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Algoritmos y estructuras
de datos en Python
Un enfoque ágil y estructurado
Facultad de Ciencia y Tecnología

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ENTRE RÍOS
Abog. Luciano Filipuzzi | RECTOR
Ing. Esp. Rossana Sosa Zitto | VICERRECTORA
Mg. Ma. Florencia Walz | DIRECTORA EDITORIAL UADER

Walter Bel
Algoritmos y estructuras
de datos en Python
Un enfoque ágil y estructurado

Bel, Walter
Algoritmos y estructuras de datos en Python: un enfoque ágil y estructurado / Walter Bel. - 1a ed. - Paraná: Editorial
Uader, 2020.
Libro digital, PDF - (Amalgama)
Archivo Digital: descarga y online
ISBN 978-950-9581-60-9
1. Algoritmo. 2. Lenguajes de Programación. 3. Ingeniería Informática. I. Título.
CDD 005.131
©EDITORIAL UADER
Diseño Gráfico: Alfredo Molina
Edición y corrección: Sebastián Galizzi
Razón social: UADER/Editorial UADER
Avda. Ramírez 1143, E3100FGA
Paraná, Entre Ríos, Argentina
editorial@uader.edu.ar
www.uader.edu.ar
Hecho el depósito que marca la ley 11.723
Prohibida su reproducción total o parcial
Derechos reservados

Índice
Introducción9
CAPÍTULO I
Unabreveintroducciónaalgoritmos, estructuras de datos y Python11
CAPÍTULO II
Auto llamadas con algoritmos recursivos19
CAPÍTULO III
Analizando algoritmos en búsqueda de eficiencia27
CAPÍTULO IV
Buscar es más fácil cuando las cosas están ordenadas43
CAPÍTULO V
Representando modelos reales con tipos de datos abstractos67
CAPÍTULO VI
Desde la cima de la pila, intentando evitar el desbordamiento77
CAPÍTULO VII
Por favor espere su turno en la cola que será atendido87
CAPÍTULO VIII
Como vagones de un tren enlazamos elementos para construir una lista enlazada101
CAPÍTULO IX
Utilizando mapas para acceder rápidamente a los datos con tablas hash119
CAPÍTULO X
Desde la raíz hasta las hojas, entendiendo los árboles desde otro punto de vista135
CAPÍTULO XI
Pintandonodosdecolorrojoynegro,¡conozcamos los árboles rojinegros!173
CAPÍTULO XII
Simplifiquemos las cosas usando montones, ¡montículos para todo!187
CAPÍTULO XIII
Conectando puntos. Cómo formar una red conocida como grafo199
CAPÍTULO XIV
Técnicas de diseño de algoritmos, intentando desarrollar algoritmos eficientes237

Introducción
Elcontenidodeestelibroseenfocaendosejestemáticostroncalesdeláreaprogramaciónfuertemen-
te relacionados, algoritmos y estructuras de datos, está orientado a lectores que tengan conocimientos
básicos de programación –que se darán por sentado en este libro– y destinado principalmente para
estudiantes de carreras informáticas. Ambos son partes de los tres pilares fundamentales del desa-
rrollo de sistemas: diseño, programación –o desarrollo– y almacenamiento. Dentro del segundo de
estos pilares es donde tienen mayor relevancia los algoritmos y las estructuras de datos.
Es un punto crítico elegir la estructura de datos apropiada que almacenará la información en memo-
ria principal de acuerdo al dominio del problema a tratar, para que los algoritmos de búsqueda y orde-
namiento que se utilicen sean eficientes, sobre todo cuando el volumen de datos es grande y es necesa-
rio que el sistema responda en buen tiempo. Respecto al tercero de los pilares, –el almacenamiento–,
los distintos motores de bases de datos utilizan diversas estructuras de datos para su administración
interna, como árboles para hacer consultas e índices hash que permiten optimizar las consultas, el
acceso a memoria secundaria y también a los datos, en el caso de las bases de datos claves-valor.
Es fundamental conocer estos aspectos para poder determinar con buen criterio la elección de una
base de datos para el desarrollo de un sistema. O en el caso que la persistencia sea en un archivo, se
deben conocer los algoritmos y estructuras de datos que permiten administrar, buscar y ordenar es-
tos datos en un tiempo aceptable de respuesta, siempre esperando que sea el menor posible, ya que
en estos casos es crucial el tiempo de acceso a la memoria secundaria –es decir el acceso al disco–.
Por su parte el pilar de diseño o ingeniería de software es esencial para que el desarrollo del siste-
ma sea exitoso. Para esto, además de los aspectos mencionados, se requiere una visión global del
sistema, como también de sus requerimientos, arquitectura y tecnologías que se utilizarán para el
desarrollo del mismo al momento de modelarlo. Las estructuras de datos son fundamentales para
establecer el nexo que permite intercambiar información entre las capas de frontend –o presenta-
ción– y la de backend –o persistencia–.
Respecto a los algoritmos, existen diversos factores que condicionan su programación: eficiencia
(referido a las técnicas, tiempos y recursos utilizados), forma de estructurarlo o escribirlo (referido
a la tabulación, organización y legibilidad del código), estilo de escritura o nomenclatura utilizada,
uso de buenas prácticas y documentación dentro del código. A excepción del primero, el resto se
puede controlar con la ayuda de un Entorno de Desarrollo Integrado (IDE) y un poco de experiencia
como desarrollador. En relación a la eficiencia de los algoritmos, es necesario comprender cómo
poder analizar y medir dicha eficiencia para poder comparar con criterio algoritmos similares que
utilicen distintas técnicas, es decir, que sirvan para resolver un mismo problema. Estos contenidos
se abordarán en detalle en los capítulos II, III, IV y XIV.
En cuanto a las estructuras de datos cabe señalar que son recursos o herramientas disponibles en
todo lenguaje de programación. Permiten almacenar o agrupar un conjunto de elementos o datos.
Muchas de estas estructuras de datos son utilizadas internamente por los distintos tipos de bases de
datos para gestionar la información (que es la manera más utilizada para almacenar información
desde la década de 1980) y por los sistemas operativos para gestionar los distintos recursos de una
computadora. Es importante entender que no existe una estructura de datos mejor que las demás,

cada una tiene sus ventajas y desventajas. Por este motivo, es imprescindible que el programador
comprenda cómo funciona cada una y cuándo es conveniente utilizarlas para sacarles mayor pro-
vecho. En ocasiones, suele ocurrir que es necesario trabajar con más de una estructura de datos a la
vez, combinándolas en un mismo algoritmo. Además nos sirven como nexo entre los datos dentro
de nuestro algoritmo (en memoria principal) y los datos almacenados físicamente en disco (ya sea
en una base de datos o en un archivo). Desde el capítulo V al XIII se presentarán y analizarán en
detalle las distintas estructuras de datos y cómo se modelan.
En resumen, el énfasis está puesto en comprender cómo funcionan los algoritmos y estructuras de
datos, con el objetivo de poder implementar todos los conceptos planteados en cada capítulo. De
esta manera, el lector podrá llevar a la práctica los conceptos teóricos y fortalecer sus habilidades
de programador, adquirir experiencia para decidir con criterio cómo y cuándo utilizar los distintos
tipos de algoritmos y estructuras de datos. Para ello, al final de cada capítulo se facilitará una guía
de ejercicios para comenzar a incorporar estos recursos y desarrollar el pensamiento algorítmico.

