Program yahahyesyshahshsshshahshshhshhs.ppt

Program Dinamis
Program Dinamis
(Dynamic Programming)
(Dynamic Programming)

Program Dinamis
Program Dinamis
• Program Dinamis (dynamic
programming): metode pemecahan
masalah dengan cara menguraikan solusi
menjadi sekumpulan langkah (step) atau
tahapan (stage) sedemikian sehingga
solusi dari persoalan dapat dipandang dari
serangkaian keputusan yang saling
berkaitan.

Pada penyelesaian persoalan dengan metode ini:
1. terdapat sejumlah berhingga pilihan yang
mungkin,
2. solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil
solusi tahap sebelumnya,
3. kita menggunakan persyaratan optimasi dan
kendala untuk membatasi sejumlah pilihan
yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap.

Tinjau graf di bawah ini. Kita ingin
Tinjau graf di bawah ini. Kita ingin
menemukan lintasan terpendek dari 1 ke 10.
menemukan lintasan terpendek dari 1 ke 10.
1 3
2
4
5
6
7
8
9
10
7
2
4
3
1
3
4
5
3
3
3
6
4
1
4
6
4 3
2
4

Prinsip Optimalitas
Prinsip Optimalitas
• Pada program dinamis, rangkaian
keputusan yang optimal dibuat dengan
menggunakan Prinsip Optimalitas.
• Prinsip Optimalitas: jika solusi total
optimal, maka bagian solusi sampai tahap
ke-k juga optimal.

• Prinsip optimalitas berarti bahwa jika kita
bekerja dari tahap k ke tahap k + 1, kita
dapat menggunakan hasil optimal dari
tahap k tanpa harus kembali ke tahap
awal.
• ongkos pada tahap k +1 =
(ongkos yang dihasilkan pada tahap k ) +
(ongkos dari tahap k ke tahap k + 1)

• Dengan prinsip optimalitas ini dijamin
bahwa pengambilan keputusan pada suatu
tahap adalah keputusan yang benar untuk
tahap-tahap selanjutnya.
• Pada metode greedy hanya satu rangkaian
keputusan yang pernah dihasilkan,
sedangkan pada metode program dinamis
lebih dari satu rangkaian keputusan.
Hanya rangkaian keputusan yang
memenuhi prinsip optimalitas yang akan
dihasilkan.

Karakteristik Persoalan
Karakteristik Persoalan
Program Dinamis
Program Dinamis
1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa
tahap (stage), yang pada setiap tahap hanya
diambil satu keputusan.
2. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah
status (state) yang berhubungan dengan tahap
tersebut. Secara umum, status merupakan
bermacam kemungkinan masukan yang ada
pada tahap tersebut.

Graf multitahap
Graf multitahap (
(multistage graph
multistage graph). Tiap simpul di
). Tiap simpul di
dalam graf tersebut menyatakan status,
dalam graf tersebut menyatakan status,
sedangkan
sedangkan V
V1
1,
, V
V2
2, … menyatakan tahap.
, … menyatakan tahap.
1
3
2
4
6
7
8
9
11
10
5
12
V1
V2
V3
V4
V5

3. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap
tahap ditransformasikan dari status yang
bersangkutan ke status berikutnya pada tahap
berikutnya.
4. Ongkos (cost) pada suatu tahap meningkat
secara teratur (steadily) dengan bertambahnya
jumlah tahapan.
5. Ongkos pada suatu tahap bergantung pada
ongkos tahap-tahap yang sudah berjalan dan
ongkos pada tahap tersebut.

6. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat
independen terhadap keputusan yang
dilakukan pada tahap sebelumnya.
7. Adanya hubungan rekursif yang
mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk
setiap status pada tahap k memberikan
keputusan terbaik untuk setiap status pada
tahap k + 1.
8. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan
tersebut.

Dua pendekatan PD
Dua pendekatan PD
• Dua pendekatan yang digunakan dalam
PD: maju (forward atau up-down) dan
mundur (backward atau bottom-up).

• Misalkan x1, x2, …, xn menyatakan
peubah (variable) keputusan yang harus
dibuat masing-masing untuk tahap 1, 2,
…, n. Maka,
1. Program dinamis maju. Program dinamis
bergerak mulai dari tahap 1, terus maju
ke tahap 2, 3, dan seterusnya sampai
tahap n. Runtunan peubah keputusan
adalah x1, x2, …, xn.

2. Program dinamis mundur. Program
dinamis bergerak mulai dari tahap n,
terus mundur ke tahap n – 1, n – 2, dan
seterusnya sampai tahap 1. Runtunan
peubah keputusan adalah xn, xn-1, …, x1.

