![EDITORIAL COMMITTEE
Dan Abramovich
Daniel S. Freed (Chair)
Gigliola Staffilani
Jeff A. Viaclovsky
2010 Mathematics Subject Classification. Primary 46E35; Secondary 26A27, 26A30,
26A42, 26A45, 26A46, 26A48, 26B30, 30H25.
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Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Names: Leoni, Giovanni, 1967–
Title: A first course in Sobolev spaces / Giovanni Leoni.
Description: Second edition. | Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, [2017]
| Series: Graduate studies in mathematics; volume 181 | Includes bibliographical references
and index.
Identifiers: LCCN 2017009991 | ISBN 9781470429218 (alk. paper)
Subjects: LCSH: Sobolev spaces.
Classification: LCC QA323 .L46 2017 | DDC 515/.782–dc23
LC record available at https://lccn.loc.gov/2017009991
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c
2017 by the American Mathematical Society. All rights reserved.
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∞ The paper used in this book is acid-free and falls within the guidelines
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10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 22 21 20 19 18 17](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-9-320.jpg)
![Preface to the First Edition xv
proof, which is in a recent paper of Mironescu and Russ [173]. It makes use
of two equivalent norms for B1,1(RN−1), one using second order difference
quotients and the other the Littlewood-Paley norm. To introduce the second
norm, I went through several different versions of Chapter 17. Eventually,
to study Besov spaces I used heavily the K method of real interpolation
introduced by Peetre. The interpolation theory needed was added in a new
chapter, Chapter 16.
Webpage for mistakes, comments, and exercises: The AMS is hosting
a webpage for this book at
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where updates, corrections, and other material may be found.
Preface to the First Edition
There are two ways to introduce Sobolev spaces: The first is through the el-
egant (and abstract) theory of distributions developed by Laurent Schwartz
in the late 1940s; the second is to look at them as the natural development
and unfolding of monotone, absolutely continuous, and BV functions1 of one
variable.
To my knowledge, this is one of the first books to follow the second
approach. I was more or less forced into it: This book is based on a series of
lecture notes that I wrote for the graduate course “Sobolev Spaces”, which
I taught in the fall of 2006 and then again in the fall of 2008 at Carnegie
Mellon University. In 2006, during the first lecture, I found out that half
of the students were beginning graduate students with no background in
functional analysis (which was offered only in the spring) and very little in
measure theory (which, luckily, was offered in the fall). At that point I had
two choices: continue with a classical course on Sobolev spaces and thus
lose half the class after the second lecture or toss my notes and rethink the
entire operation, which is what I ended up doing.
I decided to begin with monotone functions and with the Lebesgue dif-
ferentiation theorem. To my surprise, none of the students taking the class
had actually seen its proof.
I then continued with functions of bounded pointwise variation and abso-
lutely continuous functions. While these are included in most books on real
analysis/measure theory, here the perspective and focus are rather different,
in view of their applications to Sobolev functions. Just to give an example,
most books study these functions when the domain is either the closed in-
terval [a, b] or R. I needed, of course, open intervals (possibly unbounded).
1BV functions are functions of bounded variation.](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-20-320.jpg)
![xvi Preface
This changed things quite a bit. A lot of the simple characterizations that
hold in [a, b] fall apart when working with arbitrary unbounded intervals.
After the first three chapters, in the course I actually jumped to Chapter
7, which relates absolutely continuous functions with Sobolev functions of
one variable, and then started with Sobolev functions of several variables.
In the book I included three more chapters: Chapter 5 studies curves and
arclength. I think it is useful for students to see the relation between recti-
fiable curves and functions with bounded pointwise variation.
Some classical results on curves that most students in analysis have
heard of, but whose proof they have not seen, are included, among them
Peano’s filling curve and the Jordan curve theorem.
Section 5.4 is more advanced. It relates rectifiable curves with the H1
Hausdorff measure. Besides Hausdorff measures, it also makes use of the
Vitali–Besicovitch covering theorem. All these results are listed in Appen-
dices B and C.
Chapter 6 introduces Lebesgue–Stieltjes measures. The reading of this
chapter requires some notions and results from abstract measure theory.
Again it departs slightly from modern books on measure theory, which in-
troduce Lebesgue–Stieltjes measures only for right continuous (or left) func-
tions. I needed them for an arbitrary function, increasing or with bounded
pointwise variation. Here, I used the monograph of Saks [201]. I am not
completely satisfied with this chapter: I have the impression that some of
the proofs could have been simplified more using the results in the previous
chapters. Readers’ comments will be welcome
Chapter 4 introduces the notion of decreasing rearrangement. I used
some of these results in the second part of the book (for Sobolev and Besov
functions). But I also thought that this chapter would be appropriate for
the first part. The basic question is how to modify a function that is not
monotone into one that is, keeping most of the good properties of the original
function. While the first part of the chapter is standard, the results in the
last two sections are not covered in detail in classical books on the subject.
As a final comment, the first part of the book could be used for an ad-
vanced undergraduate course or beginning graduate course on real analysis
or functions of one variable.
The second part of the book starts with one chapter on absolutely con-
tinuous transformations from domains of RN into RN . I did not cover this
chapter in class, but I do think it is important in the book in view of its ties
with the previous chapters and their applications to the change of variables
formula for multiple integrals and of the renewed interest in the subject in
recent years. I only scratched the surface here.](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-21-320.jpg)
![Preface to the First Edition xvii
Chapter 10 introduces briefly the theory of distributions. The book is
structured in such a way that an instructor could actually skip it in case the
students do not have the necessary background in functional analysis (as was
true in my case). However, if the students do have the proper background,
then I would definitely recommend including the chapter in a course. It is
really important.
Chapter 11 starts (at long last) with Sobolev functions of several vari-
ables. Here, I would like to warn the reader about two quite common miscon-
ceptions. Believe it or not, if you ask a student what a Sobolev function is,
often the answer is “A Sobolev function is a function in Lp whose derivative
is in Lp.” This makes the Cantor function a Sobolev function :(
I hope that the first part of the book will help students to avoid this
danger.
The other common misconception is, in a sense, quite the opposite,
namely to think of weak derivatives in a very abstract way not related to
the classical derivatives. One of the main points of this book is that weak
derivatives of a Sobolev function (but not of a function in BV!) are simply
(classical) derivatives of a good representative. Again, I hope that the first
part of the volume will help here.
Chapters 11, 12, and 13 cover most of the classical theorems (density,
absolute continuity on lines, embeddings, chain rule, change of variables,
extensions, duals). This part of the book is more classical, although it
contains a few results published in recent years.
Chapter 14 deals with functions of bounded variation of several variables.
I covered here only those parts that did not require too much background
in measure theory and geometric measure theory. This means that the
fundamental results of De Giorgi, Federer, and many others are not included
here. Again, I only scratched the surface of functions of bounded variation.
My hope is that this volume will help students to build a solid background,
which will allow them to read more advanced texts on the subject.
Chapter 17 is dedicated to the theory of Besov spaces. There are essen-
tially three ways to look at these spaces. One of the most successful is to
see them as an example/by-product of interpolation theory (see [7], [232],
and [233]). Interpolation is very elegant, and its abstract framework can be
used to treat quite general situations well beyond Sobolev and Besov spaces.
There are two reasons for why I decided not to use it: First, it would
depart from the spirit of the book, which leans more towards measure theory
and real analysis and less towards functional analysis. The second reason
is that in recent years in calculus of variations there has been an increased](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-22-320.jpg)
![xviii Preface
interest in nonlocal functionals. I thought it could be useful to present some
techniques and tricks for fractional integrals.
The second approach is to use tempered distributions and Fourier theory
to introduce Besov spaces. This approach has been particularly successful
for its applications to harmonic analysis. Again it is not consistent with the
remainder of the book.
This left me with the approach of the Russian school, which relies mostly
on the inequalities of Hardy, Hölder, and Young, together with some integral
identities. The main references for this chapter are the books of Besov, Ilin,
and Nikolskiı̆ [26], [27].
I spent an entire summer working on this chapter, but I am still not
happy with it. In particular, I kept thinking that there should be easier and
more elegant proofs of some of the results, but I could not find one.
In Chapter 18 I discuss traces of Sobolev and BV functions. Although
in this book I only treat first-order Sobolev spaces, the reason I decided to
use Besov spaces over fractional Sobolev spaces (note that in the range of
exponents treated in this book these spaces coincide, since their norms are
equivalent) is that the traces of functions in Wk,1 (Ω) live in the Besov space
Bk−1,1 (∂Ω), and thus a unified theory of traces for Sobolev spaces can only
be done in the framework of Besov spaces.
Finally, Chapter 15 is devoted to the theory of symmetrization in Sobolev
and BV spaces. This part of the theory of Sobolev spaces, which is often
missing in classical textbooks, has important applications in sharp embed-
ding constants, in the embedding N = p, as well as in partial differential
equations.
In Appendices A, B, and C I included essentially all the results from
functional analysis and measure theory that I used in the text. I only proved
those results that cannot be found in classical textbooks.
What is missing in this book: For didactic purposes, when I started
to write this book, I decided to focus on first-order Sobolev spaces. In
my original plan I actually meant to write a few chapters on higher-order
Sobolev and Besov spaces to be put at the end of the book. Eventually I
gave up: It would have taken too much time to do a good job, and the book
was already too long.
As a consequence, interpolation inequalities between intermediate deriv-
atives are missing. They are treated extensively in [7].
Another important theorem that I considered adding and then aban-
doned for lack of time was Jones’s extension theorem [122].
Chapter 14, the chapter on BV functions of several variables, is quite
minimal. As I wrote there, I only touched the tip of the iceberg. Good](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-23-320.jpg)
![Preface to the First Edition xix
reference books of all the fundamental results that are not included here are
[10], [72], and [251].
References: The rule of thumb here is simple: I only quoted papers and
books that I actually read at some point (well, there are a few papers in
German, and although I do have a copy of them, I only “read” them in a
weak sense, since I do not know the language). I believe that misquoting a
paper is somewhat worse than not quoting it. Hence, if an important and
relevant paper is not listed in the references, very likely it is because I either
forgot to add it or was not aware of it. While most authors write books
because they are experts in a particular field, I write them because I want
to learn a particular topic. I claim no expertise on Sobolev spaces.
Webpage for mistakes, comments, and exercises: In a book of this
length and with an author a bit absent-minded, typos and errors are al-
most inevitable. I will be very grateful to those readers who write to gio-
vanni@andrew.cmu.edu indicating those errors that they have found. The
AMS is hosting a webpage for this book at
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where updates, corrections, and other material may be found.
The book contains more than 200 exercises, but they are not equally
distributed. There are several on the parts of the book that I actually
taught, while other chapters do not have as many. If you have any interesting
exercises, I will be happy to post them on the web page.
Giovanni Leoni](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-24-320.jpg)
![Chapter 1
Monotone Functions
Undergradese, I: “Is it going to be an open book exam?” Trans-
lation: “I don’t have to actually memorize anything, do I?”
— Jorge Cham, www.phdcomics.com
In this chapter we study continuity and differentiability properties of mono-
tone functions. The central result of this chapter is the Lebesgue differenti-
ation theorem.
1.1. Continuity
In this section we study regularity properties of monotone functions.
Definition 1.1. Let E ⊆ R. A function u : E → R is called
(i) increasing if u(x) ≤ u(y) for all x, y ∈ E with x y,
(ii) strictly increasing if u(x) u(y) for all x, y ∈ E with x y,
(iii) decreasing if u(x) ≥ u(y) for all x, y ∈ E with x y,
(iv) strictly decreasing if u(x) u(y) for all x, y ∈ E with x y,
(v) monotone if any of the above holds.
A monotone function is not continuous in general, so a natural question
is how discontinuous it can be. The answer is given by the following theorem.
In what follows an interval I ⊆ R is a set of R such that if x, y ∈ I and
x y, then [x, y] ⊆ I.
Theorem 1.2. Let I ⊆ R be an interval and let u : I → R be a mono-
tone function. Then u has at most countably many discontinuity points.
Conversely, given a countable set E ⊂ R, there exists a monotone function
u : R → R whose set of discontinuity points is exactly E.
3](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-30-320.jpg)
![4 1. Monotone Functions
We begin with a preliminary result. Given a set X and a function
v : X → [0, ∞], the infinite sum of v over X is defined as
x∈X
v(x) := sup
x∈E
v(x) : E ⊆ X, E finite
.
The following lemma shows that every infinite sum which is finite can be
written as a series.
Lemma 1.3. Given a set X and a function v : X → [0, ∞], if
x∈X
v(x) ∞,
then the set {x ∈ X : v(x) 0} is countable. Moreover, v does not take the
value ∞.
Proof. Define
L :=
x∈X
v(x) ∞.
For n ∈ N set Xn := {x ∈ X : v(x) 1/n} and let E be a finite subset of
Xn. Then
1
n number of elements of E ≤
x∈E
v(x) ≤ L,
which shows that E cannot have more than nL elements, where · is the
integer part. In turn, Xn has a finite number of elements, and so
{x ∈ X : v(x) 0} =
n
Xn
is countable.
We turn to the proof of Theorem 1.2.
Proof. Step 1: Assume that I = [a, b] and, without loss of generality, that
u is increasing. For every x ∈ (a, b) there exist
lim
y→x+
u(y) =: u+(x), lim
y→x−
u(y) =: u−(x).
Let S(x) := u+(x) − u−(x) ≥ 0 be the jump of u at x. Then u is continuous
at x if and only if S(x) = 0. Moreover, since u is increasing, for every
a ≤ x1 · · · xn ≤ b,
u(a) ≤ u−(x1) ≤ u+(x1) ≤ u−(x2) ≤ u+(x2)
≤ · · · ≤ u−(xn) ≤ u+(xn) ≤ u(b),
and so,
x∈[a,b]
S(x) ≤ u(b) − u(a).](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-31-320.jpg)
![1.1. Continuity 5
It now follows by the previous lemma that u has at most countably many
discontinuity points.
Step 2: If I is an arbitrary interval, construct an increasing sequence of
intervals [an, bn] such that I =
n[an, bn]. Since the union of countable
sets is countable and on each interval [an, bn], the set of discontinuity points
of u is at most countable; by the previous step it follows that the set of
discontinuity points of u in I is at most countable.
Step 3: Conversely, let E ⊂ I be a countable set. If E is finite, then an
increasing function with discontinuity set E may be constructed by hand.
Consider now the more interesting case in which E is denumerable, so that
E = {xn : n ∈ N}. For each n ∈ N define the increasing function un : R → R
as
un(x) :=
−1/n2 if x xn,
1/n2 if x ≥ xn.
Note that un is discontinuous only at the point xn. Set
u(x) :=
∞
n=1
un(x), x ∈ R.
Since |un(x)| ≤ 1/n2 for all x ∈ R, the series of functions is uniformly
convergent, and so it is continuous at every point at which all the functions
un are continuous. In particular, u is continuous in R E.
We now prove that u is discontinuous at every point of E. Indeed, for
every m ∈ N write
u = um +
n=m
un.
Then
n=m un is continuous at xm while um is not. Hence, u is discontinu-
ous at each x ∈ E. To conclude, observe that u is increasing, since it is the
pointwise limit of a sequence of increasing functions.
By taking E := Q, we obtain the following result.
Corollary 1.4. There exists an increasing function u : R → R that is
continuous at all irrational points and discontinuous at all rational points.
Definition 1.5. Given an interval I ⊆ R, an increasing function u : I → R
is called an increasing saltus or jump function if for every [a, b] ⊆ I it can
be written in the form
u(x) = c +
n∈E
un(x), x ∈ [a, b],](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-32-320.jpg)
![6 1. Monotone Functions
where E ⊆ N, c ∈ R, and
un(x) =
⎧
⎨
⎩
0 if x an,
bn if x = an,
cn if x an,
with an ∈ [a, b] and 0 ≤ bn ≤ cn, with at least one of the two inequalities
strict, for all n ∈ E.
Exercise 1.6 (The jump function). Let I ⊆ R be an interval and let u :
I → R be increasing. For each x ∈ I define
uJ(x) :=
y∈I, yx
(u+(y) − u−(y)) + u(x) − u−(x),
where u−(inf I) := u(inf I) if inf I ∈ I and u+(sup I) := u(sup I) if sup I ∈ I.
Prove that uJ is a jump function, that uJ and u − uJ are increasing, and
that u − uJ is continuous. The function uJ is called the jump function of u.
Exercise 1.7. Let I ⊆ R be an interval and let x0 ∈ I. Prove that every
increasing function u : I → R can be written uniquely as the sum of an
increasing jump function v : I → R and of an increasing continuous function
w : I → R with w(x0) = 0.
We conclude this section by studying the continuity of the inverse of an
increasing function.
Theorem 1.8 (Inverse of an increasing function). Let I ⊂ R be an interval
bounded from below, let u : I → R be an increasing function, let J ⊆ R be
the smallest interval that contains u(I), and let v : J → R be the function
defined by (see Figure 1)
(1.1) v(y) := inf{x ∈ I : u(x) ≥ y}, y ∈ J.
Then
(i) v is increasing and left continuous,
(ii) v jumps at some point y0 ∈ J {supI u} if and only if u(x) ≡ y0
for all x in some interval (x1, x2) ⊆ I, with x1 x2,
(iii) v(u(x)) ≤ x for every x ∈ I, with the strict inequality holding if
and only if u is constant on some interval [x1, x] ⊆ I, with x1 x,
(iv) v(y) ≡ x0 for all y in some interval (y1, y2) ⊆ J, with y1 y2,
and for some x0 ∈ I◦ if and only if u jumps at x0 and (y1, y2) ⊆
(u−(x0), u+(x0)).
In particular, if the function u is strictly increasing, then v is a left
inverse of u and is continuous.](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-33-320.jpg)
![8 1. Monotone Functions
(ii) Assume that v(y0) v+(y0) for some y0 ∈ J, with y0 sup J =
supI u. By the definition of v(y0) and the fact that u is increasing, we have
that u(x) ≥ y0 for all x v(y0). On the other hand, if v(y0) x v+(y0),
then, since v is increasing, v(y) x for all y y0, and so u(x) y for
all y y0, which implies that u(x) ≤ y0. Thus, u(x) ≡ y0 for all x ∈
(v(y0), v+(y0)).
Conversely, assume that u(x) ≡ y0 for all x in some interval (x1, x2) ⊆ I,
with x1 x2 and y0 sup J = supI u. Then v(y0) ≤ x1, by the definition
of v(y0). On the other hand, if y ∈ (y0, sup J), then for every x ∈ (x1, x2),
we have that u(x) = y0 y, and so v(y) ≥ x by the definition of v(y).
Letting x → x+
2 , we get that v(y) ≥ x2 for all y ∈ (y0, sup J). In particular,
v+(y0) ≥ x2. Thus, we have shown that v(y0) ≤ x1 x2 ≤ v+(y0).
(iii) Taking y = u(x) in the definition of v(y), yields v(u(x)) ≤ x.
If v(u(x0)) x0 for some x0 ∈ I, then there exists x ∈ I, with x x0,
such that u(x) ≥ u(x0), but since u is increasing, it follows that u ≡ u(x0) in
[x, x0]. Conversely, if u ≡const. in some interval [x, x0] ⊆ I, then v(u(x0)) ≤
x x0.
(iv) Assume that v ≡ x0 ∈ I◦ in some interval (y1, y2) ⊆ J, with y1 y2.
If x ∈ I with x x0, then u(x) ≥ y for all y ∈ (y1, y2) by the definition
of v(y). Letting y → y−
2 , we get that u(x) ≥ y2, and so u+(x0) ≥ y2. On
the other hand, if x ∈ I with x x0, then u(x) y for all y ∈ (y1, y2)
by the definition of v(y). Letting y → y+
1 , we get that u(x) ≤ y1, and so
u−(x0) ≤ y1.
Conversely, let y ∈ (u−(x0), u+(x0)). If x x0, then u(x) y, and so
v(y) ≥ x0. On the other hand, since u and v are increasing and by part (iii),
for every x ∈ I with x x0,
x0 ≤ v(y) ≤ v(u+(x0)) ≤ v(u(x)) ≤ x.
Letting x → x+
0 , we get that v(y) = x0 for all y ∈ (u−(x0), u+(x0)).
Finally, assume that u is strictly increasing. Then by parts (i) and (ii)
the function v is continuous. By part (iii), v(u(x)) = x for every x ∈ I,
which proves that v is a left inverse of u. This concludes the proof.
Remark 1.9. The fact that I is bounded from below is used to guarantee
that the function v does not take the value −∞. Thus, (a modified version
of) the previous theorem continues to hold if I is unbounded from below,
provided the function v is allowed to take the value −∞. We leave the
details as an exercise.
Exercise 1.10. Let I = [a, b], let u : [a, b] → R be increasing and left con-
tinuous, and let v : [u(a), u(b)] → R be defined as in the previous theorem.](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-35-320.jpg)
![1.2. Differentiability 9
Prove that
u(x) = inf{y ∈ [u(a), u(b)] : v(y) ≥ x}, x ∈ [a, b].
Remark 1.11. The previous theorem continues to hold if u is decreasing,
with the only changes being that I is assumed to be bounded from above,
the function v : J → R is now defined by
v(y) := inf{x ∈ I : u(x) ≤ y},
that in part (i) one should replace increasing and left continuous with de-
creasing and right continuous, that in part (ii) one should take J {infI u}
in place of J {supI u}, and that in part (iv) the interval (u−(x0), u+(x0))
should be replaced by (u+(x0), u−(x0)).
1.2. Differentiability
We now study the differentiability of monotone functions.
Definition 1.12. Let E ⊆ R and let x0 ∈ E be an accumulation point of
E. Given a function u : E → R, if there exists in [−∞, ∞] the limit
lim
x→x0
u(x) − u(x0)
x − x0
,
then the limit is called the derivative of u at x0 and is denoted u(x0) or
du
dx
(x0). The function u is differentiable at x0 if u(x0) exists in R.
The central theorem of this section is Lebesgue’s theorem, which shows
that a monotone function is differentiable everywhere except possibly on a
set of Lebesgue measure zero. Note that this result relies strongly on mono-
tonicity. Indeed, most (continuous) functions are nowhere differentiable. A
classical example is due to Weierstrass and is given by
(1.2) u(x) :=
∞
n=0
an
cos(bn
πx), x ∈ R,
where 0 a 1 and b ∈ N is an odd integer such that ab 1 + 3
2 π (see
[108]). In Theorem 1.15 below we present a simpler example.
Definition 1.13. Given two metric spaces (X, dX) and (Y, dY ) and E ⊆ X,
a function u : E → Y is
(i) Lipschitz continuous if
Lip(u; E) = sup
x, y∈E, x=y
dY (u(x), u(y))
dX(x, y)
∞,](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-36-320.jpg)
![10 1. Monotone Functions
(ii) Hölder continuous of exponent α 0 if
|u|C0,α := sup
x, y∈E, x=y
dY (u(x), u(y))
(dX(x, y))α
∞.