[11]
CAPÍTULO I
Unabreveintroducciónaalgoritmos,
estructuras de datos y Python
Para comenzar a abordar los diferentes temas referidos a algoritmos y estructuras de datos y apro-
vechar las potencialidades que el lenguaje de programación Python presenta para su implementa-
ción es imprescindible establecer las bases conceptuales mínimas, necesarias para comprender el
resto de los capítulos de este libro.
Algoritmo ¿Qué cosa es?
El nombre algoritmo (del latín algorithmus) proviene del matemático persa del siglo IX Abu Abda-
llah Muḥammad ibn Mūsā al-Khowârizmî, conocido como al-Juarismi. Podemos encontrar muchas
definiciones en distintas fuentes de bibliografías dependiendo del enfoque de cada autor:
Informalmente, un algoritmo es cualquier procedimiento computacional bien definido que
toma algún valor, o conjunto de valores, como entrada y produce algún valor, o conjunto de
valores, como salida. (Cormen at. al., 2009: 5)
Un algoritmo es una secuencia de pasos computacionales que transforma la entrada en la
salida. (Cormen at. al., 2009: 5)
Podemos ver un algoritmo como una herramienta para resolver un problema computa-
cional bien especificado. La declaración del problema especifica en términos generales la
relación de entrada/salida deseada. El algoritmo describe un procedimiento computacional
específico para lograr esa relación de entrada/salida. (Cormen at. al., 2009: 5)
Un conjunto de reglas para efectuar algún cálculo, bien sea a mano o en una máquina.
(Brassard y Bratley, 1997: 2)
Un conjunto de instrucciones sencillas, claramente especificado, que se debe seguir para
resolver un problema. (Weiss, 1995: 17)
Según el Diccionario de la lengua española (DLE) es un “Conjunto ordenado y finito de
operaciones que permite hallar la solución de un problema”; o un “Método y notación en
las distintas formas del cálculo”.
Una secuencia de instrucciones que representan un modelo de solución para determinado
tipo de problemas. (Joyanes, 2003: 4)
Un conjunto o grupo de instrucciones que realizadas en orden conducen a obtener la solu-
ción de un problema. (Joyanes, 1990: 7)

[12]
De forma general, se puede definir un algoritmo como una secuencia de instrucciones o pasos que
al ejecutarlos recibe datos de entrada, de manera directa o indirecta y los transforma en una salida.
También se lo puede definir con un conjunto de instrucciones ordenadas de manera lógica tal que
al ser ejecutadas por una computadora o persona dan solución a un determinado problema para el
cual fue diseñado.
Los algoritmos son independientes de los distintos lenguajes de programación en los que se desee
implementarlos. Para cada problema se puede escribir un algoritmo, que luego puede codificarse
y ejecutarse en diferentes lenguajes de programación. El algoritmo es la infraestructura de la solu-
ción a un problema, que luego puede ser implementada en cualquier lenguaje de programación.
Es importante destacar que los algoritmos deben cumplir determinadas características para ser
considerados como tales. En primer lugar un algoritmo debe ser preciso, es decir debe definirse de
manera rigurosa, sin dar lugar a ambigüedades en las instrucciones que lo forman. Este también
debe ser definido, esto implica que si se ejecuta dos veces el mismo algoritmo con la misma entrada
–salvo sean algoritmos aleatorios– se debe obtener el mismo resultado de salida. Además tiene que
ser finito. Esto quiere decir que debe terminar de ejecutarse en algún momento. Pueden tener cero
o más elementos de entrada y a su vez debe producir un resultado, los datos de salida serán los re-
sultados de efectuar las instrucciones que lo forman sobre la entrada. Finalmente se concluye que
un algoritmo debe ser suficiente para resolver el problema para el cual fue diseñado.
Frenteadosalgoritmosquellevencabounmismoobjetivo,esdecirqueresuelvanelmismoproblema
–ocurre bastante a menudo–, siempre será preferible el más corto. Esto no es una tarea trivial, dado
que se debe tener en cuenta el análisis del algoritmo para la optimización de los tiempos de ejecución
y recursos que consume, como se verá más adelante en profundidad y detalle en el capítulo III.
Además los algoritmos pueden clasificarse en algoritmos cualitativos y cuantitativos. En el caso de
los primeros, refieren a los que en sus pasos o instrucciones que lo forman no están involucradas o
intervienen cálculos numéricos. Por ejemplo, las instrucciones para desarrollar una actividad física
o encontrar un tesoro, tomar mate, buscar una palabra en el diccionario, etc. Mientras que los se-
gundos son aquellos algoritmos en los que dentro de los pasos o instrucciones involucran cálculos
numéricos. Por ejemplo, solución de una ecuación de segundo grado, conteo de elementos que
cumplen una determinada condición, cálculo de un promedio, etc.
¿Programa y algoritmo es lo mismo? Es importante destacar que no es lo mismo un programa que un
algoritmo. Un programa es una serie de instrucciones ordenadas, codificadas en un lenguaje de
programación que expresa uno o varios algoritmos y que puede ser ejecutado en una computadora.
Por lo general un programa contempla un conjunto de instrucciones encargadas de controlar el flu-
jo de ejecución del programa –a través de una interfaz que puede ser de consola o gráfica– y hacer
las llamadas a los distintos algoritmos que lo forman.

[13]
Algoritmia, una manera de estudiar los algoritmos
A su vez, el término algoritmia está relacionado de manera directa con los algoritmos, o podríamos
decir que deriva del mismo. Existen varias definiciones para este término:
Ciencia que nos permite evaluar el efecto de diferentes factores externos (como los nú-
meros implicados, la forma en que se presenta el problema, o la velocidad y capacidad
de almacenamiento de nuestro equipo) sobre los algoritmos disponibles, de tal modo
que sea posible seleccionar el que mejor se ajuste a nuestras circunstancias particulares.
(Brassard y Bratley, 1997: 3)
El estudio de los algoritmos. (Brassard y Bratley, 1997: 3)
Según DEL es “Ciencia del cálculo aritmético y algebraico, teoría de los números”.
Se puede definir entonces la algoritmia como la ciencia que estudia a través de determinadas técnicas
yherramientascuáleselmejoralgoritmodentrodeunconjuntodealgoritmosdiseñadospararesolver
unmismoproblema,deacuerdoaundeterminadocriterio,necesidadesycaracterísticasdelproblema.
¿Para qué necesitamos las estructuras de datos?
Las estructuras de datos son las principales herramientas o recursos que tienen los programadores
para el desarrollo de sus algoritmos. Es difícil pensar en un algoritmo o conjunto de estos que no
tenga como macroestructura de soporte una estructura de datos. Entre las definiciones más conoci-
das de estructuras de datos podemos mencionar:
Una estructura de datos es una forma de almacenar y organizar datos para facilitar el acceso
y las modificaciones. Ninguna estructura de datos funciona bien para todos los propósitos,
por lo que es importante conocer las fortalezas y limitaciones de cada una de ellas. (Cormen
at. al., 2009: 9)
Una estructura de datos es una colección de datos (normalmente de tipo simple) que se carac-
terizan por su organización y las operaciones que se definen en ellos. (Quetglás at. al., 1995: 171)
En otras palabras, una estructura de datos es una colección de datos simples o compuestos –como
los registros– con un sentido u orden concreto para quien lo está utilizando, sobre la cual se definen
un conjunto de operaciones que por lo general describen el comportamiento de la estructura.
La estructura de datos más simple que disponemos es una variable. Con esta podemos realizar las
siguientes operaciones: obtener y modificar su valor de manera directa utilizando su identificador.
Por su parte, un registro define un conjunto de atributos o campos a los que podemos acceder me-
diante su identificador y luego utilizar el operador punto seguido del nombre del campo para acce-
der a su valor: “registro.altura”, “registro.peso”.