Langkah-langkah Pengembangan
Langkah-langkah Pengembangan
Algoritma Program Dinamis
Algoritma Program Dinamis
1. Karakteristikkan struktur solusi optimal.
2. Definisikan secara rekursif nilai solusi
optimal.
3. Hitung nilai solusi optimal secara maju
atau mundur.
4. Konstruksi solusi optimal.

Lintasan Terpendek
Lintasan Terpendek
(
(Shortest Path
Shortest Path)
)
• Tentukan lintasan terpendek dari simpul 1 ke
simpul 10:
1 3
2
4
5
6
7
8
9
10
7
2
4
3
1
3
4
5
3
3
3
6
4
1
4
6
4 3
2
4

Penyelesaian dengan Program Dinamis
Mundur
Mundur
• Misalkan x1, x2, …, x4 adalah simpul-
simpul yang dikunjungi pada tahap k (k =
1, 2, 3, 4).
• Maka rute yang dilalui adalah
1x1x2x3x4 ,
yang dalam hal ini x4 = 10.

Pada persoalan ini,
• Tahap (k) adalah proses memilih simpul
tujuan berikutnya (ada 4 tahap).
• Status (s) yang berhubungan dengan
masing-masing tahap adalah simpul-
simpul di dalam graf.

Relasi rekurens berikut menyatakan lintasan terpendek
dari status s ke x4 pada tahap k:
4
)
(
4 sx
c
s
f  (basis)
)}
(
{
min
)
( 1 k
k
sx
x
k
x
f
c
s
f k
k


 , (rekurens)
k = 1, 2, 3
Keterangan:
a. xk : peubah keputusan pada tahap k (k = 1, 2, 3).
b. k
sx
c : bobot (cost) sisi dari s ke xk
c. fk(s, xk) : total bobot lintasan dari s ke xk
d. fk(s) : nilai minimum dari fk(s, xk)
Tujuan program dinamis mundur: mendapatkan f1(1)
dengan cara mencari f4(s), f3(s), f2(s) terlebih dahulu.

Tahap 4:
4
)
(
4 sx
c
s
f 
Solusi Optimum
s f4(s) x4
*
8 3 10
9 4 10
Catatan: xk
*
adalah nilai xk yang meminimumkan fk(s, xk).

Tahap 3:
)}
(
{
min
)
( 3
4
3 3
3
x
f
c
s
f sx
x


f3(s, x3) = cs,x3 + f4(x3) Solusi Optimum
x3
s 8 9 f3(s) x3
*
5 4 8 4 8
6 9 7 7 9
7 6 7 6 8

Tahap 2:
)}
(
{
min
)
( 2
3
2 2
2
x
f
c
s
f sx
x


x2
s 5 6 7 f2(s) x2
*
2 11 11 12 11 5 atau 6
3 7 9 10 7 5
4 8 8 11 8 5 atau 6

Tahap 1:
)}
(
{
min
)
( 1
2
1 1
1
x
f
c
s
f sx
x


x1
s 2 3 4 f1(s) x1
*
1 13 11 11 11 3 atau 4

Solusi optimum dapat dibaca pada tabel di bawah ini:
x1 x2 x3 x4 Panjang Lintasan
Terpendek
1
3
4
5
5
6
8
8
9
10
10
10
11
11
11
Jadi ada tiga lintasan terpendek dari 1 ke 10, yaitu
1  3  5  8  10
1  4  5  8  10
1  4  6  9  10
Panjang ketiga lintasan tersebut sama, yaitu 11.

Penganggaran Modal
Penganggaran Modal
(
(Capital Budgeting
Capital Budgeting)
)
• Sebuah perusahaan berencana akan
mengembangkan usaha (proyek) melalui ketiga
buah pabrik (plant) yang dimilikinya. Setiap
pabrik diminta mengirimkan proposal (boleh
lebih dari satu) ke perusahaan untuk proyek
yang akan dikembangkan. Setiap proposal
memuat total biaya yang dibutuhkan (c) dan
total keuntungan (revenue) yang akan diperoleh
(R) dari pengembangan usaha itu. Perusahaan
menganggarkan Rp 5 milyar untuk alokasi dana
bagi ketiga pabriknya itu.

• Tabel berikut meringkaskan nilai c dan R
untuk masing-masing proposal proyek.
Proposal proyek bernilai-nol sengaja
dicantumkan yang berarti tidak ada alokasi
dana yang diberikan ntuk setiap pabrik.
Tujuan Perusahaan adalah memperoleh
keuntungan yang maksimum dari
pengalokasian dana sebesar Rp 5 milyar
tersebut. Selesaikan persoalan ini dengan
program dinamis.