The number Lip(u; E) is called the Lipschitz constant of u. We usually
write Lip u in place of Lip(u; E), whenever the underlying set is clear.
Exercise 1.14. Let I ⊆ R be an interval and let u : I → R be Hölder
continuous of exponent α 1. Prove that u is constant.
Theorem 1.15. Let v(x) = |x| for x ∈ [−1, 1] and extend v to R as a
periodic function of period 2. Then the function
(1.3) u(x) =
∞
n=1
(3
4)n
v(4n
x), x ∈ R,
is real-valued, continuous, and nowhere differentiable.
Proof. Let vn(x) = (3
4)nv(4nx), x ∈ R. Since v is periodic, supy∈R |v(y)| =
supy∈[−1,1] |v(y)| = 1, and so |vn(x)| ≤ (3
4)n. It follows that the series of
functions converges uniformly to a continuous bounded function u.
Next we prove that u is nowhere differentiable. Fix x ∈ R. We are going
to construct a sequence hm → 0 such that u(x+hm)−u(x)
hm
→ ∞ as m → ∞.
We take hm = ±1
2
1
4m , where the sign is chosen in such a way that in the
open interval of endpoints 4mx and 4m(x + hm) there is no integer. Let’s
prove that we can always do this. We have 4m(x+ 1
2
1
4m )−4m(x− 1
2
1
4m ) = 1.
If both 4m(x + 1
2
1
4m ) and 4m(x − 1
2
1
4m ) are integers, then in the interval
(4m(x − 1
2
1
4m ), 4m(x + 1
2
1
4m )) there is no integer and so we can take the sign
of hm as we like. If 4m(x + 1
2
1
4m ) and 4m(x − 1
2
1
4m ) are not both integers,
then in the interval (4m(x− 1
2
1
4m ), 4m(x+ 1
2
1
4m )) there is exactly one integer.
If this integer is 4mx, then we take the sign of hm as we like. If the integer
is in (4m(x − 1
2
1
4m ), 4mx), then we take hm = 1
2
1
4m , while if the integer is in
(4mx, 4m(x + 1
2
1
4m )), then we take hm = −1
2
1
4m .
We now study
vn(x + hm) − vn(x)
hm
=
(3
4)nv(4n(x + hm)) − (3
4)nv(4nx)
hm
(1.4)
= (3
4)n v(4nx ± 1
24n−m) − v(4nx)
±1
2
1
4m
.
If n m, then 1
24n−m is an even integer and so by the periodicity of v the
difference quotient is zero. If n = m, then since by construction in the open
interval of endpoints 4mx and 4m(x + hm) there is no integer, we have that](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-37-320.jpg)
![1.2. Differentiability 11
the points (x + hm, v(4m(x + hm))) and (x, v(4mx)) lie in the same line of
the graph of v with slope either 1 or −1. Hence by (1.4),
(1.5)
|vm(x + hm) − vm(x)|
|hm|
= (3
4 )m 4m|hm|
|hm|
= 3m
.
Finally, if n m, then using the fact that v is Lipschitz continuous with
Lipschitz constant 1, we get
(1.6)
|vn(x + hm) − vn(x)|
|hm|
≤ (3
4)n 4n|hm|
|hm|
= 3n
.
Hence,
u(x + hm) − u(x)
hm
=
m
n=1
vn(x + hm) − vn(x)
hm
and using the inequality |a + b| ≥ |b| − |a|, (1.5), and (1.6), we get
u(x + hm) − u(x)
hm
=
vm(x + hm) − vm(x)
hm
+
m−1
n=1
vn(x + hm) − vn(x)
hm
≥
vm(x + hm) − vm(x)
hm
−
m−1
n=1
vm(x + hm) − vm(x)
hm
≥ 3m
−
m−1
n=1
3n
= 3m
− 1
2 3m
+ 3
2 = 1
23m
+ 3
2 → ∞
as m → ∞. This concludes the proof.
Exercise 1.16. Study the Hölder continuity of the function u in (1.3).
Remark 1.17. It is actually possible to construct a continuous function
u : (−1, 1) → R such that
lim inf
h→0+
u(x + h) − u(x)
h
lim sup
h→0+
u(x + h) − u(x)
h
= ∞
for all x ∈ (−1, 1) (see [177]).
In contrast to Theorem 1.15, a monotone function is differentiable ev-
erywhere except possibly on a set of Lebesgue measure zero. Note that this
result implies, in particular, that the Weierstrass function and the function
u in (1.3) are monotone on no interval.
Theorem 1.18 (Lebesgue). Let I ⊆ R be an interval and let u : I → R be
a monotone function. Then there exists a set E ⊂ R, with L1(E) = 0, such
that u is everywhere differentiable on I E.](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-38-320.jpg)
![1.2. Differentiability 13
If x1 + h1 b1, let
a2 := inf{x ∈ Em : x ≥ x1 + h1}.
Then by the definition of infimum we can find x2 ∈ Em with a2 x2 a2+η.
By the definition of Em there exists an interval I2 = (x2, x2 +h2) in F, with
h2 1/m. If x2 + h2 ≥ b1, we stop, while if x2 + h2 b1 we define
a3 := inf{x ∈ Em : x ≥ x2 + h2}.
We continue in this way constructing intervals Ik until xk + hk b1. Since
each interval Ik has length larger than 1
m , we have that we will find at most
n intervals with n m + 1. Let
S :=
n
k=1
Ik, T :=
n
k=1
(xk − η, xk].
Then x1 − η ≤ a1 = inf Em and so Em ⊆ S ∪ T. Moreover, the intervals Ik
are disjoint by construction. Now by property (L1),
L1
o(E) − ε
2 L1
o(Em) ≤ L1
o(Em ∩ S) + L1
o(Em ∩ T)
≤ L1
o(Em ∩ S) + L1
o(T) ≤ L1
o(Em ∩ S) +
n
k=1
L1
o((xk − η, xk])
= L1
o(Em ∩ S) + nη ≤ L1
o(Em ∩ S) + ε
2,
and so Em ∩ S has the desired property.
Lemma 1.20. Let E ⊂ R be a bounded set and let F be a family of open
intervals with the property that each x ∈ E is the left endpoint of an interval
(x, x + hx) in F with hx arbitrarily small (that is, for every η 0 there is
at least one interval with hx η). Then for every ε 0 there exist disjoint
intervals I1, . . . , In ∈ F and a set
F ⊆ E ∩
n
k=1
Ik
such that
L1
o(F) ≥ L1
o(E) − ε,
n
k=1
length Ik ≤ L1
o(E) + ε.
Proof. By property (L3) there exists an open set U ⊇ E such that
L1
o(U) ≤ L1
o(E) + ε.
Let F be the subfamily of intervals (x, x + hx) in F contained in U. Note
that for each x ∈ E ⊆ U there must exist at least one such interval, since
U contains a ball centered at x and there are intervals of arbitrarily small
length.](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-40-320.jpg)
![16 1. Monotone Functions
Hence, we have shown that L1
o(E) = 0. It follows that for all x ∈ I◦ E
there exists the right derivative u
+(x) (possibly infinite).
With a similar proof we can show that the left derivative exists (possibly
infinite) for all x ∈ I◦ except for a set of Lebesgue measure zero.
Step 2: Let
E∞ := {x ∈ I◦
: u
+(x) = ∞}.
We leave as an exercise to prove that L1
o(E∞) = 0.
Step 3: If I is an arbitrary interval, construct an increasing sequence of
intervals [an, bn] such that I =
n[an, bn]. Since the union of sets of Lebesgue
outer measure zero still has Lebesgue outer measure zero and since on each
interval [an, bn] the set of points in which u is not differentiable has Lebesgue
outer measure zero by the previous step, it follows that the set of points of
I in which u is not differentiable has Lebesgue outer measure zero.
The proof is concluded by the following exercise.
Exercise 1.21. Let I ⊆ R be an interval and let u, v : I → R.
(i) Prove that the set of x ∈ I◦ such that there is ε 0 such that
v(y) v(x) for all y ∈ I ∩ (x − ε, x + ε), y = x, is countable.
(ii) Prove that the sets {x ∈ I◦ : D+u(x) D−u(x)} and {x ∈
I◦ : D−u(x) D+u(x)} are countable. Hint: Apply part (i) to the
function v(x) = u(x)−rx to prove that the set {x ∈ I◦ : D−u(x)
r D+u(x)} is countable.
(iii) Prove that the set {x ∈ I◦ : u
+(x) = u
−(x)} is countable.
Exercise 1.22. Let I ⊆ R be an interval and let u : I → R be continuous
in I and differentiable for all x ∈ I except at most a countable set E.
(i) Prove that if u(x) 0 for all x ∈ I E, then u is strictly increasing.
Hint: If u(b) u(a), let u(b) t u(a) with t /
∈ u(E) and consider
the set {x ∈ [a, b] : u(x) = t}.
(ii) Prove that if u(x) ≥ 0 for all x ∈ I E, then u is increasing.
The next theorem shows that Lebesgue’s differentiation theorem is sharp,
to be precise, that there exist monotone functions that are not differentiable
on sets of Lebesgue measure zero.
Theorem 1.23. For every set E ⊂ R of Lebesgue (outer) measure zero
there exists a continuous increasing function that is not differentiable at
every point of E.](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-43-320.jpg)
![18 1. Monotone Functions
Remark 1.24. Note that the set of points at which the increasing function
u (defined in (1.16)) is not differentiable contains the set E, but in general
it may be larger. To the author’s knowledge an exact characterization of
the class of sets that are sets of nondifferentiability for increasing functions
is still an open problem (see Exercise 1.29 below for some properties of this
set). We refer to [37] and [237] for more information on this subject.
As a simple consequence of Lebesgue’s theorem we obtain that the de-
rivative of a monotone function is always locally Lebesgue integrable.
Corollary 1.25. Let I ⊆ R be an interval and let u : I → R be a monotone
function. Then u is a Lebesgue measurable function and for every [a, b] ⊆ I,
(1.17)
b
a
|u
(x)| dx ≤ |u(b) − u(a)|.
Moreover, if u is bounded, then u is Lebesgue integrable and
(1.18)
I
|u
(x)| dx ≤ sup
I
u − inf
I
u.
Proof. Assume that u is increasing, fix [a, b] ⊆ I, and let
(1.19) v(x) :=
u(x) if x ≤ b,
u(b) if x ≥ b.
Let E := {x ∈ [a, b] : v is not differentiable at x}. By Lebesgue’s theorem,
L1(E) = 0. Moreover,
(1.20) v
(x) = u
(x) for all x ∈ (a, b) E.
Since v is increasing, we have that v(x) ≥ 0 for all x ∈ [a, b] E and
v
(x) = lim
n→∞
v(x + 1/n) − v(x)
1/n
.
By Theorem 1.2 the nonnegative functions,
wn(x) :=
v(x + 1/n) − v(x)
1/n
, x ∈ [a, b],
are continuous except for a countable set, and so they are Borel measurable
functions. Hence, v : [a, b] E → [0, ∞) is a Lebesgue measurable function.
Since v is increasing, by (1.19) for every h 0 we have
1
h
b
a
[v(x + h) − v(x)] dx =
1
h
b+h
b
v(x) dx −
a+h
a
v(x) dx
(1.21)
≤
1
h
{(u(b) − u(a))h} = u(b) − u(a).](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-45-320.jpg)
![1.2. Differentiability 19
Taking h := 1/n, it follows from Fatou’s lemma, (1.20), and (1.21) that
0 ≤
b
a
u
(x) dx =
b
a
v
(x) dx
≤ lim inf
n→∞
n
b
a
[v(x + 1/n) − v(x)] dx ≤ u(b) − u(a).
This concludes the proof of the first part.
Assume next that u is bounded and construct an increasing sequence of
intervals [an, bn] such that I =
n[an, bn]. By the previous part,
0 ≤
bn
an
u
(x) dx ≤ u(bn) − u(an) ≤ sup
I
u − inf
I
u,
and so, letting n → ∞ and using the Lebesgue monotone convergence the-
orem, we obtain (1.18).
Remark 1.26. In Exercise 1.29 below we will show that u is actually a
Borel function.
Exercise 1.27. Prove that if equality holds in (1.17) (respectively, in (1.18)),
then u is continuous in [a, b], (respectively, in I).
Using the previous corollary, we obtain the following result. We will see
its usefulness for functions of bounded pointwise variation in Corollary 2.51.
Corollary 1.28. Let I ⊆ R be an interval, let u : I → R be a monotone
function, and let h 0. Then for every [a, b] ⊆ I, with b − a ≥ h,
(1.22)
1
h
b−h
a
|u(x + h) − u(x)| dx ≤ |u(b) − u(a)|.
Moreover, if u is bounded, then
(1.23)
1
h
Ih
|u(x + h) − u(x)| dx ≤ sup
I
u − inf
I
u,
where Ih := {x ∈ I : x + h ∈ I}.
Proof. Assume that u is increasing, fix [a, b] ⊆ I, with b − a ≥ h, and let v
be defined as in (1.19). Then by (1.21),
1
h
b−h
a
[u(x + h) − u(x)] dx ≤
1
h
b
a
[v(x + h) − v(x)] dx
≤ u(b) − u(a).
Assume next that u is bounded and construct an increasing sequence of
intervals [an, bn] such that I =
n[an, bn]. Then
0 ≤
1
h
bn−h
an
[u(x + h) − u(x)] dx ≤ u(bn) − u(an) ≤ sup
I
u − inf
I
u,](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-46-320.jpg)
![1.2. Differentiability 21
Exercise 1.30 (Expansion in base b). Let b ∈ N be such that b ≥ 2 and let
x ∈ [0, 1].
(i) Prove that there exists a sequence {an}n of nonnegative integers
such that 0 ≤ an b for all n ∈ N and
x =
∞
n=1
an
bn
.
Prove that the sequence {an}n is uniquely determined by x, unless
x is of the form x = k
bm for some k, m ∈ N, in which case there are
exactly two such sequences.
(ii) Conversely, given a sequence {an}n of nonnegative integers such
that 0 ≤ an b for all n ∈ N, prove that the series
∞
n=1
an
bn
converges to a number x ∈ [0, 1].
The next example shows that the inequality in (1.17) may be strict, and
so for continuous monotone functions the fundamental theorem of calculus
for Lebesgue integration fails.
Example 1.31 (The Cantor function). Divide [0, 1] into three equal subin-
tervals, and remove the middle interval I1,1 := (1
3, 2
3). Divide each of the two
remaining closed intervals [0, 1
3 ] and [2
3, 1] into three equal subintervals, and
remove the middle intervals I1,2 := ( 1
32 , 2
32 ) and I2,2 := ( 7
32 , 8
32 ). Continuing
in this fashion, at each step n remove 2n−1 middle intervals I1,n, . . . , I2n−1,n,
each of length 1
3n . The Cantor set D is defined as
D := [0, 1]
∞
n=1
2n−1
k=1
Ik,n.
The set D is closed (since its complement is given by a family of open
intervals), and
L1
(D) = 1 −
∞
n=1
2n−1
k=1
diam Ik,n = 1 −
∞
n=1
2n−1
k=1
1
3n
= 1 −
∞
n=1
2n−1
3n
= 0.
Thus, D has Lebesgue measure zero. To prove that D is uncountable, observe
that x ∈ D if and only if
(1.24) x =
∞
n=1
cn
3n
,
where each cn ∈ {0, 2} (see the previous exercise). For every x ∈ D of the
form (1.24) define
u(x) :=
∞
n=1
dn
2n
,](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-48-320.jpg)
![22 1. Monotone Functions
1
3
4
1
2
1
4
1
9
2
9
1
3
2
3
7
9
8
9
1
y
x
Figure 2. The Cantor function.
where
dn :=
1 if cn = 2,
0 if cn = 0.
The function u : D →[0, 1] is well-defined (why?), increasing, continuous,
and has the same values at the endpoints of each removed interval Ik,n and
thus u extends to a continuous function on [0, 1]. This function is called
the Cantor function (see Figure 2). Since u(D) = [0, 1], it follows that D
is uncountable. Note also that u(x) = 0 for all x ∈ Ik,n, k, n ∈ N, so
that u = 0 except on a set of Lebesgue measure zero. Since u(0) = 0
and u(1) = 1, it follows that the inequality in (1.17) is strict, and so the
fundamental theorem of calculus for Lebesgue integration fails.
Exercise 1.32. Consider the complete metric space
X := {u : [0, 1] → R : u is continuous, u(0) = 0, and u(1) = 1},
where we take the metric induced by supremum norm
u∞ := max
x∈[0,1]
|u(x)|.
Consider the operator T : X → X, defined by
T(u)(x) :=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1
2 u(3x) if 0 ≤ x ≤ 1
3,
1
2 if 1
3 x 2
3,
1
2 + 1
2u(3x − 2) if 2
3 ≤ x ≤ 1.
(i) Prove that T is a contraction, to be precise, that
T(u1) − T(u2)∞ ≤ 1
2 u1 − u2∞
for all u1, u2 ∈ X.
(ii) Prove that the Cantor function is the unique fixed point of T.](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-49-320.jpg)
![1.2. Differentiability 23
(iii) Define recursively the sequence of functions u0(x) := x, un+1(x) :=
T(un)(x), x ∈ [0, 1]. Prove that for all n ∈ N,
|un(x1) − un(x2)| ≤ |x1 − x2|α
for all x1, x2 ∈ [0, 1], where α := log 2
log 3 . Deduce that the Cantor
function u is Hölder continuous with exponent α.
(iv) Prove that the exponent α and the constant one are the best pos-
sible for the Cantor function u, in the sense that the inequality
|u(x1) − u(x2)| ≤ c|x1 − x2|β
does not hold for all x1, x2 ∈ [0, 1] if either β α or β = α but
c 1.
Using the Cantor set, we can construct Lebesgue measurable sets that
are not Borel sets.
Exercise 1.33 (A non-Borel, Lebesgue measurable set). Consider the func-
tion v : [0, 1] → R defined by
v(x) := x + u(x), x ∈ [0, 1].
(i) Prove that L1(v(D)) = 1.
(ii) Let E ⊆ v(D) be a set that is not Lebesgue measurable (see Exercise
C.2 in Appendix C) and consider the set F := v−1(E) ⊆ D. Prove
that F is Lebesgue measurable but not a Borel set.
We have seen that the Cantor function is increasing with u = 0, L1-a.e.
in [0, 1]. It is actually possible to construct strictly increasing continuous
functions whose derivative is zero except on a set of Lebesgue measure zero.
To prove this result, we will need the following result.
Theorem 1.34 (Fubini). Let I ⊆ R be an interval and let {un}n be a
sequence of increasing functions, un : I → R. Assume that the series of
functions
n=1 un converges pointwise in I. Then
n=1 un converges uni-
formly on compact sets of I, the sum of the series
u(x) :=
∞
n=1
un(x), x ∈ I,
is differentiable L1-a.e. in I, and
u
(x) =
∞
n=1
u
n(x) for L1
-a.e. x ∈ I.
Proof. Since the result is local, without loss of generality, we may assume
that I = [a, b].](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-50-320.jpg)
![24 1. Monotone Functions
Step 1: Assume that un(a) = 0 for all n ∈ N so that un ≥ 0. For every
l ∈ N set
sl :=
l
n=1
un.
Then for x ∈ [a, b],
0 ≤ u(x) − sl(x) =
∞
n=l+1
un(x) ≤
∞
n=l+1
un(b),
and so
0 ≤ sup
[a,b]
|u(x) − sl(x)| ≤
∞
n=l+1
un(b) → 0
as l → ∞. Hence, the series is uniformly convergent.
Since u and sl are increasing, by Lebesgue’s differentiation theorem
(Theorem 1.18) they are differentiable L1-a.e. in [a, b], and since the count-
able union of sets of Lebesgue zero measure still has Lebesgue measure zero,
we may find a Lebesgue measurable set E ⊂ [a, b], with L1(E) = 0, such
that u and all the functions sl are everywhere differentiable in [a, b] E.
Since the functions sl+1 − sl and u − sl are increasing for all l ∈ N, we
have that (sl+1 − sl) ≥ 0 and (u − sl) ≥ 0 in [a, b] E. Hence,
0 ≤ s
1(x) ≤ s
2(x) ≤ · · · ≤ u
(x)
for all x ∈ [a, b] E, and so there exists
lim
n→∞
s
n(x) ≤ u
(x) ∞.
In turn,
(1.25) lim
n→∞
u
n(x) = lim
n→∞
[s
n(x) − s
n−1(x)] = 0
for all x ∈ [a, b] E.
It remains to show that limn→∞ s
n(x) = u(x) for L1-a.e. x ∈ [a, b].
Since limn→∞ s
n(x) exists for all x ∈ [a, b] E, it is enough to show this for
a subsequence {s
nk
}k of {s
n}n. So let nk ∞ be such that
0 ≤ u(b) − snk
(b) ≤
1
2k
and define vk(x) := u(x) − snk
(x) ≤ 1
2k . Then vk is increasing and
0 ≤
∞
k=1
vk(x) ≤
∞
k=1
1
2k
.
Hence, we can apply the first part of the proof to the sequence {vk}k to
conclude that
lim
k→∞
v
k(x) = 0](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-51-320.jpg)
![1.2. Differentiability 25
for L1-a.e. x ∈ [a, b] by (1.25). This completes the proof.
Step 2: Write un = un − un(a) + un(a) =: wn + un(a) and apply Step 1 to
wn.
Exercise 1.35. Let C ⊆ R be a closed set and let
u(x) := dist(x, C) = inf{|x − y| : y ∈ C, x ∈ R}.
Prove that
(i) u is 1-Lipschitz continuous, that is,
|u(x) − u(y)| ≤ |x − y|
for all x, y ∈ R,
(ii) there exists an increasing function v : R → R such that v is con-
tinuous and
C = {x ∈ R : v
(x) = 0},
(iii) if C contains no intervals, then every such v is strictly increasing.
Exercise 1.36. Let I ⊆ R be an interval, let u : I → R be an increasing
function, and let uJ be the jump function of u. Prove that u
J(x) = 0 for
L1-a.e. x ∈ I.
Theorem 1.37. There exists a strictly increasing continuous function u :
R → R whose derivative is zero except on a set of Lebesgue measure zero.
Proof. Let v : R → R be the Cantor function extended to be 1 for x ≥ 1
and 0 for x ≤ 0. Consider a countable dense set {an}n in R (e.g., the rational
numbers) and define
u(x) :=
∞
n=1
1
2n
v(2n
(x − an)), x ∈ R.
Since 0 ≤ v ≤ 1, the series of functions converges uniformly to a continuous
bounded function.
To prove that u is strictly increasing, let x y. By density there exists
x am y. Then y − am 0 x − am and so
v(2m
(y − am)) 0 = v(2m
(x − am)),
since the Cantor function is positive for x 0, while v(2n(y−an)) ≥ v(2n(x−
an)), since v is increasing.
It now follows by Fubini’s theorem that v(x) = 0 for L1-a.e. x ∈ R.
