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C u r s o : Matemática
Material N° 07
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 6
UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD
PORCENTAJE
TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de
la proporción es 100:
Q
C
=
P
100
⇒ Q =
P
100
· C
Q = P% · C
EJEMPLOS
1. El 30% de 15 es
A) 50
B) 45
C) 4,5
D) 2
E)
1
2
2. ¿Qué tanto por ciento es 6 de 8?
A) 0,75%
B) 48%
C) 75%
D) 80%
E) 133,3%
3. El 12,5% de un número es 80. ¿Cuál es el número?
A) 10
B) 320
C) 480
D) 640
E) 720

TANTOS POR CIENTOS NOTABLES EXPRESADOS EN FRACCIÓN Y EN NÚMERO DECIMAL
TANTO POR CIENTO FRACCIÓN DECIMAL
1% de C
100
1
⋅ C 0,01 ⋅ C
10% de C
10
1
⋅ C 0,1 ⋅ C
12,5% de C
8
1
⋅ C 0, 125 ⋅ C
20% de C
5
1
⋅ C 0,2 ⋅ C
25% de C
4
1
⋅ C 0,25 ⋅ C
33
3
1
% de C
3
1
⋅ C 0, 3 ⋅ C
50% de C
1
2
⋅ C 0,5 ⋅ C
66
3
2
% de C
3
2
⋅ C 0, 6 ⋅ C
75% de C
4
3
⋅ C 0,75 ⋅ C
120% de C
6
5
⋅ C 1,2 ⋅ C
EJEMPLOS
1. ¿Qué tanto por ciento del cuadrado de la figura 1 es la parte oscura?
A) 9%
B) 22%
C) 25% fig. 1
D) 33,3%
E) 75%
2. ¿Cuál es el 33
1
3
% de 27?
A) 9
B) 81
C) 90
D) 297
E) 900
2

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS
N Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar
N El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por
cientos
EJEMPLOS
el a% del b% de C =
a
100
·
b
100
· C
a% de C ± b% de C = (a ± b)% de C
1. El 20% de a más el 35% de a es
A)
3a
20
B)
7a
100
C)
11
20
a
D) 7a
E) 55a
2. En la carrera de Ingeniería se retira el 20% de los alumnos por rendimiento y el 10% por no
gustarle la carrera. Si al inicio había 600 alumnos, entonces ¿cuántos alumnos quedan?
A) 180
B) 420
C) 432
D) 480
E) 540
3. El 75% del 66
2
3
% de A es lo mismo que
A) 0,5% de A
B) 41
2
3
% de A
C) 50% de A
D) 80% de A
E) 200% de A
3

VARIACIÓN PORCENTUAL
N AUMENTO : Al aumentar una cantidad C en su P por ciento se obtiene:
C’ = C +
P
100
· C
N DISMINUCIÓN : Al disminuir una cantidad C en su P por ciento se obtiene la cantidad:
C’ = C -
P
100
· C
EJEMPLOS
1. Se desea vender un televisor con un 20% de ganancia. ¿Cuánto será el precio de venta, si
el costo fue de $ 187.520?
A) $ 225.024
B) $ 212.500
C) $ 202.500
D) $ 192.500
E) $ 190.000
2. ¿Cuál es el precio oferta de una camisa, si su precio sin rebaja es $ 5.670 y se hizo un 40%
de descuento?
A) $ 1.134
B) $ 3.402
C) $ 4.536
D) $ 4.725
E) $ 6.804
4

INTERÉS SIMPLE
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un período de n unidades, en
un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo.
La cantidad final CF después de cumplido el período n está dada por:
·
F
ni
C = C + C
100
Ganancia =
n i C
100
⋅ ⋅
EJEMPLOS
1. Un capital de $ 300.000 se deposita en un banco que ofrece un 5% de interés mensual. Al
cabo de 3 meses, en un régimen de interés simple, ¿cuánto es el nuevo capital?
A) $ 301.500
B) $ 304.523
C) $ 345.000
D) $ 450.000
E) $ 750.000
2. Pedro deposita $ 1.800.000 en el banco UUVA a un interés simple mensual de un 0,7%.
¿Qué ganancia obtendrá en un periodo de 5 meses?
A) $ 1.863.000
B) $ 186.300
C) $ 126.000
D) $ 630.000
E) $ 63.000
3. ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 6% anual de interés simple, para
obtener $ 6.000.000 de utilidades en 2 años?
A) $ 10.000.000
B) $ 36.000.000
C) $ 50.000.000
D) $ 60.000.000
E) $ 72.000.000
5

