Logaritmos

LOGARITMOS EN BASE 10 También llamados logaritmos decimales o vulgares . Se suelen representar poniendo el logaritmo sin la base: log x = log 10 x

LOGARITMOS NATURALES Al igual que = 3,14159... es un número importante dentro de las matemáticas, existe otro número muy importante, el número e cuyo valor es 2,71828182845904523536... Los logaritmos en base e reciben el nombre de logaritmos naturales o neperianos . Se suelen representar poniendo el símbolo ln : ln x = log e x

DEFINICIÓN # 1 El logaritmo de un número n en base a se define como el número al que hay que elevar a para obtener el número n . log a n = x a x = n

Ejemplos : El logaritmo es, por tanto, la operación inversa a la potencia, igual que la división es la operación inversa de la multiplicación.

DEFINICIÓN # 2 Se denomina logaritmo en base a del número a n , al exponente n de la base a . Se escribe como: log a a n = n Donde : a > 0

Ejemplos : log 2 16 = log 2 2 4 = 4 log 4 16 = log 4 4 2 = 2 log 16 16 = log 16 16 1 = 1 log 3 9 = log 3 3 2 = 2 log 10 100 = log 10 10 2 = 2 log 2 1/4 = log 2 4 -1 = log 2 2 2(-1) = log 2 2 -2 = -2 log 3 1/81 = log 3 81 -1 = log 3 3 4(-1) = log 3 3 -4 = -4

CAMBIO DE BASE log 2 5 CONCLUSIÓN : El cambio de base permite obtener rápidamente un resultado con ayuda de la calculadora científica -> ?? Pero si…… log 5 log 2 ≈ 2.32 ln 5 ln 2 ≈ 2.32

Logaritmo de 1 log 2 1 = log 2 2 0 = 0 log 4 1 = log 4 4 0 = 0 log 20 1 = log 20 20 0 = 0 CONCLUSIÓN : El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a cero a 0 =1

Logaritmo de 0 log 2 0 = log 2 ? -> NO EXISTE log 4 0 = log 4 ? CONCLUSIÓN : El logaritmo de 0 NO EXISTE , pues a ? ≠ 0 -> NO EXISTE

EJERCICIOS: Expresar el número 6 como un logaritmo de base 2 6=log 2 ….. 6= log 2 2 6 ó 6= log 2 64 Expresar el número 2 como un logaritmo de base 12 2=log 12 ….. 2= log 12 1 2 2 ó 2= log 12 144

EJERCICIOS : Aplique logaritmos para llenar la tabla mostrada:

OTRAS PROPIEDADES Los logaritmos tienen la propiedad de convertir las multiplicaciones en sumas, las divisiones en restas, las potencias en multiplicaciones y la raíces en divisiones.

EJERCICIOS: Desarrollar la expresión: Desarrollar la expresión:

EJERCICIOS: Desarrollar la expresión:

EJERCICIOS: Agrupar en un solo logaritmo la expresión:

ECUACIONES LOGARÍTMICAS UNICIDAD * Determinar el valor de X

ECUACIONES LOGARÍTMICAS * Determinar el valor de X * Determinar el valor de X

APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS DECIBELIOS (DECIBELES) ESCALA DE RICHTER (TERREMOTOS) NIVELES DE PH ESCALAS (LOGARITMICAS)

1.- DECIBELIO (dB) Es una magnitud profusamente utilizada en Telecomunicaciones. Expresa la relación entre dos cantidades homogéneas en forma logarítmica Equivale a la décima parte del Bel, puesto que esta resulta ser demasiado grande para las magnitudes normalmente utilizadas

Preguntas y Conclusiones ¿Que pasa cuando la potencia de salida es el doble que la de entrada? ¿Que pasa cuando la potencia de salida es el igual que la de entrada? ¿Que pasa cuando la potencia de salida es la mitad que la de entrada? Resultado positivo indica ganancia . Resultado negativo indica pérdidas . Gp=3dB Gp=0dB Gp=-3dB

Ejercicios: En cierto equipo, se especifica que la ganancia de potencia es de 40dB. Esto implica que si a la entrada aplicamos 4mW, en la salida obtendremos? Mediante cables, desde un punto A se transmite 120V hasta un punto B. Si al medir el voltaje en el punto B, se obtienen 108V; determine la atenuación por concepto del cable.

RELACIÓN ENTRE VOLTAJES Y CORRIENTES La relación en dB entre las señales en el punto 1 y punto 2 puede darse tanto como relación de potencias, como relación de tensiones o corrientes. Dichas relaciones solo tienen sentido si se desarrollan sobre la misma impedancia ( en instalaciones de distribución de TV, esta impedancia es típica de 75Ω )

COMPARACIÓN ENTRE MAGNITUDES SISTEMA LINEAL : La ganancia, es la proporción entre la tensión de salida y de entrada. La ganancia total entre varias etapas, es el producto entre ellas: CIRCUITOS AMPLIFICADORES DE VOLTAJE

COMPARACIÓN ENTRE MAGNITUDES SISTEMA LOGARÍTMICO : La ganancia, se expresa: La ganancia total entre varias etapas, es la suma entre ellas: CIRCUITOS AMPLIFICADORES DE VOLTAJE

Ejercicio: Dos bloques amplificadores se encuentran conectados en cascada. Calcular: * La ganancia total magnitud lineal y logarítmica (dB) * Calcular el voltaje Vo

Ejercicios: Las características de cierto cable indican que atenúa la señal de voltaje a razón de 4dB/km. Entonces, si en un punto B se han medido 108V y la distancia entre la señal original y el punto B es de 650m. Cuántos voltios tiene la señal original?

