Unmsm fisi - restricciones - io1 cl06
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Este documento describe dos métodos para resolver problemas de programación lineal con restricciones de igualdad y desigualdad: 1) el método de penalización, el cual asigna un alto costo a las variables artificiales para eliminarlas de la base, y 2) el método de doble fase, el cual resuelve el problema en dos fases, primero minimizando las variables artificiales y luego optimizando la función objetivo original. Ambos métodos generan una solución básica inicial usando variables artificiales y luego las eliminan para encontrar la solución óptima.
Unmsm fisi - restricciones - io1 cl06
- 1. 1 Restricciones “=“ y “≥” Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática Investigación Operativa I 2 Estos problemas requieren un tratamiento diferente al procedimiento del método Simplex. Ejemplo: Restricciones “=“ y “≥” 21 x5x3ZMin +−= 18x2x3 21 ≥+ 6x2 ≤ 0x,x 21 ≥ sujeto a 4x1 ≤
- 2. 2 3 A la forma estándar, añadiendo las variables de holgura y de exceso: Restricciones “=“ y “≥” 21 x5x3ZMin +−= 18xx2x3 521 =−+ 6xx 42 =+ 0x,x,x,x,x 54321 ≥ sujeto a 4xx 31 =+ 4 La solución básica inicial sería: Restricciones “=“ y “≥” 18x18x 55 −=⇒=− 6x4 = 4x3 = Lo que contradice con las condiciones de no negatividad. Se hace necesario el uso de las “variables artificiales”. Cuyo propósito es generar una solución básica inicial.
- 3. 3 5 Añadiendo las variables artificiales: Restricciones “=“ y “≥” 21 x5x3ZMin +−= 18wxx2x3 1521 =+−+ 6xx 42 =+ 0w,x,x,x,x,x 154321 ≥ sujeto a 4xx 31 =+ 6 Para este caso en particular la base inicial esta compuesta por x3, x4 y w1. Las variables artificiales no deben permanecer en la base, dado que no son propiamente variables del sistema. La manera de eliminar las variables artificiales de la base origina 2 métodos: Restricciones “=“ y “≥” 1) Método de Penalización (o de la M grande). 2) Método de la Doble Fase.
- 4. 4 7 Método de Penalización (o de la M grande) Las variables artificiales participan en la función objetivo con un costo prohibitivo. Si la función objetivo es de maximización, el coeficiente de las variables artificiales será –M, si la función objetivo es de minimización, el coeficiente de las variables artificiales será +M, siendo M un valor extremadamente grande. Con estos costos prohibitivos las variables artificiales deben ser las primeras candidatas a salir de la base. Restricciones “=“ y “≥” 8 Para el ejemplo se tiene: Restricciones “=“ y “≥” 154321 Mw0x0x0x5x3xZMin +++++−= 18wxx2x3 1521 =+−+ 6xx 42 =+ 0w,x,x,x,x,x 154321 ≥ sujeto a 4xx 31 =+
- 5. 5 9 Construyendo el tablero Simplex: Restricciones “=“ y “≥” Z x1 x2 x3 x4 x5 w1 Sol. Z 1 3 -5 0 0 0 -M x3 0 1 0 1 0 0 0 4 x4 0 0 1 0 1 0 0 6 w1 M 3 2 0 0 -1 1 18 Θ Pero este tablero aún requiere ser transformado para que se cumplan las condiciones de variables básicas (vector unitario y coeficiente Zj-cj = 0). 10 Transformando y resolviendo por el método Simplex: Restricciones “=“ y “≥” Z x1 x2 x3 x4 x5 w1 Sol. Z 1 3M+3 2M-5 0 0 -M 0 18M x3 0 1 0 1 0 0 0 4 4 x4 0 0 1 0 1 0 0 6 w1 M 3 2 0 0 -1 1 18 6 Θ Z 1 0 2M-5 -3M-3 0 -M 0 6M-12 x1 -3 1 0 1 0 0 0 4 x4 0 0 1 0 1 0 0 6 w1 M 0 2 -3 0 -1 1 6
- 6. 6 11 Transformando y resolviendo por el método Simplex: Restricciones “=“ y “≥” Z x1 x2 x3 x4 x5 w1 Sol. Z 1 0 2M-5 -3M-3 0 -M 0 6M-12 x1 -3 1 0 1 0 0 0 4 x4 0 0 1 0 1 0 0 6 6 w1 M 0 2 -3 0 -1 1 6 3 Θ Z 1 0 0 -21/2 0 -5/2 -M+5/2 3 x1 -3 1 0 1 0 0 0 4 x4 0 0 0 3/2 1 1/2 -1/2 3 x2 5 0 1 -3/2 0 -1/2 1/2 3 12 Solución: Restricciones “=“ y “≥” 0x3 = 3x2 = 4x1 = 0w1 = 0x5 = 3x4 = 3Z =
- 7. 7 13 Método de la Doble Fase Al implementar en software el método de Penalización, se originan errores de redondeo por el uso de un parámetro M muy grande. El métodos de la Doble Fase requiere el siguiente procedimiento: Restricciones “=“ y “≥” FASE 1.- Resolver: Min Z = w1 + w2 + ... + wk Sujeto al conjunto de restricciones dado. El resultado debe ser w1= 0, w2 = 0, ..., y wk = 0. 14 Restricciones “=“ y “≥” FASE 2.- Se retiran del cuadro óptimo de la FASE 1, las columnas correspondientes a las variables artificiales, y se resuelve con la función objetivo original.
