Sistem LTI Waktu Diskrit

Halaman 1 dari 22
SISTEM LINIER, Sistem Waktu Diskrit
Tinjau sistem linear shift invariant waktu diskrit dengan input x[n] yang dinyatakan dalam bentuk :
 

k
]kn[]k[x]n[x
Persamaan output sistem saat n dengan menggunakan input persamaan ini adalah :
 

k
]kn[h]k[x]n[y atau 



k
]k[h]kn[x]n[y (I)
Sisi kanan persamaan di atas dikenal sebagai penjumlahan konvolusi dari sekuen x[n] dan h[n],
x[n]h[n].
Untuk sistem kausal , h[n]=0 untuk n<0, sehingga :
 

n
k
]kn[h]k[x]n[y atau 



0k
]kn[x]k[h]n[y
Pada sistem waktu kontinyu, respon impuls berharga tidak nol pada setiap interval waktu berhingga
dan umumnya disebut sebagai Infinite Impulse Response (IIR). Sedangkan pada sistem waktu diskrit,
respon impuls dapat menjadi nol, setelah beberapa sample. Sistem yang demikian disebut Finite
Impulse Response (FIR).
SISTEM WAKTU DISKRIT Penjumlahan Konvolusi

Halaman 2 dari 22
(a) (b)
(a) (b)
Contoh : Operasi Konvolusi Sistem Waktu Diskrit
SISTEM WAKTU DISKRIT Interpretasi Grafis Penjumlahan Konvolusi
-2 -1 0 1 2 3 4 k-2 -1 0 1 2 3 4 k
0 n k0 n k
h[n-k] x[k]h[n-k]
h[k]x[k]

Halaman 3 dari 22
]n[u]n[x n
 dan ]n[u]n[h n

maka  



k
knk
]kn[u]k[u]n[y   
kn
0k
1
n
0k
nknk
]n[y 





Untuk n > 0, 


n
0k
nn
untuk,)1n()1(]n[y .
Diketahui a1
aa
a
12n1n2n
1nk
k






, untuk    dan a  1
Dengan asumsi -1
 1, maka diperoleh :








 1n1n
1
1n1
n
1
)(1(
]n[y
Bila x[n] merupakan tangga satuan, maka :




1
1
]n[y
1n
Secara umum, respon tangga satuan sistem dengan respon impuls h[n] diberikan oleh :




k
]k[h]n[s atau 



0k
]k[h]n[s untuk sistem kausal.
SISTEM WAKTU DISKRIT Contoh Operasi Penjumlahan Konvolusi

Halaman 4 dari 22
Konvolusi periodik didefinisikan sebagai berikut :




1N
0k
21 ]kn[x]k[x]n[y atau 



1N
0k
21 ]k[x]kn[x]n[y (II)
Perhatikan bahwa penjumlahan pada sisi kanan hanya memiliki N suku. Notasi untuk operasi ini
adalah : ]n[x]n[x]n[y 21 
Konvolusi periodik hanya didefinisikan untuk sekuen dengan periode sama. Untuk membedakan,
konvolusi yang diberikan oleh persamaan (I) lazim disebut Konvolusi Linier.
Jelas bahwa y[n] yang didefinisikan dalam persamaan (II) adalah periodik karena ;
]n[y]k[x]kNn[x]Nn[y
1N
0k
12  


Karena itu y[n] dapat dievaluasi setiap interval N0  n  N0 + N-1, sehingga :




1NN
Nk
21
0
0
]kn[x]k[x]n[y
SISTEM WAKTU DISKRIT Konvolusi Periodik

Halaman 5 dari 22
Hubungan input-output suatu sistem linier time-invariant waktu diskrit dapat ditulis sebagai berikut :



M
0k
k
N
0k
k ]kn[xb]kn[ya ,n 0 (III)
dimana ak dan bk adalah konstanta.
Menggunakan operator D, dapat dinyatakan sebagai :



M
0k
k
k
k
N
0k
k ]n[xDb]n[yDa
Bentuk alternatif dari persamaan di atas dapat ditulis :



