140 funciones dosvariables
- 1. Univ. de Alcal´ de Henares a Ingenier´ de Telecomunicaci´n ıa o C´lculo. Segundo parcial. a Curso 2004-2005 Funciones de dos variables. Gr´ficas y superficies. a Puede ser conveniente la visualizaci´n en pantalla o el uso de una impresora en color para o algunas figuras 1. Funciones de dos variables. Gr´ficas a La primera parte del curso se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable, f :R→R El siguiente paso en complejidad lo representan las funciones de dos variables. f : R2 → R Estas funciones se representan a menudo mediante el s´ ımbolo: z = f (x, y) (esta mezcla de notaci´n z y f es com´n). o u Es posible representar gr´ficamente una de estas funciones f : R2 → R mediante su gr´fica: a a graf(f ) = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ U, z = f (x, y) Esta gr´fica es, hablando informalmente, una superficie en R3 : sobre cada punto (x, y) del plano a xy dibujamos un punto (x, y, z) a altura z = f (x, y). El conjunto obtenido al dibujar las im´genes a de todos los puntos (x, y) de U es la gr´fica de f . a Ejemplo 1.1. El ejemplo m´s sencillo (sin ser constante) de una de estas funciones es un a polinomio de grado 1, de la forma: z = f (x, y) = ax + by + c, con a, b, c constantes Esta funci´n tan sencilla tiene, naturalmente una gr´fica sencilla. La gr´fica est´ formada por o a a a los puntos del plano z = ax + by + c 1
- 2. Naturalmente, si se consideran funciones m´s complicadas sus gr´ficas se corresponden con a a superficies m´s complejas que el plano. a Ejemplo 1.2. Por ejemplo la funci´n o 1 1 1 1 f (x, y) = (3/2)e 1+(x−1)2 +(y−1)2 −(5/2)e 1+(1/4)(x+1/2)2 +(1/36)(y−1)2 +2e 1+(x−2)2 +(y−2)2 +2e 1+(x−1)2 +(y+1)2 tiene una gr´fica con este aspecto: a Como puede verse en este ejemplo, en general una gr´fica se corresponde a una superficie con a un paisaje lleno de accidentes: cumbres, valles, puertos, etc´tera. Uno de nuestros objetivos es e ser capaces de identificar y describir esas caracter´ısticas de la gr´fica, al igual que hemos hecho a en el caso de las funciones de una variable. Por ejemplo, las cumbres de ese paisaje que forma la gr´fica se corresponden con los m´ximos locales de la funci´n z = f (x, y), y en las aplicaciones a a o resulta muchas veces esencial disponer de un procedimiento para localizar esos m´ximos con a tanta precisi´n como se desee. o 2. Curvas de nivel Hemos comparado la gr´fica de una funci´n z = f (x, y) con un paisaje con un cierto re- a o lieve. En cartograf´ se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano) alguna ıa informaci´n tridimensional del relieve que corresponde a la zona representada. En esta figura se o muestra una parte de un mapa cartogr´fico del Parque Nacional de Ordesa, en los Pirineos en a el que se aprecian con claridad esas curvas de nivel. 2
- 3. En la esquina superior izquierda de este mapa aparece el Pico Descargador, una curiosa formaci´n o geol´gica en la que la naturaleza parece haber querido representar de modo expl´ o ıcito la idea de curvas de nivel. He aqu´ una foto de ese pico: ı Las curvas de nivel se obtienen cortando la gr´fica con planos horizontales situados a distintas a alturas. En la siguiente figura se muestra una gr´fica (la del ejemplo previo) cortada con dos a planos horizontales a distintas alturas. 3
- 4. Si cortamos la gr´fica con varios de estos planos horizontales obtenemos una serie de curvas a situadas sobre la gr´fica: a Y si ahora proyectamos esas curvas sobre el plano xy (lo cual equivale a mirar la gr´fica, el a paisaje, desde arriba, a vista de p´jaro) vemos una familia de curvas planas, que son las curvas a de nivel de esta gr´fica: a Con algo de entrenamiento resulta sencillo aprender a interpretar estas familias de curvas para deducir a partir de ellas los accidentes del terreno que representa el mapa. 4
