18. Extremos de funciones.pdf

2 Extremos de funciones
Introducción Ahora abordaremos el problema de encontrar los valores máximo y mínimo
de una función f sobre un intervalo I. Veremos que al encontrar estos extremos de f (en caso de
haber alguno) en muchos casos es posible trazar fácilmente su gráfica. Al encontrar los extre-
mos de una función también es posible resolver ciertos tipos de problemas de optimización. En
esta sección establecemos algunas definiciones importantes y mostramos cómo puede encontrar
los valores máximo y mínimo de una función f que es continua sobre un intervalo cerrado I.
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EXTREMOS DE FUNCIONES

Los extremos absolutos también se denominan extremos globales.
A partir de su experiencia al graficar funciones debe serle fácil, en algunos casos, ver
cuándo una función posee un máximo o un mínimo absoluto. En general, una función cuadrá-
tica f (x) = ax2
+ bx + c tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto. La función
tiene el máximo absoluto f(0) = 4. Una función lineal no
tiene extremos absolutos. Las gráficas de las funciones conocidas y = 1 x, y = x3
, y = tan x,
y = ex
y y = ln x muestran que éstas no tienen extremos absolutos. Las funciones trigonomé-
tricas y = sen x y y = cos x tienen un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
EJEMPLO 1 Extremos absolutos
Para f(x) ⫽ sen x, f(p2) = 1 es su máximo absoluto y es su mínimo absoluto.
Por periodicidad, los valores máximo y mínimo también ocurren en y
respectivamente.
El intervalo sobre el que la función está definida es muy importante en la consideración
de extremos.
EJEMPLO 2 Funciones definidas sobre un intervalo cerrado
a) definida sólo sobre el intervalo cerrado [1, 2], tiene el máximo absoluto
f(2) = 4 y el mínimo absoluto f(1) = 1. Vea la FIGURA 5.2.2a).
b) Por otra parte, si f(x) = x2
está definida sobre el intervalo abierto (1, 2), entonces f
no tiene extremos absolutos. En este caso, f(1) y f(2) no están definidos.
c) f(x) = x2
definida sobre tiene el máximo absoluto f(2) = 4, pero ahora el
mínimo absoluto es f(0) = 0. Vea la figura 5.2.2b).
d) f(x) = x2
definida sobre (-1, 2), tiene un mínimo absoluto f(0) = 0, pero no un
máximo absoluto.
Los incisos a) y c) del ejemplo 2 ilustran el siguiente resultado general.
[⫺1, 2],
f(x) ⫽ x2
,
x ⫽ 3p2 ⫹ 2np, n ⫽ ⫾1, ⫾2, . . . ,
x ⫽ p2 ⫹ 2np
f(3p2) ⫽ ⫺1

f(x) ⫽ ax ⫹ b, a ⫽ 0,
f(x) ⫽ 4 ⫺ x2
x
y
ƒ(c1
) ƒ(x)ƒ(c2
)
para a x b
ƒ(c1
)
ƒ(c2
)
a b
c1 c2
FIGURA 5.2.3 La función f tiene
un máximo absoluto y un mínimo
absoluto
a) ƒ definida sobre [1, 2]
máximo
absoluto
mínimo
absoluto
y
x
1 2
máximo
absoluto
mínimo
absoluto
y
x
2
1
b) ƒ definida sobre [1, 2]
FIGURA 5.2.2 Gráficas de
funciones en el ejemplo 2
Teorema 5.2.1 Teorema del valor extremo
Una función f continua sobre un intervalo cerrado [a, b] siempre tiene un máximo absolu-
to y un mínimo absoluto sobre el intervalo.
En otras palabras, cuando f es continua sobre [a, b], hay números f(c1) y f(c2) tales que
para toda x en [a, b]. Los valores f(c2) y f(c1) son el máximo absoluto y
el mínimo absoluto, respectivamente, sobre el intervalo cerrado [a, b]. Vea la FIGURA 5.2.3.
Extremos de un punto frontera Cuando un extremo absoluto de una función ocurre en un
punto frontera de un intervalo I, como en los incisos a) y c) del ejemplo 2, decimos que se
trata de un extremo de un punto frontera. Cuando I no es un intervalo cerrado; es decir,
cuando I es un intervalo como (a, b], ( o entonces aunque f sea continua no
hay garantía de que exista un extremo absoluto. Vea la FIGURA 5.2.4.
