Actividad N°2 Parte C
- 1. Actividad N° 2 Alumnos: Novillo, Pablo. Bonet, Javier. Parte C. Enunciado 2 Analice la figura donde se detallan los flujos de una red de tuberías de agua con flujos medidos en litros por minuto. En cada nodo–nombradosconletras A,B,C, D se conservael flujo, es decirlo que entra es igual a lo que sale.Se necesitaconocer la cantidad de flujo que circula en cada tramo por hora. Entonces: a) Plantee el SELque permite darconlosvaloresde losflujosf de 1 a 5. Esto es, modelice matemáticamente la situación. En particular y previamente explicite datos conocidos y datos desconocidos,explicitelasvinculacionesentre datosconocidosydesconocidosque danorigen a cada EL. b) Resuelvael SELpor métodode Gauss-JordanusandolospaquetesinformáticosOnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/,WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1,wiris https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA ytambién http://www.wiris.net/demo/wiris/es/.Analicelosresultadosobtenidos. c) Construya la expresión paramétrica del conjunto solución y analice las restricciones de los parámetros en el contexto del problema. d) Analice si esposibledeterminargráficamente lasolución.Explique sus conclusiones,grafiquesi es posible. e) Identifique una solución particular. Verifique. f) ¿Es posible para 1 100f ? Respondaestapreguntaprimerohaciendoreferenciaasu solución en el inicio b) y luego directamente de la figura. g) Si 4 0f ¿cuál será la amplitud de flujo en cada una de las otras ramas? h) Suba el trabajo a la plataforma Scribd o similar, tome el código de insercióny embébalo en el forode laactividad.Asícompartirácon sus pareslarespuesta.Cuide de comunicarasegurando que el mensaje llegue de forma clara, correcta y completa.
- 2. Resolución. a) Datos: En la figura se observan 4 Nodos, nodo A, nodo B, nodo C y nodo D. A estos los definiremos como: NA, NB, NC, ND. NA= Nodo A. NB= Nodo B. NC= Nodo C. ND= Nodo D. También se observan 4 flujos que entran y salen a los respectivos nodos, estos están medidos en litros sobre minuto (l/m). A estos los definiremos como: f1, f2, f3, f4. f1= Flujo numero 1 medido en metros sobre segundo (l/m).Circula entre NA y NB. f2= Flujo numero 2 medido en metros sobre segundo (l/m).Circula entre NA y ND. f3= Flujo numero 3 medido en metros sobre segundo (l/m).Circula entre NC y NB. f4= Flujo numero 4 medido en metros sobre segundo (l/m).Circula entre NC y ND. En cada nodo NA, NB, NC, ND se conserva el flujo, es decir lo que entra es igual a lo que sale. Con esta consigna podemos representar las ecuaciones correspondientes: En el NA la suma de los flujos entrantes (10,10) es igual a la suma de los flujos salientes (f1, f2) NA 10 + 10 = f1 + f2 f1 + f2 = 20 En el NB la suma de los flujos entrantes (f1, f3) es igual a la suma de los flujos salientes (20, 5) NB f1 + f3 = 20 + 5 f1 + f3 = 25 En el NC la suma de los flujos entrantes (15, 15) es igual a la suma de los flujos salientes (f3, f4) NC 15 + 15 = f3 + f4 f3 + f4 = 30
- 3. En el ND la suma de los flujos entrantes (f2, f4) es igual a la suma de los flujos salientes (10, 15) ND f2 + f4 = 10 + 15 f2 + f4 = 25 El conjunto de ecuaciones queda planteado de esta manera: { ( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐) 𝒍/𝒎 = 𝟐𝟎 𝒍/𝒎 ( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟑) 𝒍/𝒎 = 𝟐𝟓 𝒍/𝒎 ( 𝒇𝟑 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒎 = 𝟑𝟎 𝒍/𝒎 ( 𝒇𝟐 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒎 = 𝟐𝟓 𝒍/𝒎 Ya que la consigna nos pide que planteemos el flujo que circula por cada nodo y lo expresemos en l/h. Procedemos a multiplicar por 60 cada flujo ya que 1 hora equivale a 60 minutos. { 𝟔𝟎(( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐) 𝒍/𝒎) = 𝟔𝟎 ∗ (𝟐𝟎 𝒍/𝒎) 𝟔𝟎(( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟑) 𝒍/𝒎) = 𝟔𝟎 ∗ (𝟐𝟓 𝒍/𝒎) 𝟔𝟎(( 𝒇𝟑 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒎) = 𝟔𝟎 ∗ (𝟑𝟎 𝒍/𝒎) 𝟔𝟎(( 𝒇𝟐 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒎) = 𝟔𝟎 ∗ (𝟐𝟓 𝒍/𝒎) Nos queda. { 𝟔𝟎( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐) 𝒍/𝒉 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒍/𝒉 𝟔𝟎( 𝒇𝟏 + 𝒇𝟑) 𝒍/𝒉 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝒍/𝒉 𝟔𝟎( 𝒇𝟑 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒉 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝒍/𝒉 𝟔𝟎( 𝒇𝟐 + 𝒇𝟒) 𝒍/𝒉 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝒍/𝒉
- 4. b) Teniendo las ecuaciones armadas formulamos el SEL. { 𝟔𝟎𝒇𝟏 + 𝟔𝟎𝒇𝟐 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝟔𝟎𝒇𝟏 + 𝟔𝟎𝒇𝟑 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟔𝟎𝒇𝟑 + 𝟔𝟎𝒇𝟒 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟔𝟎𝒇𝟐 + 𝟔𝟎𝒇𝟒 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 Operamos con el método Gauss- Jordan en OnlineMSchool.