INTERÉS COMPUESTO
Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un
régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de
modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.
La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el período n es:
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
n
F
i
C = C · 1 +
100
Ganancia = CF – C
EJEMPLOS
1. Mario invierte $ 1.000.000 a un interés compuesto anual del 10%. ¿Cuánto es el capital final
de Mario, luego de 3 años?
A) $ 331.000
B) $ 1.030.301
C) $ 1.100.000
D) $ 1.300.000
E) $ 1.331.000
2. Paulina deposita $ 5.000.000 en una entidad bancaria a un interés compuesto semestral del
2,5%. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero que dispondrá Paulina, al cabo de 24
meses?
A) $ 5.000.000 ⋅ (1,025)4
B) $ 5.000.000 ⋅ (1,25)4
C) $ 5.000.000 ⋅ (0,025)4
D) $ 5.000.000 ⋅ (1,025)24
E) $ 5.000.000 ⋅ (1,25)24
3. Según el censo del año 1992 la ciudad de Quillota tenía aproximadamente 200.000
habitantes. Si en los siguientes 10 años creció a una tasa del 2% anual, para el censo del
año 2002, los habitantes de Quillota debieron ser aproximadamente
A) 200.000 ⋅ (1,2)10
habitantes
B) 200.000 ⋅ (0,2)10
habitantes
C) 200.000 ⋅ (1,02)10
habitantes
D) 200.000 ⋅ (0,02)10
habitantes
E) 200.000 ⋅ 10 · 1,02 habitantes
6

EJERCICIOS
1. El 5% de
1
5
es
A) 5
B) 1
C)
1
5
D) 100
E)
1
100
2. 16 es el 80% de
A) 8
B) 12
C) 16
D) 20
E) 24
3. La fracción
M
25
corresponde a
A) 2% de M
B) 4% de M
C) 25% de M
D) 75% de M
E) 80% de M
4. El a% de b está expresado por
A) 100b
B)
ab
100
C) ab
D)
100a
b
E)
100b
a
7

5. El 200% de 0,5 más el 50% de 0,5 es
A) 1
B) 0,5
C) 1,5
D) 1,25
E) 0,75
6. El 15% del 25% de 160 es
A) 1,6
B) 2,5
C) 4
D) 6
E) 8
7. Al calcular el a% del b% de c resulta
A) a ⋅ b ⋅ c ⋅ 10-4
B) a ⋅ b ⋅ c ⋅ 104
C)
4
a b
c 10
⋅
⋅
D)
-4
a b 10
c
⋅ ⋅
E)
-4
a b
c 10
⋅
⋅
8. Las edades de Pablo y Marcelo están en la razón 2 : 5. ¿Qué porcentaje es la edad de Pablo
respecto de la de Marcelo?
A) 4%
B) 20%
C) 24%
D) 40%
E) 250%
8

9. Si el 200% de un número es 2h2
, ¿cuál es el 300% del número?
A) h2
B) 3h2
C) 6h2
D) 6h6
E) 12h2
10. Si m es el resultado de la suma de 4 y el 25% de 35, entonces el 200% de m es
A) 12,58
B) 14,50
C) 25,5
D) 50
E) 1.258
11. Si el 5% de t es 4 y el 25% de s es 16, entonces el 50% de (t + s) es igual a
A) 22
B) 33
C) 42
D) 72
E) 210
12. La siguiente tabla nos muestra la estadística de lo que están realizando los 40 alumnos de
un curso. ¿Qué tanto por ciento de los alumnos está conversando?
A) 0,05%
B) 0,5%
Nº ALUMNOS
Alumnos calculando 15
Alumnos leyendo 23
Alumnos conversando 2
C) 5%
D) 0,52%
E) 5,2%
9

13. El kilo de frutilla sube de $ 400 a $ 500. ¿En qué porcentaje aumentó?
A)
5
4
%
B) 20 %
C) 25 %
D) 80 %
E) 125 %
14. La entrada a un cine baja de $ 2.500 a $ 2.000. Con respecto al precio original, ¿cuál es el
porcentaje de rebaja?
A) 1,25 %
B) 20 %
C) 25 %
D) 80 %
E) 125 %
15. En junio del 2002 Sebastián pesaba 80 kg. Si después de un régimen de 3 meses disminuyó
su peso en un 20%, ¿cuánto fue su nuevo peso?
A) 16 kg
B) 20 kg
C) 24 kg
D) 50 kg
E) 64 kg
16. El Sr. González debía 8.000 Unidades de Fomento al Banco estatal hace tres meses. Dos
meses atrás pagó un 25% de la deuda y el mes pasado pagó el 25% de la deuda restante.
Si este mes desea terminar con la deuda, entonces tendrá que pagar
A) 1.500 U.F.
B) 2.000 U.F.
C) 3.500 U.F.
D) 4.000 U.F.
E) 4.500 U.F.
10

