2 incrementos
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El documento explica el concepto de incrementos y cómo calcularlos para funciones. Introduce las variables Δx e Δy para representar los incrementos de las variables independiente x y dependiente y, respectivamente. Deriva una fórmula general para calcular Δy en términos de x, Δx y la función f(x). Proporciona ejemplos numéricos y de funciones para ilustrar cómo aplicar la fórmula. Finalmente, presenta 18 ejercicios para que el lector calcule Δx de diferentes funciones.
2 incrementos
- 1. CAPÍTULO 2 INCREMENTOS 2.1 CONCEPTO (Áreas 1, 2 y 3) Supóngase que se tiene una función cualquiera, por ejemplo y = x 2 , a la cual se le asig- na arbitrariamente cualquier valor inicial como x = 3 , de donde corresponde que y = 9 . Se quiere saber qué relación existe entre el cambio de la variable independiente x y la variable de- pendiente y , es decir, cuando el valor de x cambia, ¿cómo varía por su parte y ? La primera pregunta que surge es: ¿Lo que cambia x es lo mismo que lo cambia y ? Transformando la pregunta a valores concretos: ¿Cuando x cambia en 1 la variable y también cambia en 1? Para averiguarlo basta darle valores y se ve que cuando x = 4 , se obtiene que y = 16 . x 3 4 y 9 16 Es decir, que mientras x cambió en 1 (pasó de 3 a 4), por su parte la y varió en 7 (al pa- sar de 9 a 16), con lo que queda contestada la primera pregunta: Lo que cambia x no es lo que varía y. 37
- 2. Incrementos La siguiente pregunta que surge es: ¿Cada vez que la variable x cambia en 1, la variable y cambia 7? Nuevamente, dando valores numéricos concretos que se concentran en una tabla se tiene lo siguiente: x 3 4 5 y 9 16 25 De donde se ve que mientras la x cambió en 1 dos veces (al pasar de 3 a 4 primero y lue- go de 4 a 5), por su parte la y cambió 7 y 9 (al pasar de 9 a 16 primero y luego de 16 a 25). Que- da contestada la segunda pregunta. Entonces, si cada vez que x cambia en 1 la y no cambia tam- bién 1, como tampoco cada vez que cambia x en 1 la y no cambia 7, ¿qué relación existe entre el cambio de la variable independiente con la dependiente? La única opción que queda es encon- trar una especie de fórmula que muestre esa relación de cambios. Al cambio que sufre la variable independiente x se le llama incremento de x, escrito Δx , mientras que el respectivo cambio que sufre la variable dependiente y se le llama incre- mento de y , escrito Δy . Continuando con la función ejemplo con la que se ha venido trabajando, y = x 2 , se dice que la variable dependiente y vale x 2 , es decir, el valor dado inicialmente a x elevado al cua- drado. Así, si x = 3 , entonces le corresponde y = 9 . Cuando la x se incrementa en 1, su nuevo valor es x = 4 . Ese nuevo valor de x es el valor que tenía inicialmente más el incremento que sufrió, esto es, ahora x = 3 + 1 . El nuevo valor para la y es 42 , o sea y = 16 , que es el valor inicial que tenía más el incremento de y. Lo anterior, en forma generalizada es: 38
- 3. Incrementos Al inicio: y = x2 (1) y + Δy = ( x + Δx ) Significa que el nuevo va- 2 Al final: (2) lor de la variable depen- diente y, después de haber- se modificado el valor ini- cial de x, es el valor que tenía al inicio más lo que se modificó la misma y a partir del nuevo valor de x. Véase el ejemplo numérico que sigue. Visto con números: 9 = 32 Al inicio. O sea que para x = 3 , y = 9 . 9 + 7 = ( 3 + 1) 2 Al final. Es decir que para x = 4 , la y vale 16, que es el valor inicial de y más lo que se incremen- ta. Recordar que en la página anterior se vio que mientras la variable x pasa de 3 a 4 (se incrementa en 1), por su parte la variable dependiente y pasa de 9 a 16 (se incrementa en 7). despejando y de (2): Δy = ( x + Δx ) − y 2 (3) Sustituyendo el valor de y de (1) en (3): Δy = ( x + Δx ) − x 2 2 (4) 39