[a, q),
⫺q, b]
f(c1) ⱕ f(x) ⱕ f(c2)
y
x
10
8
6
4
2
1
1 2 3 4
mínimo absoluto
y x23x 4
FIGURA 5.2.1 Mínimo absoluto
de una función
Definición 5.2.1 Extremos absolutos
i) Un número f(c1) es un máximo absoluto de una función f si para toda x en
el dominio de f.
ii) Un número f(c1) es un mínimo absoluto de una función f si para toda x en
el dominio de f.
f(x) ⱖ f(c1)
f(x) ⱕ f(c1)
Extremos absolutos En la FIGURA 5.2.1 se ha ilustrado la gráfica de la función cuadrática
. A partir de esta gráfica debe resultar evidente que el valor de la función
es la coordenada y del vértice, y como la parábola se abre hacia arriba, en el rango
de f no hay número menor que . Decimos que el extremo es el mínimo absoluto de f.
A continuación se definen los conceptos de máximo absoluto y mínimo absoluto de una función.
f A3
2B ⫽ 7
4
7
4
f A3
2B ⫽ 7
4
f(x) ⫽ x2
⫺ 3x ⫹ 4
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Extremos relativos En la FIGURA 5.2.5a) se ha ilustrado la gráfica de
Debido a que el comportamiento final de f es el de cuando y
cuando Con base en esta observación es posible concluir que esta fun-
ción polinomial no tiene extremos absolutos. No obstante, suponga que centramos la atención
en valores de x próximos a, o en una vecindad de, los números c1 y c2. Como se muestra en
la figura 5.2.5b), f(c1) es el valor mayor o máximo de la función f cuando se compara con
todos los demás valores de la función en el intervalo abierto (a1, b1); en forma semejante, f(c2)
es el valor mínimo de f en el intervalo (a2, b2). Estos extremos relativos, o locales, se defi-
nen como sigue.
x S ⫺q.
f(x) S ⫺q
x S q
y ⫽ x3
, f(x) S q
f(x) ⫽ x3
⫺ 5x ⫹ 8.
x
y
y3x4
4x3
12x2
10
3 2 1
10
10
20
1
a) Mínimo relativo próximo a x2
Máximo relativo próximo a x 0
Mínimo relativo próximo a x1
x
yxln x
y
1
1
1
b) Mínimo relativo próximo a x 0.4
FIGURA 5.2.6 Ubicación aproximada de extremos relativos
Como consecuencia de la definición 5.2.2 podemos concluir que
• Todo extremo absoluto, con excepción de un extremo de un punto frontera,
también es un extremo relativo.
Un extremo absoluto de un punto frontera se excluye de ser un extremo relativo con base en
el tecnicismo de que alrededor de un punto frontera del intervalo no puede encontrarse un
intervalo abierto contenido en el dominio de la función.
Hemos llegado al planteamiento de una pregunta evidente:
• ¿Cómo se encuentran los extremos de una función?
Incluso cuando tenemos gráficas, para la mayor parte de las funciones la coordenada x en que
ocurre un extremo no es evidente. Con ayuda de la herramienta para acercar o alejar una página
de un dispositivo para graficar, es posible buscar y, por supuesto, aproximar tanto la ubicación
como el valor de un extremo. Vea la FIGURA 5.2.6. A pesar de lo anterior, resulta aconsejable
poder encontrar la ubicación exacta y el valor exacto de un extremo.
Definición 5.2.2 Extremos relativos
i) Un número f(c1) es un máximo relativo de una función f si para toda x
en algún intervalo abierto que contiene a c1.
ii) Un número f(c1) es un mínimo relativo de una función f si para toda x
en algún intervalo abierto que contiene a c1.
f(x) ⱖ f(c1)
f(x) ⱕ f(c1)
y
x
c1 c2
yƒ(x)
a)
y
x
a1
c1
b1 a2
c2
b2
yƒ(x)
máximo
relativo
mínimo
relativo
ƒ(c1
)
ƒ(c2
)
b)
a c b
x
y
no hay
máximo
absoluto de
punto frontera
no es un
extremo de
punto frontera
mínimo
absoluto
a) ƒ definida sobre (a, b]
b
x
y
mínimo
absoluto de
punto frontera
b) ƒ definida sobre ( , b]
x
y
no hay extremo absoluto
c) ƒ definida sobre [0, )
FIGURA 5.2.4 Una función f continua sobre un intervalo que no tiene ningún extremo absoluto
FIGURA 5.2.5 Máximo relativo
en c1 y mínimo relativo en c2
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En algunos textos un número crítico x = c se denomina punto crítico.