M
0k
k
N
0k
k ]kn[xb]kn[ya , n  0 (IV)
Untuk sistem kausal, maka M  N.
Persamaan (III) maupun persamaan (IV) mempunyai solusi yang terdiri dari dua komponen, yaitu
solusi homogen yang bergantung kepada kondisi mula dan penyelesaian khusus yang bergantung
kepada input.
SISTEM WAKTU DISKRIT Representasi Persamaan Beda

Halaman 6 dari 22
Persamaan homogen dari persamaan (III) diberikan oleh :
0]kn[ya
N
0k
k 

Dengan asumsi bahwa solusi dari persamaan ini berbentuk fungsi eksponensial, yh[n] =A n
,
maka 0Aa kn
N
0k
k  

 atau 0a k
N
0k
k 


Persamaan terakhir merupakan persamaan karakteristik untuk persamaan beda dan nilai  yang
memenuhi persamaan tersebut merupakan nilai karakteristik. Jelas bahwa terdapat N akar-akar
karakteristik 1, 2,….., N. Jika akar-akar tersebut berbeda, maka solusi homogen diberikan oleh :
n
NN
n
22
n
11h A.......AA]n[y 
Jika akar-akar tersebut ada yang berulang, maka solusinya diperoleh dengan cara mengalikan solusi
yang bersesuaian dengan karakteristik tersebut dengan pangkat n yang sesuai. Sebagai contoh, jika
terdapat 1 sebanyak P1, sementara N-P1 akar yang lain berbeda, maka solusi homogennya menjadi :
n
NN
n
11p11p
n
1
11p
1p
n
12
n
11h A...AnA....nAA]n[y  

SISTEM WAKTU DISKRIT Solusi Homogen

Halaman 7 dari 22
Berikut ini akan dibahas penentuan solusi khusus untuk persamaan beda ,
 
 

N
0k
M
0k
kk ]kn[xb]kn[ya
Solusi khusus dari persamaan di atas dapat diperoleh dengan cara terlebih dahulu menentukan
]n[y
_
[n], yaitu solusi khusus dari persamaan :



N
0k
k ]n[x]kn[ya , sehingga 


M
0k
kp ]kn[yb]n[y
_
y[n] merupakan kombinasi linier dari x[n] dan delay-nya, x[n-1], x[n-2] dan seterusnya. Jika x[n]
konstan maka x[n-k] juga konstan untuk setiap k. Karena itu,
_
y[n] juga konstan . Demikian juga jika
x[n] merupakan fungsi eksponensial dalam bentuk n
,
_
y[n] juga eksponensial dalam bentuk sama.
Sebagaimana solusi persamaan diferensial, bentuk solusi khusus yang diasumsikan tersebut harus
dimodifikasi jika fungsi pemaksanya memiliki bentuk yang sama dengan solusi persamaan
karakteristik.
SISTEM WAKTU DISKRIT Solusi Khusus

Halaman 8 dari 22
Selesaikan
2
n
sin2]2n[y
8
1
]1n[y
4
3
]n[y

 , dimana y[-1] =2, dan y[-2] = 4
Diasumsikan, solusi khususnya berbentuk,
2
n
cosB
2
n
sinA]n[yp



 , maka
2
n
sinB
2
n
cosA
2
]1n[
cosB
2
]1n[
sinA]1n[yp








dan
2
n
cosB
2
n
sinA
2
]1n[
sinB
2
]1n[
cosA]2n[yp








Disubtitusikan pada persamaan beda diperoleh,
2
n
sin2
2
n
cos)B
8
1
A
4
3
B(
2
n
sin)A
8
1
B
4
3
A(






dimana , A-(3/4)B-(1/8)A = 2 dan B+(3/4)A-(1/8)B =0
diperoleh, A = 112/85 dan B = -96/85
SISTEM WAKTU DISKRIT Penyelesaian Persamaan Beda (1)

Halaman 9 dari 22
Sehingga
2
n
cos
85
96
2
n
sin
85
112
]n[yp




Untuk memperoleh solusi homogen, maka dicari akar-akar persamaan karakteristik :
1- (3/4)-1
+ (1/8)-2
= 0
diperoleh 1 = 1/4 dan 2 =1/2 ; sehingga solusi homogennya menjadi :
yh[n] = A1(1/4)n
+ A2(1/2)n
(*)
Solusi total,
2
n
cos
85
96
2
n
sin
85
112
)
2
1
(A)
4
1
(A]n[y
]n[y]n[y]n[y
n
2
n
1
ph