- 4. Incrementos Es la relación buscada. Hay que recordar que lo que se estaba buscando era la relación entre el cambio de x con el cambio de y . Retomando el ejemplo numérico inicial, en donde hay que tener presente que Δy = 7 cuando x pasa de valer 3 a 4 y que Δy = 9 cuando x pasa de valer 4 a 5: x 3 4 5 y 9 16 25 cuando x se incrementó en 1 al pasar de 3 a 4, por su parte la variable dependiente y se incre- mentó en 7, lo cual se puede obtener aplicando la relación (4): Δy = ( x + Δx ) − x 2 2 Δy = ( 3 + 1) − 32 2 Δy = 42 − 32 Δy = 7 que es justamente el incremento de y cuando la x pasa de valer 3 a 4. De la misma forma: Δy = ( x + Δx ) − Δx 2 Δy = ( 4 + 1) − 42 2 Δy = 52 − 42 Δy = 9 el cual es exactamente el incremento de y cuando la x pasa de valer 4 a 5. 40
- 5. Incrementos Haciendo una generalización del procedimiento para obtener la relación que existe entre los incrementos Δx y Δy para cualquier función y = f ( x ) , se tiene que: y = f ( x) y + Δy = f ( x + Δx ) Δy = f ( x + Δx ) − y Δy = f ( x + Δx ) − f ( x) Ejemplo 1: Hallar el incremento Δx de la función y = 3 x 2 + x . Solución: y = 3x 2 + x y + Δy = 3 ( x + Δx ) + ( x + Δx ) 2 Δy = 3 ( x + Δx ) + ( x + Δx ) − y (despejando Δy ) 2 Δy = 3 ( x + Δx ) + ( x + Δx ) − ( 3 x 2 + x ) 2 (sustituyendo y) Δy = 3 ( x + Δx ) + ( x + Δx ) − 3 x 2 − x 2 Δy = 3 ( x 2 + 2 xΔx + Δx 2 ) + x + Δx − 3 x 2 − x Δy = 3 x 2 + 6 xΔx + 3Δx 2 + x + Δx − 3 x 2 − x Δy = 6 xΔx + 3Δx 2 + Δx Ejemplo 2: Calcular el incremento Δx de la función y = 5 x 2 − 2 x + 7 . Solución: y = 5x2 − 2 x + 7 y + Δy = 5 ( x + Δx ) − 2 ( x + Δx ) + 7 2 41
- 6. Incrementos Δy = 5 ( x + Δx ) − 2 ( x + Δx ) + 7 − y 2 Δy = 5 ( x + Δx ) − 2 ( x + Δx ) + 7 − ( 5 x 2 − 2 x + 7 ) 2 Δy = 5 ( x 2 + 2 xΔx + Δx 2 ) − 2 x − 2 xΔx + 7 − 5 x 2 + 2 x − 7 Δy = 5 x 2 + 10 xΔx + 5Δx 2 − 2 x − 2Δx + 7 − 5 x 2 + 2 x − 7 Δy = 10 xΔx 2 + 5Δx 2 − 2Δx Ejemplo 3: Calcular el incremento Δx de la función y = 2 x 3 + 4 x 2 − 3 x − 1 . Solución: y = 2 x3 + 4 x 2 − 3x − 1 y + Δy = 2 ( x + Δx ) + 4 ( x + Δx ) − 3 ( x + Δx ) − 1 3 2 Δy = 2 ( x + Δx ) + 4 ( x + Δx ) − 3 ( x + Δx ) − 1 − y 3 2 Δy = 2 ( x + Δx ) + 4 ( x + Δx ) − 3 ( x + Δx ) − 1 − ( 2 x 3 + 4 x 2 − 3 x − 1) 3 2 Δy = 2 ( x 3 + 3 x 2 Δx + 3 xΔx 2 + Δx3 ) + 4 ( x 2 + 2 xΔx + Δx 2 ) − 3 x − 3Δx − 1 − − 2 x3 − 4 x 2 + 3x + 1 Δ y = 2 x 3 + 6 x 2 Δ x + 6 xΔ x 2 + 2Δ x 3 + 4 x 2 + 8 xΔ x + 4Δ x 2 − 3 x − 3Δ x − 1 − 2 x3 − 4 x 2 + 3x + 1 Δy = 6 x 2 Δx + 6 xΔx 2 + 2Δx 3 + 8 xΔx + 4Δx 2 − 3Δx Nota: Obsérvese cómo debe repetirse el signo de operación, tanto al final del renglón ago- tado como del nuevo renglón, cuando toda la expresión, por ser tan larga, no cabe en el mismo renglón. 42
- 7. Incrementos 1 Ejemplo 4: Calcular el incremento Δx de la función y = . x 1 Solución: y= x 1 y + Δy = x + Δx 1 Δy = −y (despejando Δy ) x + Δx 1 1 Δy = − (sustituyendo y) x + Δx x x − ( x + Δx ) Δy = (sacando común denominador) x ( x + Δx ) x − x − Δx Δy = x ( x + Δx ) − Δx Δy = x ( x + Δx ) o bien − Δx Δy = x + x Δx 2 43
- 8. Incrementos EJERCICIO 7 (Áreas 1, 2 y 3) Obtener el incremento Δx de las siguientes funciones: 1) y = 5x + 3 2) y = x2 − 7 x + 9 3) y = 6 − 9x 4) y = 3x − 7 x 2 5) y = x 2 + 11x − 4 6) y = 8x2 + 9 x + 7 7) y = 5x − 2 x2 − 2 8) y = 5x3 9) y = 2 x 3 + 11x 10) y = 7 x3 + 3x 2 + 7 x − 2 11) y = x 2 − x3 12) y = 5 x3 + x 2 − 7 1 1 13) y= 14) y= x2 2x − 1 1 3 15) y= 16) y= x +x 2 2 − 5x 4 5 17) y= 18) y= 2x − 5 2 3x + 2 x 2 44