EJEMPLO 3 Determinación de números críticos
Encuentre los números críticos de f (x) ⫽ x ln x.
Solución Por la regla del producto,
La única solución de o ln x ⫽ ⫺1 es Hasta dos cifras decimales, el número
crítico de f es
Encuentre los números críticos de
Solución Al diferenciar y factorizar se obtiene
Por tanto, observamos que para x ⫽ 0, x ⫽ ⫺2 y x ⫽ 1. Los números críticos de f
son 0, 2 y 1.
Solución Por la regla de potencias para funciones,
En este caso observamos que f ⬘(x) no existe cuando x ⫽ ⫺4. Puesto que ⫺4 está en el domi-
nio de f, concluimos que éste es su número crítico.
Solución Por la regla del cociente, después de simplificar encontramos,
Ahora, f⬘(x) ⫽ 0 cuando el numerador de f es 0. Al resolver la ecuación x(x ⫺ 2) ⫽ 0 obte-
nemos x ⫽ 0 y x ⫽ 2. Además, cuando se inspecciona el denominador de f se encuentra que
f⬘(x) no existe cuando x ⫽ 1. No obstante, al analizar f se observa que x ⫽ 1 no está en su
dominio, y así los únicos números críticos son 0 y 2.
f¿(x) ⫽
x(x ⫺ 2)
(x ⫺ 1)2
.
f(x) ⫽
x2
x ⫺ 1
.
f¿(x) ⫽
2
3
(x ⫹ 4)⫺13
⫽
2
3(x ⫹ 4)13
.
f(x) ⫽ (x ⫹ 4)23
.
⫺
f¿(x) ⫽ 0
f¿(x) ⫽ 12x3
⫹ 12x2
⫺ 24x ⫽ 12x(x ⫹ 2)(x ⫺ 1).
f(x) ⫽ 3x4
⫹ 4x3
⫺ 12x2
⫹ 10.
e⫺1
0.36.
x ⫽ e⫺1
.
f¿(x) ⫽ 0
En la figura 5.2.6a) se plantea que un mínimo relativo ocurre cerca de x = -2. Con las
herramientas de una calculadora o un SAC es posible convencernos de que este mínimo rela-
tivo es realmente un mínimo absoluto o global, pero con las herramientas del cálculo es posi-
ble demostrar en verdad que éste es el caso.
Números críticos El análisis de la FIGURA 5.2.7 junto con las figuras 5.2.5 y 5.2.6 sugiere
que si c es un número en el que la función f tiene un extremo relativo, entonces la tangente
es horizontal en el punto correspondiente a x ⫽ c o no es diferenciable en x ⫽ c. Es decir,
una de las dos: f⬘(c) ⫽ 0 o f⬘(c) no existe. Este número c recibe un nombre especial.
Definición 5.2.3 Número crítico
Un número crítico de una función f es un número c en su dominio para el cual f ⬘(c) ⫽ 0 o
f⬘(c) no existe.
y
x
máximo
relativo
mínimo
relativo
mínimo
relativo
y ƒ(x)
ƒ(c2
)
ƒ(c3)
ƒ(c1)
c1 c2 c3
FIGURA 5.2.7 f no es diferencia-
ble en c1; f⬘ es 0 en c2 y c3
f¿(x) x . 1
x
1 . ln x 1 ln x.
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DEMOSTRACIÓN Suponga que f (c) es un extremo relativo.
i) Si f⬘(c) no existe, entonces, por la definición 5.2.3, c es un número crítico.
ii) Si f⬘(c) existe, entonces hay tres posibilidades: f ¿(c) 7 0, f ¿(c) 6 0 o f ¿(c) ⫽ 0. Para aho-
rrar argumentos, también se supondrá que f(c) es un máximo relativo. Así, por la defini-
ción 5.2.2 hay algún intervalo abierto que contiene a c donde
(1)
donde el número h es suficientemente pequeño en valor absoluto. Entonces, la desigual-
dad en (1) implica que
(2)
Pero como [ f (c ⫹ h) ⫺ f (c)]h existe y es igual a f ¿(c), las desigualdades en (2)
muestran que y respectivamente. La única forma en que esto puede
ocurrir es cuando f ¿(c) = 0. El caso en que f(c) es un mínimo relativo se demuestra en forma
semejante.