- 5. 2.0.1. Ecuaci´n de las curvas de nivel o Un plano horizontal tiene por ecuaci´n: z = c con c constante La intersecci´n de la gr´fica o o a de f con el plano horizontal son por tanto los puntos (x, y, z) tales que z = f (x, y) = c. Para entender como es la gr´fica de f , sin embargo, lo que nos interesa es la proyecci´n de este a o conjunto sobre el plano (x, y). Es decir, el conjunto formado por todos los puntos (x, y) del plano en los que f toma el valor c. Definici´n 2.1. La curva de nivel c de la funci´n z = f (x, y) es el conjunto de puntos (x, y) o o del plano que cumplen f (x, y) = c Es decir, es el conjunto de puntos en los que f vale c. Iremos viendo a lo largo del curso algunas propiedades de las curvas (en general conjuntos) de nivel que los hacen interesantes en s´ mismos. Adem´s, las curvas de nivel pueden servir, como dec´ ı a ıamos, para ayudarnos a visualizar la gr´fica de una funci´n z : R2 → R. Porque, como hemos dicho, el c-conjunto de a o nivel es la proyecci´n en el plano xy de la intersecci´n de la gr´fica de f con el plano horizontal o o a z = c. Puesto que en los puntos del conjunto nivel fc la funci´n vale c, podemos imaginar que o tomamos el conjunto de nivel y lo situamos a altura z = c. De esa forma obtenemos una parte de la gr´fica de la funci´n. Repitiendo esto para muchos valores de c se obtiene una aproximaci´n a o o a la gr´fica de f . Veamos un ejemplo: a Ejemplo 2.2. Dada la funci´n z = f (x, y) = x2 + y 2 , ¿cu´les son sus curvas de nivel? o a Se trata de estudiar los conjuntos: zc = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 = c} √ Y como puede verse, son circunferencias centradas en el origen, de radio c. 5
- 6. En este ejemplo, si subimos cada curva de nivel a la correspondiente altura c se obtiene esta figura: De hecho la gr´fica de f , representada en un ordenador, es as´ a ı: 6
- 7. Se trata de una superficie que se denomina paraboloide circular, de la que hablaremos m´s a adelante. 3. Secciones con planos verticales La informaci´n que se obtiene a partir de las curvas de nivel de una funci´n f se puede o o complementar mediante el estudio de las secciones de dicha gr´fica con planos verticales. La a ecuaci´n de un plano vertical cualquiera que pasa por el punto (x0 , y0 ) es: o a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0, (∗) donde a, b son dos coeficientes que deciden la direcci´n del plano. o 7
- 8. Podemos estudiar estas secciones, por ejemplo, usando la ecuaci´n (∗) para despejar y = o b + mx. Entonces, un punto que est´ a la vez en la gr´fica de f y en el plano vertical tiene que e a cumplir esta relaci´n: o z = f (x, y) = f (x, b + mx) La cual permite expresar la coordenada z de esos puntos como funci´n s´lo de la coordenada o o x. Esta funci´n de una variable es como las que hemos estudiado en el primer curso de c´lculo, o a y podemos aplicarle todos los m´todos que all´ se aprenden; en particular la idea de derivada, e ı aplicada a estas funciones, nos va a conducir en un cap´ ıtulo posterior a las derivadas parciales y direccionales. Para entender algunas gr´ficas sencillas, son especialmente utiles las secciones con los planos a ´ paralelos a los dos planos coordenados verticales: el plano xz (de ecuaci´n y = 0) y el plano yz o (de ecuaci´n x = 0.) En el siguiente ejemplo ilustramos la utilidad de estas secciones. o Ejemplo 3.1. Vamos a tratar de entender la gr´fica de la funci´n a o g(x, y) = x2 + y 2 Para estudiar sus curvas de nivel plantemos la ecuaci´n: o x2 + y 2 = c y descubrimos que (para c > 0) la curva de nivel c es una circunferencia de radio c (para c < 0 es vac´ Eso significa que el conjunto de curvas de nivel en este ejemplo coincide con el de la ıa). funci´n o f (x, y) = x2 + y 2 ejemplo 2.2. ¡Pero eso no significa que las dos gr´ficas sean iguales! De hecho la misma circun- a ferencia corresponde a valores distintos de c en cada uno de los dos casos. La diferencia entre 8
- 9. las dos gr´ficas queda de manifiesto si se estudian sus cortes con el plano vertical x = 0. En el a caso de f se obtiene z = f (0, y) = y 2 que representa una par´bola en el plano yz. Esto encaja con nuestros anteriores descubrimientos, a ya que el corte del paraboloide con el plano yz es precisamente una parabola, como se muestra en la figura: Sin embargo en la funci´n g el corte con el plano yz produce o z = f (0, y) = y 2 = |y| Por lo tanto el p´rfil de la gr´fica es ´ste: e a e Y un minuto de reflexi´n, combinando esta informaci´n con la forma de las curvas de nivel, o o convencer´ al lector de que la gr´fica de g es un cono invertido con v´rtice en el origen: a a e 9
- 10. 4. Un ejemplo importante: la silla de montar No queremos cerrar este tema sin presentar un ejemplo que ser´ muy importante m´s adelante a a en el curso. Se trata de la funci´n o z = f (x, y) = x2 − y 2 Sus curvas de nivel son la familia de hip´rbolas e x2 − y 2 = c Es decir: Situando cada una de esas hip´rbolas a la altura correspondiente al valor de c se concluye que e la gr´fica es ´sta: a e Esta superficie se conoce como paraboloide hiperb´lico o silla de montar. o 10