Dengan menggunakan kondisi mula, diperoleh;
A1 = -(8/17) dan A2 = 13/5
Sehingga,
2
n
cos
85
96
2
n
sin
85
112
)
2
1
(
5
13
)
4
1
(
17
8
]n[y nn 



SISTEM WAKTU DISKRIT Penyelesaian Persamaan Beda (2)

Halaman 10 dari 22
Jika input x[n] berupa fungsi , maka persamaan (III) dapat ditulis sebagai berikut :



M
0k
k
N
0k
k ]kn[b]kn[ya
Diperoleh :
M,...,2,1,0j,b]kn[ya j
j
0k
k 

Atau ekivalen, dalam bentuk matriks,

















































 4
3
2
1
0
01MM
12
01
0
b
b
b
b
b
]M[y
.
]2[y
]1[y
]0[y
a..aa
.....
0..aa
0..aa
0..0a
Kondisi mula yang diperoleh dari penyelesaian tersebut, selanjutnya digunakan untuk menentukan
respon impuls yang merupakan solusi dari persamaan homogen :
Mn,0]kn[ya
N
0k
k 

SISTEM WAKTU DISKRIT Respon Impuls - Persamaan Beda

Halaman 11 dari 22
Tinjau persamaan beda dari contoh sebelumnya,
]1n[x
2
1
]n[x]2n[y
8
1
]1n[y
4
3
]n[y  , N=2 dan M=1.
Respon impuls untuk sistem di atas, merupakan solusi dari persamaan,
2n,0]2n[y
8
1
]1n[y
4
3
]n[y 
Dari persamaan (6.29), diperoleh persamaan yang diperlukan untuk menentukan kondisi mula,























2
1
1
]1[y
]0[y
1
4
3
01
Sehingga y[0]=1 dan y[1]=5/4
Gunakan kondisi awal ini pada persamaan (*), dapat kita peroleh respon impulsnya :
h[n] = 4(1/2)n
- 3(1/4)n
Ini merupakan Infinite Impulse Response.

Halaman 12 dari 22
Tinjau kasus khusus dari persamaan (III), yaitu :



M
0k
k ]kn[xb]n[y
Misalkan x[n]=[n] dan diselesaikan untuk y[n] secara iteratif, diperoleh;
y[0]=b0
y[1]=b1
.
.
.
y[M]=bM
Jelas, y[n]=0 untuk a > M, sehingga,
h[n]={b0, b1, b2, …..,bM}
Respon impuls tersebut menjadi nol setelah nilai ke-M, sehingga sistem tersebut merupakan sustu
sistem Finite Impulse Response.

Halaman 13 dari 22
Tinjau persamaan beda orde N :
y[n] + a1y[n-1] + …..+aNy[n-N] = b0x[n] + b1x[n-1] + …..+ bNx[n-N] (**)
Persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut ;
y[n] = {bNx[n-N] - aNy[n-N]} + …..+{b1x[n-1]-a1y[n-1]} + {b0x[n]}
= DN
{bNx[n] - aNy[n]} + DN-1
{bN-1x[n] - aN-1y[n]} +…..+D{b1x[n]-a1y[n]} + b0x[n]
Jadi y[n] dapat diperoleh dengan menambahkan semua komponen pada sisi kanan persamaan di atas.
Gambar di bawah ini menunjukkan bagaimana membuat simulasi dengan metode ini, yang
menghasilkan bentuk Kanonik I untuk sistem waktu diskrit.
SISTEM WAKTU DISKRIT Diagram Simulasi - Bentuk Kanonik I
D
bN
aN aN-1
bN-1 b1
a1
b0
-1
y[n]
x[n]
D   
+
-
+
-
+
-
+
+

Halaman 14 dari 22
Dengan simulasi yang lain dapat diperoleh dengan menuliskan persamaan (**) sebagai berikut :
]mn[vb]n[y
]n[x]jn[va]n[v
N
0m
m
N
1j
j