[14]
Existen numerosos tipos de estructuras de datos, generalmente construidas sobre otras más sim-
ples. Por ejemplo, vector, matriz, pila, cola, lista, árboles, montículo, grafos, archivo, etc. Estas son
lineales o no lineales –también llamadas ramificadas– las mismas pueden ser estáticas o dinámicas.
Por lo general, al trabajar sobre estas estructuras de datos se suelen contemplar algunas actividades
mínimas como insertar, eliminar y buscar un dato en la misma. A lo largo de los capítulos de este
libro se describen en profundidad varias de las estructuras de datos clásicas.
Pensamiento algorítmico ¿De qué se trata?
Quizás, uno de los aspectos más importantes de esta obra es su intención de crear y fortalecer el
pensamiento algorítmico del lector. Por esta razón, en cada guía de ejercicios se encontrarán al-
gunos problemas sencillos para aplicar los conceptos abordados en el capítulo y luego otros más
avanzados e integradores, donde se deberá atacar los problemas con un enfoque algorítmico para
poder obtener una solución. Para comenzar a introducir al lector en esta mecánica práctica se pue-
de plantear un primer ejercicio: “resuelva el problema de mover el caballo de ajedrez sobre el tecla-
do de un teléfono”.
Suponga que tiene a su disposición dicha ficha del ajedrez, y que se puede mover en ciertas formas
particulares como se observa en la figura 1. Ahora, desea saber cuántos movimientos válidos pue-
den realizarse partiendo con el caballo desde todos los números del teclado realizando un movi-
miento desde cada número.
Figura 1. Problema de los movimientos de caballo de ajedrez
Si se parte del 1 se puede ir al 6 y al 8 (dos movimientos); si se sale del 2 se puede llegar al 7 y al 9 (dos
movimientos más); iniciando desde el 3 se puede arribar al 4 y al 8 (se suman nuevamente dos); si se
arranca desde el 4 las posibilidades son 3, 9 y 0 (ahora se acumulan tres movimientos); pero si la po-
sición inicial es el 5 no se puede mover la ficha a ningún lugar dado que no hay movimientos válidos
–sin embargo aún restan varias posibilidades más para seguir probando–; desde el 6 se pueden alcan-
zar el 1, 7 y 0 (nuevamente se agregan tres más); por su parte desde el 7 se puede mover la ficha hasta el
2 y el 6 (la cantidad se incrementa en dos); si se toma el 8 como inicio se pueden alcanzar el 1 y el 3 (se
adicionan dos movimientos); si se posiciona la ficha en el 9 las opciones para moverse son 2 y 4 (nue-
vamente se tienen dos movimientos); y por último si se sale desde el 0 los movimientos válidos son 4
y 6 (se suman los últimos dos). En total se pueden realizar veinte movimientos válidos con esta ficha.

[15]
Ahora, diseñe un algoritmo que permita calcular cuántos posibles movimientos válidos puede rea-
lizar la ficha del caballo, recibiendo como entrada la cantidad de movimientos a realizar desde el
inicio, partiendo de todos los números. Por ejemplo, como mostramos anteriormente si la cantidad
de movimientos es uno, la cantidad de movimientos válidos son veinte. Pero si la cantidad de mo-
vimientos son dos y se sale desde el 1 se puede ir hasta el 6 y el 8 (un movimiento), a continuación
a partir del 6 hasta el 1, 7 y 0 (dos movimientos de la ficha), luego se sigue desde el 8 hasta el 1 y 3
(para alcanzar los dos movimientos de la ficha). En resumen se tienen cinco posibles movimientos
válidos partiendo desde el 1 (1-6-1, 1-6-7, 1-6-0, 1-8-1 y 1-8-3) a estos se deben sumar todos los movi-
mientos que resulten de partir de los demás número. En total la cantidad de posibles movimientos
válidos para dos movimientos son 46. Una vez desarrollado el algoritmo complete la siguiente tabla.
Cantidad de movimientos Posibilidades válidas
1 20
2 46
3 104
5
8
10
15
18
21
23
32
Pasemos a trabajar en otro ejemplo para fortalecer aún más nuestro pensamiento algorítmico, en
este caso el problema de las n-reinas, el mismo consiste en ubicar n reinas en un tablero de ajedrez
de tamaño n x n, sin que las mismas se amenacen. Recuerde que la reina desplaza de manera hori-
zontal, vertical y diagonal como se puede observar en la figura 2, además podemos ver una solución
al problema de las 4 reinas. Nótese que una parte importante para resolver un problema es de que
manera representar la solución, para este caso particular usamos un vector de n posiciones (colum-
nas) y el valor almacenado representa la fila donde se ubica dicha reina.
Figura 2. Problema de las n-reinas

[16]
Cuando haya entendido el problema y tenga una solución en mente, desarrolle un algoritmo que per-
mitahallaralmenosunasoluciónparadistintascantidaddereinas,yluegocompletelasiguientetabla.
n-reinas Soluciones distintas Todas las soluciones Una solución
1 1 1 [0]
2 0 0 -
3 0 0 -
4 1 2 [1, 4, 0, 3]
5 2 10
6 1 4
7 6 40
8 12 92
9 46 352
10 92 724
15 285 053 2 279 184
Del algoritmo a las estructuras de datos:
¡A implementar!
Para implementar los algoritmos y definir las estructuras de datos se puede utilizar cualquier len-
guaje de programación como C, Java, Delphi, C++, Javascript. Como lo indica el título de este libro,
se optó por trabajar con el lenguaje Python por su versatilidad, creciente popularidad y demanda
en estos últimos años. A su vez, se buscó darle un enfoque ágil sin dejar de lado las metodologías
estructuradas de estos temas. Los ejemplos están codificados de la manera clásica utilizando unos
pocos comandos particulares del lenguaje, para que puedan ser codificados en cualquier otro len-
guaje que se prefiera, sin realizar cambios significativos. Los ejemplos pueden ser ejecutados uti-
lizando cualquier versión “3.x” de Python dado que la versión “2.x” esta descontinuada a partir de
enero del 2020 (si se trabaja con alguna versión anterior se deberá hacer algunas modificaciones
para adaptar el código y que funcione en dicha versión).
¿Qué es Python?
Python es un lenguaje de programación creado por Guido Van Rossum a principios de los años no-
venta, es un lenguaje que posee una sintaxis clara y estructurada que favorece a generar un código
legible. Es administrado por la Python Software Foundation, posee una licencia de código abierto,
denominada Python Software Foundation License, que es compatible con la Licencia pública gene-
ral de GNU a partir de la versión 2.1.1.
Se trata de un lenguaje interpretado o de script, con tipado dinámico, multiplataforma y orientado
a objetos, además cuenta con un gran cantidad de librerías y frameworks disponibles. La sintaxis de
Python es sencilla y cercana al lenguaje natural. Por estas razones se trata de uno de los mejores