- 6. Operamos en Wiris. Se puede observar que en todos los paquetes informáticos la solución es la misma. Las variables quedan definidas por el valor de f4, es decir, matemáticamente el SEL tiene infinitas soluciones. c) Conjunto solución. S = {(f1, f2, f3, f4) / f1 = t - 5, f2 = -t + 25, f3 = -t + 30, f4 = t, t ∈ } La solución general es el conjunto de soluciones particulares. Una solución particular se obtiene asignando a la VL (Variable Libre) f4 un valor real cualquiera, y las otras variables quedan definidas en términos de ella. En el contexto del problema los flujos deben ser positivos o nulos, es decir, la suma de los flujos que entran es igual a la suma de los que salen, por esto debemos tener en cuenta que el valor de f4 no debe ser menor que 5 ni mayor que 25, es decir, el SEL se satisface con valores entre 5 y 25 incluidos. Si f4 es menor a 5, el valor de f1 va a ser negativo y si f4 es mayor a 25 el valor de f2 va a ser negativo, y un flujo negativo no puede ser posible en el contexto del problema.
- 7. f4 ≥ 5 ^ f4 ≤ 25 Ejemplo: f4 = 5 ND (Nodo D). 60f2 + 60f4 = 1500 60f2 = 1500 – 60*5 f2 = (1500/60) – 300/60 f2 =25 – 5 f2 =20 NC (Nodo C). 60f3 + 60f4 = 1800 60f3 = 1800 – 60*5 f3 = (1800/60) – (300/60) f3 = 30 – 5 f3 = 25 NB (Nodo B) 60f1 + 60f3 = 1500 60f1 = 1500 – 60*25 f1 = (1500/60) – (1500/60) f1 = 25 – 25 f1 = 0 NA (Nodo A). 60f1 + 60f2 = 1200 60*0 + 60*20 =1200 1200 = 1200
- 8. f4 = 6 ND (Nodo D). 60f2 + 60f4 = 1500 60f2 = 1500 – 60*6 f2 = (1500/60) – 360/60 f2 =25 – 6 f2 =19 NC (Nodo C). 60f3 + 60f4 = 1800 60f3 = 1800 – 60*6 f3 = (1800/60) – (360/60) f3 = 30 – 6 f3 = 24 NB (Nodo B) 60f1 + 60f3 = 1500 60f1 = 1500 – 60*24 f1 = (1500/60) – (1440/60) f1 = 25 – 24 f1 = 1 NA (Nodo A). 60f1 + 60f2 = 1200 60*1 + 60*19 =1200 60 + 1040 = 1200 1200 = 1200 d) No es posible graficar ya que el SEL posee 4 variables. Si se pudieran graficar se intersecarían en una recta porque la solución es monoparamétrica.
- 9. e) Solución Particular. f4 = 7 ND (Nodo D). 60f2 + 60f4 = 1500 60f2 = 1500 – 60*7 f2 = (1500/60) – 420/60 f2 =25 – 7 f2 =18 NC (Nodo C). 60f3 + 60f4 = 1800 60f3 = 1800 – 60*7 f3 = (1800/60) – (420/60) f3 = 30 – 7 f3 = 23 NB (Nodo B) 60f1 + 60f3 = 1500 60f1 = 1500 – 60*23 f1 = (1500/60) – (1380/60) f1 = 25 – 23 f1 = 2 NA (Nodo A). 60f1 + 60f2 = 1200 60*2 + 60*18 =1200 120 + 1080 =1200 1200 = 1200
- 10. Valor de los flujos. f4 = 7 f2 =18 f3 = 23 f1 = 2 (60f1 + 60f2) = 1200 (l/h) (60f1 + 60f3) = 1500 (l/h) (60f3 + 60f4) = 1800 (l/h) (60f2 + 60f4) = 1500 (l/h) Reemplazamos el valor de los flujos en cada tramo. Flujo en el Nodo A (60*2 + 60*18) = 1200 (l/h) Flujo en el Nodo B (60*2 + 60*23) = 1500 (l/h) Flujo en el Nodo C (60*23 + 60*7) = 1800 (l/h) Flujo en el Nodo D (60*18 + 60*7) = 1500 (l/h) f) Si el valor de f1 = 100. Matemáticamente satisface las ecuaciones.
- 11. En la figura el valor de f1=100 no satisface las ecuaciones por las restricciones mencionadas anteriormente, es decir, f1 debe ser menor que 25 ya que los flujos deben ser positivos o nulos. g) f4 = 0 ND (Nodo D). 60f2 + 60f4 = 1500 60f2 = 1500 – 0 f2 = (1500/60) – 0 f2 =25 – 0 f2 =25 NC (Nodo C). 60f3 + 60f4 = 1800 60f3 = 1800 – 0 f3 = (1800/60) – 0 f3 = 30 – 0 f3 = 30 NB (Nodo B) 60f1 + 60f3 = 1500 60f1 = 1500 – 60*30 f1 = (1500/60) – (1800/60) f1 = 25 – 30 f1 = -5
- 12. NA (Nodo A). 60f1 + 60f2 = 1200 60*(-5) + 60*25 = 1200 -300 + 1500 = 1200 1200 = 1200 El flujo en las ramas es igual: En la rama A-B. f1 = -5*60 = -300 l/h En la rama B-C. f3 = 30*60 = 1800 l/h En la rama C-D. f4 = 0 l/h En la rama D-A. f2 = 25*60 = 1500 l/h