Algoritmojulio

Algoritmo

Los diagramas de flujo sirven para representar algoritmos de manera gráfica.

En matemáticas, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo (del griego y
latín, dixit algorithmus y este a su vez del matemático persa Al-Juarismi1 ) es un conjunto preescrito de
instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante
pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. 2 Dados un estado inicial y
una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los
algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.1

En la vida cotidiana, se emplean algoritmos frecuentemente para resolver problemas. Algunos ejemplos
son los manuales de usuario, que muestran algoritmos para usar un aparato, o las instrucciones que
recibe un trabajador por parte de su patrón. Algunos ejemplos en matemática son el algoritmo de
la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para obtener el máximo
común divisor de dos enterospositivos, o el método de Gauss para resolver un sistema lineal de
ecuaciones.

Índice
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1 Definición formal

2 Medios de expresión de un algoritmo

o 2.1 Diagrama de flujo

o 2.2 Pseudocódigo

o 2.3 Sistemas formales

o 2.4 Implementación

o 2.5 Variables

o 2.6 Estructuras secuenciales

3 Algoritmos como funciones

4 Análisis de algoritmos

5 Ejemplo de algoritmo

o 5.1 Descripción de alto nivel

o 5.2 Descripción formal

o 5.3 Implementación

6 Véase también

o 6.1 Tipos de algoritmos según su función

o 6.2 Técnicas de diseño de algoritmos

o 6.3 Temas relacionados

o 6.4 Disciplinas relacionadas

7 Referencias

8 Bibliografía

9 Enlaces externos

Definición formal

En general, no existe ningún consenso definitivo en cuanto a la definición formal de algoritmo. Muchos
autores los señalan como listas de instrucciones para resolver un problema abstracto, es decir, que un
número finito de pasos convierten los datos de un problema (entrada) en una solución
(salida).1 2 3 4 5 6 Sin embargo cabe notar que algunos algoritmos no necesariamente tienen que terminar
o resolver un problema en particular. Por ejemplo, una versión modificada de la criba de
Eratóstenes que nunca termine de calcular números primos no deja de ser un algoritmo.7

A lo largo de la historia varios autores han tratado de definir formalmente a los algoritmos utilizando
modelos matemáticos comomáquinas de Turing entre otros.8 9 Sin embargo, estos modelos están
sujetos a un tipo particular de datos como son números, símbolos o gráficas mientras que, en general,
los algoritmos funcionan sobre una vasta cantidad de estructuras de datos.3 1 En general, la parte común
en todas las definiciones se puede resumir en las siguientes tres propiedades siempre y cuando no
consideremos algoritmos paralelos:7

Tiempo secuencial. Un algoritmo funciona en tiempo discretizado –paso a paso–, definiendo
así una secuencia de estados "computacionales" por cada entrada válida (la entrada son los
datos que se le suministran al algoritmo antes de comenzar).

Estado abstracto. Cada estado computacional puede ser descrito formalmente utilizando
una estructura de primer orden y cada algoritmo es independiente de su implementación (los
algoritmos son objetos abstractos) de manera que en un algoritmo las estructuras de primer
orden son invariantes bajo isomorfismo.

Exploración acotada. La transición de un estado al siguiente queda completamente
determinada por una descripción fija y finita; es decir, entre cada estado y el siguiente
solamente se puede tomar en cuenta una cantidad fija y limitada de términos del estado actual.

En resumen, un algoritmo es cualquier cosa que funcione paso a paso, donde cada paso
se pueda describir sin ambigüedad y sin hacer referencia a una computadora en particular,
y además tiene un límite fijo en cuanto a la cantidad de datos que se pueden leer/escribir
en un solo paso. Esta amplia definición abarca tanto a algoritmos prácticos como aquellos
que solo funcionan en teoría, por ejemplo el método de Newton y la eliminación de Gauss-
Jordan funcionan, al menos en principio, con números de precisión infinita; sin embargo no
es posible programar la precisión infinita en una computadora, y no por ello dejan de ser
algoritmos.10 En particular es posible considerar una cuarta propiedad que puede ser
usada para validar la tesis de Church-Turing de que toda función calculable se puede
programar en una máquina de Turing (o equivalentemente, en un lenguaje de
programación suficientemente general):10