Exercise 1.38. Let u : [a, b] → R be differentiable at x0 ∈ (a, b) and let
xn, yn ∈ (a, b) {x0} be such that xn = yn and xn, yn → x0.](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-52-320.jpg)
![26 1. Monotone Functions
(i) Prove that if xn x0 yn for all n ∈ N, then
lim
n→∞
u(yn) − u(xn)
yn − xn
= u
(x0).
(ii) Prove that if the condition xn x0 yn is violated, then the limit
limn→∞
u(yn)−u(xn)
yn−xn
may not exist or may be different from u(x0).
Exercise 1.39. For each x ∈ (0, 1] find positive integers a0 · · · an · · ·
such that
x =
∞
n=0
1
2an
.
(see Exercise 1.30). Fix r 0, r = 1. For x = 0 define u(0) := 0, while for
each x ∈ (0, 1] define
u(x) :=
∞
n=0
2n
3an
.
(i) Prove that u is strictly increasing.
(ii) Given x ∈ (0, 1], for every m ∈ N0 let km be the number of sub-
scripts n = 0, . . . , m for which an ≤ m. Define
xm :=
km
n=0
1
2an
, zm := xm +
1
2m
.
Prove that xm x zm and that u(zm) − u(xm) → 0 as m → ∞.
(iii) Prove that u is continuous.
(iv) Prove that if u is differentiable at some x ∈ (0, 1], then necessarily
u(x) = 0. Hint: Compute
u(zm) − u(xm)
zm − xm
.
Exercise 1.40. Let {rn}n be an enumeration of the rationals in [a, b] and
define
u(x) :=
∞
n=1
1
2n
(x − rn)1/3
, x ∈ [a, b].
(i) Prove that u is continuous and strictly increasing.
(ii) Prove that if the series
1
3
∞
n=1
1
2n
1
(x − rn)2/3
converges, then there exists
u
(x) =
1
3
∞
n=1
1
2n
1
(x − rn)2/3
.](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-53-320.jpg)
![1.2. Differentiability 27
(iii) Prove that at all other points there exists u(x) = ∞.
(iv) Let u([a, b]) = [α, β]. Prove that the inverse of u−1 : [α, β] → R is
differentiable at every point and the set {x ∈ [α, β] : (u−1)(x) = 0}
is dense in [α, β].](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-54-320.jpg)
![This ebook is for the use of anyone anywhere in the United
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Title: Deutschland und Armenien, 1914-1918: Sammlung
diplomatischer Aktenstücke
Editor: Johannes Lepsius
Release date: October 21, 2018 [eBook #58144]
Language: German
Credits: Produced by Heiko Evermann, Reiner Ruf, and the
Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net
(This
book was produced from scanned images of public
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material from the Google Books project.)
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK DEUTSCHLAND
UND ARMENIEN, 1914-1918: SAMMLUNG DIPLOMATISCHER
AKTENSTÜCKE ***](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-60-320.jpg)
![Vorwort.
Als ich Ende November vorigen Jahres nach zweieinhalbjährigem
Aufenthalt in Holland aus dem Haag nach Berlin zurückkehrte,
suchte ich am 1. Dezember den Staatssekretär Herrn Dr. Solf im
Auswärtigen Amt auf. Ich bat ihn, mir Einblick zu geben in die Akten
des Auswärtigen Amtes, die über die Armenische Frage und ihre
Behandlung seitens der deutschen Regierung während der
Kriegsjahre Aufschluß geben.
Der Anlaß meiner Bitte war der folgende. Auf Grund von Quellen,
die mir im Sommer 1915 auf einer Reise nach Konstantinopel durch
persönliche Beziehungen zugänglich geworden waren, hatte ich im
Jahre 1916 einen „Bericht über die Lage des armenischen Volkes in
der Türkei“ herausgegeben[1]. Eine Verbreitung durch den
Buchhandel oder auch nur eine Verwertung der Tatsachen, die er
enthüllte, in der Presse war damals nicht möglich. Die Zensur hätte
das Buch beschlagnahmt; der Presse war durch offizielle
Instruktionen Schweigepflicht über die Armeniergreuel auferlegt. Ich
konnte daher meinen „Bericht“ nur vertraulich versenden. Die Zensur
ist erst auf ihn aufmerksam geworden, nachdem 20000 Exemplare in
Deutschland verbreitet worden waren. Die weitere Drucklegung und
Verbreitung wurde verboten. Seit der Revolution stand dem
Neudruck und dem Vertrieb durch den Buchhandel nichts mehr im
Wege. Für die Neuausgabe lag mir zweierlei am Herzen, erstens
mein damaliges Quellenmaterial an den mir bis dahin
unzugänglichen deutschen Botschafts- und Konsularberichten
nachzuprüfen und zweitens mir ein Urteil zu bilden über die](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-66-320.jpg)
![und innere Angelegenheiten der Türkei handle, die die Botschaft
nichts angingen. Massaker waren auf cilicischem Boden nicht
vorgekommen, nur Aussiedelungen. Als die Armenier der Stadt
Marasch (gegen 60000 Seelen, wovon 24000 Christen), durch die
Zeituner Vorgänge und die Erregung der Muhammedaner
beunruhigt, ein Massaker befürchteten, begab sich Konsul Rößler
aus Aleppo dorthin. Der Schutz deutscher Anstalten in Marasch
(Hospital und Waisenhaus) berechtigte ihn dazu. Sein Besuch wirkte
beruhigend. Auch die amerikanische Mission, die in Marasch ein
Kollege hatte, war dafür dankbar. Die gegen Konsul Rößler
ausgestreuten Verleumdungen der englischen Presse, Konsul Rößler
habe bei seinem Besuch (in Aintab?) persönlich Massaker dirigiert
und zu Greueltaten aufgemuntert — Verleumdungen, die auch im
englischen Oberhaus zur Sprache kamen —, sind durch die
Zeugnisse amerikanischer Missionare widerlegt[2]. Die zahlreichen
Konsularberichte von Herrn Rößler erbringen den Beweis, mit welch
unermüdlicher Hingabe und Zähigkeit er während der ganzen
Kriegszeit für die Armenier seines Konsularbezirks und die
durchflutenden Massen der Deportierten eingetreten ist. Solange
Djelal Bey in Aleppo war, erfreute sich Konsul Rößler der
Zustimmung dieses gerechten und menschenfreundlichen Walis, der
in seinem Wilajet weder Deportationen noch Massaker duldete. Doch
schon am 21. Juni 1915 wurde Djelal Bey seines Amtes enthoben,
weil er sich den Befehlen von Konstantinopel nicht fügen wollte.
Auch der Oberkommandierende der 4. Armee, Djemal Pascha, zu
dessen Befehlsbereich Cilicien und Aleppo gehörten, mißbilligte die
armenische Politik der Regierung. Durch wiederholte Erlasse hat er
wenigstens erreicht, daß in seinem Befehlsbereich Massaker nicht
vorgekommen sind. Den von der Zentralregierung befohlenen
Deportationen und der Islamisierung der Reste des armenischen
Volkes hat auch er sich nicht widersetzt.
2. O s t a n a t o l i e n .](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-75-320.jpg)
![Wramian und Aram zu sich bitten. Aram war zufällig abwesend.
Wramian geht arglos zum Wali und wird, sobald er den Konak
betreten hat, verhaftet. Der Wali schickt ihn gefesselt über Bitlis
nach Diarbekr. Unterwegs wird er ermordet. Noch am selben Morgen
bereitet Djevdet Bey den Angriff auf die Armenierviertel der Stadt
vor. Gleichzeitig setzen die Massaker in Ardjesch und den Dörfern
von Hayozdzor ein. Um Weib und Kind vor dem drohenden Massaker
zu schützen, verschanzen sich die Armenier der Stadt in ihren
Vierteln. Sie hatten keinerlei Verbindung mit Rußland. Vier Wochen
verteidigten sie sich gegen die türkischen Truppen, die sie
belagerten und beschossen. Ihre Vorräte waren erschöpft. Am 15.
Mai fand ein letztes Bombardement statt. In der Nacht darauf verließ
Djevdet Bey mit den Belagerungstruppen zum größten Erstaunen
der Armenier die Stadt. Sie wußten noch nichts davon, daß die
russische Armee auf der ganzen kaukasischen Front im Vormarsch
war. Am 19. Mai, 30 Tage nach dem Beginn der Belagerung, zogen
die Russen in Wan ein. Für den Vormarsch der Russen war die
Entsetzung von Wan eine unbedeutende Episode. Ihre Hauptmacht
stieß (wie Konsul Anders schon vor dem Kriege vorausgesehen
hatte) nördlich vom Wansee in der Richtung auf Musch und Bitlis vor.
Auch für die Armenier von Wan bedeutete die Entsetzung der Stadt
nur, daß sie sich selbst und ihre Familien durch ihr tapferes
Ausharren errettet hatten; denn schon am 31. Juli räumten die
Russen Wan und nötigten die ganze armenische Bevölkerung in den
Kaukasus überzusiedeln.
Die Pforte mußte über den Charakter des Aufstandes von Wan,
der ein Akt der Selbstverteidigung war, unterrichtet sein. Sie wußte,
daß dieser „Aufstand“ von dem Wali Djevdet Bey provoziert war und
mit den russisch-türkischen Operationen in keinem Zusammenhang
stand. Der Bericht über Wan (Anhang Nr. 3.) liest sich, ebenso wie
der von Suedije (Anhang Nr. 1.), wie ein Kapitel aus einem
Cooperschen Indianerroman, nicht wie eine Episode des Weltkrieges.
Besondere Aufmerksamkeit erfordert die Art, wie der „Aufstand“
von Wan — mit der Bitte um Geheimhaltung — der Botschaft von
der Pforte dargestellt wurde[3].](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-79-320.jpg)
![Die Berichte lauteten:
24. April: Gebäude der Dette Publique und der Post in die Luft
gesprengt, Straßenkämpfe, 20 Tote.
27. April: Aufruhr in Wan unterdrückt. Kurden am Aufstand
beteiligt. 400 Armenier getötet, die übrigen nach Rußland geflohen.
6. Mai: Neue Kämpfe in Wan. Türkische Verluste 600 Mann.
9. Mai: Unruhen in Wan dauern an. Türken 1000, Armenier 3000
Tote.
Sprungweise gehen die Verluste, von 20 auf 400, auf 600, auf
4000 in die Höhe. In Wahrheit sind bei den Armeniern während der
vierwöchentlichen Belagerung vom 20. April bis zum 17. Mai 18 Tote
und bei den Türken schwerlich viel mehr gefallen[4]. Falstaff ist
nichts gegen Djevdet Bey.
Warum diese grotesken Übertreibungen? Enver Pascha war doch
sicherlich von seinem Schwager Djevdet gut unterrichtet. Man wollte
der Botschaft beweisen, daß alles auf dem Spiel stehe, daß der
Bestand des Reiches durch eine ganz gefährliche Erhebung der
Armenier bedroht sei. Der Zweck wurde erreicht. Die Botschaft
glaubte es.
4. D e r B e s c h l u ß d e r a l l g e m e i n e n
D e p o r t a t i o n .
Bei seiner Rückkehr von der kaukasischen Front im Februar des
Jahres hatte Enver Pascha als Kriegsminister und Generalissimus der
türkischen Armee auf eine Adresse des Bischofs von Konia erwidert:
„Ich sage Ihnen meinen Dank dafür und benütze die Gelegenheit,
um Ihnen auszusprechen, daß die armenischen Soldaten der
ottomanischen Armee ihre Pflichten auf dem Kriegstheater
gewissenhaft erfüllen, was ich aus eigener Anschauung bezeugen
kann. Ich bitte der armenischen Nation, die bekannt ist für ihre
vollkommene Ergebenheit gegenüber der Kaiserlich Ottomanischen](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-80-320.jpg)
![Regierung, den Ausdruck meiner Genugtuung und Dankbarkeit zu
übermitteln“. (Osmanischer Lloyd vom 26. 2. 1915). Auch dem
armenischen Patriarchen gegenüber hatte Enver Pascha „seine
besondere Zufriedenheit ausgesprochen über die Haltung und
Tapferkeit der armenischen Soldaten, die sich in ausgezeichneter
Weise geschlagen hätten“, hatte aber schon damals
bezeichnenderweise hinzugefügt, „daß er beim geringsten
Vorkommnis in den östlichen Armenierzentren m i t
d r a k o n i s c h e n M a ß n a h m e n einschreiten würde“. Wie kam
es, daß mit dem 20. April das Urteil über die Ergebenheit der
armenischen Nation so plötzlich umschlug? Der „Aufstand“ von Wan
war das tragische Moment in der armenischen Schicksalstragödie.
Das Stichwort für die „drakonischen Maßnahmen“ Enver Paschas war
gegeben.
Mit der Fixierung dieses Momentes soll nicht gesagt werden, daß
nicht der Vernichtungswille der treibenden Kräfte, die hinter dem
Kriegsminister standen, schon vor den Ereignissen in Wan bestanden
hätte. Schon auf dem Kongreß des jungtürkischen „Komitees für
Einheit und Fortschritt“ in Saloniki Oktober 1911, war der
nationalistisch-panislamische Gedanke — die Alleinherrschaft der
türkischen Rasse und der Aufbau des Reiches auf rein islamischer
Grundlage — als Regierungsprogramm angenommen worden:
„Früher oder später müßte die vollkommene Ottomanisierung
aller türkischen Untertanen durchgeführt werden, aber es sei klar,
daß dies niemals durch Überredung erreicht werden könne, sondern
man müsse zur Waffengewalt Zuflucht nehmen. Der Charakter des
Reiches habe muhammedanisch zu sein und muhammedanischen
Einrichtungen und Überlieferungen müsse Respekt verschafft
werden. Anderen Nationalitäten müsse das Recht der Organisation
vorenthalten werden, denn Dezentralisation und Selbstverwaltung
seien Verrat am türkischen Reich. Die Nationalitäten seien eine
quantité négligeable. Sie könnten ihre Religion behalten, aber nicht
ihre Sprache. Die Ausbreitung der türkischen Sprache sei eines der
Hauptmittel, um die muhammedanische Vorherrschaft zu sichern
und die übrigen Elemente zu assimilieren“[5].](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-81-320.jpg)
![wenn die Interna der jungtürkischen Regierung an den Tag
gekommen sein werden[6]. Es scheint, daß im Komitee selbst
Gegensätze zwischen einer radikalen und einer gemäßigteren
Gruppe bestanden, die in der Zeit vom 24. April bis zum 27. Mai zum
Austrag gebracht wurden und mit dem Sieg der radikalen Gruppe
endeten.
Das Ergebnis dieser Kämpfe war der Beschluß, der das Schicksal
des armenischen Volkes besiegelte: Die allgemeine Deportation.](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-83-320.jpg)
![II. Die allgemeine Deportation.
1. D i e M a s s e n v e r h a f t u n g d e r
I n t e l l e k t u e l l e n i n K o n s t a n t i n o p e l .
Am 22. April bestätigte der Minister des Innern die Mitteilungen,
die die Botschaft über den Ausbruch der Unruhen in Wan erhalten
hatte, — mit der Bitte um vorläufige Geheimhaltung. An dem
darauffolgenden Sonntag, dem 25. April, erfuhr das überraschte
Konstantinopel, daß in der Nacht vom Sonnabend auf den Sonntag
die politischen und geistigen Spitzen der armenischen Gesellschaft in
der Hauptstadt verhaftet worden seien. In der Nacht vom Sonntag
auf den Montag wurde die Razzia erneuert. Gegen 600 armenische
Intellektuelle, die führenden Männer der Nation, Deputierte,
Parteiführer, Schriftsteller, Journalisten, Geistliche, Ärzte wurden in
den Tagen darauf ohne Verhör und Urteil aus den Gefängnissen in
das Innere von Kleinasien nach Ajasch und Tschangri
abtransportiert[7]. Gerüchte von geplanten Attentaten zirkulierten in
der Stadt, die aber von der Regierung selbst dementiert wurden. Von
den Vorgängen in Wan war noch nichts bekannt. Am 29. April wurde
die Bevölkerung von Konstantinopel aufgefordert, alle Waffen
abzuliefern, was ohne Zwischenfall geschah.
Offiziell teilte Talaat Bey, der Minister des Innern, der Botschaft
durch ihren ersten Dragoman mit, „die Regierung sei jetzt
entschlossen, dem bisherigen Zustand ein Ende zu bereiten, wonach
jede Religionsgemeinschaft ihre besondere ‚Politik‘ mache und hierzu
besondere politische Vereinigungen gründen und unterhalten könne.
In der Türkei solle künftig nur ‚osmanische‘ Politik gemacht werden.
Unter den hiesigen (Konstantinopeler) Armeniern befänden sich eine
Reihe von politisch nicht ganz sicheren Persönlichkeiten; sie seien](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-84-320.jpg)
![natürlich gerade unter den tätigen Mitgliedern der Klubs und
Redaktionen zu suchen. Die Besorgnis sei nicht von der Hand zu
weisen, daß im Falle einer ungünstigen Wendung des Krieges diese
Elemente die Gelegenheit zur Unruhestiftung ergreifen könnten. Der
Augenblick schien günstig, alle diese Verdächtigen aus der
Hauptstadt zu entfernen. Unter den Verschickten gäbe es sicher
viele, die in keiner Weise schuldig seien. Dies leugne die Regierung
nicht, und er — Talaat — werde aus eigenem Antrieb und ohne daß
es hierzu einer Intervention bedürfe, diesen die Erlaubnis zur
Rückkehr erteilen.“[8]
So wurde im voraus einer Intervention von deutscher Seite
vorgebeugt. Beschuldigungen gegen die allgemein als loyal
bekannten und geachteten Intellektuellen, zum Teil persönliche
Freunde der jungtürkischen Führer — Zohrab hatte Halil Bey in den
Tagen der Gegenrevolution das Leben gerettet —, wurden nicht
erhoben. Die Verhaftung wurde als Vorbeugungsmaßregel
charakterisiert und eine richterliche Untersuchung in Aussicht
gestellt, um etwa Verdächtige zu ermitteln.
Ein Zusammenhang der Verhaftungen mit den Vorgängen in Wan
wurde nicht konstruiert. Der Plan der Vernichtung der armenischen
Nation, der man in ihren geistigen Führern das Haupt abschlug, ehe
man den Leib der Todesfolter unterwarf, mußte im Dunkel bleiben,
bis die Vorbereitungen für die Gesamtdeportation getroffen waren.
Der Einmarsch der russischen Truppen in Wan scheint den letzten
Widerstand im Komitee gebrochen zu haben. Die radikalen Elemente
des Komitees triumphierten. Der Beschluß der Deportation wurde
auf die ganze armenische Bevölkerung der Türkei ausgedehnt.
Am 27. Mai erschien das „Provisorische Gesetz über die
Verschickung verdächtiger Personen“. Artikel 2 lautet:
„Die Kommandanten der Armeen, Armeekorps und Divisionen
können, wenn militärische Bedürfnisse es fordern, die Bevölkerung
von Städten und Dörfern, die sie der Schuld des Verrats oder der
Spionage für verdächtig halten, dislozieren und in anderen Orten
ansiedeln.“](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-85-320.jpg)
![alle nicht ganz einwandfreien Familien in Mesopotamien anzusiedeln.
Er bittet dringend, daß wir ihm hierbei nicht in den Arm fallen.“
Bezeichnend für die Mitteilung Enver Paschas an den Botschafter
ist die Voranstellung von Schulen, Postkorrespondenzen und
armenischen Zeitungen vor die Hauptsache, die Ankündigung der
Verschickungen. Um Einwänden im voraus zu begegnen, wird die
Maßregel auf „nicht ganz einwandfreie Familien“ und die „jetzt
insurgierten armenischen Zentren“ beschränkt.
Welche Zentren waren damals insurgiert?
Die Deserteuraffäre in Zeitun und die Spionageakte in Dörtjol
waren durch Abtransport der Bewohner von Zeitun und Dörtjol
erledigt. Die Unruhen in Bitlis und Musch waren, was die Botschaft
nicht wußte, durch die Behörden mit Hilfe des Abgeordneten
Papasian beglichen. Vereinzelte verbürgte oder unverbürgte
Bombenfunde[9] „gehörten zu dem schon bekannten Inventar der
türkischen Behörden an solchen Vorwänden“. In Erzerum „glaubte“
der Wali Beweise für eine armenische Verschwörung in Händen zu
haben, obwohl nach dem Zeugnis General Posseldts „die Aufführung
der Armenier tadellos“ und nach dem Urteil des Konsuls von
Scheubner-Richter „ein Aufstand nicht zu erwarten war“. Als
„Massenerhebung“ und ernste Gefahr für die militärischen
Operationen mußte dagegen die „Insurrektion“ von Wan erscheinen.
