06 método simplex
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El documento proporciona una introducción al método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica los conceptos básicos como maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a restricciones lineales, y cómo el método simplex itera entre soluciones factibles para encontrar una solución óptima moviéndose de un vértice a otro en la región factible. Presenta ejemplos numéricos para ilustrar los pasos del algoritmo simplex.
06 método simplex
- 1. Programación Lineal Método Simplex
- 2. Método Simplex Idea conceptual: Desde que las soluciones que optimizan la F.O. se encuentran en la frontera de la región Factible y en particular en los vértices de esta. El simplex localiza un vértice de la región y salta para el siguiente vértice adyacente de forma que mejore el valor de la F.O. IO1 R.Delgadillo 2
- 3. Método Simplex Ejemplo: max z = 3x1 + 4x2 s.a. x1 + x2 < 9 x1 + 2 x2 < 16 x1, x2 > 0 IO1 R.Delgadillo 3
- 4. Método Simplex 0,9 0,8 2,7 16,0 9,0 IO1 R.Delgadillo 4
- 5. Sistema de ecuaciones lineares Dado Ax = b , A de dimensión m x n, x de dimensión n y b de dimensión m Si la matriz A es inversible ( esto es m=n) => Ax = b , tiene como única solución x=Ab por otro lado, si el rango de la matriz aumentada (A|b) es mayor que el rango de la matriz A => Ax = b no tiene solución. Si el rango de (A|b) es igual al rango de A e igual k < n, => Ax = b tiene infinitas soluc. IO1 R.Delgadillo 5
- 6. Método Simplex (conceptos) Dado Ax = b, un sistema de ecuaciones consistente indeterminado (n>m) Se puede escribir: A= (B,N) , donde Bmxm inversible y Nmx(n-m). Las columnas de la matriz B, son vectores de dimensión m , que constituyen una base del espacio R, denominase a B m como matriz básica. IO1 R.Delgadillo 6
- 7. Método simplex Sea Equivalente max z = Cx max z = CBxB +CN xN s.a. s.a. Ax = b BxB + NxN = b x>0 xB > 0, xN > 0 de donde: xB = B -1b – B -1 N Nx z = CBB -1 -(CB B -1N -CN ) xN b IO1 R.Delgadillo 7
- 8. Método simplex En la tabla: xN xB xB B -1N I B -1b -z CBB -1N-CN 0 CBB -1b -1 Una solución inicial es: xN = 0, xB = B b, z= CBB b -1 -1 IO1 R.Delgadillo 8
- 9. Método Simplex (algoritmo) 1. Determine una solución básica factible 2. Verifique si la solución es óptima: vea si los costos reducidos en el tablero son ceros o negativos, en ese caso pare, Sol óptima. 3. Determine una nueva solución básica factible: -variable que entra a la base xj = coef más positivo -variable que sale de la base = min{B -1 b/a.j/ a.j>0} 4. Regresar a paso 2 IO1 R.Delgadillo 9
- 10. Método Simplex x1 x2 x3 x4 x3 1 1 1 0 9 VB={x3=9,x4=16} x4 1 2* 0 1 16 VNB={x1=x2=0} -z 3 4 0 0 0 x3 1/2* 0 1 -1/2 1 x2 1/2 1 0 1/2 8 -z 1 0 0 -2 -32 IO1 R.Delgadillo 10
- 11. Método Simplex x1 x2 x3 x4 x1 1 0 2 -1 2 x2 0 1 -1 1 7 -z 0 0 -2 -1 -34 sol óptima x1=2, x2=7, x3=4, x4=0 z= 34 IO1 R.Delgadillo 11
- 12. Método Simplex Ejemplo: En la forma normal Max z= x1 + 2 x2 Max z= x1 + 2 x2 s.a. s.a. -2x1 + x2 < 7 -2x1 + x2 + x3 = 7 x1 - x2 < 2 x1 - x2 + x4 = 2 x1, x2 > 0 x1, x2, x3, x4 > 0 IO1 R.Delgadillo 12
- 13. Método Simplex x1 x2 x3 x4 x3 -2 1* 1 0 7 x4 1 -1 0 1 2 -z 1 2 0 0 0 x2 -2 1 1 0 7 B a.j<0, => z->oo (óptimo x4 -1 0 1 1 9 -1 no-finito) -z 5 0 -2 0 -14 IO1 R.Delgadillo 13
- 14. Método Simplex Ejemplo: Max z = 15x1 + 30 x2 s.a. 4x1 + x2 + x3 = 36 x1 +2x2 + x4 = 30 x1, x2, x3, x4 > 0 IO1 R.Delgadillo 14
- 15. Método Simplex x1 x2 x3 x4 x3 4 1 1 0 36 x4 1 2* 0 1 30 Obs: Los costos reducidos asociados -z 15 30 0 0 0 a las VB son 0,y de las VBN son diferen x3 7/2* 0 1 -1/2 21 de cero x2 1/2 1 0 1/2 15 -z 0 0 0 -15 -450 Sol.óptima IO1 R.Delgadillo 15
- 16. Método Simplex x1 x2 x3 x4 x1 1 0 2/7 -1/7 6 x2 0 1 -1/7 4/7 12 -z 0 0 0 -15 -450 Otra Sol. óptima Soluciones óptimas alternativas: x3=21, x2=15, x1=x4=0, Z=450 x1=6, x2=12, x3=x4=0, Z=450 IO1 R.Delgadillo 16
- 17. Método Simplex Problema de mínimo: Primer caso: hacer Min z = Max (-z) y efectuar el algoritmo para resolver el problema de mínimo. Segundo caso: modificar algoritmo -variable que entra a la base xj = coef más negativo - condición de parada es todos los costos reducidos son ceros o positivos. IO1 R.Delgadillo 17
- 18. Ejercicios Resuelva por la tabla del simplex los siguientes problemas: Max 2x1 + 7x2 sujeto a: 3x1 + 4x2 <= 12 x1 + 8x2 <= 8 6x1 + x2 <= 15 x1, x2 >= 0 IO1 R.Delgadillo 18
- 19. Ejercicio Min 50 x1 + 100 x2 Sujeto a: 7 x1 + 2 x2 >= 28 2 x1 + 12 x2 >= 24 x1, x2 >= 0 IO1 R.Delgadillo 19