Extremos de funciones definidos sobre un intervalo cerrado Se ha visto que una función
f que es continua sobre un intervalo cerrado tiene tanto un máximo absoluto como un mínimo
absoluto. El siguiente teorema indica dónde ocurren estos extremos.
f¿(c) ⱖ 0,
f¿(c) ⱕ 0
lím
hS0
f(c ⫹ h) ⱕ f(c)
Teorema 5.2.3 Determinación de extremos absolutos
Si f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces un extremo absoluto ocurre ya
sea en un punto frontera del intervalo o en un número crítico c en el intervalo abierto (a, b).
El teorema 5.2.3 se resume como sigue:
EJEMPLO 7 Determinación de extremos absolutos
Encuentre los extremos absolutos de sobre el intervalo
a) b)
Solución Debido a que f es continua, sólo es necesario evaluar f en los puntos frontera de
cada intervalo y en los números críticos dentro de cada intervalo. A partir de la derivada
vemos que los números críticos de la función f son ⫺2 y 4.
a) A partir de los datos que se muestran en la tabla siguiente resulta evidente que el
máximo absoluto de f sobre el intervalo es f(⫺2) = 30, y que el mínimo abso-
luto es el extremo de un punto frontera f(1) = -24.
[⫺3, 1]
f¿(x) ⫽ 3x2
⫺ 6x ⫺ 24 ⫽ 3(x ⫹ 2)(x ⫺ 4)
[⫺3, 8].
[⫺3, 1]
f(x) ⫽ x3
⫺ 3x2
⫺ 24x ⫹ 2
Directrices para encontrar extremos sobre un intervalo cerrado
i) Evalúe f en los puntos frontera a y b del intervalo [a, b].
ii) Encuentre todos los números críticos en el intervalo abierto (a, b).
iii) Evalúe f en todos los números críticos.
iv) Los valores mayor y menor en la lista
son el máximo absoluto y el mínimo absoluto, respectivamente, de f sobre el inter-
valo [a, b].
f(a), f(c1), f(c2), . . ., f(cn), f(b),
c1, c2, . . . , cn
f(c h) f(c)
h
0 para h 7 0 y
f(c h) f(c)
h
0 para h 6 0.
Teorema 5.2.2 Los extremos relativos ocurren en números críticos
Si una función f tiene un extremo relativo en x ⫽ c, entonces c es un número crítico.
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Fundamentos
En los problemas 1-6, use la gráfica de la función dada como
ayuda para determinar cualquier extremo absoluto sobre los
intervalos indicados.
1.
a) b) [3, 7] c) (2, 5) d) [1, 4]
2.
a) b) [3, 7] c) (2, 5) d) [1, 4]
3.
a) [1, 4] b) [1, 3] c) d) (4, 5]
4.
a) b) c) d)
5. f(x) = tan x
a) b)
c) d)
6. f(x) = 2 cos x
a) b)
c) d)
En los problemas 7-22, encuentre los números críticos de las
funciones dadas.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
En los problemas 23-36, encuentre los extremos absolutos de
la función dada sobre el intervalo indicado.
25.
26.