Die Maßregel partieller Verschickungen von „nicht einwandfreien
Familien“ konnte sich nach den vorliegenden Berichten nur auf die
östlichen Wilajets an der kaukasischen Front beziehen, wo es nach
türkischen Meldungen in Wan, Schatakh, Bitlis und Musch
„insurgierte Zentren“ zu geben schien. Da schon im Sommer 1914
Rußlands Anteil an Kurdenaufständen in Bitlis und Musch gemeldet
war, hatte auch die von der Pforte behauptete „von Rußland
genährte Wühlarbeit“ einige Wahrscheinlichkeit für sich[10]. Vom
militärischen Gesichtspunkt konnten bei der unvollkommenen
Information über die tatsächlichen Vorgänge Vorbeugungsmaßregeln
„in den insurgierten Zentren“ als berechtigt erscheinen. So sah der
Botschafter keinen Grund, sich den angekündigten Maßregeln Enver](https://image.slidesharecdn.com/28706068-250518155633-da1fb479/85/A-First-Course-In-Sobolev-Spaces-Second-Edition-Giovanni-Leoni-87-320.jpg)
A First Course In Sobolev Spaces Second Edition Giovanni Leoni
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- 5. A First Course in Sobolev Spaces Second Edition Giovanni Leoni GRADUATE STUDIES IN MATHEMATICS 181 American Mathematical Society
- 6. A First Course in Sobolev Spaces Second Edition
- 8. A First Course in Sobolev Spaces Second Edition Giovanni Leoni American Mathematical Society Providence, Rhode Island GRADUATE STUDIES IN MATHEMATICS 181
- 9. EDITORIAL COMMITTEE Dan Abramovich Daniel S. Freed (Chair) Gigliola Staffilani Jeff A. Viaclovsky 2010 Mathematics Subject Classification. Primary 46E35; Secondary 26A27, 26A30, 26A42, 26A45, 26A46, 26A48, 26B30, 30H25. For additional information and updates on this book, visit www.ams.org/bookpages/gsm-181 Library of Congress Cataloging-in-Publication Data Names: Leoni, Giovanni, 1967– Title: A first course in Sobolev spaces / Giovanni Leoni. Description: Second edition. | Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, [2017] | Series: Graduate studies in mathematics; volume 181 | Includes bibliographical references and index. Identifiers: LCCN 2017009991 | ISBN 9781470429218 (alk. paper) Subjects: LCSH: Sobolev spaces. Classification: LCC QA323 .L46 2017 | DDC 515/.782–dc23 LC record available at https://lccn.loc.gov/2017009991 Copying and reprinting. Individual readers of this publication, and nonprofit libraries acting for them, are permitted to make fair use of the material, such as to copy select pages for use in teaching or research. Permission is granted to quote brief passages from this publication in reviews, provided the customary acknowledgment of the source is given. Republication, systematic copying, or multiple reproduction of any material in this publication is permitted only under license from the American Mathematical Society. Permissions to reuse portions of AMS publication content are handled by Copyright Clearance Center’s RightsLink service. For more information, please visit: http://www.ams.org/rightslink. Send requests for translation rights and licensed reprints to reprint-permission@ams.org. Excluded from these provisions is material for which the author holds copyright. In such cases, requests for permission to reuse or reprint material should be addressed directly to the author(s). Copyright ownership is indicated on the copyright page, or on the lower right-hand corner of the first page of each article within proceedings volumes. c 2017 by the American Mathematical Society. All rights reserved. The American Mathematical Society retains all rights except those granted to the United States Government. Printed in the United States of America. ∞ The paper used in this book is acid-free and falls within the guidelines established to ensure permanence and durability. Visit the AMS home page at http://www.ams.org/ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 22 21 20 19 18 17
- 10. In memory of my Ph.D. advisor, James Serrin
- 12. Contents Preface xiii Preface to the Second Edition xiii Preface to the First Edition xv Acknowledgments xxi Second Edition xxi First Edition xxii Part 1. Functions of One Variable Chapter 1. Monotone Functions 3 §1.1. Continuity 3 §1.2. Differentiability 9 Chapter 2. Functions of Bounded Pointwise Variation 29 §2.1. Pointwise Variation 29 §2.2. Continuity 34 §2.3. Differentiability 40 §2.4. Monotone Versus BPV 44 §2.5. The Space BPV (I; Y ) 47 §2.6. Composition in BPV (I; Y ) 55 §2.7. Banach Indicatrix 59 Chapter 3. Absolutely Continuous Functions 67 §3.1. AC(I; Y ) Versus BPV (I; Y ) 67 §3.2. The Fundamental Theorem of Calculus 71 vii
- 13. viii Contents §3.3. Lusin (N) Property 84 §3.4. Superposition in AC(I; Y ) 91 §3.5. Chain Rule 95 §3.6. Change of Variables 100 §3.7. Singular Functions 103 Chapter 4. Decreasing Rearrangement 111 §4.1. Definition and First Properties 111 §4.2. Function Spaces and Decreasing Rearrangement 126 Chapter 5. Curves 133 §5.1. Rectifiable Curves 133 §5.2. Arclength 143 §5.3. Length Distance 146 §5.4. Curves and Hausdorff Measure 149 §5.5. Jordan’s Curve Theorem 152 Chapter 6. Lebesgue–Stieltjes Measures 157 §6.1. Measures Versus Increasing Functions 157 §6.2. Vector-valued Measures Versus BPV (I; Y ) 168 §6.3. Decomposition of Measures 177 Chapter 7. Functions of Bounded Variation and Sobolev Functions 183 §7.1. BV (Ω) Versus BPV (Ω) 183 §7.2. Sobolev Functions Versus Absolutely Continuous Functions 188 §7.3. Interpolation Inequalities 196 Chapter 8. The Infinite-Dimensional Case 205 §8.1. The Bochner Integral 205 §8.2. Lp Spaces on Banach Spaces 212 §8.3. Functions of Bounded Pointwise Variation 220 §8.4. Absolute Continuous Functions 224 §8.5. Sobolev Functions 229 Part 2. Functions of Several Variables Chapter 9. Change of Variables and the Divergence Theorem 239 §9.1. Directional Derivatives and Differentiability 239 §9.2. Lipschitz Continuous Functions 242 §9.3. The Area Formula: The C1 Case 249
- 14. Contents ix §9.4. The Area Formula: The Differentiable Case 262 §9.5. The Divergence Theorem 273 Chapter 10. Distributions 281 §10.1. The Spaces DK(Ω), D(Ω), and D(Ω) 281 §10.2. Order of a Distribution 288 §10.3. Derivatives of Distributions and Distributions as Derivatives 290 §10.4. Rapidly Decreasing Functions and Tempered Distributions 298 §10.5. Convolutions 302 §10.6. Convolution of Distributions 305 §10.7. Fourier Transforms 309 §10.8. Littlewood–Paley Decomposition 316 Chapter 11. Sobolev Spaces 319 §11.1. Definition and Main Properties 319 §11.2. Density of Smooth Functions 325 §11.3. Absolute Continuity on Lines 336 §11.4. Duals and Weak Convergence 344 §11.5. A Characterization of W1,p(Ω) 349 Chapter 12. Sobolev Spaces: Embeddings 355 §12.1. Embeddings: mp N 356 §12.2. Embeddings: mp = N 372 §12.3. Embeddings: mp N 378 §12.4. Superposition 387 §12.5. Interpolation Inequalities in RN 399 Chapter 13. Sobolev Spaces: Further Properties 411 §13.1. Extension Domains 411 §13.2. Poincaré Inequalities 430 §13.3. Interpolation Inequalities in Domains 449 Chapter 14. Functions of Bounded Variation 459 §14.1. Definition and Main Properties 459 §14.2. Approximation by Smooth Functions 462 §14.3. Bounded Pointwise Variation on Lines 468 §14.4. Coarea Formula for BV Functions 478 §14.5. Embeddings and Isoperimetric Inequalities 482
- 15. x Contents §14.6. Density of Smooth Sets 489 §14.7. A Characterization of BV (Ω) 493 Chapter 15. Sobolev Spaces: Symmetrization 497 §15.1. Symmetrization in Lp Spaces 497 §15.2. Lorentz Spaces 502 §15.3. Symmetrization of W1,p and BV Functions 504 §15.4. Sobolev Embeddings Revisited 510 Chapter 16. Interpolation of Banach Spaces 517 §16.1. Interpolation: K-Method 517 §16.2. Interpolation: J-Method 526 §16.3. Duality 530 §16.4. Lorentz Spaces as Interpolation Spaces 535 Chapter 17. Besov Spaces 539 §17.1. Besov Spaces Bs,p q 539 §17.2. Some Equivalent Seminorms 545 §17.3. Besov Spaces as Interpolation Spaces 551 §17.4. Sobolev Embeddings 561 §17.5. The Limit of Bs,p q as s → 0+ and s → m− 565 §17.6. Besov Spaces and Derivatives 571 §17.7. Yet Another Equivalent Norm 578 §17.8. And More Embeddings 585 Chapter 18. Sobolev Spaces: Traces 591 §18.1. The Trace Operator 592 §18.2. Traces of Functions in W1,1(Ω) 598 §18.3. Traces of Functions in BV (Ω) 605 §18.4. Traces of Functions in W1,p(Ω), p 1 606 §18.5. Traces of Functions in Wm,1(Ω) 621 §18.6. Traces of Functions in Wm,p(Ω), p 1 626 §18.7. Besov Spaces and Weighted Sobolev Spaces 626 Appendix A. Functional Analysis 635 §A.1. Topological Spaces 635 §A.2. Metric Spaces 638 §A.3. Topological Vector Spaces 639
- 16. Contents xi §A.4. Normed Spaces 643 §A.5. Weak Topologies 645 §A.6. Hilbert Spaces 648 Appendix B. Measures 651 §B.1. Outer Measures and Measures 651 §B.2. Measurable and Integrable Functions 655 §B.3. Integrals Depending on a Parameter 662 §B.4. Product Spaces 663 §B.5. Radon–Nikodym’s and Lebesgue’s Decomposition Theorems 665 §B.6. Signed Measures 666 §B.7. Lp Spaces 668 §B.8. Modes of Convergence 673 §B.9. Radon Measures 676 §B.10. Covering Theorems in RN 678 Appendix C. The Lebesgue and Hausdorff Measures 681 §C.1. The Lebesgue Measure 681 §C.2. The Brunn–Minkowski Inequality 683 §C.3. Mollifiers 687 §C.4. Maximal Functions 694 §C.5. BMO Spaces 695 §C.6. Hardy’s Inequality 698 §C.7. Hausdorff Measures 699 Appendix D. Notes 703 Appendix E. Notation and List of Symbols 711 Bibliography 717 Index 729
- 18. Preface The Author List, I: giving credit where credit is due. The first author: Senior grad student in the project. Made the figures. — Jorge Cham, www.phdcomics.com Preface to the Second Edition There are a lot of changes in the second edition. In the first part of the book, starting from Chapter 2, instead of considering real-valued functions, I treat functions u : I → Y , where I ⊆ R is an interval and Y is a metric space. This change is motivated by the addition of a new chapter, Chapter 8, where I introduce the Bochner integral and study functions mapping time into Banach spaces. This type of functions plays a crucial role in evolution equations. Another important addition in the first part of the book is Section 7 in Chapter 7, which begins the study of interpolation inequalities for Sobolev functions of one variable. One wants to estimate some appropriate norm of an intermediate derivative in terms of the norms of the function and the highest-order derivative. Except for Chapter 8, the first part of the book is meant as a text- book for an advanced undergraduate course or beginning graduate course on real analysis or functions of one variable. One should sim- ply take Y to be the real line R so that H1 reduces to the Lebesgue measure L1. All the results needed from measure theory are listed in the appendices at the end of the book. The second part of the book starts with Chapter 9, which went through drastic changes. In the revised version I give an overview of classical results for functions of several variables, which are somehow scattered in the litera- ture. These include Rademacher’s and Stepanoff’s differentiability theorems, xiii
- 19. xiv Preface Whitney’s extension theorem, and Brouwer’s fixed point theorem. The fo- cus of the chapter is now the divergence theorem for Lipschitz domains. While this fundamental result is quoted and used in every book on partial differential equations, it’s hard to find a thorough proof in the literature. To introduce the surface integral on the boundary I start by proving the area formula, first in the C1 case, and then, using Whitney’s extension theorem in the Lipschitz case. In the chapter on distributions, Chapter 10, I added rapidly decreasing functions, tempered distributions, and Fourier transforms. This was long overdue. The book is structured in such a way that an instructor of a course on Sobolev spaces could actually skip Chapters 9 and 10, which serve mainly as reference chapters and jump to Chapter 11. Chapters 11, 12, and 13, the first part of Chapter 18 could be used as a textbook on a course on Sobolev spaces. They are mostly self-contained. One of the main changes in these chapters is that I caved in and decided to include higher order derivatives. The reason why I did not do it in the first edition was because standard operations like the product rule and the chain formula become incredibly messy for higher order derivatives and there are so many multi-indices to take into account that even elementary proofs become unnecessarily complicated. My compromise is to present proofs first in W1,p(Ω) (first-order derivatives) or in W2,p(Ω) (second-order derivatives) and only after, when the idea of the proof is clear, to do the general case Wm,p(Ω). I did not always follow this rule, since sometimes there was no significant change in difficulty in treating Wm,p(Ω) rather than W1,p(Ω). The advantage in having higher order derivatives is that I can now prove the classical interpolation inequalities of Gagliardo and Nirenberg. These are done in Section 12.5 in Chapter 12 for RN and in Section 13.3 in Chapter 13 for uniformly Lipschitz domains. The main novelty with respect to other textbooks is that in the case of uniformly Lipschitz domains I do not assume that functions are in Wm,p(Ω) but only that u is in Lq(Ω) and the weak derivatives of order m are in Lp(Ω). Another new section is Section 12.4 in Chapter 12, where I study super- position in Sobolev spaces. The last major departure from the first edition is the chapter on Besov spaces, Chapter 17. This chapter was completely rewritten in collaboration with Ian Tice. The main motivation behind the changes was the proof that the trace space of functions in W2,1(RN ) is given by the Besov space B1,1(RN−1) (see Chapter 18). I am only aware of one complete and simple
- 20. Preface to the First Edition xv proof, which is in a recent paper of Mironescu and Russ [173]. It makes use of two equivalent norms for B1,1(RN−1), one using second order difference quotients and the other the Littlewood-Paley norm. To introduce the second norm, I went through several different versions of Chapter 17. Eventually, to study Besov spaces I used heavily the K method of real interpolation introduced by Peetre. The interpolation theory needed was added in a new chapter, Chapter 16. Webpage for mistakes, comments, and exercises: The AMS is hosting a webpage for this book at http://www.ams.org/bookpages/gsm-181/ where updates, corrections, and other material may be found. Preface to the First Edition There are two ways to introduce Sobolev spaces: The first is through the el- egant (and abstract) theory of distributions developed by Laurent Schwartz in the late 1940s; the second is to look at them as the natural development and unfolding of monotone, absolutely continuous, and BV functions1 of one variable. To my knowledge, this is one of the first books to follow the second approach. I was more or less forced into it: This book is based on a series of lecture notes that I wrote for the graduate course “Sobolev Spaces”, which I taught in the fall of 2006 and then again in the fall of 2008 at Carnegie Mellon University. In 2006, during the first lecture, I found out that half of the students were beginning graduate students with no background in functional analysis (which was offered only in the spring) and very little in measure theory (which, luckily, was offered in the fall). At that point I had two choices: continue with a classical course on Sobolev spaces and thus lose half the class after the second lecture or toss my notes and rethink the entire operation, which is what I ended up doing. I decided to begin with monotone functions and with the Lebesgue dif- ferentiation theorem. To my surprise, none of the students taking the class had actually seen its proof. I then continued with functions of bounded pointwise variation and abso- lutely continuous functions. While these are included in most books on real analysis/measure theory, here the perspective and focus are rather different, in view of their applications to Sobolev functions. Just to give an example, most books study these functions when the domain is either the closed in- terval [a, b] or R. I needed, of course, open intervals (possibly unbounded). 1BV functions are functions of bounded variation.
- 21. xvi Preface This changed things quite a bit. A lot of the simple characterizations that hold in [a, b] fall apart when working with arbitrary unbounded intervals. After the first three chapters, in the course I actually jumped to Chapter 7, which relates absolutely continuous functions with Sobolev functions of one variable, and then started with Sobolev functions of several variables. In the book I included three more chapters: Chapter 5 studies curves and arclength. I think it is useful for students to see the relation between recti- fiable curves and functions with bounded pointwise variation. Some classical results on curves that most students in analysis have heard of, but whose proof they have not seen, are included, among them Peano’s filling curve and the Jordan curve theorem. Section 5.4 is more advanced. It relates rectifiable curves with the H1 Hausdorff measure. Besides Hausdorff measures, it also makes use of the Vitali–Besicovitch covering theorem. All these results are listed in Appen- dices B and C. Chapter 6 introduces Lebesgue–Stieltjes measures. The reading of this chapter requires some notions and results from abstract measure theory. Again it departs slightly from modern books on measure theory, which in- troduce Lebesgue–Stieltjes measures only for right continuous (or left) func- tions. I needed them for an arbitrary function, increasing or with bounded pointwise variation. Here, I used the monograph of Saks [201]. I am not completely satisfied with this chapter: I have the impression that some of the proofs could have been simplified more using the results in the previous chapters. Readers’ comments will be welcome Chapter 4 introduces the notion of decreasing rearrangement. I used some of these results in the second part of the book (for Sobolev and Besov functions). But I also thought that this chapter would be appropriate for the first part. The basic question is how to modify a function that is not monotone into one that is, keeping most of the good properties of the original function. While the first part of the chapter is standard, the results in the last two sections are not covered in detail in classical books on the subject. As a final comment, the first part of the book could be used for an ad- vanced undergraduate course or beginning graduate course on real analysis or functions of one variable. The second part of the book starts with one chapter on absolutely con- tinuous transformations from domains of RN into RN . I did not cover this chapter in class, but I do think it is important in the book in view of its ties with the previous chapters and their applications to the change of variables formula for multiple integrals and of the renewed interest in the subject in recent years. I only scratched the surface here.
- 22. Preface to the First Edition xvii Chapter 10 introduces briefly the theory of distributions. The book is structured in such a way that an instructor could actually skip it in case the students do not have the necessary background in functional analysis (as was true in my case). However, if the students do have the proper background, then I would definitely recommend including the chapter in a course. It is really important. Chapter 11 starts (at long last) with Sobolev functions of several vari- ables. Here, I would like to warn the reader about two quite common miscon- ceptions. Believe it or not, if you ask a student what a Sobolev function is, often the answer is “A Sobolev function is a function in Lp whose derivative is in Lp.” This makes the Cantor function a Sobolev function :( I hope that the first part of the book will help students to avoid this danger. The other common misconception is, in a sense, quite the opposite, namely to think of weak derivatives in a very abstract way not related to the classical derivatives. One of the main points of this book is that weak derivatives of a Sobolev function (but not of a function in BV!) are simply (classical) derivatives of a good representative. Again, I hope that the first part of the volume will help here. Chapters 11, 12, and 13 cover most of the classical theorems (density, absolute continuity on lines, embeddings, chain rule, change of variables, extensions, duals). This part of the book is more classical, although it contains a few results published in recent years. Chapter 14 deals with functions of bounded variation of several variables. I covered here only those parts that did not require too much background in measure theory and geometric measure theory. This means that the fundamental results of De Giorgi, Federer, and many others are not included here. Again, I only scratched the surface of functions of bounded variation. My hope is that this volume will help students to build a solid background, which will allow them to read more advanced texts on the subject. Chapter 17 is dedicated to the theory of Besov spaces. There are essen- tially three ways to look at these spaces. One of the most successful is to see them as an example/by-product of interpolation theory (see [7], [232], and [233]). Interpolation is very elegant, and its abstract framework can be used to treat quite general situations well beyond Sobolev and Besov spaces. There are two reasons for why I decided not to use it: First, it would depart from the spirit of the book, which leans more towards measure theory and real analysis and less towards functional analysis. The second reason is that in recent years in calculus of variations there has been an increased
- 23. xviii Preface interest in nonlocal functionals. I thought it could be useful to present some techniques and tricks for fractional integrals. The second approach is to use tempered distributions and Fourier theory to introduce Besov spaces. This approach has been particularly successful for its applications to harmonic analysis. Again it is not consistent with the remainder of the book. This left me with the approach of the Russian school, which relies mostly on the inequalities of Hardy, Hölder, and Young, together with some integral identities. The main references for this chapter are the books of Besov, Ilin, and Nikolskiı̆ [26], [27]. I spent an entire summer working on this chapter, but I am still not happy with it. In particular, I kept thinking that there should be easier and more elegant proofs of some of the results, but I could not find one. In Chapter 18 I discuss traces of Sobolev and BV functions. Although in this book I only treat first-order Sobolev spaces, the reason I decided to use Besov spaces over fractional Sobolev spaces (note that in the range of exponents treated in this book these spaces coincide, since their norms are equivalent) is that the traces of functions in Wk,1 (Ω) live in the Besov space Bk−1,1 (∂Ω), and thus a unified theory of traces for Sobolev spaces can only be done in the framework of Besov spaces. Finally, Chapter 15 is devoted to the theory of symmetrization in Sobolev and BV spaces. This part of the theory of Sobolev spaces, which is often missing in classical textbooks, has important applications in sharp embed- ding constants, in the embedding N = p, as well as in partial differential equations. In Appendices A, B, and C I included essentially all the results from functional analysis and measure theory that I used in the text. I only proved those results that cannot be found in classical textbooks. What is missing in this book: For didactic purposes, when I started to write this book, I decided to focus on first-order Sobolev spaces. In my original plan I actually meant to write a few chapters on higher-order Sobolev and Besov spaces to be put at the end of the book. Eventually I gave up: It would have taken too much time to do a good job, and the book was already too long. As a consequence, interpolation inequalities between intermediate deriv- atives are missing. They are treated extensively in [7]. Another important theorem that I considered adding and then aban- doned for lack of time was Jones’s extension theorem [122]. Chapter 14, the chapter on BV functions of several variables, is quite minimal. As I wrote there, I only touched the tip of the iceberg. Good
- 24. Preface to the First Edition xix reference books of all the fundamental results that are not included here are [10], [72], and [251]. References: The rule of thumb here is simple: I only quoted papers and books that I actually read at some point (well, there are a few papers in German, and although I do have a copy of them, I only “read” them in a weak sense, since I do not know the language). I believe that misquoting a paper is somewhat worse than not quoting it. Hence, if an important and relevant paper is not listed in the references, very likely it is because I either forgot to add it or was not aware of it. While most authors write books because they are experts in a particular field, I write them because I want to learn a particular topic. I claim no expertise on Sobolev spaces. Webpage for mistakes, comments, and exercises: In a book of this length and with an author a bit absent-minded, typos and errors are al- most inevitable. I will be very grateful to those readers who write to gio- vanni@andrew.cmu.edu indicating those errors that they have found. The AMS is hosting a webpage for this book at http://www.ams.org/bookpages/gsm-105/ where updates, corrections, and other material may be found. The book contains more than 200 exercises, but they are not equally distributed. There are several on the parts of the book that I actually taught, while other chapters do not have as many. If you have any interesting exercises, I will be happy to post them on the web page. Giovanni Leoni
- 26. Acknowledgments The Author List, II. The second author: Grad student in the lab that has nothing to do with this project, but was included because he/she hung around the group meetings (usually for the food). The third author: First year student who actually did the experiments, performed the analysis and wrote the whole paper. Thinks being third author is “fair”. — Jorge Cham, www.phdcomics.com Second Edition I am profoundly indebted to Ian Tice for months spent discussing several parts of the book, especially Section 12.5 and Chapters 16 and 17. In par- ticular, Chapter 17 was really a collaborative effort. Any mistake is purely due to me. Thanks, Ian, I owe you a big one. I would like to thank all the readers who sent corrections and sugges- tions to improve the first edition over the years. I would also like to thank the Friday afternoon reading club (Riccardo Cristoferi, Giovanni Gravina, Matteo Rinaldi) for reading parts of the book. I am really grateful to to Sergei Gelfand, AMS publisher, and to the all the AMS staff I interacted with, especially to Christine Thivierge, for her constant help and technical support during the preparation of this book, and to Luann Cole and Mike Saitas for editing the manuscript. I would like to acknowledge the Center for Nonlinear Analysis (NSF PIRE Grant No. OISE-0967140) for its support during the preparation of this book. This research was partially supported by the National Science Foundation under Grants No. DMS-1412095 and DMS-1714098. Also for this edition, many thanks must go to all the people who work at the interlibrary loan of Carnegie Mellon University for always finding in a timely fashion all the articles I needed. xxi
- 27. xxii Acknowledgments The picture on the back cover of the book was taken by Adella Guo, a student from Carnegie Mellon School of Design, whom I would like to thank. Finally, I would like to thank Jorge Cham for giving me permission to continue to use quotes from www.phdcomics.com for the second edition. They are of course the best part of the book :) First Edition I am profoundly indebted to Pietro Siorpaes for his careful and critical read- ing of the manuscript and for catching 2ℵ0 mistakes in previous drafts. All remaining errors are, of course, mine. Several iterations of the manuscript benefited from the input, sugges- tions, and encouragement of many colleagues and students, in particular, Filippo Cagnetti, Irene Fonseca, Nicola Fusco, Bill Hrusa, Bernd Kawohl, Francesco Maggi, Jan Malý, Massimiliano Morini, Roy Nicolaides, Ernest Schimmerling, and all the students who took the Ph.D. courses “Sobolev spaces” (fall 2006 and fall 2008) and “Measure and Integration” (fall 2007 and fall 2008) taught at Carnegie Mellon University. A special thanks to Eva Eggeling who translated an entire paper from German for me (and only after I realized I did not need it; sorry, Eva!). The picture on the back cover of the book was taken by Monica Mon- tagnani with the assistance of Alessandrini Alessandra (always trust your high school friends for a good laugh. . . at your expense). I am really grateful to Edward Dunne and Cristin Zannella for their constant help and technical support during the preparation of this book. I would also like to thank Arlene O’Sean for editing the manuscript, Lori Nero for drawing the pictures, and all the other staff at the AMS I interacted with. I would like to thank three anonymous referees for useful suggestions that led me to change and add several parts of the manuscript. Many thanks must go to all the people who work at the interlibrary loan of Carnegie Mellon University for always finding in a timely fashion all the articles I needed. I would like to acknowledge the Center for Nonlinear Analysis (NSF Grant Nos. DMS-9803791 and DMS-0405343) for its support during the preparation of this book. This research was partially supported by the National Science Foundation under Grant No. DMS-0708039. Finally, I would like to thank Jorge Cham for giving me permission to use some of the quotes from www.phdcomics.com. They are really funny.