[17]
lenguajes para comenzar a programar, –ya que es como programar en pseudocódigo–, y la curva de
aprendizaje es bastante alta y rápida.
Es una tecnología muy utilizada en la actualidad, por su simplicidad y potencia permite realizar
aplicaciones de una manera rápida, sencilla y óptima para el despliegue en distintas plataformas,
además permite utilizar algoritmos de machine learning e inteligencia artificial en producción. Exis-
ten muchos casos de grandes empresas que utilizan Python en sus aplicaciones con gran éxito, tal
es el caso de Google, la NASA, Netflix, Mercado libre, Spotify, Dropbox, Instagram, Pinterest, Glo-
bant, Sattelogic y un largo etcétera.
Un lenguaje interpretado o de script es aquel que se ejecuta utilizando un programa intermedio
llamado intérprete, en lugar de compilar el código a lenguaje máquina que pueda comprender y
ejecutar directamente una computadora. La ventaja de los lenguajes compilados es que su ejecu-
ción es más rápida. Sin embargo los lenguajes interpretados son más flexibles y más portables.
Python tiene, no obstante, muchas de las características de los lenguajes compilados, por lo que se
podría decir que es seminterpretado. En Python, como en Java, Delphi y muchos otros lenguajes, el
código fuente se traduce la primera vez que se ejecuta a un pseudocódigo máquina intermedio llama-
do bytecode, generando archivos “.pyc” o “.pyo”, que son los que se ejecutarán en sucesivas ocasiones.
La característica de tipado dinámico se refiere a que no es necesario declarar el tipo de dato que va
a contener una variable, sino que su tipo se determinará en tiempo de ejecución según el tipo del
valor al que se asigne, y el tipo de esta variable puede cambiar si se le asigna un valor de otro tipo,
lo cual le otorga una gran flexibilidad a la hora de programar.
En los lenguajes con esta característica no se permite tratar a una variable como si fuera de un tipo
distinto al que tiene, es necesario convertir de forma explícita dicha variable al nuevo tipo previa-
mente. Por ejemplo, si tenemos una variable que contiene un texto (variable de tipo cadena o string)
no podremos tratarla como una variable numérica, sin previamente realizar una conversión.
La programación orientada a objetos es un paradigma en el que los conceptos del mundo real rele-
vantes para nuestro problema se trasladan a clases y objetos en nuestro programa. La ejecución del
programa consiste en una serie de interacciones e intercambio de mensajes entre los objetos. No
obstante el lenguaje soporta también los paradigmas de programación imperativa y funcional (este
último le permite al lenguaje añadir características avanzadas muy interesantes).
El intérprete de Python está disponible en muchas plataformas de las más comunes (Linux, UNIX,
Mac OS, Solaris, DOS, Windows, etc.) por lo que si no utilizamos librerías específicas de cada plata-
forma nuestro programa podrá correr en todos estos sistemas sin tener que realizar ningún tipo de
cambio. Esto nos permite desarrollar programas que sean portables de un sistema operativo a otro.
La filosofía de los creadores de Python entiende que la gran sencillez, flexibilidad y potencia del
lenguaje debe ir acompañada de una correcta formación del programador que lo utiliza para poder
realizar las actividades de desarrollo con criterio, dado que la inexperiencia de los nuevos progra-
madores puede conducirlos a programar de manera incorrecta (aunque lleguen a un resultado).

[19]
CAPÍTULO II
Auto llamadas con
algoritmos recursivos
Cuando se habla de recursividad se hace referencia a problemas en los cuales, dicho problema
es parte de la solución. Se trata de un modelo matemático cuya definición incluye a sí mismo “se
autodefine”; es decir que se llama a sí misma repetidamente hasta que satisface una determinada
condición para evitar caer en un bucle infinito, y donde cada resultado depende de la resolución
de la siguiente o anterior repetición, hasta alcanzar dicha condición de fin. Entonces, este modelo
recursivo tiene dos características fundamentales para ser denominado como tal:
1. Debe tener al menos una condición clara de fin o caso base del problema, puede tener más de
una de ser necesario.
2. Debe llamarse a sí mismo, es decir que el modelo o solución sea parte de su propia definición.
Esta llamada puede ser única, si se llama una sola vez dentro de la función, o múltiple, si se
realizan más de una llamada.
Figura 1. Definición gráfica de recursividad
A partir de esta definición, se puede decir que la recursividad es una técnica muy útil para desarro-
llar algoritmos recursivos que den solución a distintos problemas. Este modelo recursivo se lo debe
pensar como una función recursiva que servirá para dar solución a ciertos problemas –estos son
casos particulares donde la naturaleza del problema es recursiva–. No cualquier problema puede
resolverse de forma recursiva, aunque muchas veces puede implementarse una solución recursiva
para problemas que no son de esta naturaleza. Es importante aclarar que dentro de una función o
algoritmo recursivo no deben existir ciclo o bucles, salvo algunos casos muy particulares para resol-
ver alguna operación transversal a la función.

[20]
Se puede clasificar la recursividad de acuerdo a su tipo, pueden ser algoritmos recursivos directos
o indirectos, los primeros se llaman a sí mismos mientras que los segundos llaman a un algoritmo
(intermedio) y este llama al algoritmo inicial para generar la recursividad. Otra manera de clasifi-
carla es respecto a la finalización de los algoritmos si son finales o no finales, es decir, si al finalizar
las llamadas recursivas no queda más nada por hacer o aún quedan instrucciones por ejecutar.
Para comenzar, podemos observar un ejemplo sencillo: el problema del factorial, si se quiere calcu-
lar el factorial de un número n. La solución iterativa sería la siguiente (si n=5):
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Pero si se lo piensa de forma recursiva, es decir, si se descompone el problema inicial en pequeños
subproblemas y se resuelve una parte del problema en cada llamada (que quedará pendiente hasta
que se alcance el caso base del problema), entonces se podría resolver de la siguiente manera:
5! = 5 * 4! → Llamada recursiva
De esta forma, la solución al problema anterior quedaría así:
Problema Solución parcial Solución
5! 5 * 4! (pendiente en espera de
solución de 4!)
Llamada recursiva 4!
solución de 3!)
solución de 2!)
solución de 1!)
solución de 0!)
0! 0! = 1 (condición de fin o
caso base)
1
Una vez que se alcanza la condición de fin, se empiezan a resolver las llamadas recursivas previas
que quedaron pendientes.
Problema Solución parcial Solución
0! 0! 1 (condición de fin o caso base)
1! 1 * 0! 1 * 0! → 1 * 1 = 1 (utilizando resultado de 0!)