Aritmetizabilidad. Solamente operaciones innegablemente calculables están disponibles en el
paso inicial.
Medios de expresión de un algoritmo

Los algoritmos pueden ser expresados de muchas maneras, incluyendo al lenguaje
natural, pseudocódigo, diagramas de flujo ylenguajes de programación entre otros.
Las descripciones en lenguaje natural tienden a ser ambiguas y extensas. El usar
pseudocódigo y diagramas de flujo evita muchas ambigüedades del lenguaje natural.
Dichas expresiones son formas más estructuradas para representar algoritmos; no
obstante, se mantienen independientes de un lenguaje de programación específico.

La descripción de un algoritmo usualmente se hace en tres niveles:

1. Descripción de alto nivel. Se establece el problema, se selecciona un
modelo matemático y se explica el algoritmo de manera verbal, posiblemente
con ilustraciones y omitiendo detalles.

2. Descripción formal. Se usa pseudocódigo para describir la secuencia de
pasos que encuentran la solución.

3. Implementación. Se muestra el algoritmo expresado en un lenguaje de
programación específico o algún objeto capaz de llevar a cabo instrucciones.

También es posible incluir un teorema que demuestre que el algoritmo es correcto, un
análisis de complejidad o ambos.

Diagrama de flujo

Diagrama de flujo que expresa un algoritmo para calcular la raíz cuadrada de un número

Artículo principal: Diagrama de flujo.

Los diagramas de flujo son descripciones gráficas de algoritmos; usan símbolos
conectados con flechas para indicar la secuencia de instrucciones y están regidos
por ISO.

Los diagramas de flujo son usados para representar algoritmos pequeños, ya que
abarcan mucho espacio y su construcción es laboriosa. Por su facilidad de lectura son
usados como introducción a los algoritmos, descripción de un lenguaje y descripción
de procesos a personas ajenas a la computación.

Los algoritmos pueden ser expresados de muchas maneras, incluyendo al lenguaje
natural, pseudocódigo, diagramas de flujo y lenguajes de programación entre otros.
Las descripciones en lenguaje natural tienden a ser ambiguas y extensas. El usar
pseudocódigo y diagramas de flujo evita muchas ambigüedades del lenguaje natural.
Dichas expresiones son formas más estructuradas para representar algoritmos; no
obstante, se mantienen independientes de un lenguaje de programación específico.

Pseudocódigo
Artículo principal: Pseudocódigo.

El pseudocódigo (falso lenguaje, el prefijo pseudo significa falso) es una descripción
de alto nivel de un algoritmo que emplea una mezcla de lenguaje natural con algunas
convenciones sintácticas propias de lenguajes de programación, como asignaciones,
ciclos y condicionales, aunque no está regido por ningún estándar. Es utilizado para
describir algoritmos en libros y publicaciones científicas, y como producto intermedio
durante el desarrollo de un algoritmo, como los diagramas de flujo, aunque presentan
una ventaja importante sobre estos, y es que los algoritmos descritos en
pseudocódigo requieren menos espacio para representar instrucciones complejas.

El pseudocódigo está pensado para facilitar a las personas el entendimiento de un
algoritmo, y por lo tanto puede omitir detalles irrelevantes que son necesarios en una
implementación. Programadores diferentes suelen utilizar convenciones distintas, que
pueden estar basadas en la sintaxis de lenguajes de programación concretos. Sin
embargo, el pseudocódigo, en general, es comprensible sin necesidad de conocer o
utilizar un entorno de programación específico, y es a la vez suficientemente
estructurado para que su implementación se pueda hacer directamente a partir de él.

Así el pseudodocódigo cumple con las funciones antes mencionadas para representar
algo abstracto los protocolos son los lenguajes para la programación. Busque fuentes
más precisas para tener mayor comprensión del tema.