- 28. Part 1 Functions of One Variable
- 30. Chapter 1 Monotone Functions Undergradese, I: “Is it going to be an open book exam?” Trans- lation: “I don’t have to actually memorize anything, do I?” — Jorge Cham, www.phdcomics.com In this chapter we study continuity and differentiability properties of mono- tone functions. The central result of this chapter is the Lebesgue differenti- ation theorem. 1.1. Continuity In this section we study regularity properties of monotone functions. Definition 1.1. Let E ⊆ R. A function u : E → R is called (i) increasing if u(x) ≤ u(y) for all x, y ∈ E with x y, (ii) strictly increasing if u(x) u(y) for all x, y ∈ E with x y, (iii) decreasing if u(x) ≥ u(y) for all x, y ∈ E with x y, (iv) strictly decreasing if u(x) u(y) for all x, y ∈ E with x y, (v) monotone if any of the above holds. A monotone function is not continuous in general, so a natural question is how discontinuous it can be. The answer is given by the following theorem. In what follows an interval I ⊆ R is a set of R such that if x, y ∈ I and x y, then [x, y] ⊆ I. Theorem 1.2. Let I ⊆ R be an interval and let u : I → R be a mono- tone function. Then u has at most countably many discontinuity points. Conversely, given a countable set E ⊂ R, there exists a monotone function u : R → R whose set of discontinuity points is exactly E. 3
- 31. 4 1. Monotone Functions We begin with a preliminary result. Given a set X and a function v : X → [0, ∞], the infinite sum of v over X is defined as x∈X v(x) := sup x∈E v(x) : E ⊆ X, E finite . The following lemma shows that every infinite sum which is finite can be written as a series. Lemma 1.3. Given a set X and a function v : X → [0, ∞], if x∈X v(x) ∞, then the set {x ∈ X : v(x) 0} is countable. Moreover, v does not take the value ∞. Proof. Define L := x∈X v(x) ∞. For n ∈ N set Xn := {x ∈ X : v(x) 1/n} and let E be a finite subset of Xn. Then 1 n number of elements of E ≤ x∈E v(x) ≤ L, which shows that E cannot have more than nL elements, where · is the integer part. In turn, Xn has a finite number of elements, and so {x ∈ X : v(x) 0} = n Xn is countable. We turn to the proof of Theorem 1.2. Proof. Step 1: Assume that I = [a, b] and, without loss of generality, that u is increasing. For every x ∈ (a, b) there exist lim y→x+ u(y) =: u+(x), lim y→x− u(y) =: u−(x). Let S(x) := u+(x) − u−(x) ≥ 0 be the jump of u at x. Then u is continuous at x if and only if S(x) = 0. Moreover, since u is increasing, for every a ≤ x1 · · · xn ≤ b, u(a) ≤ u−(x1) ≤ u+(x1) ≤ u−(x2) ≤ u+(x2) ≤ · · · ≤ u−(xn) ≤ u+(xn) ≤ u(b), and so, x∈[a,b] S(x) ≤ u(b) − u(a).
- 32. 1.1. Continuity 5 It now follows by the previous lemma that u has at most countably many discontinuity points. Step 2: If I is an arbitrary interval, construct an increasing sequence of intervals [an, bn] such that I = n[an, bn]. Since the union of countable sets is countable and on each interval [an, bn], the set of discontinuity points of u is at most countable; by the previous step it follows that the set of discontinuity points of u in I is at most countable. Step 3: Conversely, let E ⊂ I be a countable set. If E is finite, then an increasing function with discontinuity set E may be constructed by hand. Consider now the more interesting case in which E is denumerable, so that E = {xn : n ∈ N}. For each n ∈ N define the increasing function un : R → R as un(x) := −1/n2 if x xn, 1/n2 if x ≥ xn. Note that un is discontinuous only at the point xn. Set u(x) := ∞ n=1 un(x), x ∈ R. Since |un(x)| ≤ 1/n2 for all x ∈ R, the series of functions is uniformly convergent, and so it is continuous at every point at which all the functions un are continuous. In particular, u is continuous in R E. We now prove that u is discontinuous at every point of E. Indeed, for every m ∈ N write u = um + n=m un. Then n=m un is continuous at xm while um is not. Hence, u is discontinu- ous at each x ∈ E. To conclude, observe that u is increasing, since it is the pointwise limit of a sequence of increasing functions. By taking E := Q, we obtain the following result. Corollary 1.4. There exists an increasing function u : R → R that is continuous at all irrational points and discontinuous at all rational points. Definition 1.5. Given an interval I ⊆ R, an increasing function u : I → R is called an increasing saltus or jump function if for every [a, b] ⊆ I it can be written in the form u(x) = c + n∈E un(x), x ∈ [a, b],
- 33. 6 1. Monotone Functions where E ⊆ N, c ∈ R, and un(x) = ⎧ ⎨ ⎩ 0 if x an, bn if x = an, cn if x an, with an ∈ [a, b] and 0 ≤ bn ≤ cn, with at least one of the two inequalities strict, for all n ∈ E. Exercise 1.6 (The jump function). Let I ⊆ R be an interval and let u : I → R be increasing. For each x ∈ I define uJ(x) := y∈I, yx (u+(y) − u−(y)) + u(x) − u−(x), where u−(inf I) := u(inf I) if inf I ∈ I and u+(sup I) := u(sup I) if sup I ∈ I. Prove that uJ is a jump function, that uJ and u − uJ are increasing, and that u − uJ is continuous. The function uJ is called the jump function of u. Exercise 1.7. Let I ⊆ R be an interval and let x0 ∈ I. Prove that every increasing function u : I → R can be written uniquely as the sum of an increasing jump function v : I → R and of an increasing continuous function w : I → R with w(x0) = 0. We conclude this section by studying the continuity of the inverse of an increasing function. Theorem 1.8 (Inverse of an increasing function). Let I ⊂ R be an interval bounded from below, let u : I → R be an increasing function, let J ⊆ R be the smallest interval that contains u(I), and let v : J → R be the function defined by (see Figure 1) (1.1) v(y) := inf{x ∈ I : u(x) ≥ y}, y ∈ J. Then (i) v is increasing and left continuous, (ii) v jumps at some point y0 ∈ J {supI u} if and only if u(x) ≡ y0 for all x in some interval (x1, x2) ⊆ I, with x1 x2, (iii) v(u(x)) ≤ x for every x ∈ I, with the strict inequality holding if and only if u is constant on some interval [x1, x] ⊆ I, with x1 x, (iv) v(y) ≡ x0 for all y in some interval (y1, y2) ⊆ J, with y1 y2, and for some x0 ∈ I◦ if and only if u jumps at x0 and (y1, y2) ⊆ (u−(x0), u+(x0)). In particular, if the function u is strictly increasing, then v is a left inverse of u and is continuous.
- 34. 1.1. Continuity 7 y d c y=u(x) a b x x y b a x=v(y) c d Figure 1. The graphs of u and its generalized inverse v. Proof. We begin by observing that if u is constant, then u(I) is a singleton and there is not much to prove. Thus, in what follows we assume that u is not constant. (i) If y1, y2 ∈ J, with y1 ≤ y2, then {x ∈ I : u(x) ≥ y2} ⊆ {x ∈ I : u(x) ≥ y1}, and so v(y1) = inf{x ∈ I : u(x) ≥ y1} ≤ inf{x ∈ I : u(x) ≥ y2} = v(y2), which shows that v is increasing. To prove that v is left continuous, fix y0 ∈ J, with y0 inf J. If v(y) = v(y0) for all y ∈ J with y y0, then there is nothing to prove. Thus assume that there is y1 ∈ J with y1 y0 and v(y1) v(y0). Let 0 ε v(y0)−v(y1) and fix x0 ∈ [v(y0)−ε, v(y0)). Then u(x0) y0 by the definition of v(y0). Hence, if y ∈ (u(x0), y0), we have that u(x) ≤ u(x0) y for all x ∈ I with x x0, since u is increasing, and so v(y) = inf{x ∈ I : u(x) ≥ y} ≥ x0 ≥ v(y0) − ε, which shows that v is left continuous at y0.
- 35. 8 1. Monotone Functions (ii) Assume that v(y0) v+(y0) for some y0 ∈ J, with y0 sup J = supI u. By the definition of v(y0) and the fact that u is increasing, we have that u(x) ≥ y0 for all x v(y0). On the other hand, if v(y0) x v+(y0), then, since v is increasing, v(y) x for all y y0, and so u(x) y for all y y0, which implies that u(x) ≤ y0. Thus, u(x) ≡ y0 for all x ∈ (v(y0), v+(y0)). Conversely, assume that u(x) ≡ y0 for all x in some interval (x1, x2) ⊆ I, with x1 x2 and y0 sup J = supI u. Then v(y0) ≤ x1, by the definition of v(y0). On the other hand, if y ∈ (y0, sup J), then for every x ∈ (x1, x2), we have that u(x) = y0 y, and so v(y) ≥ x by the definition of v(y). Letting x → x+ 2 , we get that v(y) ≥ x2 for all y ∈ (y0, sup J). In particular, v+(y0) ≥ x2. Thus, we have shown that v(y0) ≤ x1 x2 ≤ v+(y0). (iii) Taking y = u(x) in the definition of v(y), yields v(u(x)) ≤ x. If v(u(x0)) x0 for some x0 ∈ I, then there exists x ∈ I, with x x0, such that u(x) ≥ u(x0), but since u is increasing, it follows that u ≡ u(x0) in [x, x0]. Conversely, if u ≡const. in some interval [x, x0] ⊆ I, then v(u(x0)) ≤ x x0. (iv) Assume that v ≡ x0 ∈ I◦ in some interval (y1, y2) ⊆ J, with y1 y2. If x ∈ I with x x0, then u(x) ≥ y for all y ∈ (y1, y2) by the definition of v(y). Letting y → y− 2 , we get that u(x) ≥ y2, and so u+(x0) ≥ y2. On the other hand, if x ∈ I with x x0, then u(x) y for all y ∈ (y1, y2) by the definition of v(y). Letting y → y+ 1 , we get that u(x) ≤ y1, and so u−(x0) ≤ y1. Conversely, let y ∈ (u−(x0), u+(x0)). If x x0, then u(x) y, and so v(y) ≥ x0. On the other hand, since u and v are increasing and by part (iii), for every x ∈ I with x x0, x0 ≤ v(y) ≤ v(u+(x0)) ≤ v(u(x)) ≤ x. Letting x → x+ 0 , we get that v(y) = x0 for all y ∈ (u−(x0), u+(x0)). Finally, assume that u is strictly increasing. Then by parts (i) and (ii) the function v is continuous. By part (iii), v(u(x)) = x for every x ∈ I, which proves that v is a left inverse of u. This concludes the proof. Remark 1.9. The fact that I is bounded from below is used to guarantee that the function v does not take the value −∞. Thus, (a modified version of) the previous theorem continues to hold if I is unbounded from below, provided the function v is allowed to take the value −∞. We leave the details as an exercise. Exercise 1.10. Let I = [a, b], let u : [a, b] → R be increasing and left con- tinuous, and let v : [u(a), u(b)] → R be defined as in the previous theorem.
- 36. 1.2. Differentiability 9 Prove that u(x) = inf{y ∈ [u(a), u(b)] : v(y) ≥ x}, x ∈ [a, b]. Remark 1.11. The previous theorem continues to hold if u is decreasing, with the only changes being that I is assumed to be bounded from above, the function v : J → R is now defined by v(y) := inf{x ∈ I : u(x) ≤ y}, that in part (i) one should replace increasing and left continuous with de- creasing and right continuous, that in part (ii) one should take J {infI u} in place of J {supI u}, and that in part (iv) the interval (u−(x0), u+(x0)) should be replaced by (u+(x0), u−(x0)). 1.2. Differentiability We now study the differentiability of monotone functions. Definition 1.12. Let E ⊆ R and let x0 ∈ E be an accumulation point of E. Given a function u : E → R, if there exists in [−∞, ∞] the limit lim x→x0 u(x) − u(x0) x − x0 , then the limit is called the derivative of u at x0 and is denoted u(x0) or du dx (x0). The function u is differentiable at x0 if u(x0) exists in R. The central theorem of this section is Lebesgue’s theorem, which shows that a monotone function is differentiable everywhere except possibly on a set of Lebesgue measure zero. Note that this result relies strongly on mono- tonicity. Indeed, most (continuous) functions are nowhere differentiable. A classical example is due to Weierstrass and is given by (1.2) u(x) := ∞ n=0 an cos(bn πx), x ∈ R, where 0 a 1 and b ∈ N is an odd integer such that ab 1 + 3 2 π (see [108]). In Theorem 1.15 below we present a simpler example. Definition 1.13. Given two metric spaces (X, dX) and (Y, dY ) and E ⊆ X, a function u : E → Y is (i) Lipschitz continuous if Lip(u; E) = sup x, y∈E, x=y dY (u(x), u(y)) dX(x, y) ∞,
- 37. 10 1. Monotone Functions (ii) Hölder continuous of exponent α 0 if |u|C0,α := sup x, y∈E, x=y dY (u(x), u(y)) (dX(x, y))α ∞. The number Lip(u; E) is called the Lipschitz constant of u. We usually write Lip u in place of Lip(u; E), whenever the underlying set is clear. Exercise 1.14. Let I ⊆ R be an interval and let u : I → R be Hölder continuous of exponent α 1. Prove that u is constant. Theorem 1.15. Let v(x) = |x| for x ∈ [−1, 1] and extend v to R as a periodic function of period 2. Then the function (1.3) u(x) = ∞ n=1 (3 4)n v(4n x), x ∈ R, is real-valued, continuous, and nowhere differentiable. Proof. Let vn(x) = (3 4)nv(4nx), x ∈ R. Since v is periodic, supy∈R |v(y)| = supy∈[−1,1] |v(y)| = 1, and so |vn(x)| ≤ (3 4)n. It follows that the series of functions converges uniformly to a continuous bounded function u. Next we prove that u is nowhere differentiable. Fix x ∈ R. We are going to construct a sequence hm → 0 such that u(x+hm)−u(x) hm → ∞ as m → ∞. We take hm = ±1 2 1 4m , where the sign is chosen in such a way that in the open interval of endpoints 4mx and 4m(x + hm) there is no integer. Let’s prove that we can always do this. We have 4m(x+ 1 2 1 4m )−4m(x− 1 2 1 4m ) = 1. If both 4m(x + 1 2 1 4m ) and 4m(x − 1 2 1 4m ) are integers, then in the interval (4m(x − 1 2 1 4m ), 4m(x + 1 2 1 4m )) there is no integer and so we can take the sign of hm as we like. If 4m(x + 1 2 1 4m ) and 4m(x − 1 2 1 4m ) are not both integers, then in the interval (4m(x− 1 2 1 4m ), 4m(x+ 1 2 1 4m )) there is exactly one integer. If this integer is 4mx, then we take the sign of hm as we like. If the integer is in (4m(x − 1 2 1 4m ), 4mx), then we take hm = 1 2 1 4m , while if the integer is in (4mx, 4m(x + 1 2 1 4m )), then we take hm = −1 2 1 4m . We now study vn(x + hm) − vn(x) hm = (3 4)nv(4n(x + hm)) − (3 4)nv(4nx) hm (1.4) = (3 4)n v(4nx ± 1 24n−m) − v(4nx) ±1 2 1 4m . If n m, then 1 24n−m is an even integer and so by the periodicity of v the difference quotient is zero. If n = m, then since by construction in the open interval of endpoints 4mx and 4m(x + hm) there is no integer, we have that
- 38. 1.2. Differentiability 11 the points (x + hm, v(4m(x + hm))) and (x, v(4mx)) lie in the same line of the graph of v with slope either 1 or −1. Hence by (1.4), (1.5) |vm(x + hm) − vm(x)| |hm| = (3 4 )m 4m|hm| |hm| = 3m . Finally, if n m, then using the fact that v is Lipschitz continuous with Lipschitz constant 1, we get (1.6) |vn(x + hm) − vn(x)| |hm| ≤ (3 4)n 4n|hm| |hm| = 3n . Hence, u(x + hm) − u(x) hm = m n=1 vn(x + hm) − vn(x) hm and using the inequality |a + b| ≥ |b| − |a|, (1.5), and (1.6), we get u(x + hm) − u(x) hm = vm(x + hm) − vm(x) hm + m−1 n=1 vn(x + hm) − vn(x) hm ≥ vm(x + hm) − vm(x) hm − m−1 n=1 vm(x + hm) − vm(x) hm ≥ 3m − m−1 n=1 3n = 3m − 1 2 3m + 3 2 = 1 23m + 3 2 → ∞ as m → ∞. This concludes the proof. Exercise 1.16. Study the Hölder continuity of the function u in (1.3). Remark 1.17. It is actually possible to construct a continuous function u : (−1, 1) → R such that lim inf h→0+ u(x + h) − u(x) h lim sup h→0+ u(x + h) − u(x) h = ∞ for all x ∈ (−1, 1) (see [177]). In contrast to Theorem 1.15, a monotone function is differentiable ev- erywhere except possibly on a set of Lebesgue measure zero. Note that this result implies, in particular, that the Weierstrass function and the function u in (1.3) are monotone on no interval. Theorem 1.18 (Lebesgue). Let I ⊆ R be an interval and let u : I → R be a monotone function. Then there exists a set E ⊂ R, with L1(E) = 0, such that u is everywhere differentiable on I E.
- 39. 12 1. Monotone Functions We recall that the Lebesgue outer measure of a set E ⊆ R is defined as L1 o(E) := inf ∞ n=1 (bn − an) : E ⊆ ∞ n=1 (an, bn) . The proof will use the following properties of the outer measure L1 o (see Proposition C.4): (L1) If {En}n∈N is a sequence of subsets of R, then L1 o ∞ n=1 En ≤ ∞ n=1 L1 o(En). (L2) If {En}n∈N is a sequence of subsets of R, with En ⊆ En+1 for every n, then lim n→∞ L1 o(En) = L1 o ∞ n=1 En . (L3) If E ⊆ R, then L1 o(E) = inf{L1 o(U) : U open , E ⊆ U}. (L4) If I1, . . . , Im are disjoint intervals, then L1 o(I1 ∪ · · · ∪ Im) = m n=1 length In. We begin with some auxiliary results. Lemma 1.19. Let E ⊂ R be a bounded set and let F be a family of open intervals with the property that each x ∈ E is the left endpoint of an in- terval (x, x + hx) in F. Then for every ε 0 there exist disjoint intervals I1, . . . , In ∈ F and a set F ⊆ E ∩ n k=1 Ik such that L1 o(F) ≥ L1 o(E) − ε. Proof. Define En := {x ∈ E : hx 1/n}. Then En ⊆ En+1 and ∞ n=1 En = E. By property (L2), L1 o(En) → L1 o(E) as n → ∞. Hence we can find m ∈ N so large that L1 o(Em) L1 o(E) − ε 2. Let a1 := inf Em, b1 := sup Em, and let := b1 − a1 0. Given η = ε 2(m + 1) , by the definition of infimum we can find x1 ∈ Em with a1 x1 a1 + η. By the definition of Em there exists an interval I1 = (x1, x1 +h1) in F, with h1 1/m. If x1 + h1 ≥ b1, then we can take F = Em ∩ (x1, x1 + h1).
- 40. 1.2. Differentiability 13 If x1 + h1 b1, let a2 := inf{x ∈ Em : x ≥ x1 + h1}. Then by the definition of infimum we can find x2 ∈ Em with a2 x2 a2+η. By the definition of Em there exists an interval I2 = (x2, x2 +h2) in F, with h2 1/m. If x2 + h2 ≥ b1, we stop, while if x2 + h2 b1 we define a3 := inf{x ∈ Em : x ≥ x2 + h2}. We continue in this way constructing intervals Ik until xk + hk b1. Since each interval Ik has length larger than 1 m , we have that we will find at most n intervals with n m + 1. Let S := n k=1 Ik, T := n k=1 (xk − η, xk]. Then x1 − η ≤ a1 = inf Em and so Em ⊆ S ∪ T. Moreover, the intervals Ik are disjoint by construction. Now by property (L1), L1 o(E) − ε 2 L1 o(Em) ≤ L1 o(Em ∩ S) + L1 o(Em ∩ T) ≤ L1 o(Em ∩ S) + L1 o(T) ≤ L1 o(Em ∩ S) + n k=1 L1 o((xk − η, xk]) = L1 o(Em ∩ S) + nη ≤ L1 o(Em ∩ S) + ε 2, and so Em ∩ S has the desired property. Lemma 1.20. Let E ⊂ R be a bounded set and let F be a family of open intervals with the property that each x ∈ E is the left endpoint of an interval (x, x + hx) in F with hx arbitrarily small (that is, for every η 0 there is at least one interval with hx η). Then for every ε 0 there exist disjoint intervals I1, . . . , In ∈ F and a set F ⊆ E ∩ n k=1 Ik such that L1 o(F) ≥ L1 o(E) − ε, n k=1 length Ik ≤ L1 o(E) + ε. Proof. By property (L3) there exists an open set U ⊇ E such that L1 o(U) ≤ L1 o(E) + ε. Let F be the subfamily of intervals (x, x + hx) in F contained in U. Note that for each x ∈ E ⊆ U there must exist at least one such interval, since U contains a ball centered at x and there are intervals of arbitrarily small length.