Peubah status yang terdapat pada tahap 1, 2, dan 3:
x1 =  modal yang dialokasikan pada tahap 1
x2 =  modal yang dialokasikan pada tahap 1 dan 2
x3 =  modal yang dialokasikan pada tahap 1, 2, dan 3
x3
x2
x1
Tahap 1 Tahap 2 Tahap 3
Kemungkinan nilai-nilai untuk x1 dan x2 adalah 0, 1, 2,
3, 4, 5 (milyar), sedangkan nilai untuk x3 adalah 5

Pabrik 1 Pabrik 2 Pabrik 3
Proyek c1 R1 c2 R2 c3 R3
1 0 0 0 0 0 0
2 1 5 2 8 1 3
3 2 6 3 9 - -
4 - - 4 12 - -

Penyelesaian dengan Program Dinamis Maju
Penyelesaian dengan Program Dinamis Maju.
.
Misalkan,
Rk(pk) = keuntungan dari alternatif pk pada
tahap k
fk(xk) = keuntungan optimal dari tahap 1,
2, …, dan k yang diberikan oleh status xk

Relasi rekurens keuntungan optimal:
1
_
1
1
max
)
(
p
proposal
feasible
x
f  {R1(p1)} (basis)
k
p
proposal
feasible
k
k
x
f
_
max
)
(  {Rk(pk) + fk-1(xk-1) } (rekurens)
k = 2, 3
Catatan:
1. xk – 1 = xk – ck(pk)
c(pk) adalah biaya untuk alternatif pk pada tahap k.
2. Proposal pk dikatakan layak (feasible) jika biayanya,
c(pk), tidak melebihi nilai status xk pada tahap k.

Relasi rekurens keuntungan optimal menjadi
1
1
1 )
(
1
1
max
)
( x
p
c
x
f 
 {R1(p1)} (basis)
k
k
k x
p
c
k
k
x
f 
 )
(
max
)
( {Rk(pk) + fk-1[xk – ck(pk)] } (rekurens)
k = 2, 3

Tahap 1
3
,
2
,
1
)
(
1
1
1
1
1
1
max
)
(



p
x
p
c
x
f {R1(p1)}
R1(p1) Solusi Optimal
x1 p1 = 1 p1 = 2 p1 = 3 f1(x1) p1
*
0 0 - - 0 1
1 0 5 - 5 2
2 0 5 6 6 3
3 0 5 6 6 3
4 0 5 6 6 3
5 0 5 6 6 3

Tahap 2
4
,
3
,
2
,
1
)
(
2
2
2
2
2
2
max
)
(



p
x
p
c
x
f {R2(p2) + f1[(x2 – c2(p2)]},
R2(p2) + f1[(x2 – c2(p2)] Solusi
Optimal
x2
p2 = 1 p2 = 2 p2 = 3 p2 = 4 f2(x2) p2
*
0 0 + 0 = 0 - - - 0 1
1 0 + 5 = 5 - - - 5 1
2 0 + 6 = 6 8 + 0 = 8 - - 8 2
3 0 + 6 = 6 8 + 5 = 13 9 + 0 = 9 - 13 2
4 0 + 6 = 6 8 + 6 = 14 9 + 5 = 14 12 + 0 = 12 14 2 atau 3
5 0 + 6 = 6 8 + 6 = 14 9 + 6 = 15 12 + 5 = 17 17 4

Tahap 3
2
,
1
)
(
3
3
3
3
3
3
max
)
(



p
x
p
c
x
f {R3(p3) + f2[(x3 – c3(p3)]},
R3(p3) + f2[(x3 – c3(p3)] Solusi Optimal
x3 p3 = 1 p3 = 2 f3(x3) p3
*
5 0 + 17 = 17 3 + 14 = 17 17 1 atau 2

Rekonstruksi solusi:
x3 p3
*
x2 p2
*
x1 p1
*
(p1
*
, p2
*
,
p3
*
)
1
1
2
(5 – 0 = 5)
(5 – 1 = 4)
4
2
3
(5 – 4 = 1)
(4 – 2 = 2)
(4 – 3 = 1)
2
3
3
(2, 4, 1)
(3, 2, 2)
(2, 3, 2)

Integer
Integer (1/0)
(1/0) Knapsack
Knapsack
Pada persoalan ini,
1. Tahap (k) adalah proses memasukkan barang ke
dalam karung (knapsack) (ada 3 tahap).
2. Status (y) menyatakan kapasitas muat karung yang
tersisa setelah memasukkan barang pada tahap
sebelumnya.
Dari tahap ke-1, kita masukkan objek ke-1 ke dalam karung
untuk setiap satuan kapasitas karung sampai batas
kapasitas maksimumnya. Karena kapasitas karung
adalah bilangan bulat, maka pendekatan ini praktis.