Sistemas formales
La teoría de autómatas y la teoría de funciones recursivas proveen modelos
matemáticos que formalizan el concepto de algoritmo. Los modelos más comunes son
la máquina de Turing, máquina de registro y funciones μ-recursivas. Estos modelos
son tan precisos como un lenguaje máquina, careciendo de expresiones coloquiales o
ambigüedad, sin embargo se mantienen independientes de cualquier computadora y
de cualquier implementación.

Implementación
Muchos algoritmos son ideados para implementarse en un programa. Sin embargo,
los algoritmos pueden ser implementados en otros medios, como una red neuronal, un
circuito eléctrico o un aparato mecánico y eléctrico. Algunos algoritmos inclusive se
diseñan especialmente para implementarse usando lápiz y papel. El algoritmo de
multiplicación tradicional, el algoritmo de Euclides, la criba de Eratóstenes y
muchas formas de resolver la raíz cuadrada son sólo algunos ejemplos.

Variables
Son elementos que toman valores específicos de un tipo de datos concreto. La
declaración de una variable puede realizarse comenzando con var. Principalmente,
existen dos maneras de otorgar valores iniciales a variables:

1. Mediante una sentencia de asignación.

2. Mediante un procedimiento de entrada de datos (por ejemplo: 'read').

Ejemplo:

...
i:=1;
read(n);
while i < n do begin
(* cuerpo del bucle *)
i := i + 1
end;
...

Estructuras secuenciales
La estructura secuencial es aquella en la que una acción sigue a otra en secuencia.
Las operaciones se suceden de tal modo que la salida de una es la entrada de la
siguiente y así sucesivamente hasta el fin del proceso. La asignación de esto consiste,
en el paso de valores o resultados a una zona de la memoria. Dicha zona será
reconocida con el nombre de la variable que recibe el valor. La asignación se puede
clasificar de la siguiente forma:

1. Simples: Consiste en pasar un valor constante a una variable (a ← 15)

2. Contador: Consiste en usarla como un verificador del número de veces que
se realiza un proceso (a ← a + 1)

3. Acumulador: Consiste en usarla como un sumador en un proceso (a ← a +
b)

4. De trabajo: Donde puede recibir el resultado de una operación matemática
que involucre muchas variables (a ← c + b*2/4).

Un ejemplo de estructura secuencial, como obtener la área de un triángulo:

Inicio
...
float b, h, a;
printf("Diga la base");
scanf("%f", &b);
printf("Diga la altura");
scanf("%f", &h);
a = (b*h)/2;
printf("El área del triángulo es %f", a)
...
Fin

Algoritmos como funciones

Artículo principal: Teoría de la computabilidad.

Esquemática de un algoritmo solucionando un problema de ciclo hamiltoniano.

Un algoritmo se puede concebir como una función que transforma los datos de
un problema (entrada) en los datos de una solución (salida). Más aun, los datos se
pueden representar a su vez como secuencias de bits, y en general, de símbolos
cualesquiera.1 9 11 Como cada secuencia de bits representa a un número
natural (véase Sistema binario), entonces los algoritmos son en esencia funciones de
los números naturales en los números naturales que sí se pueden calcular. Es decir
que todo algoritmo calcula una función donde cada número natural
es la codificación de un problema o de una solución.

En ocasiones los algoritmos son susceptibles de nunca terminar, por ejemplo, cuando
entran a un bucle infinito. Cuando esto ocurre, el algoritmo nunca devuelve ningún
valor de salida, y podemos decir que la función queda indefinida para ese valor de
entrada. Por esta razón se considera que los algoritmos son funciones parciales, es
decir, no necesariamente definidas en todo su dominio de definición.

Cuando una función puede ser calculada por medios algorítmicos, sin importar la
cantidad de memoria que ocupe o el tiempo que se tarde, se dice que dicha función
es computable. No todas las funciones entre secuencias datos son computables.
El problema de la parada es un ejemplo.

Análisis de algoritmos

Artículo principal: Análisis de algoritmos.

