2.3 medida
- 2. Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Explicitación y uso del teorema de Pitágoras
- 3. El triángulo rectángulo es una figura muy importante porque se relaciona directamente con el teorema de Pitágoras . Te preguntaras ¿Qué es un teorema? ¿Quién fue Pitágoras? ¿en que consiste el teorema de Pitágoras? Al estudiar esta secuencia podrás responder estas y otras preguntas.
- 4. A A. Verifica que c2=a2+b2 y por lo tanto el C=5 triangulo ABC sea rectángulo: B= 4 B. Si C2 fuera mayor que a2+b2 ¿Qué tipo de triangulo seria? ¿Explica C B A=3 porque? C. Si c2 fuera menor que a2+b2 ¿ que tipo de triangulo seria? ¿explica porque?
- 5. E A A. ¿Cuanto suman las áreas de H D los cuadrados construidos sobre los catetos ? I C B B. Busca una manera de mostrar que el área del cuadrado construido sobre la F G hipotenusa equivale a esa suma y explícala.
- 6. Para calcular el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa puedes encerrarlo en una figura mas grande de la cual sea fácil calcular su área y restar lo que sobre.
- 8. Este teorema es de los más famosos de la geometría plana. Hay más de 300 pruebas de este teorema.
- 9. En un triangulo rectángulo el cuadrado construido sobre la hipotenusa, tiene la misma área que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. c 2=a2+b2
- 10. Esta es una forma de probar el teorema anterior. Considera la siguiente figura: El área del cuadro verde es c2 El área del cuadro rojo es (a+b)2=a2+2ab+b2 El área de cada triangulo es (ab)/2, entonces la suma de las cuatro áreas es 2ab El área del cuadro verde más el área de los triángulos es igual al área del cuadro grande es decir, c2+2ab= a2+2ab+b2 c2= a2+b2
- 11. Tenemos ahora otra prueba. Demostremos que en la figura (AB)2=(AC)2+(BC)2 Iniciando en el triángulo ABC, trazamos la perpendicular BD a AB. ABC y ABD tienen dos ángulos iguales (el recto y BAC = BAD) ABC es semejante a ABD entonces: ABC = ADB= CDB (1) (AC)/(AB) = (AB)/(AD) y AD=AC+CD
- 12. Para combatir un incendio forestal, el Departamento de Silvicultura desea talar un terreno rectangular alrededor del incendio, como vemos en la figura. Las cuadrillas cuentan con equipos de radiocomunicación de 3000 yardas de alcance. ¿Pueden seguir en contacto las cuadrillas en los puntos A y B?
- 13. Para el cálculo de distancias y/o alturas: se desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera. Sustituyendo valores en la formula, tenemos que: c2=a2+b2 c2= (8)2+ (5)2 c2=64+25 c2=89 c= √89 c=9.43 m es la altura de la escalera.
- 14. Calcular la longitud d de la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 8m si considera una parte del cuadrado, se tiene un triangulo rectángulo en el que c=d,a=8 y b=8 al utilizar la relación pitagórica c2=a2+b2, se sustituyen los datos : d2=82+82=64+64=128 d= √ 128 d=11.31m
- 16. • La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular: 1 Los catetos. 2 La altura relativa a la hipotenusa. 3 El área del triángulo. •Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma √24cm.
- 17. •Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? •Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas? •Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.
- 18. B Verifique que se cumplan las siguientes relaciones, substituyendo en cada C=5 igualdad el valor a,b y c. A=3 A C a2+b2=c2 c2=a2+b2 B=4 a2=c2-b2 b2=c2-a2