[21]
Como se puede observar en el ejemplo anterior, mediante el modelo recursivo se puede dividir un
problema en pequeños subproblemas, y para poder resolver cada uno de estos se necesitará de la
solución del caso siguiente o anterior (dependiendo del problema). Estas quedarán pendiente en
memoria para resolver cuando se alcance una condición de fin o caso base, y el algoritmo retroceda
resolviendo cada una de estas llamadas que quedó en espera y liberando la memoria hasta obtener
el resultado final.
A continuación se puede observar en la figura 2 cómo se programa esta técnica en Python para dar
solución al problema antes planteado:
Figura 2. Implementación de función recursiva en Python
Para poder entender cómo resolver un problema de forma recursiva, analicemos detalladamente
los pasos del algoritmo anterior que dan solución al ejemplo del factorial:
1. Primero recuerde que en programación para representar el modelo recursivo se hace a través
de una función recursiva, en la cual se define su nombre y los parámetros de entrada.
2. Mediante condicionales (if-else) se determinan las condiciones de fin. Debe tener al menos una.
3. Llamada recursiva de sí misma, es decir que dentro de la función debe llamarse a sí misma.
4. En el ejemplo gráfico (tablas) a medida que se reemplaza el valor de un problema por su resul-
tado, se actualiza el valor del resultado a calcular. Cuando se desarrolla una función recursiva
debemos recordar que cuando se realizan estas llamadas hay que actualizar los parámetros de
entrada. En dicha llamada esto es sumamente importante ya que será lo que permitirá lograr
alcanzar la condición de fin y no caer en un ciclo infinito de llamadas recursivas y que se des-
borde la pila de llamadas en memoria. En este caso particular cuando se llama a sí misma se le
resta uno al valor de la variable e.
5. Como es una función debe devolver un resultado. En este caso puede devolver uno de los valores
de las condiciones de fin, o el resultado de llamada recursiva con su correspondiente tratamiento.

[22]
Ahora veamos otro ejemplo. En esta ocasión en la figura 3 se puede observar el algoritmo recursivo
e iterativo para resolver un mismo problema, obtener el valor en la sucesión de Fibonacci de un
número n dado.
Figura 3. Algoritmo Fibonacci recursivo e iterativo
Claramente hay una diferencia entre ambas funciones. La primera –versión recursiva arriba en la
figura– solo son cuatro líneas de código y refleja el modelo matemático de la sucesión de Fibonacci.
En cambio la segunda –versión iterativa abajo en la figura– es necesario hacer un tratamiento parti-
cular para lograr representar el modelo de dicha sucesión que llevará algunas líneas más de código.
El modelo recursivo, como se dijo anteriormente, permite dividir un problema grande en proble-
mas más pequeños sin alterar la naturaleza del problema y su solución. Sin embargo, esto no impli-
ca que esta sea la mejor solución. Estos problemas también pueden ser resueltos de manera iterati-
va, para ello es necesario utilizar alguna de las estructuras de control de ciclo y variables auxiliares
para almacenar los resultados (acumuladores, contadores o auxiliares) que reemplace las llamadas
recursivas. Esto muchas veces cambiará la estrategia utilizada para resolver el problema. Además
al tener dos alternativas a la hora de resolver un determinado problema, es muy importante que se
analicen las ventajas y desventajas de implementar y desarrollar una solución recursiva o iterativa.
El modelo recursivo brinda ciertas ventajas respecto al iterativo, entre ellas se puede destacar que
el código a desarrollar es más claro y sencillo, dado que se respeta el modelo del problema y la
solución. La mayor desventaja del modelo recursivo frente al iterativo es que, dependiendo de la

[23]
dimensión del problema a tratar y las estructuras de datos donde se implemente –en particular si
este es muy grande–, la cantidad de llamadas recursivas necesarias para llegar hasta el caso base
pueden ser muchas y podría desbordar la pila de memoria disponible para esta actividad. En cam-
bio, el modelo iterativo solo requiere de un ciclo formado por una variable de control, más las va-
riables auxiliares para los resultados. De tal forma se consume mucha menos cantidad de memoria.
En el siguiente capítulo se presentarán técnicas que permiten comparar un algoritmo recursivo
frente a uno iterativo, de esta manera se logrará dominar los criterios suficientes para optar entre
una implementación recursiva o una iterativa de un determinado algoritmo.

[24]
Guía de ejercicios prácticos
A continuación planteamos una serie de problemas. Para resolverlos se deberá desarrollar una fun-
ción recursiva.
1. Implementar una función que permita obtener el valor en la sucesión de Fibonacci para un
número dado.
2. Implementar una función que calcule la suma de todos los números enteros comprendidos
entre cero y un número entero positivo dado.
3. Implementar una función para calcular el producto de dos números enteros dados.
4. Implementar una función para calcular la potencia dado dos números enteros, el primero re-
presenta la base y segundo el exponente.
5. Desarrollar una función que permita convertir un número romano en un número decimal.
6. Dada una secuencia de caracteres, obtener dicha secuencia invertida.
7. Desarrollar un algoritmo que permita calcular la siguiente serie:
8. Desarrollar un algoritmo que permita convertir un número entero en sistema decimal a siste-
ma binario.
9. Implementar una función para calcular el logaritmo entero de número n en una base b. Re-
cuerde que:
10. Desarrollar un algoritmo que cuente la cantidad de dígitos de un número entero.
11. Desarrollar un algoritmo que invierta un número entero sin convertirlo a cadena.
12. Desarrollar el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor (MCD) de dos
número entero.
13. Desarrollar el algoritmo de Euclides para calcular también el mínimo común múltiplo (MCM)
de dos número entero.
14. Desarrollar un algoritmo que permita realizar la suma de los dígitos de un número entero, no
se puede convertir el número a cadena.

