7. complejos

LA CLASE VIRTUAL

LOS NUMEROS COMPLEJOS


 La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en
el campo de los números reales.
 loge(-2) no es un número real.
 Tampoco es un número real (-2)

 Un número complejo viene dado por un
par ordenado (a, b) de números reales. El
primero se llama parte real, y se escribe
a=Re(
 El segundo se llama parte imaginaria, y se
escribe
b Im(

 Se puede establecer una correspondencia
biunívoca entre el conjunto C=R2 de los
números complejos y el conjunto E2 de
puntos del plano, habiendo fijado un
sistema de referencia cartesiano.
 De modo que el complejo (a,b)
representa el punto P (llamado afijo), cuyas
coordenadas son precisamente a y b.


 El complejo (0,1) se representa mediante la
letra i y es la unidad imaginaria.
 Los números reales son los números
complejos de la forma (a,0), donde a es el
número real que se identifica con el
complejo (a,0). Los números imaginarios
son de la forma (a,b), con b distinto de cero.

 Los números reales forman el conjunto R al
que le corresponde el eje de abscisas. Los
números imaginarios puros se corresponden
con los puntos del eje de ordenadas.
 El módulo del complejo (a,b) viene dado
por a 2 b2 y el argumento por el valor
de tal que tg b / a . Nótese que si es
un argumento también lo es k

 El argumento se llama principal si
 La representación módulo argumental del
complejo (a,b) viene dada por
 La identidad entre los complejos (a,b) y
(c,d) equivale a: a=c y b=d
 La identidad entre los complejos y
equivale a: y + k

 El paso del par ordenado a la forma módulo
argumental se logra del siguiente modo:
(a , b )
2 2
a cos a b
arctg(b / a )
signo( ) signo(b)
b sin

 La aritmética compleja viene dada por:

(a , b) (c, d ) (a c, b d )
(a , b)( c, d ) (ac bd, ad bc)

 Se demuestra fácilmente que:

 El opuesto de (a,b) es -(a,b)=(-a,-b)
 El inverso de =(a,b), distinto de cero (0,0),
es
1 a b
( 2 2
, 2 2
)
a b a b

 También se tiene que para distinto de
cero 1 1
( ) ( )

 La forma binómica del complejo (a,b) se
escribe a+ib, ya que
(a , b ) (a ,0) (0, b) (a ,0) (0,1) * (b,0)
(a , b ) a ib

 La forma trigonométrica del complejo
viene dada por (cos +isin ), puesto que
(a, b) a ib ( cos ) i( sin )
(cos i sin )

 La forma exponencial del complejo viene
dada por
ei

teniendo en cuenta la fórmula de Euler de la
exponencial compleja:

ei cos i sin

 Nótese que i2 = -1 y que la ecuación x2+1=0
tiene como soluciones imaginarias i y -i.
 De otra parte: i 3 i, i 4 1, i 5 i, etc.
 Además, si n es un número natural se tiene:
( )n ( )n (n )

( (cos i sin )) n ( ) n (cos(n ) i sin(n ))
(cos i sin ) n cos(n ) i sin(n )
(Fórmula de De Moivre)

 Las expresiones anteriores son válidas para
n negativo.
 Además: m/n
( 1/ n m
)
1/ n
de donde basta definir
para poder evaluar la expresión m/n

con m y n enteros, n positivo.

1/ n
 La expresión en realidad
corresponde a n números complejos
diferentes dados por
1/ n
( ) 2k ,
n

k 0,1,2,...,n - 1

 Los afijos de son los vértices de un
polígono regular de n lados, centrado en el
origen de coordenadas.

 Se justifica lo anterior como sigue:
n
( )
n
, n 2k
1/ n
, ( 2k ) / n

 Para los demás valores de k se repiten las
soluciones cíclicamente

 La exponencial compleja se define muy
fácilmente: Sea =(a,b), entonces
a ib a ib a
e e e (e ) e (cos b i sin b)
 Nótese que:
e e e
0
e 1

 El logaritmo de un número complejo en
realidad son infinitos complejos. En
concreto:

ln( ) ln i( 2k ),
k 0, 1, 2, 3,...

 La justificación de lo anterior es como
sigue: Sea (cos i sin )
e ln( )
Si u iv se tiene :
e eu iv
e u e iv e u (cosv i sin v)
(cos i sin ), luego
eu , o bien, u ln y
v 2k , en definitiva :
ln( ) u iv ln i( 2k )

 Para k=0 se obtiene el valor principal del
logaritmo, con

Ln ( ) ln i
ln( )
 Nótese que: e
 Se define mediante
ln
e

 EJEMPLOS:
– 1) loge(-2)

log e ( 2) ln( 2 ) ln 2 i( 2k )
ln 2 i(1 2k ) Ln ( 2) ln 2 i

– 2) (-2)
ln( 2 ) (ln 2 i (1 2 k ) )
( 2) (2 ) e e
2
ln 2 i (1 2 k ) ln 2 2 2
e e e (cos( 2k )
1 i sin(1 2k ) )

 EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
( 2) e ln 2 (cos 2
i sin 2
)
- 7.9662 - i 3.7974
– 3) ii
i i ln i i ln(1 /2)
i e e
i (ln1 i ( / 2 2 k )) ( / 2 2k )
e e

 EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
i /2
i e 0.2079
– 4) Hállese las fórmulas del coseno y seno del
ángulo doble.

 EJEMPLOS:
– Se tiene que

2
(cos i sin ) (cos2 i sin 2 )
2 2
cos 2 cos sin
sin 2 2 sin cos

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