Como medida de la eficiencia de un algoritmo, se suelen estudiar los recursos
(memoria y tiempo) que consume el algoritmo. El análisis de algoritmos se ha
desarrollado para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la
evolución del gasto de tiempo y memoria en función del tamaño de los valores de
entrada.

El análisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la
computación y, en la mayoría de los casos, su estudio es completamente abstracto sin
usar ningún tipo de lenguaje de programación ni cualquier otra implementación; por
eso, en ese sentido, comparte las características de las disciplinas matemáticas. Así,
el análisis de los algoritmos se centra en los principios básicos del algoritmo, no en los
de la implementación particular. Una forma de plasmar (o algunas veces "codificar")
un algoritmo es escribirlo enpseudocódigo o utilizar un lenguaje muy simple tal
como Lexico, cuyos códigos pueden estar en el idioma del programador.

Algunos escritores restringen la definición de algoritmo a procedimientos que deben
acabar en algún momento, mientras que otros consideran procedimientos que podrían
ejecutarse eternamente sin pararse, suponiendo el caso en el que existiera algún
dispositivo físico que fuera capaz de funcionar eternamente. En este último caso, la
finalización con éxito del algoritmo no se podría definir como la terminación de este
con una salida satisfactoria, sino que el éxito estaría definido en función de las
secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecución del algoritmo.
Por ejemplo, un algoritmo que verifica que hay más ceros que unos en una
secuencia binaria infinita debe ejecutarse siempre para que pueda devolver un valor

útil. Si se implementa correctamente, el valor devuelto por el algoritmo será válido,
hasta que evalúe el siguiente dígito binario. De esta forma, mientras evalúa la
siguiente secuencia podrán leerse dos tipos de señales: una señal positiva (en el caso
de que el número de ceros sea mayor que el de unos) y una negativa en caso
contrario. Finalmente, la salida de este algoritmo se define como la devolución de
valores exclusivamente positivos si hay más ceros que unos en la secuencia y, en
cualquier otro caso, devolverá una mezcla de señales positivas y negativas.

Ejemplo de algoritmo

El problema consiste en encontrar el máximo de un conjunto de números. Para un
ejemplo más complejo véase Algoritmo de Euclides.

Descripción de alto nivel
Dado un conjunto finito de números, se tiene el problema de encontrar el número
más grande. Sin pérdida de generalidad se puede asumir que dicho conjunto no es
vacío y que sus elementos están numerados como .

Es decir, dado un conjunto se pide encontrar tal
que para todo elemento que pertenece al conjunto .

Para encontrar el elemento máximo, se asume que el primer elemento ( ) es el
máximo; luego, se recorre el conjunto y se compara cada valor con el valor del
máximo número encontrado hasta ese momento. En el caso que un elemento sea
mayor que el máximo, se asigna su valor al máximo. Cuando se termina de recorrer la
lista, el máximo número que se ha encontrado es el máximo de todo el conjunto.

Descripción formal
El algoritmo puede ser escrito de una manera más formal en el
siguiente pseudocódigo:

Algoritmo Encontrar el máximo de un conjunto

función max( )

// es un conjunto no vacío de números//
← // es el número de elementos de //
←

para ← hasta hacer

si entonces

←
devolver

Sobre la notación:

"←" representa una asignación: ← significa que la variable toma el valor
de ;

"devolver" termina el algoritmo y devuelve el valor a su derecha (en este caso, el
máximo de ).
Implementación
En lenguaje C++:

int max(int c[],int n)
{
int i, m = c[0];
for(i =1; i < n; i++)
if(c[i]> m) m = c[i];
return m;
}
Véase también

Algoritmo de ordenamiento

Quicksort en acción sobre una lista de números aleatorios. Las líneas horizontales son valores pivote.