[25]
15. Desarrollar una función que permita calcular la raíz cuadrada entera de un número entero.
Puede utilizar una función auxiliar para que la función principal solo reciba como parámetro
el número a calcular su raíz.
16. Implementar un función recursiva que permita obtener el valor de an en una sucesión geomé-
trica (o progresión geométrica) con un valor a1= 2 y una razón r = -3. Además desarrollar un
algoritmo que permita visualizar todos los valores de dicha sucesión desde a1 hasta an.
17. Escribirunafunciónrecursivaquepermitamostrarlosvaloresdeunvectordeatráshaciaadelante.
18. Implementar una función recursiva que permita recorrer una matriz y mostrar sus valores.
19. Dada la siguiente definición de sucesión recursiva, realizar una función recursiva que permita
calcular el valor de un determinado número en dicha sucesión.
20. Desarrollar un algoritmo que permita implementar la búsqueda secuencial con centinela de
manera recursiva, y permita determinar si un valor dado está o no en dicha lista.
21. Dada una lista de valores ordenadas, desarrollar un algoritmo que modifique el método de
búsqueda binaria para que funcione de forma recursiva, y permita determinar si un valor dado
está o no en dicha lista.
22. El problema de la mochila Jedi. Suponga que un Jedi (Luke Skywalker, Obi-Wan Kenobi, Rey u
otro, el que más le guste) está atrapado, pero muy cerca está su mochila que contiene muchos
objetos. Implementar una función recursiva llamada “usar la fuerza” que le permita al Jedi “con
ayuda de la fuerza” realizar las siguientes actividades:
a. sacar los objetos de la mochila de a uno a la vez hasta encontrar un sable de luz o que no
queden más objetos en la mochila;
b. determinar si la mochila contiene un sable de luz y cuantos objetos fueron necesarios sa-
car para encontrarlo;
c. Utilizar un vector para representar la mochila.
23. Salida del laberinto. Encontrar un camino que permita salir de un laberinto definido en una
matriz de [n x n], solo se puede mover de a una casilla a la vez –no se puede mover en diagonal–
y que la misma sea adyacente y no esté marcada como pared. Se comenzará en la casilla (0, 0)
y se termina en la (n-1, n-1). Se mueve a la siguiente casilla si es posible, cuando no se pueda
avanzar hay que retroceder sobre los pasos dados en busca de un camino alternativo.

[26]
24. En el momento de la creación del mundo, los sacerdotes del templo de Brahma recibieron una
plataforma de bronce sobre la cual había tres agujas de diamante. En la primera aguja estaban
apilados setenta y cuatro discos de oro, cada una ligeramente menor que la que estaba debajo.
A los sacerdotes se les encomendó la tarea de pasarlos todos desde la primera aguja a la tercera,
con dos condiciones, solo puede moverse un disco a la vez, y ningún disco podrá ponerse en-
cima de otro más pequeño. Se dijo a los sacerdotes que, cuando hubieran terminado de mover
los discos, llegaría el fin del mundo. Resolver este problema de la Torre de Hanói.
25. Desarrollar una función recursiva que permita calcular y mostrar por pantalla el triángulo de
Pascal, para n filas utilizando una matriz auxiliar para guardar los resultados parciales.
26. Resuelva el problema de colocar las 8 reinas sobre un tablero de ajedrez sin que las mismas
se amenacen.
27. El valor 1 376 256 pertenece a una sucesión geométrica cuya razón es 4, implementar un algorit-
mo para mostrar todos los valores de la sucesión hacia atrás hasta el valor de a1= 5,25.
28. Dada la siguiente definición de sucesión recursiva, realizar una función recursiva que permita
calcular el valor de un determinado número en dicha sucesión.
29. Desarrollarunafunciónrecursivaquepermitacalcularelmétododelabiseccióndeunafunciónf(x).
30. Desarrollar también una función recursiva que permita calcular el método de la secante de
una función f(x).
31. Por último, desarrollar otra función recursiva que permita calcular el método de Newton-Ra-
phson de una función f(x).

[27]
CAPÍTULO III
Analizando algoritmos
en búsqueda de eficiencia
Durante el desarrollo de este capítulo se utilizarán dos términos claves, “ejemplar” y “problema”,
que se deben diferenciar correctamente para no cometer errores. Cuando se hace referencia a un
ejemplar se refiere a un caso particular de un problema (por ejemplo, determinar si en número 5 es
primo). En cambio, cuando se menciona un problema hace referencia a todos los casos particulares
comprendidos bajo el mismo problema (por ejemplo, determinar los números enteros primos).
Un algoritmo debe funcionar correctamente en todos los ejemplares o casos del problema que re-
suelve. Para demostrar que un algoritmo es incorrecto basta con encontrar un ejemplar de dicho
problema que no se puede resolver de manera correcta.
¿Qué significa que un algoritmo sea eficiente?
Normalmente, cuando hay que resolver un problema es posible que existan distintos algoritmos
adecuados para este y, obviamente, se querrá elegir el mejor. Entonces, ¿cómo elegir entre varios
algoritmos para el mismo problema?
Si solo hay que resolver un par de casos de un problema sencillo, seguramente no será de mayor
importancia con qué algoritmo se resuelva, seguramente la elección se inclinará hacia uno que sea
más rápido programar o a uno que ya esté desarrollado, sin preocuparnos por las propiedades teó-
ricas. Pero si se tienen que resolver muchos casos o el problema es complejo, el proceso de selección
del algoritmo deberá ser más cuidadoso y con criterio.
Existen dos enfoques para la selección de un algoritmo:
1. Empírico (o a posteriori) consiste en programar las técnicas competidoras e ir probándolas en
distintos casos en la computadora.
2. Teórico (o a priori) consiste en determinar matemáticamente la cantidad de recursos necesa-
rios para cada uno de los algoritmos, en función del tamaño de los casos considerados. Los
recursos que más nos interesan son el tiempo de computación o procesamiento (este es el más
importante) y el espacio de almacenamiento, principalmente entendida como la memoria
principal de la computadora.
A lo largo del libro compararemos los algoritmos a través del enfoque teórico tomando como base
sus tiempos de ejecución. En este sentido, se considera eficiente a un algoritmo en función a su
velocidad de ejecución.

[28]
Hay que tener en cuenta que el tamaño de un ejemplar se corresponde formalmente con el número
de bits que se requieren para representarlo en una computadora. Sin embargo, para que el análisis
sea más claro y sencillo conviene ser menos formales y utilizar la palabra tamaño para indicar un
entero que mida de alguna forma el número de componentes de un ejemplar. Por ejemplo cuando
se habla de ordenamiento, normalmente se medirá el tamaño de un ejemplar por la cantidad de
ítems que hay que ordenar, ignorando el espacio en bit que se requerirá para almacenar cada uno
de estos ítems en la computadora.
El enfoque teórico tiene la ventaja de que no depende ni de la computadora que se esté utilizando
(hardware), ni del lenguaje de programación (software), ni siquiera de las habilidades del progra-
mador (persona). Además se ahorra el tiempo que se habría invertido en el desarrollo de un algorit-
mo ineficiente, como el tiempo de computación que se habría desperdiciado para comprobarlo. Y
lo más importante, permite medir la eficiencia de un algoritmo para todos los casos de un problema
(es decir todos los tamaños).
A diferencia del teórico, el enfoque empírico muchas veces propone realizar las pruebas con ejem-
plar de tamaño chico y moderado, dado que el tiempo de computación requerido es elevado. Esto
es una desventaja, suele suceder que los nuevos algoritmos comienzan a comportarse mejor que
sus predecesores cuando aumenta el tamaño del ejemplar.
Como no existe una unidad de medida para expresar la eficiencia de un algoritmo, en su lugar se la
expresa según el tiempo requerido por un algoritmo. Se puede decir entonces que el algoritmo para
un problema requiere un tiempo del orden de t(n) para una función dada t, si existe una constante
positiva c y una implementación del algoritmo capaz de resolver todos los casos de tamaño n en un
tiempo que no sea superior a ct(n) unidades de tiempo (la unidad de tiempo es arbitraria, pueden
ser años, minutos, días, horas, segundos, milisegundos, etc.).
Esto mismo se puede definir formalmente:
T(n) = O(f(n)) si existe una constante c y un valor n0 tales que T(n)= c f(n) cuando nn0
Existen ciertos órdenes que se repiten con tanta frecuencia que tienen su propia denominación,
como se describe a continuación, y sus funciones de crecimiento se observan en la figura 1 para va-
lores de tamaño de uno a diez –si bien el rango de valores es pequeño– es suficiente para apreciar la
diferencia entre los distintos órdenes de complejidad y cómo varía el tiempo de ejecución en base
al tamaño de la entrada:
1. en el orden de O(c), o de tiempo constante;
2. en el orden de O(log n), o de tiempo logarítmico;
3. en el orden de O(n), o de tiempo lineal;
4. en el orden de O(n log n), o de tiempo casi lineal;
5. en el orden de O(n2
), o de tiempo cuadrático;
6. en el orden de O(n3
), o de tiempo cúbico;