27. f(x) ⫽ x3
⫺ 6x2
⫹ 2; [⫺3, 2]
f(x) ⫽ x23
(x2
⫺ 1); [⫺1, 1]
f(x) ⫽ x23
; [⫺1, 8]
f(x) ⫽
x ⫹ 4
1
3
x ⫹ 1
f(x) ⫽ (x ⫺ 1)2
1
3
x ⫹ 2
f(x) ⫽ x23
⫹ x
f(x) ⫽ (4x ⫺ 3)13
f(x) ⫽
x2
x2
⫹ 2
f(x) ⫽
1 ⫹ x
1x
f(x) ⫽ x2
(x ⫹ 1)3
f(x) ⫽ (x ⫺ 2)2
(x ⫺ 1)
f(x) ⫽ x4
⫺ 4x3
⫹ 7
f(x) ⫽ 2x3
⫺ 15x2
⫺ 36x
f(x) ⫽ x3
⫹ x ⫺ 2
f(x) ⫽ 2x2
⫺ 6x ⫹ 8
[⫺p2, 3p2]
[p3, 2p3]
[⫺p2, p2]
[⫺p, p]
[0, p]
[0, p3]
[⫺p4, p4]
[⫺p2, p2]
[⫺1, 1]
[0, 3)
(⫺3, 3)
[⫺3, 3]
f(x) ⫽ 29 ⫺ x2
(⫺1, 3)
f(x) ⫽ x2
⫺ 4x
[⫺1, 2]
f(x) ⫽ 0x ⫺ 40
[⫺1, 2]
f(x) ⫽ x ⫺ 4
b) Sobre el intervalo a partir de la tabla siguiente observamos que f(4) ⫽ ⫺78
es un mínimo absoluto y que f(8) 130 es un máximo absoluto de un punto frontera.
⫽
[⫺3, 8]
a)
y
x
y⫽ x3
x
y
y⫽x1Ⲑ3
b)
FIGURA 5.2.8 0 es un número
crítico para ambas funciones,
pero ninguna tiene extremos
Sobre [⫺3, 8]
x ⫺3 ⫺2 4 8
f(x) 20 30 -78 130
Sobre [⫺3, 1]
x ⫺3 ⫺2 1
f(x) 20 30 -24
NOTAS DESDE EL AULA
i) Una función puede, por supuesto, asumir sus valores máximo y mínimo más de una vez
sobre un intervalo. Usted debe comprobar, con ayuda de un dispositivo para graficar,
que la función f(x) ⫽ sen x alcanza su valor de función máximo 1 cinco veces y su valor
de función mínimo ⫺1 cuatro veces en el intervalo
ii) El converso del teorema 5.2.2 no necesariamente es cierto. En otras palabras:
Un número crítico de una función f no necesita corresponder a un extremo relativo.
Considere y Las derivadas y muestran
que 0 es un número crítico de ambas funciones. Pero a partir de las gráficas de f y g en
la FIGURA 5.2.8 vemos que ninguna función posee algún extremo sobre el intervalo
iii) Hemos indicado cómo encontrar los extremos absolutos de una función f que es conti-
nua sobre un intervalo cerrado. En las secciones 5.4 y 5.5 usamos la primera y segun-
da derivada para encontrar los extremos relativos de una función.
(⫺q, q).
g¿(x) ⫽ 1
3x⫺23
f ¿(x) ⫽ 3x2
g(x) ⫽ x13
.
f(x) ⫽ x3
[0, 9p].
f¿(x)
.
0
2
.
9
1
.
2
2
.
1
2
.
4
2
.
3
2 f(x) (x 1)2
; [2, 5]
f(x) x2
6x; [1, 4]
f(x) e x
2x
f(x) x2
8 ln x
f(x) cos 4x
f(x) x sen x
2 DESARROLLE SU COMPETENCIA
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28.
29.
30.
31.
32.
En los problemas 37 y 38, encuentre todos los números crí-
ticos. Distinga entre extremos absolutos, extremos de un
punto frontera y extremos relativos.
37.
38.
39. Considere la función f continua definida sobre [a, b] que
se muestra en la FIGURA 5.2.9. Dado que de c1 a c10 son
números críticos:
a) Enumere los números críticos en los cuales f ⬘(x) ⫽ 0.
b) Enumere los números críticos en los cuales f ⬘(x) no
está definida.
c) Distinga entre los extremos absolutos y los extremos
absolutos de un punto frontera.
d) Distinga entre los máximos relativos y los mínimos
relativos.
40. Considere la función Demuestre que el
mínimo relativo es mayor que el máximo relativo.
Aplicaciones
41. La altura de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo
está dada por donde t se mide en
segundos y s en pies.
a) está definida sólo en el intervalo [0, 20]. ¿Por qué?
b) Use los resultados del teorema 5.2.3 para determinar
la altura máxima alcanzada por el proyectil.