Diagram simulasi yang dihasilkan merupakan bentuk Kanonik II, seperti yang ditunjukkan pada
gambar di bawah ini.
SISTEM WAKTU DISKRIT Diagram Simulasi - Bentuk Kanonik II
bN
-aN-1
-a1
b0
b1
bN-1
-aN
DDx[n] y[n]
+
+
+ +
+
+
]jn[va]n[x]n[vatau
N
1j
j  


Halaman 15 dari 22
Sebagaimana sistem waktu kontinyu, penggunaan state variable pada sistem waktu diskrit dpat
memberikan gambaran yang lebih lengkap tentang perilaku sistem.
Jika state dari sistem dinotasikan sebagai vektor berdimensi N ;
v[n] = [ v1[n] v2[n] ……vN[n] ]T
(V)
Maka diskripsi state space dari sistem waktu diskrit time invariant single input-single output (SISO)
dapat ditulis sebagai berikut :
v[n+1] = Av[n] +bx[n] (VI.a)
y[n] = cv[n] + dx[n] (VI.b)
Dimana A adalah matrik N x N, b adalah vektor kolom N x 1, c adalah vektor baris 1 x N, dan d
adalah skalar.
SISTEM WAKTU DISKRIT Representasi State Space

Halaman 16 dari 22
Bentuk state space dari sistem contoh sebelumnya ;
y[n] - 0.25y[n-1] -0.25y[n-2] + 0.0625y[n-3] = x[n] +0.5x[n-1] - x[n-2] +0.25x[n-3]
adalah sebagai berikut .
SISTEM WAKTU DISKRIT Representasi State Space
Bentuk Kanonik I
]n[x]n[v]101[]n[y
]n[x
1875.0
75.0
75.0
]n[v
000625.0
1025.0
0125.0
]1n[v
























  1d001c
,
1875.0
75.0
75.0
b
000625.0
1025.0
0125.0
A
























Bentuk Kanonik II
]n[x]n[v]75.075.01875.0[]n[y
]n[x
1
0
0
]n[v
25.025.00625.0
100
010
]1n[v
























  1d75.075.01875.0c
,
1
0
0
b
25.025.00625.0
100
010
A

























Halaman 17 dari 22
Penyelesaian dari persamaan ;
v[n+1] = Av[n] + bx[n] , n0, v[0] = v0
dapat diperoleh dengan cara iterasi.
untuk n=0, v[1] = Av[0] + bx[0]
untuk n=1, v[2] = Av[1] + bx[1] = A {Av[0] + bx[0]} + bx[1] = A2
v[0] + Abx[0] + bx[1]
atau v[2] = A2
v[0] + 


1
0j
1j2
]j[xbA dan seterusnya
Secara umum, solusinya diberikan oleh :
v[n] = An
v[0] + 



1n
0j
1jn
]j[xbA (VIIa)
Besaran An
yang mendefinisikan bagaimana state berubah sebagai fungsi waktu, menyatakan matriks
transisi keadaan untuk sistem waktu diskrit, [n].
Sehingga dapat ditulis kembali sebagai berikut :
v[n] = [n] v[0] + 



1n
0j
]j[xb]1jn[ (VIIb)
SISTEM WAKTU DISKRIT Solusi Persamaan State Space

Halaman 18 dari 22
Langkah pertama untuk mendapatkan solusi dari persamaan keadaan tersebut adalah penentuan An
.
Untuk keperluan tersebut dapat digunakan teorema Cayley-Hamilton.
Tinjau sistem berikut :
v1[n+1] = v2[n]; v1[0] = 1
v2[n+1] = (1/8) v1[n] - (1/4)v2[n] + x[n]; v2[0] = -1
y[n] =v1[n].
Dengan menggunakan teorema Cayley-Hamilton, dapat ditulis ;
An
= 0[n] I + 1[n]A
Nilai eigen dari sistem di atas adalah -1/2 dan 1/4, sehingga
0[n] - (1/2) 1[n] = (-1/2)n
, dan
0[n] I + (1/4) 1[n] = (1/4)n
diperoleh ,
0[n] = (2/3) (1/4)n
+ (1/3) (-1/2)n
1[n] = (4/3) (1/4)n
+ (4/3) (-1/2)n