- 41. 14 1. Monotone Functions Apply Lemma 1.19 to the family F to find disjoint intervals I1, . . . , In ∈ F and a set F ⊆ E ∩ n k=1 Ik such that L1 o(F) ≥ L1 o(E) − ε. Since the intervals are disjoint and contained in U, it follows from properties (L1) and (L4) that n k=1 length Ik ≤ L1 o(U) ≤ L1 o(E) + ε. This concludes the proof. Given a set E ⊆ R and function u : E → R, for every x0 ∈ E such that x0 is an accumulation point for the sets E ∩ (−∞, x0) and E ∩ (x0, ∞), the four Dini’s derivatives of u are given by D−u(x0) := lim sup x→x− 0 u(x) − u(x0) x − x0 , D+u(x0) := lim sup x→x+ 0 u(x) − u(x0) x − x0 , D−u(x0) := lim inf x→x− 0 u(x) − u(x0) x − x0 , D+u(x0) := lim inf x→x+ 0 u(x) − u(x0) x − x0 . We now turn to the proof of Lebesgue’s differentiation theorem. Proof. Step 1: Assume that u is increasing and that I is bounded and let E := {x ∈ I◦ : D+u(x) D+u(x)}. We claim that E has Lebesgue measure zero. To see this we write E as a countable union of sets E = r,s∈Q, 0rs Er,s, Er,s := {x ∈ E : D+u(x) r s D+u(x)}. It is enough to prove that each set Er,s has Lebesgue measure zero. Since D+u(x) r for each x ∈ Er,s, we can find an open interval (x, x+h), where h 0 is arbitrarily small and such that (1.7) u(x + h) − u(x) h r. Let F be the family of all such intervals. By Lemma 1.20 for every ε 0 there exist disjoint intervals I1, . . . , In ∈ F and a set Fr,s ⊆ Er,s ∩ n k=1 Ik
- 42. 1.2. Differentiability 15 such that (1.8) L1 o(Fr,s) ≥ L1 o(Er,s) − ε, n k=1 length Ik ≤ L1 o(Er,s) + ε. Write Ik = (xk, xk + hk). Then by (1.7) and (1.8), (1.9) n k=1 u(xk + hk) − u(xk) r n k=1 hk ≤ rL1 o(Er,s) + rε. Let V := n k=1 Ik. Note that V is open. Since Fr,s ⊆ Er,s ∩ V , we have that D+u(x) s for each x ∈ Fr,s, and so we can find an open interval (x, x + t) ⊆ V , where t 0 is arbitrarily small and such that (1.10) u(x + t) − u(x) t s. Let G be the family of all such intervals. By Lemma 1.20 for every ε 0 there exist disjoint intervals J1, . . . , Jm ∈ G and a set (1.11) Gr,s ⊆ Fr,s ∩ m i=1 Ji such that (1.12) L1 o(Gr,s) ≥ L1 o(Fr,s) − ε. Write Ji = (yi, yi + ti). Then by (1.8), (1.10), (1.11), and (1.12), m i=1 u(yi + ti) − u(yi) s m i=1 ti ≥ sL1 o(Gr,s) (1.13) ≥ sL1 o(Fr,s) − sε ≥ sL1 o(Er,s) − 2sε. But since each Ji is contained in V = n k=1 Ik, and since the intervals Ik are disjoint, it follows that each interval Ji is contained in some interval Ik. Since u is increasing it follows that m i=1 u(yi + ti) − u(yi) ≤ n k=1 u(xk + hk) − u(xk). Combining this inequality with (1.9) and (1.13) gives sL1 o(Er,s) − 2sε m i=1 u(yi + ti) − u(yi) ≤ n k=1 u(xk + hk) − u(xk) rL1 o(Er,s) + rε, that is, (s − r)L1 o(Er,s) 2sε + rε. Since s − r 0, letting ε → 0+ we conclude that L1 o(Er,s) = 0.
- 43. 16 1. Monotone Functions Hence, we have shown that L1 o(E) = 0. It follows that for all x ∈ I◦ E there exists the right derivative u +(x) (possibly infinite). With a similar proof we can show that the left derivative exists (possibly infinite) for all x ∈ I◦ except for a set of Lebesgue measure zero. Step 2: Let E∞ := {x ∈ I◦ : u +(x) = ∞}. We leave as an exercise to prove that L1 o(E∞) = 0. Step 3: If I is an arbitrary interval, construct an increasing sequence of intervals [an, bn] such that I = n[an, bn]. Since the union of sets of Lebesgue outer measure zero still has Lebesgue outer measure zero and since on each interval [an, bn] the set of points in which u is not differentiable has Lebesgue outer measure zero by the previous step, it follows that the set of points of I in which u is not differentiable has Lebesgue outer measure zero. The proof is concluded by the following exercise. Exercise 1.21. Let I ⊆ R be an interval and let u, v : I → R. (i) Prove that the set of x ∈ I◦ such that there is ε 0 such that v(y) v(x) for all y ∈ I ∩ (x − ε, x + ε), y = x, is countable. (ii) Prove that the sets {x ∈ I◦ : D+u(x) D−u(x)} and {x ∈ I◦ : D−u(x) D+u(x)} are countable. Hint: Apply part (i) to the function v(x) = u(x)−rx to prove that the set {x ∈ I◦ : D−u(x) r D+u(x)} is countable. (iii) Prove that the set {x ∈ I◦ : u +(x) = u −(x)} is countable. Exercise 1.22. Let I ⊆ R be an interval and let u : I → R be continuous in I and differentiable for all x ∈ I except at most a countable set E. (i) Prove that if u(x) 0 for all x ∈ I E, then u is strictly increasing. Hint: If u(b) u(a), let u(b) t u(a) with t / ∈ u(E) and consider the set {x ∈ [a, b] : u(x) = t}. (ii) Prove that if u(x) ≥ 0 for all x ∈ I E, then u is increasing. The next theorem shows that Lebesgue’s differentiation theorem is sharp, to be precise, that there exist monotone functions that are not differentiable on sets of Lebesgue measure zero. Theorem 1.23. For every set E ⊂ R of Lebesgue (outer) measure zero there exists a continuous increasing function that is not differentiable at every point of E.
- 44. 1.2. Differentiability 17 Proof. Since L1 o(E) = 0, for every l ∈ N we may cover E with a countable family of open intervals {(al,m, bl,m)}m such that (1.14) ∞ m=1 (bl,m − al,m) ≤ 1 2l . Let I := {(al,m, bl,m)}l,m = {In}n, with In = (an, bn). Note that by (1.14), (1.15) ∞ n=1 (bn − an) ≤ 1. Moreover, for every x ∈ E we may find infinitely many In such that x ∈ In. For each n ∈ N define the continuous increasing function un : R → [0, ∞) as follows: un(x) := ⎧ ⎨ ⎩ 0 if x an, x − an if an ≤ x ≤ bn, bn − an if x bn. Note that 0 ≤ un(x) ≤ bn − an for all x ∈ R. Set (1.16) u(x) := ∞ n=1 un(x), x ∈ R. Then for all x ∈ R and l ∈ N, 0 ≤ u(x) − l n=1 un(x) ≤ ∞ n=l+1 (bn − an), and so the series of functions is uniformly convergent by (1.15). In partic- ular, this implies that u is continuous. Since each un is nonnegative and increasing, it follows that u has the same properties. It remains to show that u is not differentiable in E. Thus, fix x0 ∈ E and l ∈ N. By the way we constructed the sequence I, we may find l positive integers n1 n2 · · · nl such that x0 ∈ Ini for all i = 1, . . . , l. Let x ∈ In1 ∩ · · · ∩ Inl , x = x0. Since each un is increasing, the difference quotient is nonnegative, and so u(x) − u(x0) x − x0 ≥ l i=1 uni (x) − uni (x0) x − x0 = l i=1 x − ani − (x0 − ani ) x − x0 = l. It follows that lim sup x→x0 u(x) − u(x0) x − x0 ≥ l for every l ∈ N. Hence, lim sup x→x0 u(x) − u(x0) x − x0 = ∞, which implies that u is not differentiable at x0.
- 45. 18 1. Monotone Functions Remark 1.24. Note that the set of points at which the increasing function u (defined in (1.16)) is not differentiable contains the set E, but in general it may be larger. To the author’s knowledge an exact characterization of the class of sets that are sets of nondifferentiability for increasing functions is still an open problem (see Exercise 1.29 below for some properties of this set). We refer to [37] and [237] for more information on this subject. As a simple consequence of Lebesgue’s theorem we obtain that the de- rivative of a monotone function is always locally Lebesgue integrable. Corollary 1.25. Let I ⊆ R be an interval and let u : I → R be a monotone function. Then u is a Lebesgue measurable function and for every [a, b] ⊆ I, (1.17) b a |u (x)| dx ≤ |u(b) − u(a)|. Moreover, if u is bounded, then u is Lebesgue integrable and (1.18) I |u (x)| dx ≤ sup I u − inf I u. Proof. Assume that u is increasing, fix [a, b] ⊆ I, and let (1.19) v(x) := u(x) if x ≤ b, u(b) if x ≥ b. Let E := {x ∈ [a, b] : v is not differentiable at x}. By Lebesgue’s theorem, L1(E) = 0. Moreover, (1.20) v (x) = u (x) for all x ∈ (a, b) E. Since v is increasing, we have that v(x) ≥ 0 for all x ∈ [a, b] E and v (x) = lim n→∞ v(x + 1/n) − v(x) 1/n . By Theorem 1.2 the nonnegative functions, wn(x) := v(x + 1/n) − v(x) 1/n , x ∈ [a, b], are continuous except for a countable set, and so they are Borel measurable functions. Hence, v : [a, b] E → [0, ∞) is a Lebesgue measurable function. Since v is increasing, by (1.19) for every h 0 we have 1 h b a [v(x + h) − v(x)] dx = 1 h b+h b v(x) dx − a+h a v(x) dx (1.21) ≤ 1 h {(u(b) − u(a))h} = u(b) − u(a).
- 46. 1.2. Differentiability 19 Taking h := 1/n, it follows from Fatou’s lemma, (1.20), and (1.21) that 0 ≤ b a u (x) dx = b a v (x) dx ≤ lim inf n→∞ n b a [v(x + 1/n) − v(x)] dx ≤ u(b) − u(a). This concludes the proof of the first part. Assume next that u is bounded and construct an increasing sequence of intervals [an, bn] such that I = n[an, bn]. By the previous part, 0 ≤ bn an u (x) dx ≤ u(bn) − u(an) ≤ sup I u − inf I u, and so, letting n → ∞ and using the Lebesgue monotone convergence the- orem, we obtain (1.18). Remark 1.26. In Exercise 1.29 below we will show that u is actually a Borel function. Exercise 1.27. Prove that if equality holds in (1.17) (respectively, in (1.18)), then u is continuous in [a, b], (respectively, in I). Using the previous corollary, we obtain the following result. We will see its usefulness for functions of bounded pointwise variation in Corollary 2.51. Corollary 1.28. Let I ⊆ R be an interval, let u : I → R be a monotone function, and let h 0. Then for every [a, b] ⊆ I, with b − a ≥ h, (1.22) 1 h b−h a |u(x + h) − u(x)| dx ≤ |u(b) − u(a)|. Moreover, if u is bounded, then (1.23) 1 h Ih |u(x + h) − u(x)| dx ≤ sup I u − inf I u, where Ih := {x ∈ I : x + h ∈ I}. Proof. Assume that u is increasing, fix [a, b] ⊆ I, with b − a ≥ h, and let v be defined as in (1.19). Then by (1.21), 1 h b−h a [u(x + h) − u(x)] dx ≤ 1 h b a [v(x + h) − v(x)] dx ≤ u(b) − u(a). Assume next that u is bounded and construct an increasing sequence of intervals [an, bn] such that I = n[an, bn]. Then 0 ≤ 1 h bn−h an [u(x + h) − u(x)] dx ≤ u(bn) − u(an) ≤ sup I u − inf I u,
- 47. 20 1. Monotone Functions and so, letting n → ∞ and using the Lebesgue monotone convergence the- orem, we obtain (1.23). In Corollary 1.25 we have shown that the derivative of a monotone func- tion is Lebesgue measurable. The next exercise shows that the derivative of an arbitrary function is actually Borel measurable. We recall that a set E ⊆ R is called an Fσ set if it is a countable union of closed sets, a Gδ set if it is a countable intersection of open sets. Exercise 1.29. Let I ⊆ R be an open interval, let u : I → R be an arbitrary function, and let E := {x ∈ I : u is continuous at x}, F := {x ∈ I : u is differentiable at x}. Prove that (i) for each n ∈ N the set Un := {x ∈ I : there is δ 0 such that (x − δ, x + δ) ⊆ I and if y, z ∈ (x − δ, x + δ), then |u(y) − u(z)| 1/n} is open, (ii) the set E is a Gδ set, (iii) for each ε 0, δ 0 the set Uε,δ := {x ∈ E : there is y ∈ I such that 0 |x − y| δ and u(y)−u(x) y−x ε} is a relatively open subset of E, that is, the intersection of E with an open set, (iv) {x ∈ E : Du(x) 0} = ε0, ε∈Q δ0, δ∈Q Uε,δ, where Du(x) := lim sup y→x u(y) − u(x) y − x , (v) the sets {x ∈ E : Du(x) α}, {x ∈ E : Du(x) α} are Borel sets for every α ∈ R, where Du(x) := lim inf y→x u(y) − u(x) y − x , (vi) the set F is a Borel set, (vii) the function v : I → R, defined by v(x) := u(x) if x ∈ F, 0 otherwise, is Borel measurable.
- 48. 1.2. Differentiability 21 Exercise 1.30 (Expansion in base b). Let b ∈ N be such that b ≥ 2 and let x ∈ [0, 1]. (i) Prove that there exists a sequence {an}n of nonnegative integers such that 0 ≤ an b for all n ∈ N and x = ∞ n=1 an bn . Prove that the sequence {an}n is uniquely determined by x, unless x is of the form x = k bm for some k, m ∈ N, in which case there are exactly two such sequences. (ii) Conversely, given a sequence {an}n of nonnegative integers such that 0 ≤ an b for all n ∈ N, prove that the series ∞ n=1 an bn converges to a number x ∈ [0, 1]. The next example shows that the inequality in (1.17) may be strict, and so for continuous monotone functions the fundamental theorem of calculus for Lebesgue integration fails. Example 1.31 (The Cantor function). Divide [0, 1] into three equal subin- tervals, and remove the middle interval I1,1 := (1 3, 2 3). Divide each of the two remaining closed intervals [0, 1 3 ] and [2 3, 1] into three equal subintervals, and remove the middle intervals I1,2 := ( 1 32 , 2 32 ) and I2,2 := ( 7 32 , 8 32 ). Continuing in this fashion, at each step n remove 2n−1 middle intervals I1,n, . . . , I2n−1,n, each of length 1 3n . The Cantor set D is defined as D := [0, 1] ∞ n=1 2n−1 k=1 Ik,n. The set D is closed (since its complement is given by a family of open intervals), and L1 (D) = 1 − ∞ n=1 2n−1 k=1 diam Ik,n = 1 − ∞ n=1 2n−1 k=1 1 3n = 1 − ∞ n=1 2n−1 3n = 0. Thus, D has Lebesgue measure zero. To prove that D is uncountable, observe that x ∈ D if and only if (1.24) x = ∞ n=1 cn 3n , where each cn ∈ {0, 2} (see the previous exercise). For every x ∈ D of the form (1.24) define u(x) := ∞ n=1 dn 2n ,
- 49. 22 1. Monotone Functions 1 3 4 1 2 1 4 1 9 2 9 1 3 2 3 7 9 8 9 1 y x Figure 2. The Cantor function. where dn := 1 if cn = 2, 0 if cn = 0. The function u : D →[0, 1] is well-defined (why?), increasing, continuous, and has the same values at the endpoints of each removed interval Ik,n and thus u extends to a continuous function on [0, 1]. This function is called the Cantor function (see Figure 2). Since u(D) = [0, 1], it follows that D is uncountable. Note also that u(x) = 0 for all x ∈ Ik,n, k, n ∈ N, so that u = 0 except on a set of Lebesgue measure zero. Since u(0) = 0 and u(1) = 1, it follows that the inequality in (1.17) is strict, and so the fundamental theorem of calculus for Lebesgue integration fails. Exercise 1.32. Consider the complete metric space X := {u : [0, 1] → R : u is continuous, u(0) = 0, and u(1) = 1}, where we take the metric induced by supremum norm u∞ := max x∈[0,1] |u(x)|. Consider the operator T : X → X, defined by T(u)(x) := ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 2 u(3x) if 0 ≤ x ≤ 1 3, 1 2 if 1 3 x 2 3, 1 2 + 1 2u(3x − 2) if 2 3 ≤ x ≤ 1. (i) Prove that T is a contraction, to be precise, that T(u1) − T(u2)∞ ≤ 1 2 u1 − u2∞ for all u1, u2 ∈ X. (ii) Prove that the Cantor function is the unique fixed point of T.
- 50. 1.2. Differentiability 23 (iii) Define recursively the sequence of functions u0(x) := x, un+1(x) := T(un)(x), x ∈ [0, 1]. Prove that for all n ∈ N, |un(x1) − un(x2)| ≤ |x1 − x2|α for all x1, x2 ∈ [0, 1], where α := log 2 log 3 . Deduce that the Cantor function u is Hölder continuous with exponent α. (iv) Prove that the exponent α and the constant one are the best pos- sible for the Cantor function u, in the sense that the inequality |u(x1) − u(x2)| ≤ c|x1 − x2|β does not hold for all x1, x2 ∈ [0, 1] if either β α or β = α but c 1. Using the Cantor set, we can construct Lebesgue measurable sets that are not Borel sets. Exercise 1.33 (A non-Borel, Lebesgue measurable set). Consider the func- tion v : [0, 1] → R defined by v(x) := x + u(x), x ∈ [0, 1]. (i) Prove that L1(v(D)) = 1. (ii) Let E ⊆ v(D) be a set that is not Lebesgue measurable (see Exercise C.2 in Appendix C) and consider the set F := v−1(E) ⊆ D. Prove that F is Lebesgue measurable but not a Borel set. We have seen that the Cantor function is increasing with u = 0, L1-a.e. in [0, 1]. It is actually possible to construct strictly increasing continuous functions whose derivative is zero except on a set of Lebesgue measure zero. To prove this result, we will need the following result. Theorem 1.34 (Fubini). Let I ⊆ R be an interval and let {un}n be a sequence of increasing functions, un : I → R. Assume that the series of functions n=1 un converges pointwise in I. Then n=1 un converges uni- formly on compact sets of I, the sum of the series u(x) := ∞ n=1 un(x), x ∈ I, is differentiable L1-a.e. in I, and u (x) = ∞ n=1 u n(x) for L1 -a.e. x ∈ I. Proof. Since the result is local, without loss of generality, we may assume that I = [a, b].
- 51. 24 1. Monotone Functions Step 1: Assume that un(a) = 0 for all n ∈ N so that un ≥ 0. For every l ∈ N set sl := l n=1 un. Then for x ∈ [a, b], 0 ≤ u(x) − sl(x) = ∞ n=l+1 un(x) ≤ ∞ n=l+1 un(b), and so 0 ≤ sup [a,b] |u(x) − sl(x)| ≤ ∞ n=l+1 un(b) → 0 as l → ∞. Hence, the series is uniformly convergent. Since u and sl are increasing, by Lebesgue’s differentiation theorem (Theorem 1.18) they are differentiable L1-a.e. in [a, b], and since the count- able union of sets of Lebesgue zero measure still has Lebesgue measure zero, we may find a Lebesgue measurable set E ⊂ [a, b], with L1(E) = 0, such that u and all the functions sl are everywhere differentiable in [a, b] E. Since the functions sl+1 − sl and u − sl are increasing for all l ∈ N, we have that (sl+1 − sl) ≥ 0 and (u − sl) ≥ 0 in [a, b] E. Hence, 0 ≤ s 1(x) ≤ s 2(x) ≤ · · · ≤ u (x) for all x ∈ [a, b] E, and so there exists lim n→∞ s n(x) ≤ u (x) ∞. In turn, (1.25) lim n→∞ u n(x) = lim n→∞ [s n(x) − s n−1(x)] = 0 for all x ∈ [a, b] E. It remains to show that limn→∞ s n(x) = u(x) for L1-a.e. x ∈ [a, b]. Since limn→∞ s n(x) exists for all x ∈ [a, b] E, it is enough to show this for a subsequence {s nk }k of {s n}n. So let nk ∞ be such that 0 ≤ u(b) − snk (b) ≤ 1 2k and define vk(x) := u(x) − snk (x) ≤ 1 2k . Then vk is increasing and 0 ≤ ∞ k=1 vk(x) ≤ ∞ k=1 1 2k . Hence, we can apply the first part of the proof to the sequence {vk}k to conclude that lim k→∞ v k(x) = 0
- 52. 1.2. Differentiability 25 for L1-a.e. x ∈ [a, b] by (1.25). This completes the proof. Step 2: Write un = un − un(a) + un(a) =: wn + un(a) and apply Step 1 to wn. Exercise 1.35. Let C ⊆ R be a closed set and let u(x) := dist(x, C) = inf{|x − y| : y ∈ C, x ∈ R}. Prove that (i) u is 1-Lipschitz continuous, that is, |u(x) − u(y)| ≤ |x − y| for all x, y ∈ R, (ii) there exists an increasing function v : R → R such that v is con- tinuous and C = {x ∈ R : v (x) = 0}, (iii) if C contains no intervals, then every such v is strictly increasing. Exercise 1.36. Let I ⊆ R be an interval, let u : I → R be an increasing function, and let uJ be the jump function of u. Prove that u J(x) = 0 for L1-a.e. x ∈ I. Theorem 1.37. There exists a strictly increasing continuous function u : R → R whose derivative is zero except on a set of Lebesgue measure zero. Proof. Let v : R → R be the Cantor function extended to be 1 for x ≥ 1 and 0 for x ≤ 0. Consider a countable dense set {an}n in R (e.g., the rational numbers) and define u(x) := ∞ n=1 1 2n v(2n (x − an)), x ∈ R. Since 0 ≤ v ≤ 1, the series of functions converges uniformly to a continuous bounded function. To prove that u is strictly increasing, let x y. By density there exists x am y. Then y − am 0 x − am and so v(2m (y − am)) 0 = v(2m (x − am)), since the Cantor function is positive for x 0, while v(2n(y−an)) ≥ v(2n(x− an)), since v is increasing. It now follows by Fubini’s theorem that v(x) = 0 for L1-a.e. x ∈ R. Exercise 1.38. Let u : [a, b] → R be differentiable at x0 ∈ (a, b) and let xn, yn ∈ (a, b) {x0} be such that xn = yn and xn, yn → x0.