[29]
7. en el orden de O(nk
), o de tiempo polinómico;
8. en el orden de O(cn
), o de tiempo exponencial;
9. en el orden de O(n!), o de tiempo factorial.
Figura 1. Gráfica de comparación de órdenes de crecimiento de algoritmos
Cuando se comparan dos algoritmos no deben olvidarse las constantes ocultas (o magnitud del
orden) es decir un algoritmo en el orden de O(n) es más eficiente que uno en el orden de O(n2),
pero si la magnitud del primero es “hora” y la del segundo es “segundos”, el segundo algoritmo será
más eficiente.
El peor caso: la alternativa más útil
Cuando se analiza un algoritmo se lo puede realizar desde tres enfoques útiles:
1. Mejor caso, poco útil dada la poca o escasa ocurrencia de dicho caso.
2. Caso medio, útil cuando los casos a resolver son muy volátiles e igualmente probables que ocu-
rran (es decir equiprobables). Requiere de mucha información a priori respecto de los casos a
resolver. Esto en general es difícil de conocer.
3. Peor caso, es adecuado para problemas críticos donde se debe conocer el tiempo requerido
para el peor caso. No requiere información respecto de los casos a resolver.

[30]
A lo largo del libro se trabajará con el análisis del peor caso, salvo que se indique lo contrario, esta
elección se debe a que este enfoque nos garantiza que en el peor de los casos nuestro algoritmo se
ejecutará en ese tiempo –es decir su cota superior–, aunque esto no implica que siempre tendrá
dicho tiempo, en algunas ocasiones puede ser mejor. Ahora veamos algunos términos básicos re-
queridos para comprender el resto del capítulo:
Operación elemental: es aquella que se puede acotar por una constante que depende solamente
de la implementación de dicha instrucción en una computadora o lenguaje de programación (por
ejemplo una suma, una multiplicación o una asignación). Ya que el tiempo exacto requerido por
cada operación elemental no es importante, se simplifica diciendo que estas se pueden ejecutar a
coste unitario.
Notación asintótica: se denomina de esta manera porque trata acerca del comportamiento de fun-
ciones en el límite, es decir para valores significativamente grandes de sus parámetros. Esta nota-
ción nos permite determinar que un algoritmo es preferible respecto a otro incluso en casos de
tamaño moderado o grande. Se puede pensar que n representa el tamaño del ejemplar sobre el cual
es preciso que se aplique un determinado algoritmo, y en t(n) representa la cantidad de un recurso
dado que se invierte en ese ejemplar para la implementación de un algoritmo particular.
Considere ahora un algoritmo que requiere tres pasos para ser ejecutado, y que dichos pasos re-
quieren un tiempo de O(n), O(n3) y O(n log n), por lo tanto el algoritmo requiere un tiempo de
O(n + n3 + n log n).
Pero aunque el tiempo requerido por el algoritmo es lógicamente la suma de los tiempos requeri-
dos por cada uno de sus pasos, el tiempo del algoritmo es el mayor de los tiempos requeridos para
ejecutar cada uno de los pasos de dicho algoritmo.
O(n + n3 + n log n) = O(máximo(n, n3, n log n)) = O(n3)
Reglas elementales para el análisis de algoritmos
Cuando se dispone de distintos algoritmos para resolver un problema, es necesario definir cuál de
ellos es el más eficiente. Una herramienta esencial para este propósito es el análisis de algoritmos.
Este análisis suele efectuarse desde dentro del algoritmo hacia afuera, determinando el tiempo
requerido por las instrucciones secuenciales y cómo se combinan estos tiempos con las estructuras
de control que enlazan las distintas partes del algoritmo. A continuación se presentan las reglas
básicas para el análisis de algoritmos:
Operaciones elementales: el coste computacional de una operación elemental es 1 (asignación, en-
trada/salida, operación aritmética que no desborde el tamaño de la variable utilizada). La mayoría
de las instrucciones de un algoritmo son operaciones elementales que están en el orden de O(1).
Secuencia: en un fragmento de código, su coste computacional será la suma del coste individual
de cada una de sus operaciones o fragmentos de código, aplicando la regla anterior. Es decir si se

[31]
cuenta con un fragmento de código compuesto de cinco operaciones elementales, el coste de dicho
fragmento será O(5).
Si se tiene dos fragmentos de códigos F1 de coste 𝛼 y F2 de coste 𝛽 que forman un programa, el coste
de dicho programa será la suma de ambos fragmentos O(𝛼 + 𝛽).
Condicional if-else (decisión): si g es el coste de la evaluación de un condicional if, su valor es de
O(1) por cada condición que se deba evaluar (considerando siempre el peor caso, en el que se deba
realizar todas las comparaciones dependiendo del operador lógico usado). A esto se le suma el coste
de la rama de mayor valor, sea esta la verdadera o falsa (considerando las anidadas si corresponde),
aplicando las reglas anteriores.
Es decir el coste de un fragmento condicional es del orden de O(g + máximo(rama verdadera,
rama falsa)).
Ciclo for: en los ciclos con contador explícito (ciclo desde-hasta) que encierran un fragmento de
código F1 de coste 𝛼, el coste total será el producto del número de iteraciones del ciclo n por el coste
del fragmento de código a ejecutar F1, si dentro de dicho fragmento de código no existe presencia
de otro ciclo y trabajamos con un n, significativamente grande que varía en función del tamaño de
entrada. El coste de dicho fragmento se considera como una constante. Y el mismo se considera
despreciable o de O(1) respecto al número de iteraciones del ciclo.
Es decir el coste total estará en el orden de O(n * O(1)) lo que significa que es de O(n). Si dentro del F1
tenemos la presencia de otro ciclo del mismo tipo, el coste total estará en el orden de O(n * n * O(1))
lo que significa que es de O(n2
).
Ciclo while: en este tipo de ciclos se aplica la regla anterior, solo se debe tener en cuenta que a veces
no se cuenta con una variable de control numérica, sino que depende del tamaño de las estructu-
ras con las que se esté trabajando y su dimensión, o del tipo de actividad que se realice dentro de
dicho ciclo.
Recursividad: el cálculo del coste total de un algoritmo recursivo no es tan sencillo como los ca-
sos que vimos previamente. Para realizar este cálculo existen dos técnicas comúnmente utilizadas:
ecuaciones recurrentes y teoremas maestros. Para realizar la primera de ellas se busca una ecuación
que elimine la recursividad para poder obtener el orden de dicha función, muchas veces esto no es
una tarea sencilla. En cambio, el segundo utiliza funciones condicionales y condiciones de regula-
ridad para realizar el cálculo del coste. Estas técnicas antes mencionadas son avanzadas y exceden
los alcances de este libro por lo que solo se explicarán algunos ejemplos utilizando la técnica de
ecuaciones recurrentes para determinar el orden de funciones recurrentes.
Ahora se analizará el siguiente ejemplo siguiendo las reglas previamente definidas para determinar
el orden del algoritmo “numeros_pares_impares” que se observa en la fiegura 2, dicho algoritmo
es iterativo.