- 8. 8 15 Para el ejemplo se tiene: Restricciones “=“ y “≥” 18wxx2x3 1521 =+−+ 6xx 42 =+ 0w,x,x,x,x,x 154321 ≥ sujeto a 4xx 31 =+ 154321 w0x0x0xx0x0ZMin +++++= 16 Construyendo el tablero Simplex: Restricciones “=“ y “≥” Transformado el tablero para que se cumplan las condiciones de variables básicas (vector unitario y coeficiente Zj-cj = 0). Z x1 x2 x3 x4 x5 w1 Sol. Z 1 0 0 0 0 0 -1 x3 0 1 0 1 0 0 0 4 x4 0 0 1 0 1 0 0 6 w1 1 3 2 0 0 -1 1 18 Θ
- 9. 9 17 Transformando y resolviendo por el método Simplex: Restricciones “=“ y “≥” Z x1 x2 x3 x4 x5 w1 Sol. Z 1 3 2 0 0 -1 0 18 x3 0 1 0 1 0 0 0 4 4 x4 0 0 1 0 1 0 0 6 w1 1 3 2 0 0 -1 1 18 6 Θ Z 1 0 2 -3 0 -1 0 6 x1 0 1 0 1 0 0 0 4 x4 0 0 1 0 1 0 0 6 w1 1 0 2 -3 0 -1 1 6 18 Transformando y resolviendo por el método Simplex: Restricciones “=“ y “≥” Z x1 x2 x3 x4 x5 w1 Sol. Z 1 0 2 -3 0 -1 0 6 x1 0 1 0 1 0 0 0 4 x4 0 0 1 0 1 0 0 6 6 w1 1 0 2 -3 0 -1 1 6 3 Θ Z 1 0 0 0 0 0 -1 0 x3 0 1 0 1 0 0 0 4 x4 0 0 0 3/2 1 1/2 -1/2 3 x2 0 0 1 -3/2 0 -1/2 1/2 3
- 10. 10 19 Eliminando la columna de w1 y resolviendo: Restricciones “=“ y “≥” 54321 0x0x0x5x3xZMin ++++−= Z x1 x2 x3 x4 x5 Sol. Z 1 3 -5 0 0 0 x1 -3 1 0 1 0 0 4 x4 0 0 0 3/2 1 1/2 3 x2 5 0 1 -3/2 0 -1/2 3 Θ Transformado el tablero para que se cumplan las condiciones de variables básicas (vector unitario y coeficiente Zj-cj = 0). 20 Siendo el tablero resultante: Restricciones “=“ y “≥” Z x1 x2 x3 x4 x5 Sol. Z 1 0 0 -21/2 0 -5/2 3 x1 -3 1 0 1 0 0 4 x4 0 0 0 3/2 1 1/2 3 x2 5 0 1 -3/2 0 -1/2 3 Θ Se verifica que el tablero ya es óptimo.
- 11. 11 21 Solución: Restricciones “=“ y “≥” 0x3 = 3x2 = 4x1 = 0x5 = 3x4 = 3Z = 22 NOTA: Si alguna variable artificial permanece en la base óptima, el problema no tiene solución. Restricciones “=“ y “≥”