x
ดังนั้น 20)52( 2
x = )5252( x )5252( x
3. ครูอธิบายและยกตัวอยางการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสอง
สมบูรณ
222
222
)(2 BABABA  เมื่อ A และ B เปนพหุนาม
 xx
 xx = 22
4)4(2  xx
= 2
)4( x
 xx = 2
)4( x
ตัวอยางที่2 จงแยกตัวประกอบของ 9124 2
 xx
วิธีทํา 9124 2
 xx = 22
3)2)(3(2)2(  xx
= 2
)32( x
ดังนั้น 9124 2
 xx = 2
)32( x
4
1 2
 xx
4
1 2
 xx = 22
3)
2
1
)(3(2)
2
1
(  xx
= 2
)3
2
1
( x
4
1 2
 xx = 2
)3
2
1
( x
4. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 2.1
1. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปสูตรของการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตาง
กําลังสองและพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ

บันทึกเพิ่มเติม/ กิจกรรมเสนอแนะ
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
ลงชื่อ .........................................
(นายเล็ก สินวิชัย)
......../ ......../ ........
บันทึกความเห็นของผูตรวจสอบแผนการจัดการเรียนรู
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
ลงชื่อ .........................................
( )
......../ ......../ ......

สาระการเรียนรู การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ
1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณได
1. นักเรียนสามารถอธิบายการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสอง
สมบูรณได
1. นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณได
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ
สูตร 222
222
)(2 BABABA 

แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี
สองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ
ได
1.นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบ
ของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปน
กําลังสองสมบูรณได
ระบบ

1. แจงจุดประสงคการเรียนรูใหนักเรียนทราบวา เมื่อเรียนจบแผนการจัดการเรียนรูนี้แลว
นักเรียนจะสามารถ
- แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณได
2. ครูถามนักเรียนวาเอกนามและพหุนามคืออะไร ใหนักเรียนลองยกตัวอยางและครูอธิบาย
และยกตัวอยางเพิ่ม
1. ครูอธิบายวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ
ดังนี้
สูตร 222
222
)(2 BABABA 
ตัวอยางที่1 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 165262
 yy โดยใชวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ
 yy =  ]13)13(2[ 22
yy 165132

= 165169)13( 2
y
= 4)13( 2
y
= 22
2)13( y
= )213( y )213( y
= )11( y )15( y
 yy = )11( y )15( y
 xx โดยใชวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ
 xx = 24716]16)16(2[ 222
 xx
= 247256)16( 22
x
= 9)16( 2
x
= 22
3)16( x
= )316)(316(  xx
= )13)(19(  xx
 xx = )13)(19(  xx

 xx โดยใชวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ
 xx = 23]3)3(2[ 222
 xx
= 29)3( 22
x
= 7)3( 2
x
=
22
7)3( x
= )73( x )73( x
 xx = )73( x )73( x
ตัวอยางที่4 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 3583 2
 xx
วิธีทํา 3583 2
 xx = 




3
35
3
8
3 2
xx
= 












3
35
3
8
3 2
xx
=




































3
35
3
4
3
4
3
4
23
22
2
xx
=















3
35
9
16
3
4
3
2
x
=





















3
35
9
16
3
4
3
2
x
=













 







9
10516
3
4
3
2
x
=















9
121
3
4
3
2
x
=





















22
3
11
3
4
3 x
= 












3
11
3
4
3 x 












3
11
3
4
x
= 












3
11
3
4
3
11
3
4
3 xx
=  5
3
7
3 





 xx
=   573  xx
ดังนั้น 3583 2
 xx =   573  xx

4. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด2.2ก และ2.2 ข
1. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสอง
สมบูรณ

สาระการเรียนรู การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์
เปนจํานวนเต็ม
1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็ม
และไดตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์ ของแตละพจนเปนจํานวนเต็ม โดยอาศัยวิธีทําเปนกําลังสอง
สมบูรณหรือใชทฤษฎีเศษเหลือได
1. นักเรียนสามารถอธิบายการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์
เปนจํานวนเต็มได
1. นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวน
เต็มได