En computación y matemáticas un algoritmo de ordenamiento es un algoritmoque pone elementos de
una lista o un vector en una secuencia dada por unarelación de orden, es decir, el resultado de salida ha
de ser una permutación —o reordenamiento— de la entrada que satisfaga la relación de orden dada.
Las relaciones de orden más usadas son el orden numérico y el orden lexicográfico. Ordenamientos
eficientes son importantes para optimizar el uso de otros algoritmos (como los de búsqueda y fusión)
que requieren listas ordenadas para una ejecución rápida. También es útil para poner datos en forma
canónica y para generar resultados legibles por humanos.

Desde los comienzos de la computación, el problema del ordenamiento ha atraído gran cantidad de
investigación, tal vez debido a la complejidad de resolverlo eficientemente a pesar de su planteamiento
simple y familiar. Por ejemplo,BubbleSort fue analizado desde 1956.1 Aunque muchos puedan
considerarlo un problema resuelto, nuevos y útiles algoritmos de ordenamiento se siguen inventado
hasta el día de hoy (por ejemplo, el ordenamiento de biblioteca se publicó por primera vez en el 2004).
Los algoritmos de ordenamiento son comunes en las clases introductorias a la computación, donde la
abundancia de algoritmos para el problema proporciona una gentil introducción a la variedad de
conceptos núcleo de los algoritmos, como notación de O mayúscula, algoritmos divide y
vencerás, estructuras de datos, análisis de los casos peor, mejor, y promedio, y límites inferiores.

Índice
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1 Clasificación

2 Estabilidad

3 Lista de algoritmos de ordenamiento

4 Referencias

5 Enlaces externos

[editar]Clasificación

Los algoritmos de ordenamiento se pueden clasificar de las siguientes maneras:

La más común es clasificar según el lugar donde se realice la ordenación

Algoritmos de ordenamiento interno: en la memoria del ordenador.

Algoritmos de ordenamiento externo: en un lugar externo como un disco duro.

Por el tiempo que tardan en realizar la ordenación, dadas entradas ya ordenadas o inversamente
ordenadas:

Algoritmos de ordenación natural: Tarda lo mínimo posible cuando la entrada está ordenada.

Algoritmos de ordenación no natural: Tarda lo mínimo posible cuando la entrada está
inversamente ordenada.

Por estabilidad: un ordenamiento estable mantiene el orden relativo que tenían originalmente los
elementos con claves iguales. Por ejemplo, si una lista ordenada por fecha se reordena en orden
alfabético con un algoritmo estable, todos los elementos cuya clave alfabética sea la misma
quedarán en orden de fecha. Otro caso sería cuando no interesan las mayúsculas y minúsculas,
pero se quiere que si una clave aBC estaba antes que AbC, en el resultado ambas claves
aparezcan juntas y en el orden original: aBC, AbC. Cuando los elementos son indistinguibles
(porque cada elemento se ordena por la clave completa) la estabilidad no interesa. Los algoritmos
de ordenamiento que no son estables se pueden implementar para que sí lo sean. Una manera de
hacer esto es modificar artificialmente la clave de ordenamiento de modo que la posición original en
la lista participe del ordenamiento en caso de coincidencia.

Los algoritmos se distinguen por las siguientes características:

Complejidad computacional (peor caso, caso promedio y mejor caso) en términos de n, el tamaño
de la lista o arreglo. Para esto se usa el concepto de orden de una función y se usa la
notación O(n). El mejor comportamiento para ordenar (si no se aprovecha la estructura de las
claves) es O(n log n). Los algoritmos más simples son cuadráticos, es decir O(n²). Los algoritmos
que aprovechan la estructura de las claves de ordenamiento (p. ej. bucket sort) pueden ordenar en
O(kn) donde k es el tamaño del espacio de claves. Como dicho tamaño es conocido a priori, se
puede decir que estos algoritmos tienen un desempeño lineal, es decir O(n).

Uso de memoria y otros recursos computacionales. También se usa la notación O(n).
[editar]Estabilidad

Los algoritmos de ordenamiento estable mantienen un relativo preorden total. Esto significa que un
algoritmo es estable solo cuando hay dos registros R y S con la misma clave y con R apareciendo antes
que S en la lista original.