Ejercicio (deber): Tres bloques amplificadores están conectados en cascada. Calcular: * G T y Δ V 2 * Calcular el voltaje Vi y el voltaje en el punto x

Ejercicio (deber): Para el siguiente circuito, considere que: Atenuación total en el cable: 5dB Pérdidas en el elemento Z: 4dB Ganancia del amplificador G: 40dB Tensión en el punto A: 0.048mV ** Calcular la tensión en el punto C

2.- INTENSIDAD SONORA (B) Se mide en watios por centímetros cuadrados W/cm 2 Se expresa en decibeles: B= 10 log ( I / I 0 ) dB donde I 0 es la intensidad de sonido que se toma como referencia I 0 = 10 -16 W/cm 2 . Por tanto: * El sonido más débil corresponde a I =10 -16 W/cm 2 , de donde : B = 10 log10 (10 -16 /10 -16 ) dB = 0 dB. * El sonido más intenso corresponde a I =10 -4 W/cm 2 , de donde: B = 10 log10 (10 -4 /10 -16 ) dB = 120 dB.

Ejercicios: ¿Por qué el personal de tierra en un aeropuerto usa protección en los oídos? ¿Cuán más alto es un sonido de 60 dB que un sonido de 40 dB? En un concierto de rock el nivel de sonido da una medida de 110 dB. ¿Cuán más alto es esto que el nivel de 80dB permitido en el baile?

Ejercicios (deber): La Ley de Salud y Seguridad Ocupacional (OSHA, por sus siglas en inglés) declara que la exposición continua a niveles de sonido de 90 dB y más altos pueden llevar a la pérdida de la audición. Suponiendo que el nivel de un equipo de sonido es 88 dB y lo suben a 91 dB, ¿cuán más intenso es el sonido?

Ejercicios (deber): El comité de seguridad de la escuela requiere que la intensidad de sonido en el gimnasio durante la clase de baile no exceda los 80 dB. Cuando comienza el baile, el sonido resultó ser de 90 dB, pero los estudiantes a cargo de la clase no piensan que esto representa una gran diferencia en la intensidad del sonido. ¿Está justificado el profesor a cargo de la clase al pedirle al DJ que baje el volumen de la música?

3.- TERREMOTOS (ESCALA RICHTER) La fuerza de un terremoto medida por la escala Richter está dada por la expresión: R = log E/I o donde E es la intensidad de las vibraciones del terremoto medido y I o es la intensidad de la unidad de un terremoto estándar . La escala Richter es una medida comparativa.

Ejercicio: El 14 de mayo de 1995, el Servicio de Información Nacional de Terremotos de los Estados Unidos informó un terremoto en el sur de California que midió 3.0 en la escala Richter, pero pocas personas se dieron cuenta de esto. Anteriormente, ese mismo año, el 17 de enero, un terremoto en Kobe, Japón, dejó 2000 muertos y billones de dólares en daños. Éste midió 7.2 en la escala Richter. ¿Cuán más severo fue el terremoto de Kobe, que el del sur de California?

Respuesta y conclusión El terremoto de Kobe tuvo una intensidad de 15,849 veces mayor que el terremoto de California. Debido a que la escala Richter es una escala logarítmica, las diferencias pequeñas en los valores Richter (7.2 a 3.0, por ejemplo) se traducen en diferencias enormes en la intensidad de los terremotos.

Ejercicio (deber): El terremoto de San Francisco en el año 1989, registró una magnitud de 6.9 en la escala Richter. El número de víctimas fatales fue de 62. En el año 1906, en esta misma ciudad, ocurrió un terremoto que midió 8.3 en la escala Richter. La cantidad de víctimas fatales fue de 503. ¿ Cuán más poderoso (intenso) fue el terremoto del año 1906, que el del año 1989?

Ejercicio (deber): Suponga que un terremoto en la ciudad de Los Ángeles es la mitad de poderoso que el terremoto del año 2005 en Indonesia, el cuál midió 8.7 en la escala Richter. ¿Cuál hubiera sido la medida del terremoto de Los Ángeles en la escala Richter?

4.- ESCALAS LOGARÍTMICAS Son utilizadas mayoritariamente para mostrar gráficamente fenómenos exponenciales, logarítmicos y potenciales; debido a que en una escala aritmética, no es posible ubicar valores demasiado grandes. Las escalas logarítmicas típicamente son en base 10, pero es posible hacerlas de cualquier base.

Elaboración de escalas logarítmicas Designar el espacio (cm) en la hoja donde se va a dibujar la escala logarítmica. Establecer la base del logaritmo, y realizar cálculos básicos según el número de escalas. Por ejemplo: Base 10 : log 1…..log 10…..log 100…..log 1000 Base 4 : log 1…..log 4…….log 16……log 64 Trazar proporcionalmente la escala con respecto al espacio destinado en la hoja.

Elaboración de escalas logarítmicas BASE 10 BASE 4

TIPOS DE PAPEL Si utilizamos un eje de coordenadas en escala logarítmica y en el otro eje una escala aritmética se dice que estamos en presencia de un papel semilogarítmico (logarítmico simple ó semi-log). Si en ambos ejes utilizamos escalas logarítmicas, se trata de un papel logarítmico (logarítmico doble ó log-log)

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