- 53. 26 1. Monotone Functions (i) Prove that if xn x0 yn for all n ∈ N, then lim n→∞ u(yn) − u(xn) yn − xn = u (x0). (ii) Prove that if the condition xn x0 yn is violated, then the limit limn→∞ u(yn)−u(xn) yn−xn may not exist or may be different from u(x0). Exercise 1.39. For each x ∈ (0, 1] find positive integers a0 · · · an · · · such that x = ∞ n=0 1 2an . (see Exercise 1.30). Fix r 0, r = 1. For x = 0 define u(0) := 0, while for each x ∈ (0, 1] define u(x) := ∞ n=0 2n 3an . (i) Prove that u is strictly increasing. (ii) Given x ∈ (0, 1], for every m ∈ N0 let km be the number of sub- scripts n = 0, . . . , m for which an ≤ m. Define xm := km n=0 1 2an , zm := xm + 1 2m . Prove that xm x zm and that u(zm) − u(xm) → 0 as m → ∞. (iii) Prove that u is continuous. (iv) Prove that if u is differentiable at some x ∈ (0, 1], then necessarily u(x) = 0. Hint: Compute u(zm) − u(xm) zm − xm . Exercise 1.40. Let {rn}n be an enumeration of the rationals in [a, b] and define u(x) := ∞ n=1 1 2n (x − rn)1/3 , x ∈ [a, b]. (i) Prove that u is continuous and strictly increasing. (ii) Prove that if the series 1 3 ∞ n=1 1 2n 1 (x − rn)2/3 converges, then there exists u (x) = 1 3 ∞ n=1 1 2n 1 (x − rn)2/3 .
- 54. 1.2. Differentiability 27 (iii) Prove that at all other points there exists u(x) = ∞. (iv) Let u([a, b]) = [α, β]. Prove that the inverse of u−1 : [α, β] → R is differentiable at every point and the set {x ∈ [α, β] : (u−1)(x) = 0} is dense in [α, β].
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- 59. The Project Gutenberg eBook of Deutschland und Armenien, 1914-1918: Sammlung diplomatischer Aktenstücke
- 60. This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States and most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook. Title: Deutschland und Armenien, 1914-1918: Sammlung diplomatischer Aktenstücke Editor: Johannes Lepsius Release date: October 21, 2018 [eBook #58144] Language: German Credits: Produced by Heiko Evermann, Reiner Ruf, and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This book was produced from scanned images of public domain material from the Google Books project.) *** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK DEUTSCHLAND UND ARMENIEN, 1914-1918: SAMMLUNG DIPLOMATISCHER AKTENSTÜCKE ***
- 61. Anmerkungen zur Transkription Der vorliegende Text wurde anhand der 1919 erschienenen Buchausgabe so weit wie möglich originalgetreu wiedergegeben. Typographische Fehler wurden stillschweigend korrigiert. Die in diesem Buch wiedergegebenen Dokumente wurden von einer Vielzahl verschiedener Autoren verfasst; dementsprechend weicht die Schreibweise einzelner Begriffe, vornehmlich Personen- und Ortsnamen, teilweise stark voneinander ab. Die Schreibweisen wurden innerhalb eines Dokuments nach Möglichkeit harmonisiert, ansonsten aber so belassen wie im Original. Fremdsprachliche Zitate wurden nicht korrigiert, sofern die Verständlichkeit des Texts nicht beeinträchtigt wird. Ungewöhnliche Wortformen, insbesondere bei ‚eingedeutschten‘ Wörtern, wurden beibehalten. Ein Übertrag in der Tabelle auf S. 297 (‚Väter der Kinder‘) beruht auf einer Unterbrechung, die dem zweispaltigem Layout im Original zugrunde liegt. In der vorliegende Ausgabe fällt diese Unterbrechung aber weg, so dass die Zeile, die ursprünglich den Übertrag enthielt, nun als überflüssig entfernt wurde. In den Registern der Personen- und Ortsnamen wurde in der gedruckten Fassung nicht zwischen den Namen mit den Anfangsbuchstaben ‚I‘ und ‚J‘ unterschieden. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wurden diese Namen in der vorliegenden elektronischen Fassung getrennt aufgeführt.
- 63. DEUTSCHLAND UND ARMENIEN 1914–1918 SAMMLUNG DIPLOMATISCHER AKTENSTÜCKE HERAUSGEGEBEN UND EINGELEITET VON DR. JOHANNES LEPSIUS
- 65. Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung, vorbehalten. Copyright by Tempelverlag zu Potsdam 1919.
- 66. Vorwort. Als ich Ende November vorigen Jahres nach zweieinhalbjährigem Aufenthalt in Holland aus dem Haag nach Berlin zurückkehrte, suchte ich am 1. Dezember den Staatssekretär Herrn Dr. Solf im Auswärtigen Amt auf. Ich bat ihn, mir Einblick zu geben in die Akten des Auswärtigen Amtes, die über die Armenische Frage und ihre Behandlung seitens der deutschen Regierung während der Kriegsjahre Aufschluß geben. Der Anlaß meiner Bitte war der folgende. Auf Grund von Quellen, die mir im Sommer 1915 auf einer Reise nach Konstantinopel durch persönliche Beziehungen zugänglich geworden waren, hatte ich im Jahre 1916 einen „Bericht über die Lage des armenischen Volkes in der Türkei“ herausgegeben[1]. Eine Verbreitung durch den Buchhandel oder auch nur eine Verwertung der Tatsachen, die er enthüllte, in der Presse war damals nicht möglich. Die Zensur hätte das Buch beschlagnahmt; der Presse war durch offizielle Instruktionen Schweigepflicht über die Armeniergreuel auferlegt. Ich konnte daher meinen „Bericht“ nur vertraulich versenden. Die Zensur ist erst auf ihn aufmerksam geworden, nachdem 20000 Exemplare in Deutschland verbreitet worden waren. Die weitere Drucklegung und Verbreitung wurde verboten. Seit der Revolution stand dem Neudruck und dem Vertrieb durch den Buchhandel nichts mehr im Wege. Für die Neuausgabe lag mir zweierlei am Herzen, erstens mein damaliges Quellenmaterial an den mir bis dahin unzugänglichen deutschen Botschafts- und Konsularberichten nachzuprüfen und zweitens mir ein Urteil zu bilden über die
- 67. Stellungnahme der deutschen Diplomatie gegenüber den Vorgängen in der Türkei. Herr Dr. Solf erklärte sich sogleich bereit, mir den gewünschten Einblick in die Akten zu gewähren und erteilte mir die Erlaubnis, davon für meine Publikation Gebrauch zu machen. Er erwähnte dabei, daß das Amt selbst die Absicht habe, ein Weißbuch über die Armenische Frage herauszugeben. Am nächsten Tage unterzog ich die Akten einer flüchtigen Durchsicht und überzeugte mich, daß eine Verwertung einzelner Aktenstücke nicht ausreichen würde, um die Haltung Deutschlands gegenüber den Vorgängen in der Türkei klarzustellen, sondern daß es dazu einer umfangreichen Publikation bedürfe. Noch am gleichen Tage ließ mir Herr Dr. Solf sagen, daß er von der Veröffentlichung eines Weißbuches absehen würde, wenn ich selbst die Aufgabe übernehmen würde, die Haltung Deutschlands in der Armenischen Frage auf Grund des Aktenmaterials klarzustellen. Ich nahm das Anerbieten an unter der Bedingung, 1. daß mir das Aktenmaterial des Auswärtigen Amtes und der Botschaft vollständig zugänglich gemacht würde, 2. daß die Auswahl der Aktenstücke für die Veröffentlichung ausschließlich meinem Ermessen überlassen bliebe und 3. daß die Publikation nicht im Auftrage des Amtes erfolge, sondern von mir persönlich im Buchhandel herausgegeben würde. Ich lege Wert darauf, festzustellen, daß diese Bedingungen eingehalten wurden. F ü r d i e h i e r v e r ö f f e n t l i c h t e A u s w a h l v o n A k t e n s t ü c k e n u n d f ü r d i e Z u v e r l ä s s i g k e i t d e s B i l d e s , d a s s i e v o n d e r H a l t u n g d e r d e u t s c h e n R e g i e r u n g i n d e r B e h a n d l u n g d e r a r m e n i s c h e n F r a g e g e b e n , r u h t d i e V e r a n t w o r t u n g a l l e i n a u f m i r. Um jedem Verdacht die Grundlage zu entziehen, als ob Aktenstücke, die die deutsche Regierung, die Botschafter und die Konsuln, oder deutsche Offiziere, Beamte und Privatpersonen in irgend einer Hinsicht belasten, von mir unterdrückt sein könnten, habe ich eine so vollständige Auswahl aus der diplomatischen Korrespondenz — die natürlich noch zahllose,
- 68. für die Sache selbst gänzlich belanglose bureaukratische Materien umfaßt — getroffen, daß die innere Kontinuität des Schriftwechsels für ihre sachliche Vollständigkeit bürgt. Eine Anzahl von detaillierten Berichten über Vorgänge bei den Deportationen und Zustände in den Konzentrationslagern, die der Botschaft von verschiedenen Seiten zugingen und zum Teil schon in meinem „Bericht“ benützt waren, habe ich, um die ohnehin schon umfangreiche Publikation nicht zu sehr zu belasten, vorläufig ausgeschieden, um sie später zu publizieren. Ich habe aber darauf gesehen, daß alle wesentlichen Vorfälle, die zur amtlichen Kenntnis gelangt sind, zur Sprache kommen, so daß auch das Bild der Tatsachen, soweit es im Sichtbereich der Konsuln lag, auf Vollständigkeit Anspruch macht. Die Berichte der deutschen Konsulate in Anatolien, Syrien und Mesopotamien — Trapezunt, Erzerum, Samsun, Adana, Alexandrette, Aleppo, Damaskus, Mossul — legen Zeugnis davon ab, daß die Konsuln alle wichtigen kontrollierbaren Vorgänge ihres Amtsbezirks fortlaufend, eingehend und gewissenhaft, mit Sachkenntnis und gesundem, politischem und sittlichem Urteil an die deutsche Botschaft bzw. den Reichskanzler berichtet haben. Die Berichterstattung versagt nur für diejenigen Distrikte, die außerhalb ihrer Sehweite lagen oder durch die russische Okkupation ihrem Blick entzogen waren. Es fehlen daher nähere Berichte über die Vorgänge in Suedije, Bitlis-Musch und Wan, die ich aus anderen Quellen im Anhang beigefügt habe, um ein zutreffendes Urteil über die der Deportation vorhergehenden Ereignisse zu ermöglichen. Ohne Kenntnis dieser Vorgänge kann die Grundfrage, ob die Deportation des gesamten armenischen Volkes durch militärische Notwendigkeiten begründet war, nicht beantwortet werden. Der vierte Bericht des Anhangs soll eine Vorstellung von den Konzentrationslagern am Rand der Wüste geben. Der letzte ist der erste zensurfreie Bericht über das deutsche Hilfswerk. Ich habe es nicht für meine Aufgabe gehalten, nach irgend einer Seite hin die Rolle des Anklägers, Verteidigers oder Richters zu übernehmen. Ich glaubte der Wahrheit am besten zu dienen, wenn ich mich darauf beschränkte, das Aktenmaterial selbst sprechen zu
- 69. lassen, aus dem sich jedermann ein Urteil über die Tatsachen und die Schuldfrage bilden kann. Auch die Einleitung, die ich vorausschicke, soll nichts mehr sein als ein Leitfaden durch die Aktenstücke, der in die wichtigsten Themata des weitschichtigen Materials einführt. Potsdam, Ostern 1919. Dr. J o h a n n e s L e p s i u s.
- 70. Inhalt. Vorwort S. V Einleitung S. IX I. Das Vorspiel 1. Cilicien S. IX 2. Anatolien S. XII 3. Die Unruhen von Wan S. XIII 4. Der Beschluß der allgemeinen Deportation S. XVI II. Die allgemeine Deportation 1. Die Massenverhaftung der Intellektuellen in Konstantinopel S. XIX 2. Die Ankündigung der Verschickungsmaßregel S. XX 3. Die Deportation S. XXIII 4. Die Schritte der Botschafter bei der Pforte S. XXVI III. Das Schicksal der Deportierten S. XXXIII 1. Zwangsbekehrungen zum Islam S. XXXV 2. Schritte der Botschaft S. XXXVII 3. Die Vernichtung der Deportierten S. XXXIX 4. Das Großwesirat Talaat Paschas S. XLII IV. Kaukasus S. XLV V. Der Charakter der Ereignisse 1. Die Deportation, eine administrative Maßregel S. LI 2. Deutsche Beteiligung S. LV 3. Militärischer Schade S. LXI 4. Opfer S. LXIII 5. Die offizielle Motivierung S. LXVI Aktenstücke 1913 S. 3
- 71. „ 1914 S. 9 „ 1915 S. 27 „ 1916 S. 221 „ 1917 S. 311 „ 1918 S. 365 Anhang S. 455 Der auswärtige Dienst 1914–1918 S. 503 Aktenregister S. 511 Namenregister S. 520 Ortsregister S. 530 Sachregister S. 536
- 72. Einleitung. Die Geschichte der Deportation des armenischen Volkes in der Türkei durchläuft die folgenden Perioden: I. Vom Eintritt der Türkei in den Krieg 1. November 1914 bis zur Erhebung von Wan 20. April 1915. II. Vom Beschluß der allgemeinen Deportation 20/24. April 1915 bis zu ihrem vorläufigen Abschluß Dezember 1915. III. Vom Einsetzen der systematischen Islamisierung der Reste des armenischen Volkes Dezember 1915 bis zu den Ausgängen ihrer Vernichtung Oktober 1918. IV. Kaukasischer Schauplatz: Vom Frieden von Brest-Litowsk 3. März 1918 bis zur Einnahme von Baku 15/17. September 1918.
- 73. I. Das Vorspiel. 1. C i l i c i e n . Die cilicischen Ereignisse nahmen ihren Ausgang von Z e i t u n, einem Bergnest in den Hochtälern des Taurus, das in der Luftlinie 120 Kilometer von der Küste entfernt liegt. Die Armenier von Zeitun und den umliegenden Dörfern erfreuten sich noch bis in die 70er Jahre einer Unabhängigkeit gleich der der tributpflichtigen seßhaften Kurden. Zur Zeit der Abdul Hamidschen Armeniermassakers 1895/96, denen 80–100000 Armenier zum Opfer fielen, hatte sich Zeitun in Verteidigungszustand gesetzt und durch die Intervention der Mächte Amnestie erlangt. Wer fremde Intervention anrief, galt als Reichsfeind. Die erste Gelegenheit, die sich nach Ausbruch des Krieges bot, wurde benützt, um gegen das mißliebige Zeitun vorzugehen. Schon vor dem Kriege, im Jahre 1913, hatte sich in der Nachbarschaft von Zeitun auf dem Bergkegel Ala Kaia eine Räuberbande eingenistet, die sich nach der allgemeinen Aushebung durch christliche und muhammedanische einem harten Dienst entflohene Deserteure verstärkte. Die Bürgerschaft von Zeitun war unschuldig an ihrem Treiben und wünschte nichts mehr, als daß sie eingefangen würden, weil ihre Widersetzlichkeit den Behörden einen Vorwand zum Einschreiten gegen die Stadt geben konnte. Ein Zusammenstoß von Gendarmen mit Deserteuren gab das Signal zu dem gefürchteten Vorgehen. Eine ansehnliche Truppenmacht von 4000 Mann rückte vor Zeitun, angeblich um dem Räuberwesen ein Ende zu machen. Die 150 Deserteure verschanzten sich in einem Kloster abseits von der Stadt. Das Kloster wird beschossen. Bei dem Angriff hatten die Türken 7 bis 8, die Deserteure 26 bis 30 Tote. Die übrigen ließ man in der Nacht entkommen, um die Stadt haftbar machen zu können. Dies geschah am 25. März 1915 im fünften
- 74. Monat des Krieges. Am nächsten Tage begann man nach Verhaftung von 30 Notabeln mit dem Abtransport sämtlicher armenischer Bewohner von Zeitun und Umgegend, Männern, Frauen und Kindern, 10 bis 20000 Seelen. Ein Teil wurde in die Sumpfdistrikte des Wilajets Konia, ein Teil in die arabische Wüste nach Der es Zor am Euphrat verschickt. Ohne Verhör und Urteilsspruch. Es war eine Maßnahme der inneren Politik, die mit Kriegsnotwendigkeiten nichts zu tun hatte. Ein zweiter, der Regierung mißliebiger Platz war das Dorf D ö r t j o l an der cilicischen Küste, unweit dem alten Issus. Die Einwohner von Dörtjol hatten sich während des cilicischen Massakers von 1909, dem 20000 Armenier zum Opfer fielen, mit Erfolg verteidigt. Auch den Bewohnern des weiter südlich gelegenen Dorfes S u e d i j e am Djebel Musa war es damals gelungen, dem Massaker zu entrinnen. Unaufgeklärte, unbedeutende Spionageaffären gaben den Anlaß, gegen Dörtjol vorzugehen. Die Männer von Dörtjol wurden nach Aleppo abtransportiert und zum Straßenbau gepreßt. Suedije und seine Nachbardörfer sollten am 30. Juli in die arabische Wüste deportiert werden. Seine Bewohner flüchteten auf den Djebel Musa. Nach mehrwöchentlicher Belagerung durch türkische Truppen gelang es ihnen, von den steil ins Meer abfallenden Bergabhängen sich mit einem französischen Kreuzer in Verbindung zu setzen, der mit dem herbeigerufenen Flaggschiff „Jeanne d’Arc“ und anderen Kriegsschiffen die Flüchtlinge, Männer, Frauen und Kinder in Zahl von 4058 Seelen, nach Alexandrien verschiffte (Anhang Nr. 1). Andere Vorfälle, die Grund zu einer allgemeinen Deportation der armenischen Bevölkerung von Cilicien (ca. 80000 Seelen) hätten geben können, haben sich im Küstengebiet nicht ereignet. Die Vorgänge von Zeitun, Dörtjol und Suedije wurden der Botschaft von den Konsulaten zu ihrer Zeit gemeldet. Die Pforte hatte sich wegen ihres Vorgehens in Cilicien mit der Botschaft nicht in Verbindung gesetzt. Als die Botschaft aus Anlaß der immer weiter greifenden Verschickung ganzer Distrikte mehrfach intervenierte, machte die Pforte geltend, daß es sich um militärische Interessen
- 75. und innere Angelegenheiten der Türkei handle, die die Botschaft nichts angingen. Massaker waren auf cilicischem Boden nicht vorgekommen, nur Aussiedelungen. Als die Armenier der Stadt Marasch (gegen 60000 Seelen, wovon 24000 Christen), durch die Zeituner Vorgänge und die Erregung der Muhammedaner beunruhigt, ein Massaker befürchteten, begab sich Konsul Rößler aus Aleppo dorthin. Der Schutz deutscher Anstalten in Marasch (Hospital und Waisenhaus) berechtigte ihn dazu. Sein Besuch wirkte beruhigend. Auch die amerikanische Mission, die in Marasch ein Kollege hatte, war dafür dankbar. Die gegen Konsul Rößler ausgestreuten Verleumdungen der englischen Presse, Konsul Rößler habe bei seinem Besuch (in Aintab?) persönlich Massaker dirigiert und zu Greueltaten aufgemuntert — Verleumdungen, die auch im englischen Oberhaus zur Sprache kamen —, sind durch die Zeugnisse amerikanischer Missionare widerlegt[2]. Die zahlreichen Konsularberichte von Herrn Rößler erbringen den Beweis, mit welch unermüdlicher Hingabe und Zähigkeit er während der ganzen Kriegszeit für die Armenier seines Konsularbezirks und die durchflutenden Massen der Deportierten eingetreten ist. Solange Djelal Bey in Aleppo war, erfreute sich Konsul Rößler der Zustimmung dieses gerechten und menschenfreundlichen Walis, der in seinem Wilajet weder Deportationen noch Massaker duldete. Doch schon am 21. Juni 1915 wurde Djelal Bey seines Amtes enthoben, weil er sich den Befehlen von Konstantinopel nicht fügen wollte. Auch der Oberkommandierende der 4. Armee, Djemal Pascha, zu dessen Befehlsbereich Cilicien und Aleppo gehörten, mißbilligte die armenische Politik der Regierung. Durch wiederholte Erlasse hat er wenigstens erreicht, daß in seinem Befehlsbereich Massaker nicht vorgekommen sind. Den von der Zentralregierung befohlenen Deportationen und der Islamisierung der Reste des armenischen Volkes hat auch er sich nicht widersetzt. 2. O s t a n a t o l i e n .
- 76. Aus dem Wilajet Erzerum waren der Botschaft schon seit Kriegsbeginn Klagen über Härte der Requisitionen und Gewalttaten von türkischer Gendarmerie und Tschettäs (berittenen Banden) gegen die armenische Landbevölkerung zugegangen. Urheber dieser Ausschreitungen waren die jungtürkischen Klubs in den Provinzialstädten. Am 10. Februar war der zweite Direktor der Ottomanbank in Erzerum, der Armenier Pasdirmadjian, das Opfer eines Meuchelmords geworden. Obwohl sich General Posseldt Pascha, Mitglied der deutschen Militärmission, der damals noch Festungskommandant von Erzerum war, darum bemühte, wurden die bekannten Mörder nicht verhaftet. In den Landdistrikten der Erzerum- und der Passinebene, östlich von Erzerum, wurden nach und nach alle armenischen Dörfer — hauptsächlich Frauen und Kinder, da die Männer zum Heeresdienst eingezogen waren —, angeblich aus militärischen Gründen, ausgeräumt. Der Befehl kam von dem Oberstkommandierenden der 3. Armee, Kamil Pascha. Der Wali von Erzerum, Tahsin Bey, der die Maßregel mißbilligte, war machtlos dagegen. Am 18. Mai 1915 drahtete der deutsche Vizekonsul v. Scheubner-Richter an den Botschafter Freiherrn v. Wangenheim: „Das Elend unter den vertriebenen Armeniern ist fürchterlich. Frauen und Kinder lagern zu Tausenden ohne Nahrung um die Stadt herum. Die zwecklose Vertreibung ruft die größte Erbitterung hervor. Darf ich deswegen bei dem Oberstkommandierenden Schritte unternehmen?“ Der Botschafter Freiherr von Wangenheim ermächtigte am gleichen Tage den Konsul, Vorstellungen zu erheben und auf humane Behandlung der Ausgewiesenen hinzuwirken. Der Konsul begibt sich ins Hauptquartier Tortum und berichtet unter dem 2. Juni, daß seine „Rücksprache mit dem Oberstkommandierenden zu keinem positiven Resultat führte“. Lag im Wilajet Erzerum die Gefahr einer armenischen Erhebung vor?