Cuando elementos iguales (indistinguibles entre sí), como números enteros, o más generalmente,
cualquier tipo de dato en donde el elemento entero es la clave, la estabilidad no es un problema. De
todas formas, se asume que los siguientes pares de números están por ser ordenados por su primer
componente:

(4, 1) (3, 7) (3, 1) (5, 6)

En este caso, dos resultados diferentes son posibles, uno de los cuales mantiene un orden relativo de
registros con claves iguales, y una en la que no:

(3, 7) (3, 1) (4, 1) (5, 6) (orden mantenido)
(3, 1) (3, 7) (4, 1) (5, 6) (orden cambiado)

Los algoritmos de ordenamiento inestable pueden cambiar el orden relativo de registros con claves
iguales, pero los algoritmos estables nunca lo hacen. Los algoritmos inestables pueden ser
implementados especialmente para ser estables. Una forma de hacerlo es extender artificialmente el
cotejamiento de claves, para que las comparaciones entre dos objetos con claves iguales sean
decididas usando el orden de las entradas original. Recordar este orden entre dos objetos con claves
iguales es una solución poco práctica, ya que generalmente acarrea tener almacenamiento adicional.

Ordenar según una clave primaria, secundaria, terciara, etc., puede ser realizado utilizando cualquier
método de ordenamiento, tomando todas las claves en consideración (en otras palabras, usando una
sola clave compuesta). Si un método de ordenamiento es estable, es posible ordenar múltiples ítems,
cada vez con una clave distinta. En este caso, las claves necesitan estar aplicadas en orden de
aumentar la prioridad.

Ejemplo: ordenar pares de números, usando ambos valores

(4, 1) (3, 7) (3, 1) (4, 6) (original)
(4, 1) (3, 1) (4, 6) (3, 7) (después de ser ordenado por el segundo
valor)

(3, 1) (3, 7) (4, 1) (4, 6) (después de ser ordenado por el primer
valor)

Por otro lado:

(3, 7) (3, 1) (4, 1) (4, 6) (después de ser ordenado por el primer
valor)
(3, 1) (4, 1) (4, 6) (3, 7) (después de ser ordenando por el segundo
valor,
el orden por el primer valor es
perturbado)

[editar]Lista de algoritmos de ordenamiento

Algunos algoritmos de ordenamiento agrupados según estabilidad tomando en cuenta la complejidad
computacional.

Estables

Nombre traducido Nombre original Complejidad Memoria Método

Ordenamiento de burbuja Bubblesort O(n²) O(1) Intercambio

Ordenamiento de burbuja
Cocktail sort O(n²) O(1) Intercambio
bidireccional

Ordenamiento por inserción Insertion sort O(n²) O(1) Inserción

No
Ordenamiento por casilleros Bucket sort O(n) O(n)
comparativo

No
Ordenamiento por cuentas Counting sort O(n+k) O(n+k)
comparativo

Ordenamiento por mezcla Merge sort O(n log n) O(n) Mezcla

Ordenamiento con árbol binario Binary tree sort O(n log n) O(n) Inserción

Pigeonhole sort O(n+k) O(k)

No
Ordenamiento Radix Radix sort O(nk) O(n)
comparativo

Distribution sort O(n³) versión recursiva O(n²)

Gnome sort O(n²)

Inestables


Ordenamiento Shell Shell sort O(n1.25) O(1) Inserción

Comb sort O(n log n) O(1) Intercambio

Ordenamiento por selección Selection sort O(n²) O(1) Selección

Ordenamiento por montículos Heapsort O(n log n) O(1) Selección

Smoothsort O(n log n) O(1) Selección

Promedio: O(n log n),
Ordenamiento rápido Quicksort O(log n) Partición
peor caso: O(n²)

Promedio: O(n u),
Several Unique peor caso: O(n²);
Sort u=n; u = número único de
registros

Cuestionables, imprácticos


Bogosort O(n × n!), peor: no termina

O(n), excepto en
Pancake sorting
máquinas de Von Neumann

Promedio: O(n!) Peor: No
Randomsort
termina

[editar]Referencias

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