17. Un canal de T.V. transmite un programa de 40 minutos de duración de los cuales el 25% son
destinados a comerciales. Si del resto del tiempo, un 60% es ocupado en un foro político,
¿cuántos minutos dura la transmisión del foro?
A) 18
B) 16
C) 14
D) 12
E) 10
18. Las acciones de la compañía “FEMAR” se cotizaron en $ 35 en el 2005. En el 2006 se
cotizaron en $ 28. ¿En qué porcentaje decrecieron?
A) 25%
B) 20%
C) 14%
D) 7%
E) 5%
19. ¿Cuál es la ganancia obtenida de la venta de una mercadería, si se vendió en $ 1.800 con un
20% de ganancia?
A) $ 90
B) $ 180
C) $ 300
D) $ 360
E) $ 600
20. Una torta se divide en 4 partes iguales y cada parte, a su vez, en 5 partes iguales. ¿Qué
porcentaje de la torta representan 5 de los trozos obtenidos?
A)
1
20
%
B)
1
5
%
C) 5%
D) 20%
E) 25%
11

21. Si el valor de la cuota del Mes de Marzo del Centro General de Padres del Colegio “Rodo” es
$ 2.000 y se reajusta mensualmente según el IPC, ¿cuál será el valor de la cuota del mes de
Abril, sabiendo que el IPC del mes de Marzo fue igual a 0,8%?
A) $ 2.016
B) $ 2.014
C) $ 2.018
D) $ 2.120
E) $ 2.160
22. Durante 2005, el agua caída en Santiago llegó a p mm y en el 2006 aumentó a
(p + q) mm. ¿Cuál es la expresión apropiada para representar el tanto por ciento de
aumento?
A)
100q
p
%
B) 100(p – q)%
C)
100(p q)
p
−
%
D)
100p
q
%
E)
pq
100
%
23. Se depositan en un banco $ 2.000.000 a un interés simple mensual de un 0,8 %. Al cabo de
6 meses, ¿cuánto es el capital final?
A) $ 96.000
B) $ 2.016.000
C) $ 2.048.000
D) $ 2.096.000
E) $ 11.600.000
24. El capital final que se obtiene al cabo de 10 meses, al depositar 4 millones de pesos a un
interés compuesto mensual del 3% es
A) $ 4.000.000 ⋅ (1,03)10
B) $ 4.000.000 ⋅ (0,03)10
C) $ 4.000.000 ⋅ (10,3)10
D) $ 4.000.000 ⋅ (1,3)10
E) $ 4.000.000 ⋅ (0,3)10
12

25. Un comerciante aumenta el precio de un metro de género en un 20% y posteriormente lo
rebaja en un 30% resultando así $ 6.300. ¿Cuál era el precio primitivo?
A) $ 9.000
B) $ 7.500
C) $ 7.000
D) $ 5.292
E) $ 5.250
26. ¿Qué porcentaje es x de y?
(1) x =
3
4
y
(2) 5x = 10
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
27. ¿Cuál es el capital repartido entre Laura y María, si el 75% del capital es para Laura?
(1) Laura recibe el triple de lo de María.
(2) María recibe $ 150.000 menos que Laura.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
28. Se puede saber el valor de x e y, respectivamente, si:
(1) x – y = 8
(2) x : y = 3 : 2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
13

29. Se puede determinar el valor de c si:
(1) Al aumentar c en un 18% resulta $ 3.540.
(2) Al disminuir c en un 15% resulta $ 2.550.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
30. ¿Cuál es el precio original de un artículo?
(1) Se canceló con un descuento de $ 3.200.
(2) El artículo tuvo un descuento del 8%.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
E) Se requiere información adicional.
RESPUESTAS
CLAVES PÁG. 7
Ejemplos
Págs. 1 2 3
1. E 11. D 21. A
2. D 12. C 22. A
3. B 13. C 23. D
4. B 14. B 24. A
5. D 15. E 25. B
6. D 16. E 26. A
7. A 17. A 27. B
8. D 18. B 28. C
9. B 19. C 29. D
10. C 20. E 30. C
1 C C D
2 C A
3 C B C
4 A B
5 C E C
6 E A C
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