ผลบวกของกําลังสาม
สูตร ))(( 2233
BABABABA 
ผลตางของกําลังสาม
สูตร ))(( 2233
BABABABA 
แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูง
กวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวน
เต็มได
1. นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบ
ของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มี
สัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มได
ระบบ

- แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็ม
2. ครูทบทวนเรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ
1. ครูอธิบายการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม
ไดดังนี้
ผลบวกของกําลังสาม สูตร ))(( 2233
BABABABA 
ตัวอยางที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 1253
x
x = 33
5x
= )55)(5( 22
 xxx
= )255)(5( 2
 xxx
x = )255)(5( 2
 xxx
x
x = 33
2x
= )22)(2( 22
 xxx
= )42)(2( 2
 xxx
x = )42)(2( 2
 xxx
ผลตางของกําลังสาม สูตร ))(( 2233
BABABABA 
64 yx 
64 yx  = 333
4 yx 
= 33
)4( yx 
= )416)(4( 22
yxyxyx 
64 yx  = )416)(4( 22
yxyxyx 

ตัวอยางที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ xx 644

วิธีทํา xx 644
 = )64( 3
xx
= )4( 33
xx
= )44)(4( 22
 xxxx
ดังนั้น xx 644
 = )44)(4( 22
 xxxx
4. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 2.3 ก และ2.3 ข
1. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์
เปนจํานวนเต็ม

สาระการเรียนรู การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม
โดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือ
1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็ม
1. นักเรียนสามารถอธิบายการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม
โดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือได
1. นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใช
ทฤษฎีบทเศษเหลือได

ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทเศษเหลือ
ถาหารพหุนาม P(x) ดวยพหุนามx-a เปนคาคงตัวแลวจะไดเศษเหลือเปน P(a)
แยกตัวประกอบของพหุนามที่มี
สัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใช
ทฤษฎีบทเศษเหลือได
1.นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบ
ของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปน
จํานวนเต็มโดยใชทฤษฎีบทเศษ
เหลือได
ระบบ

- แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็ม
2. ครูทบทวนเรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปน
จํานวนเต็ม
1. ครูอธิบายการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใชทฤษฎี
บทเศษเหลือ ดังนี้
ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทเศษเหลือ
ถาหารพหุนาม P(x) ดวยพหุนาม x-a เปนคาคงตัวแลวจะไดเศษเหลือเปน P(a)
ตัวอยางที่1 จงใชทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจากการหาร
553 23
 xxx ดวย 1x
วิธีทํา P(x) = 553 23
 xxx
P(-1) = 5)1(5)1(3)1( 23

= 5531 
= 2
ดังนั้น หาร 553 23
 xxx ดวย 1x เหลือเศษ 2
282283 23
 ttt ดวย 4t
วิธีทํา P(t) = 282283 23
 ttt
P(-4) = 28)4(22)4(8)4(3 23

= 2888128)64(3 
= 4
 ttt ดวย 4t เหลือเศษ 4

5232 23
 xxx ดวย 1x
 xxx
P(-1) = 5)1(2)1(3)1(2 23

= 5232 
= 2
 xxx ดวย 1x เหลือเศษ 2
9182 23
 xxx ดวย 3x
 xxx
P(-3) = 9)3(18)3(3)3(2 23

= 954954 
= 0
 xxx ดวย 3x เหลือเศษ 0
4572 23
 sss ดวย 1s
วิธีทํา P(s) = 4572 23
 sss
P(1) = 4)1(5)1(7)1(2 23

= 4572 
= 0
 sss ดวย 1s เหลือเศษ 0
4. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 2.4
1. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม
โดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือ

P 1 7

More Related Content

What's hot (6)

Viewers also liked (14)

Similar to P 1 7 (20)

P 1 7