Halaman 19 dari 22
Kita dapatkan




























































 nnnn
nnnn
n
2
1
3
2
4
1
3
1
2
1
6
1
4
1
6
1
2
1
3
4
4
1
3
4
2
1
3
1
4
1
3
2
A
Jika inputnya tangga satuan, x[n]=u[n], maka :
 1
1
0
A
1
1
A]n[v
1n
0j
1jnn













 




















































































1n
0j
1jn1jn
1jn1jn
nn
nn
2
1
3
2
4
1
3
1
2
1
3
4
4
1
3
4
2
1
6
5
4
1
6
1
2
1
3
5
4
1
3
2













































































 nn
nn
nn
nn
4
1
9
4
2
1
9
4
9
8
4
1
9
16
2
1
9
8
9
8
2
1
6
5
4
1
6
1
2
1
3
5
4
1
3
2
0n,
4
1
18
11
2
1
18
23
9
8
4
1
9
22
2
1
9
23
9
8
nn
nn








































Jadi outputnya diberikan oleh : 0n,
4
1
9
22
2
1
9
23
9
8
]n[v]n[y
nn
1 













Halaman 20 dari 22
Jadi deskripsi state space dari sistem waktu diskrit time invariant single input-single output (SISO) :
v[n+1] = Av[n] +bx[n]
y[n] = cv[n] + dx[n]
Mempunyai penyelesaian :
v[n] = [n] v[0] + 



1n
0j
]j[xb]1jn[
dimana [n] menyatakan matriks transisi keadaan untuk sistem waktu diskrit.
Sifat-sifat matriks transisi keadaan :
1. [n+1] = A[n]
2. [0] = I
3. [n-k] = [n-j][j-k]
4. -1
[n] = [-n], jika inversnya ada.
SISTEM WAKTU DISKRIT Matriks Transisi Keadaan

Halaman 21 dari 22
Respon impuls dari sistem yang dinyatakan oleh persamaan (VI) dapat diperoleh dengan menetapkan
v0 = 0 dan x[n] =[n] dalam persamaan (VII), diperoleh :
v[n] = An-1
b
Respon impulsnya h[n] = CAn-1
b + d[n]
Contoh :
Respon impuls dari sistem pada contoh sebelumnya,adalah :
 
0n,
2
1
3
4
4
1
3
4
1
0
2
1
3
2
4
1
3
1
2
1
6
1
4
1
6
1
2
1
3
4
4
1
3
4
2
1
3
1
4
1
3
2
01]n[h
1n1n
1n1n1n1n
1n1n1n1n



















































































SISTEM WAKTU DISKRIT Respons Impuls - State Space

Halaman 22 dari 22
Suatu sistem linier waktu diskrit disebut stabil BIBO jika :
 x[n]   M     y[n]   L  
Untuk sistem dengan respon impuls h[n], input x[n] dan output y[n], maka :




k
]kn[x]k[h]n[y
Sistem waktu diskrit tersebut akan stabil jika respon impulsnya "absolutely summable", yaitu :


k
]k[h atau untuk sistem kausal menjadi 

0k
]k[h
Kondisi ekivalen dari syarat di atas adalah nilai karakteristik dari sistem memiliki magnitudo kurang
dari satu. Ini dapat dilihat dari solusi persamaan beda untuk sistem kausal terdiri dari bentuk uk
n
, k
= 0,1, 2, …., M, dimana  menunjukkan nilai karakteristik dari sistem. Jelas bahwa, jika   < 1,
maka responnya menjadi terbatas (bounded) untuk semua input yang terbatas.
Untuk representasi state variable (variabel keadaan), maka solusinya bergantung kepada matrik
transisi keadaan An
. Bentuk An
ditentukan oleh nilai eigen atau niali karakteristik dari matrik A.
SISTEM WAKTU DISKRIT Analisis Stabilitas

Sistem LTI Waktu Diskrit

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Sistem LTI Waktu Diskrit (16)

More from yusufbf (20)

Recently uploaded (20)

Sistem LTI Waktu Diskrit