42. El físico francés Jean Louis Poiseuille descubrió que la
velocidad y(r) (en cm/s) del flujo sanguíneo que circula
por una arteria con sección trasversal de radio R está
dada por donde P, n y l son
constantes positivas. Vea la FIGURA 5.2.10.
a) Determine el intervalo cerrado sobre el que está defi-
nida y.
b) Determine las velocidades máxima y mínima del
flujo sanguíneo.
Piense en ello
43. Elabore una gráfica de una función continua f que no
tenga extremos absolutos pero sí un máximo relativo y
un mínimo relativo que tengan el mismo valor.
44. Proporcione un ejemplo de una función continua, defi-
nida sobre un intervalo cerrado [a, b], para el cual el
máximo absoluto es el mismo que el mínimo absoluto.
45. Sea la función entero mayor. Demuestre que
todo valor de x es un número crítico.
46. Demuestre que no tiene
números críticos cuando ¿Qué ocurre
cuando
47. Sea f(x) ⫽ xn
, donde n es un entero positivo. Determine
los valores de n para los cuales f tiene un extremo relativo.
48. Analice: ¿por qué una función polinomial de grado n
puede tener a lo sumo n ⫺ 1 números críticos?
49. Suponga que f es una función par continua tal que f(a) es
un mínimo relativo. ¿Qué puede afirmarse sobre f(⫺a)?
50. Suponga que f es una función impar continua tal que f(a)
es un máximo relativo. ¿Qué puede afirmarse sobre f(⫺a)?
51. Suponga que f es una función par continua que es dife-
renciable en todas partes. Demuestre que x ⫽ 0 es un
número crítico de f.
52. Suponga que f es una función diferenciable que tiene
sólo un número crítico c. Si k 0, encuentre los núme-
ros críticos de:
a) b) c) d)
Problemas con calculadora/SAC
53. a) Use una calculadora o un SAC para obtener la grá-
fica de f (x) = -2 cos x + cos 2x.
b) Encuentre los números críticos de f en el intervalo
c) Encuentre los extremos absolutos de f en el intervalo
54. En el estudio del crecimiento de los copos de nieve, la
fórmula
es un modelo matemático para la variación diaria en la
intensidad de radiación solar que penetra la superficie
de la nieve. Aquí t representa el tiempo medido en horas
después del amanecer (t ⫽ 0) y
a) Use una calculadora o un SAC para obtener la grá-
fica de I sobre el intervalo [0, 24]. Use b ⫽ 1.
b) Encuentre los números críticos de I en el intervalo
[0, 24].
␻ ⫽ 2p24.
[0, 2p].
[0, 2p].
f(kx)
f(x ⫹ k)
kf(x)
k ⫹ f(x)
ad ⫺ bc ⫽ 0?
ad ⫺ bc ⫽ 0.
f(x) ⫽ (ax ⫹ b)(cx ⫹ d)
f(x) ⫽ :x;
R
r
Sección transversal circular
FIGURA 5.2.10 Arteria para el problema 42
y(r) ⫽ (P4nl)(R2
⫺ r2
),
s(t)
s(t) ⫽ ⫺16t2
⫹ 320t,
f(x) ⫽ x ⫹ 1x.
f(x) ⫽ e
4x ⫹ 12, ⫺5 ⱕ x ⱕ ⫺2
x2
, ⫺2 6 x ⱕ 1
f(x) ⫽ x2
⫺ 20x0; [⫺2, 3]
f(x) ⫽
1x
x2
⫹ 1
; [1
4, 1
2]
f(x) ⫽ x4
(x ⫺ 1)2
; [⫺1, 2]
f(x) ⫽ x4
⫹ 4x3
⫺ 10; [0, 4]
f(x) ⫽ x3
⫺ 3x2
⫹ 3x ⫺ 1; [⫺4, 3]
f(x) ⫽ ⫺x3
⫺ x2
⫹ 5x; [⫺2, 2]
I(t)
b
p
b
2
sen t
2b
3p
cos 2 t
y
x
yƒ(x)
c4 c7
c1
a c2c3 c5 c6 c8 c9 c10 b
FIGURA 5.2.9 Gráfica para el problema 39
33.
34.
35.
36. f(x) 2x tan x; [ 1, 1.5]
f(x) 3 2 sen2
24x; [0, p]
f(x) 1 5 sen 3x; [0, p2]
f(x) 2 cos 2x cos 4x; [0, 2p]
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