• Misalkan ketika memasukkan objek pada
tahap k, kapasitas muat karung sekarang
adalah y – wk.
• Untuk mengisi kapasitas sisanya, kita
menerapkan prinsip optimalitas dengan
mengacu pada nilai optimum dari tahap
sebelumnya untuk kapasitas sisa
y – wk ( yaitu fk-1(y – wk)).

• Tahap (k) adalah proses mengalokasikan dana untuk
setiap pabrik (ada 3 tahap, tiap pabrik mendefinisikan
sebuah tahap).
• Status (xk) menyatakan jumlah modal yang
dialokasikan pada pada setiap tahap (namun terikat
bersama semua tahap lainnya).
• Alternatif (p) menyatakan proposal proyek yang
diusulkan setiap pabrik. Pabrik 1, 2, dan 3 masing-
masing memiliki 3, 4 dan 2 alternatif proposal.

• Selanjutnya, kita bandingkan nilai
keuntungan dari objek pada tahap k (yaitu
pk) plus nilai fk-1(y – wk) dengan
keuntungan pengisian hanya k – 1 macam
objek, fk-1(y).
• Jika pk + fk-1(y – wk) lebih kecil dari fk-1(y),
maka objek yang ke-k tidak dimasukkan
ke dalam karung, tetapi jika lebih besar,
maka objek yang ke-k dimasukkan.

 Relasi rekurens untuk persoalan ini adalah
f0(y) = 0, y = 0, 1, 2, …, M (basis)
fk(y) = -, y < 0 (basis)
fk(y) = max{fk-1(y), pk + fk-1(y – wk)}, (rekurens)
k = 1, 2, …, n

• fk(y) adalah keuntungan optimum dari persoalan
0/1 Knapsack pada tahap k untuk kapasitas
karung sebesar y.
• f0(y) = 0 adalah nilai dari persoalan knapsack
kosong (tidak ada persoalan knapscak) dengan
kapasitas y,
• fk(y) = - adalah nilai dari persoalan knapsack
untuk kapasitas negatif. Solusi optimum dari
persoalan 0/1 Knapsack adalah fn(M).

Contoh: n = 3
M = 5
Barang ke-i wi pi
1 2 65
2 3 80
3 1 30

Tahap 1:
f1(y) = max{f0(y), p1 + f0(y – w1)}
= max{f0(y), 65 + f0(y – 2)}
Solusi Optimum
y f0(y) 65 + f0(y – 2) f1(y) (x1
*
, x2
*
, x3
*
)
0 0 - 0 (0, 0, 0)
1 0 - 0 (0, 0, 0)
2 0 65 65 (1, 0, 0)
3 0 65 65 (1, 0, 0)
4 0 65 65 (1, 0, 0)
5 0 65 65 (1, 0, 0)

Tahap 2:
f2(y) = max{f1(y), p2 + f1(y – w2)}
= max{f1(y), 80 + f1(y – 3)}
Solusi Optimum
y f1(y) 80 + f1(y – 3) f2(y) (x1
*
, x2
*
, x3
*
)
0 0 80 + (-) = - 0 (0, 0, 0)
1 0 80 + (-) = - 0 (0, 0, 0)
2 65 80 + (-) = - 65 (1, 0, 0)
3 65 80 + 0 = 80 80 (0, 1, 0)
4 65 80 + 0 = 80 80 (0, 1, 0)
5 65 80 + 65 = 145 145 (1, 1, 0)

Tahap 3:
f3(y) = max{f2(y), p3 + f2(y – w3)}
= max{f2(y), 30 + f2(y – 1)}
Solusi Optimum
y f2(y) 30 + f2(y – 1) f3(y) (x1
*
, x2
*
, x3
*
)
0 0 30 + (-) = - 0 (0, 0, 0)
1 0 30 + (-) = - 0 (0, 0, 0)
2 65 30 + 0 = 30 65 (1, 0, 0)
3 80 30 + 65 = 95 95 (1, 0, 1)
4 80 30 + 80 = 110 110 (0, 1, 1)
5 145 30 + 80 = 110 145 (1, 1, 0)
Solusi optimum X = (1, 1, 0) dengan p = f = 145.

Program yahahyesyshahshsshshahshshhshhs.ppt

More Related Content

Similar to Program yahahyesyshahshsshshahshshhshhs.ppt (10)

Recently uploaded (20)

Program yahahyesyshahshsshshahshshhshhs.ppt