- 77. General Posseldt erklärt am 26. April, „die Aufführung der Armenier sei tadellos gewesen.“ Der Konsul bestätigt es: „Da ein Aufstand der hiesigen Armenier nicht zu erwarten ist, ist diese Maßnahme grausamer Ausschließung unbegründet und ruft Erbitterung hervor.“ (16. Mai.) Talaat Bey, der Minister des Innern, bei dem die Botschaft anregt, die Aussiedelungsmaßregel zu mildern, „zeigt sich abgeneigt“, da man gerade in Erzerum belastende Korrespondenzen, Waffen und Bomben gefunden habe (29. Mai). Auf Anfrage drahtet der Konsul v. Scheubner-Richter aus Erzerum: „In Erzerum und Umgebung wurden Bomben und dergleichen n i c h t gefunden, was auch vom Wali bestätigt werden kann.“ (2. Juni.) In Cilicien und im Wilajet Erzerum waren die Dinge ihren eigenen Weg gegangen. Ein Zusammenhang bestand nicht, allgemeine Maßregeln gegen die armenische Bevölkerung des Reiches schienen nicht beabsichtigt zu sein. Auch im Wilajet Erzerum sind bis Ende Mai keine Massakers vorgekommen, nur Aussiedelungen, die durch das Oberkommando angeordnet und mit militärischen Notwendigkeiten begründet wurden. Inzwischen waren aus den Wilajets Bitlis und Wan Meldungen eingegangen, die ernsterer Natur waren. Sie schienen die Anschauung der Pforte zu rechtfertigen, daß die militärischen Operationen durch revolutionäre Bewegungen im armenischen Volkselement bedroht und die Sicherheit des Reiches gefährdet sei. Über indirekt gemeldete Aufstände in Bitlis und Musch, Gebiete, die für die Konsulate nicht erreichbar waren, lagen nähere Berichte nicht vor. Es hat sich später herausgestellt, daß dort bereits im Frühjahr ein Anschlag türkischer Gendarmen auf das Dorf Goms zu Unruhen geführt hatte, die durch Vermittlung der Behörden und des armenischen Abgeordneten Papasian auf Anordnung Talaat Beys gütlich beigelegt wurden. Davon war aber der Botschaft nichts mitgeteilt worden. (Anhang Nr. 2). 3. D i e U n r u h e n v o n W a n .
- 78. Am 22. April wurde der Botschaft aus Erzerum gemeldet: „In Wan und Umgebung Armenierunruhen (vermutlich infolge russischer Umtriebe) ausgebrochen. Straßenkampf, Telegraphenlinien zerstört, Verbindung mit Persien unterbrochen.“ Die alarmierende Nachricht wurde von der Pforte bestätigt. Eine Aufklärung über die Ursachen und den Verlauf der Vorgänge in Wan hat die Botschaft von der Pforte niemals erhalten. Erst Monate später sind darüber von amerikanischen und deutschen Missionaren, die die Dinge miterlebt haben, authentische Mitteilungen nach Europa gelangt (Anhang Nr. 3). Was war in Wan geschehen? — Mitte Februar war Djevdet Bey, der Wali von Wan, ein Schwager Enver Paschas, aus dem Gebiet von Salmas und Urmia zurückgekehrt, wo er sich an dem nordpersischen Feldzuge türkischer und kurdischer Truppenteile beteiligt hatte. In einer Versammlung von türkischen Notabeln äußerte er sich: „Wir haben mit den Armeniern und Syrern von Aserbeidschan reinen Tisch gemacht, wir müssen mit den Armeniern von Wan das gleiche tun.“ Die Kaimakams (Landräte) seiner Provinz wies er an, beim geringsten Anlaß gegen die Armenier vorzugehen. Mit den Armeniern von Wan (20000 Seelen) stellte er sich zunächst freundlich. Es wurden Kommissionen gebildet und auf die Dörfer geschickt, um den Plünderungen der Kurden und den Gewalttaten der Gendarmen Einhalt zu tun. Inzwischen zog Djevdet Bey Verstärkungen aus Erzerum heran. Als in Schatakh, einem überwiegend armenischen Dorf, Streitigkeiten mit Gendarmen ausbrachen (14. April) bat er die drei Führer der Armenier, Wramian, Ischchan und Aram, mit dem Müdir der Polizei von Wan nach Schatakh zu gehen, um den Streit zu schlichten. Ischchan ging und nahm drei andere Armenier mit sich. Der Müdir der Polizei begleitete sie mit tscherkessischen Saptiehs. Halbwegs übernachtete man in Hirtsch. Als die Armenier schliefen, ließ sie der Müdir der Polizei durch die Tscherkessen ermorden. In der Frühe des nächsten Tages, ehe man noch in Wan etwas von dem Meuchelmorde wußte, ließ der Wali Djevdet Bey die beiden zurückgebliebenen armenischen Führer
- 79. Wramian und Aram zu sich bitten. Aram war zufällig abwesend. Wramian geht arglos zum Wali und wird, sobald er den Konak betreten hat, verhaftet. Der Wali schickt ihn gefesselt über Bitlis nach Diarbekr. Unterwegs wird er ermordet. Noch am selben Morgen bereitet Djevdet Bey den Angriff auf die Armenierviertel der Stadt vor. Gleichzeitig setzen die Massaker in Ardjesch und den Dörfern von Hayozdzor ein. Um Weib und Kind vor dem drohenden Massaker zu schützen, verschanzen sich die Armenier der Stadt in ihren Vierteln. Sie hatten keinerlei Verbindung mit Rußland. Vier Wochen verteidigten sie sich gegen die türkischen Truppen, die sie belagerten und beschossen. Ihre Vorräte waren erschöpft. Am 15. Mai fand ein letztes Bombardement statt. In der Nacht darauf verließ Djevdet Bey mit den Belagerungstruppen zum größten Erstaunen der Armenier die Stadt. Sie wußten noch nichts davon, daß die russische Armee auf der ganzen kaukasischen Front im Vormarsch war. Am 19. Mai, 30 Tage nach dem Beginn der Belagerung, zogen die Russen in Wan ein. Für den Vormarsch der Russen war die Entsetzung von Wan eine unbedeutende Episode. Ihre Hauptmacht stieß (wie Konsul Anders schon vor dem Kriege vorausgesehen hatte) nördlich vom Wansee in der Richtung auf Musch und Bitlis vor. Auch für die Armenier von Wan bedeutete die Entsetzung der Stadt nur, daß sie sich selbst und ihre Familien durch ihr tapferes Ausharren errettet hatten; denn schon am 31. Juli räumten die Russen Wan und nötigten die ganze armenische Bevölkerung in den Kaukasus überzusiedeln. Die Pforte mußte über den Charakter des Aufstandes von Wan, der ein Akt der Selbstverteidigung war, unterrichtet sein. Sie wußte, daß dieser „Aufstand“ von dem Wali Djevdet Bey provoziert war und mit den russisch-türkischen Operationen in keinem Zusammenhang stand. Der Bericht über Wan (Anhang Nr. 3.) liest sich, ebenso wie der von Suedije (Anhang Nr. 1.), wie ein Kapitel aus einem Cooperschen Indianerroman, nicht wie eine Episode des Weltkrieges. Besondere Aufmerksamkeit erfordert die Art, wie der „Aufstand“ von Wan — mit der Bitte um Geheimhaltung — der Botschaft von der Pforte dargestellt wurde[3].
- 80. Die Berichte lauteten: 24. April: Gebäude der Dette Publique und der Post in die Luft gesprengt, Straßenkämpfe, 20 Tote. 27. April: Aufruhr in Wan unterdrückt. Kurden am Aufstand beteiligt. 400 Armenier getötet, die übrigen nach Rußland geflohen. 6. Mai: Neue Kämpfe in Wan. Türkische Verluste 600 Mann. 9. Mai: Unruhen in Wan dauern an. Türken 1000, Armenier 3000 Tote. Sprungweise gehen die Verluste, von 20 auf 400, auf 600, auf 4000 in die Höhe. In Wahrheit sind bei den Armeniern während der vierwöchentlichen Belagerung vom 20. April bis zum 17. Mai 18 Tote und bei den Türken schwerlich viel mehr gefallen[4]. Falstaff ist nichts gegen Djevdet Bey. Warum diese grotesken Übertreibungen? Enver Pascha war doch sicherlich von seinem Schwager Djevdet gut unterrichtet. Man wollte der Botschaft beweisen, daß alles auf dem Spiel stehe, daß der Bestand des Reiches durch eine ganz gefährliche Erhebung der Armenier bedroht sei. Der Zweck wurde erreicht. Die Botschaft glaubte es. 4. D e r B e s c h l u ß d e r a l l g e m e i n e n D e p o r t a t i o n . Bei seiner Rückkehr von der kaukasischen Front im Februar des Jahres hatte Enver Pascha als Kriegsminister und Generalissimus der türkischen Armee auf eine Adresse des Bischofs von Konia erwidert: „Ich sage Ihnen meinen Dank dafür und benütze die Gelegenheit, um Ihnen auszusprechen, daß die armenischen Soldaten der ottomanischen Armee ihre Pflichten auf dem Kriegstheater gewissenhaft erfüllen, was ich aus eigener Anschauung bezeugen kann. Ich bitte der armenischen Nation, die bekannt ist für ihre vollkommene Ergebenheit gegenüber der Kaiserlich Ottomanischen
- 81. Regierung, den Ausdruck meiner Genugtuung und Dankbarkeit zu übermitteln“. (Osmanischer Lloyd vom 26. 2. 1915). Auch dem armenischen Patriarchen gegenüber hatte Enver Pascha „seine besondere Zufriedenheit ausgesprochen über die Haltung und Tapferkeit der armenischen Soldaten, die sich in ausgezeichneter Weise geschlagen hätten“, hatte aber schon damals bezeichnenderweise hinzugefügt, „daß er beim geringsten Vorkommnis in den östlichen Armenierzentren m i t d r a k o n i s c h e n M a ß n a h m e n einschreiten würde“. Wie kam es, daß mit dem 20. April das Urteil über die Ergebenheit der armenischen Nation so plötzlich umschlug? Der „Aufstand“ von Wan war das tragische Moment in der armenischen Schicksalstragödie. Das Stichwort für die „drakonischen Maßnahmen“ Enver Paschas war gegeben. Mit der Fixierung dieses Momentes soll nicht gesagt werden, daß nicht der Vernichtungswille der treibenden Kräfte, die hinter dem Kriegsminister standen, schon vor den Ereignissen in Wan bestanden hätte. Schon auf dem Kongreß des jungtürkischen „Komitees für Einheit und Fortschritt“ in Saloniki Oktober 1911, war der nationalistisch-panislamische Gedanke — die Alleinherrschaft der türkischen Rasse und der Aufbau des Reiches auf rein islamischer Grundlage — als Regierungsprogramm angenommen worden: „Früher oder später müßte die vollkommene Ottomanisierung aller türkischen Untertanen durchgeführt werden, aber es sei klar, daß dies niemals durch Überredung erreicht werden könne, sondern man müsse zur Waffengewalt Zuflucht nehmen. Der Charakter des Reiches habe muhammedanisch zu sein und muhammedanischen Einrichtungen und Überlieferungen müsse Respekt verschafft werden. Anderen Nationalitäten müsse das Recht der Organisation vorenthalten werden, denn Dezentralisation und Selbstverwaltung seien Verrat am türkischen Reich. Die Nationalitäten seien eine quantité négligeable. Sie könnten ihre Religion behalten, aber nicht ihre Sprache. Die Ausbreitung der türkischen Sprache sei eines der Hauptmittel, um die muhammedanische Vorherrschaft zu sichern und die übrigen Elemente zu assimilieren“[5].
- 82. Dies Programm stand seit Ausbruch des Krieges hinter allen Maßregeln, die die „Raja“ der christlichen Nationen als eine „Herde“ von Hörigen behandelten: die allgemeine Entwaffnung der christlichen Bevölkerung, die Degradierung der armenischen Soldaten, die mit der Waffe eingezogen worden waren, zu Lastträgern und Straßenarbeitern, die Entlassung der armenischen Beamten und Ärzte aus dem Verwaltungsdienst und den Kriegslazaretten usw. Dies pantürkische Programm stand schon vor den Tagen von Wan hinter den Verschickungen und Massenverhaftungen in Cilicien und im Wilajet Erzerum und diktierte den Vernichtungsfeldzug, den türkische und kurdische Truppen im Winter 1914/15 in Nordpersien gegen die friedliche syrische und armenische Bevölkerung von Urmia und Salmas führten. Dies Programm rief die allgemeine Christenverfolgung in den Wilajets Diarbekr und Mossul hervor, der unterschiedslos Jakobiten, Chaldäer, Nestorianer und Armenier zum Opfer fielen. Auch ohne den „Aufstand von Wan“ wäre dies Programm durchgeführt worden. Denn schon dieser „Aufstand“ war ein Akt des Selbstschutzes gegen das drohende Massaker, das an mehreren Orten gleichzeitig einsetzte, als Djevdet Bey durch den Meuchelmord an den armenischen Führern das Signal dazu gab, in denselben Tagen, in denen auch in Cilicien die Verschickung auf große Distrikte ausgedehnt wurde, die außerhalb des Kriegsgebietes lagen. Der „Aufstand von Wan“ gab nur einen weithin sichtbaren Vorwand her, um den längst gefaßten Plan der Türkisierung und Islamisierung des Reiches der Außenwelt gegenüber unter den Schein militärischer Notwendigkeiten zu verhüllen und im Schoß des Komitees selbst jeden Widerstand gegen die radikalste Form seiner Durchführung, die Vernichtung zunächst des armenischen Volkes, zu unterdrücken. Von welcher Seite in Konstantinopel die entscheidende Wendung in der armenischen Politik der Regierung herbeigeführt wurde, durch Enver Pascha oder Talaat Bey oder durch einen Beschluß des jungtürkischen Komitees, darüber wird man erst Aufschluß erlangen,
- 83. wenn die Interna der jungtürkischen Regierung an den Tag gekommen sein werden[6]. Es scheint, daß im Komitee selbst Gegensätze zwischen einer radikalen und einer gemäßigteren Gruppe bestanden, die in der Zeit vom 24. April bis zum 27. Mai zum Austrag gebracht wurden und mit dem Sieg der radikalen Gruppe endeten. Das Ergebnis dieser Kämpfe war der Beschluß, der das Schicksal des armenischen Volkes besiegelte: Die allgemeine Deportation.
- 84. II. Die allgemeine Deportation. 1. D i e M a s s e n v e r h a f t u n g d e r I n t e l l e k t u e l l e n i n K o n s t a n t i n o p e l . Am 22. April bestätigte der Minister des Innern die Mitteilungen, die die Botschaft über den Ausbruch der Unruhen in Wan erhalten hatte, — mit der Bitte um vorläufige Geheimhaltung. An dem darauffolgenden Sonntag, dem 25. April, erfuhr das überraschte Konstantinopel, daß in der Nacht vom Sonnabend auf den Sonntag die politischen und geistigen Spitzen der armenischen Gesellschaft in der Hauptstadt verhaftet worden seien. In der Nacht vom Sonntag auf den Montag wurde die Razzia erneuert. Gegen 600 armenische Intellektuelle, die führenden Männer der Nation, Deputierte, Parteiführer, Schriftsteller, Journalisten, Geistliche, Ärzte wurden in den Tagen darauf ohne Verhör und Urteil aus den Gefängnissen in das Innere von Kleinasien nach Ajasch und Tschangri abtransportiert[7]. Gerüchte von geplanten Attentaten zirkulierten in der Stadt, die aber von der Regierung selbst dementiert wurden. Von den Vorgängen in Wan war noch nichts bekannt. Am 29. April wurde die Bevölkerung von Konstantinopel aufgefordert, alle Waffen abzuliefern, was ohne Zwischenfall geschah. Offiziell teilte Talaat Bey, der Minister des Innern, der Botschaft durch ihren ersten Dragoman mit, „die Regierung sei jetzt entschlossen, dem bisherigen Zustand ein Ende zu bereiten, wonach jede Religionsgemeinschaft ihre besondere ‚Politik‘ mache und hierzu besondere politische Vereinigungen gründen und unterhalten könne. In der Türkei solle künftig nur ‚osmanische‘ Politik gemacht werden. Unter den hiesigen (Konstantinopeler) Armeniern befänden sich eine Reihe von politisch nicht ganz sicheren Persönlichkeiten; sie seien
- 85. natürlich gerade unter den tätigen Mitgliedern der Klubs und Redaktionen zu suchen. Die Besorgnis sei nicht von der Hand zu weisen, daß im Falle einer ungünstigen Wendung des Krieges diese Elemente die Gelegenheit zur Unruhestiftung ergreifen könnten. Der Augenblick schien günstig, alle diese Verdächtigen aus der Hauptstadt zu entfernen. Unter den Verschickten gäbe es sicher viele, die in keiner Weise schuldig seien. Dies leugne die Regierung nicht, und er — Talaat — werde aus eigenem Antrieb und ohne daß es hierzu einer Intervention bedürfe, diesen die Erlaubnis zur Rückkehr erteilen.“[8] So wurde im voraus einer Intervention von deutscher Seite vorgebeugt. Beschuldigungen gegen die allgemein als loyal bekannten und geachteten Intellektuellen, zum Teil persönliche Freunde der jungtürkischen Führer — Zohrab hatte Halil Bey in den Tagen der Gegenrevolution das Leben gerettet —, wurden nicht erhoben. Die Verhaftung wurde als Vorbeugungsmaßregel charakterisiert und eine richterliche Untersuchung in Aussicht gestellt, um etwa Verdächtige zu ermitteln. Ein Zusammenhang der Verhaftungen mit den Vorgängen in Wan wurde nicht konstruiert. Der Plan der Vernichtung der armenischen Nation, der man in ihren geistigen Führern das Haupt abschlug, ehe man den Leib der Todesfolter unterwarf, mußte im Dunkel bleiben, bis die Vorbereitungen für die Gesamtdeportation getroffen waren. Der Einmarsch der russischen Truppen in Wan scheint den letzten Widerstand im Komitee gebrochen zu haben. Die radikalen Elemente des Komitees triumphierten. Der Beschluß der Deportation wurde auf die ganze armenische Bevölkerung der Türkei ausgedehnt. Am 27. Mai erschien das „Provisorische Gesetz über die Verschickung verdächtiger Personen“. Artikel 2 lautet: „Die Kommandanten der Armeen, Armeekorps und Divisionen können, wenn militärische Bedürfnisse es fordern, die Bevölkerung von Städten und Dörfern, die sie der Schuld des Verrats oder der Spionage für verdächtig halten, dislozieren und in anderen Orten ansiedeln.“
- 86. Schuldbeweise sind für die Strafe der Verschickung nicht erforderlich. Verdacht genügt. So wurde es in Konstantinopel, so im ganzen Reich gehalten. 2. D i e A n k ü n d i g u n g d e r V e r s c h i c k u n g s m a ß r e g e l . Es ging nicht wohl an, einen Beschluß von so großer Tragweite wie den der Deportation der Deutschen Botschaft ganz zu verschweigen. Durch die grotesken Übertreibungen und Entstellungen der Vorgänge in Wan, durch gleichzeitige unkontrollierbare Mitteilungen über Aufstände in Bitlis und Musch, über geplante Verschwörungen in Erzerum, Bombenfunde und Spionageakte an verschiedenen Plätzen des Reiches, war auf der Botschaft eine Atmosphäre geschaffen, die einschneidende Maßregeln als gerechtfertigt erscheinen ließ. Allerdings hätte ein Telegramm aus Mossul vom 18. Mai, das gleichzeitig mit dem Fall von Wan durch Konsul Holstein der Botschaft zuging, stutzig machen können. Denn es meldete, daß nach gleichlautenden Mitteilungen des nestorianischen Patriarchen in Kodschanes und des chaldäischen Patriarchen in Mossul, „die Muselmanen im Bezirk Amadia ein allgemeines Christenmassaker planten und schon damit begonnen hätten; Wali gebe Tatsache zu und scheine die Bewegung, wenn nicht gerade zu schüren, so doch nicht energisch genug zu hemmen“. Doch hier handelte es sich um nestorianische, jakobitische und chaldäische Syrer, nicht um Armenier. Am 31. Mai drahtete der deutsche Botschafter an das Auswärtige Amt: „Zur Eindämmung der armenischen Spionage und um neuen armenischen Massenerhebungen vorzubeugen, beabsichtigt Enver Pascha unter Benutzung des Kriegs- (Ausnahme-) Zustandes eine große Zahl armenischer Schulen zu schließen, armenische Postkorrespondenz zu untersagen, armenische Zeitungen zu unterdrücken und aus den jetzt insurgierten armenischen Zentren
- 87. alle nicht ganz einwandfreien Familien in Mesopotamien anzusiedeln. Er bittet dringend, daß wir ihm hierbei nicht in den Arm fallen.“ Bezeichnend für die Mitteilung Enver Paschas an den Botschafter ist die Voranstellung von Schulen, Postkorrespondenzen und armenischen Zeitungen vor die Hauptsache, die Ankündigung der Verschickungen. Um Einwänden im voraus zu begegnen, wird die Maßregel auf „nicht ganz einwandfreie Familien“ und die „jetzt insurgierten armenischen Zentren“ beschränkt. Welche Zentren waren damals insurgiert? Die Deserteuraffäre in Zeitun und die Spionageakte in Dörtjol waren durch Abtransport der Bewohner von Zeitun und Dörtjol erledigt. Die Unruhen in Bitlis und Musch waren, was die Botschaft nicht wußte, durch die Behörden mit Hilfe des Abgeordneten Papasian beglichen. Vereinzelte verbürgte oder unverbürgte Bombenfunde[9] „gehörten zu dem schon bekannten Inventar der türkischen Behörden an solchen Vorwänden“. In Erzerum „glaubte“ der Wali Beweise für eine armenische Verschwörung in Händen zu haben, obwohl nach dem Zeugnis General Posseldts „die Aufführung der Armenier tadellos“ und nach dem Urteil des Konsuls von Scheubner-Richter „ein Aufstand nicht zu erwarten war“. Als „Massenerhebung“ und ernste Gefahr für die militärischen Operationen mußte dagegen die „Insurrektion“ von Wan erscheinen. Die Maßregel partieller Verschickungen von „nicht einwandfreien Familien“ konnte sich nach den vorliegenden Berichten nur auf die östlichen Wilajets an der kaukasischen Front beziehen, wo es nach türkischen Meldungen in Wan, Schatakh, Bitlis und Musch „insurgierte Zentren“ zu geben schien. Da schon im Sommer 1914 Rußlands Anteil an Kurdenaufständen in Bitlis und Musch gemeldet war, hatte auch die von der Pforte behauptete „von Rußland genährte Wühlarbeit“ einige Wahrscheinlichkeit für sich[10]. Vom militärischen Gesichtspunkt konnten bei der unvollkommenen Information über die tatsächlichen Vorgänge Vorbeugungsmaßregeln „in den insurgierten Zentren“ als berechtigt erscheinen. So sah der Botschafter keinen Grund, sich den angekündigten Maßregeln Enver
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