Derivada (Introducción al Cálculo de Variables)
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El documento explica conceptos básicos sobre derivadas matemáticas. Introduce la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado y cómo se calcula analíticamente. Luego presenta ejemplos del cálculo de derivadas de funciones como polinomios, exponenciales y logarítmicas. Finalmente, muestra cómo determinar la ecuación de la recta normal a una función en un punto específico usando la derivada.
Derivada (Introducción al Cálculo de Variables)
- 1. INSTITUTO INTEGRADO CUSTODIO GARCÍA ROVIRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Lic. LUIS FERNANDO WALDO MARTINEZ DERIVADA Para interpretar el concepto de derivada debemos tener bien claro el de incremento. Para ello la siguiente descripción nos permite hacer un acercamiento bastante acertado a cerca de este concepto. Seax y y dos variables que se encuentran relacionadas por la ecuación ,f implica una dependencia del valor de y con respecto a los valores de x. Por ejemplo la longitud de un resorte depende en forma directa de la cantidad de fuerza que se le aplique. Si ycorresponde a la longitud del resorte y x es la fuerza aplicada, un incremento hen la fuerza genera un incrementok en la longitud del resorte. La cual pasa de a o escrita de otra forma por lo que . El incremento medio de la cuando pasa a está dado por la expresión , por lo que la derivada estaría descrita como:
- 2. INSTITUTO INTEGRADO CUSTODIO GARCÍA ROVIRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Lic. LUIS FERNANDO WALDO MARTINEZ DEFINICIÓN GEOMÉTRICA: La derivada es la pendiente de la recta tangente de una curva en un punto dado. DEFINICIÓN ANALÍTICA: Partiendo del concepto de pendiente en donde: Ahora observemos la gráfica del lado y nótese que al remplazar en la fórmula de la pendiente tenemos que: Por lo que: Entonces: NOTACIÓN: La derivada se puede denotar de diversas formas como aparece a continuación:
- 3. INSTITUTO INTEGRADO CUSTODIO GARCÍA ROVIRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Lic. LUIS FERNANDO WALDO MARTINEZ CALCULO DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Ejemplo Nº 1: Dada la función y= x4 determine su derivada cuando x= 2. Veamos: Por lo tanto la derivada de la función y= x4 cuando x=2 sería: 4(2)3 = 4(8) = 32. Ejemplo Nº 2: Dada la función y= 5x2 + 4 determine su derivada cuando x= 3. Veamos:
- 4. INSTITUTO INTEGRADO CUSTODIO GARCÍA ROVIRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Lic. LUIS FERNANDO WALDO MARTINEZ Por lo tanto cuando x = 3 el valor de su derivada es 30. ACTIVIDAD Determine la derivada de las siguientes funciones y calcule su valor cuando x= 1. y= 4x3 y= 6x5 y= 3x2 + 7 y= 2x4 – 3 y= x2 + 5 Derivadas Básicas Derivada De Una Constante: La derivada de una constante es cero (0). Sea la función y= k entonces y’ = 0. Ejemplo si y= 9 entonces y’= 0. Derivada De La Función Idéntica: La derivada de la función idéntica uno (1). Sea la función y= x entonces y’ = 1. Ejemplo si y= 6x entonces y’= 6 pues es el resultado de 6 por 1. Derivada De Una Potencia: La derivada de la función y= xnestá dada por la expresión: por ejemplo: sea la función y= 3x5por lo tantoy’= 3(5)x5-1 = 15x4. Derivada De Una Suma: La derivada de la función y= f + g es la expresión: y’= f’ + g’. Por ejemplo: sea la función entonces . Derivada De Un Producto: La derivada de la función es la expresión: Por ejemplo: sea la función
- 5. INSTITUTO INTEGRADO CUSTODIO GARCÍA ROVIRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Lic. LUIS FERNANDO WALDO MARTINEZ Derivada De Un Cociente: La derivada de la función es la expresión: Por ejemplo sea la función entonces: Otras Derivadas: A continuación se detallan otras funciones y sus respectivas derivadas: Funciones potenciales Función Derivada Ejemplo y derivada Funciones exponenciales
- 6. INSTITUTO INTEGRADO CUSTODIO GARCÍA ROVIRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Lic. LUIS FERNANDO WALDO MARTINEZ Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL
- 7. INSTITUTO INTEGRADO CUSTODIO GARCÍA ROVIRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Lic. LUIS FERNANDO WALDO MARTINEZ Determinar la ecuación de la recta en un punto establecido, es un proceso que se torna sencillo gracias a las bondades de la derivada. Apreciemos el siguiente ejemplo: Hallar la ecuación de la recta normal en el punto x = 1. Solución: Calculamos la pendiente de la recta tangente.Partiendo de que y= x2 +6x+5 obtenemos al derivar las expresión:y’= 2x + 6. Ahora al remplazar el valor asignado a x tendremos que: y = 2(1) + 6 = 8. NOTA: Como se aprecia en la gráfica de la función y= x2 +6x+5 y su derivada y’= 2x + 6, encontraremos que cuando x = 1 la función original hace intersección en y = 8 con la ecuación de la recta normal que se obtuvo al derivar. (1,8)