[32]
Figura 2. Código de algoritmo “numeros_pares_impares”
El análisis de un algoritmo se realiza desde adentro hacia afuera, entonces lo primero que determi-
namos es el orden del condicional (if (i % 2 == 0)) y sus dos ramas la verdadera y la falsa. Entonces
según la regla del condicional:
1. solo tenemos una comparación en el if O(1),
2. la rama verdadera solo tiene una operación elemental O(1),
3. la rama falsa tiene dos operación elementales O(2).
El resultado del condicional es del orden O(3).
Continuamos el análisis con el ciclo for (de 1 hasta n), según la regla del punto ciclo for:
1. el orden del ciclo for es de O(n),
2. el orden del condicional es despreciable respecto al del ciclo for y se considera en el orden de O(1).
El resultado del ciclo for es del orden O(n *1) o sea O(n), las otras dos instrucciones restantes del algo-
ritmo (la primera y la última) son operaciones elementales de O(1) y se desprecian respecto al orden
del ciclo for. El resultado final es que el algoritmo “numeros_pares_impares” es del orden de O(n).
Entonces se puede decir que la función de complejidad de un algoritmo es una función f: N � N
tal que f(n) es la cantidad de operaciones que realiza el algoritmo en el peor caso cuando toma una
entrada de tamaño n.
Algunas observaciones a tener en cuenta:
1. Se mide la cantidad de operaciones en lugar del tiempo total de ejecución (ya que el tiempo de
ejecución es dependiente del hardware y no del algoritmo).
2. Interesa el peor caso del algoritmo.

[33]
3. La complejidad se mide en función del tamaño de la entrada y no de una entrada en particular.
Ahora resolveremos mediante ecuaciones recurrentes los ejemplos de las funciones factorial, Fibo-
nacci y búsqueda binaria recursivas vistas en el capítulo anterior:
Para el caso de factorial recursivo la ecuación recursiva queda de la siguiente manera, tenemos la
llamada recursiva con (n-1) y se suma una constante que es el caso base que contempla una opera-
ción elemental: T(n) = T(n-1) + c con T(0) = 1.
Ahora resolveremos la ecuación de recurrencia sustituyéndola por su igualdad hasta llegar a una
cierta T(n0) conocida para calcular la cota superior:
T(n) = T(n-1) + c
= T(n-2) + c + c
= T(n-3) + c + 2c
= T(n-k) + k*c
Cuando k = n-1 tenemos que
T(n) = T(1) + (n-1)*c
= 1 + (n-1)
= n
Finalmente obtendremos que la función factorial recursivo es del orden de T(n) = O(n).
Para el caso de Fibonacci recursivo la ecuación queda de la siguiente forma: tenemos las llamadas
recursivas (n-1) y (n-2) y se suma constante dado que es el caso base, el mismo es una operación
elemental: T(n) = T(n-1) + T(n-2) + c con T(0) = 0 y T(1) = 1
Ahora debemos resolver la ecuación de recurrencia igual que en caso anterior:
T(n) = T(n-1) + T(n-2) + c
= 2T(n-1) + c
= 2(2T(n-2) + c) + c
= 22
T(n-2) + 22
*c
= 2k
T(n-k) + 2k
*c

[34]
Cuando k = n-1 tenemos que
T(n) = 2n-1
T(0) + 2n-1
*c
= 1 + (n-1)
= 2n-1
Entonces podemos establecer que Fibonacci recursivo es del orden de T(n) ≅ 2n-1
.
Finalmente veamos el caso de la búsqueda binaria recursiva. La ecuación recursiva para la misma
quedaría de la siguiente forma: T(n) = T(n/2i
) + c con T(n=1) = 1 y la variable i que toma valores de 1
a log n como se demuestra a continuación.
Ahora pasemos a resolver la ecuación recursiva:
T(n) = T(n/2) + c
= T(n/4) + c + c
= T(n/8) + c + 2c
= T(n/2k
) + k*c
Podemos determinar entonces una ecuación que nos indique el valor de k, es decir, cuantas veces
tenemos que particionar el vector hasta que solo quede un elemento para comparar:
1 = n/2k
1 * 2k
= n
2k
= n
log2 2k
= log n
k log2 2 = log n
k * 1 = log n
k= log n
Como la ecuación n/2k
= 1 se resuelve en tiempo k = log2 n, nos queda que
T(n) = T(n/2k
) + k*c
= T(1) + log2 n

[35]
Entonces de esta manera obtenemos que la función búsqueda binaria recursiva es del orden de
T(n) ≅ log n, dado que si n no es múltiplo de dos no obtendremos un numero entero como resultado.
Como puede observase, el cálculo de la complejidad de una función recursiva no es una actividad
trivial. Puede realizarse de distintas manera pero no siempre de forma clara y sencilla –como en
una función iterativa–. Es más bien una tarea bastante artesanal que requiere mucho criterio y ex-
periencia por parte de quien la realice.

[36]
A continuación se plantean una serie de fragmentos de códigos. Habrá que realizar un análisis de
algoritmo para determinar su coste computacional y obtener su orden.
1. Fragmento de código condicional:

[37]
3. Fragmento de código de ciclo:
4. Fragmento de código de ciclo:

[38]
6. Fragmento de código:
7. Búsqueda binaria iterativa:
8. Fragmento de código (mezcla de listas):

[39]
11. Código de multiplicación de dos matrices M1[n x m] y M2[m x o]:
12. Código de suma de dos matrices de [n x n].

[40]
13. Código para calcular la traza de un matriz cuadrada.
14. Código para calcular el determinante de una matriz cuadrada de [3 x 3], regla de Sarrus.

[41]
15. Función para determinar si un número es primo.
16. Función factorial iterativa.
17. Función Fibonacci iterativa.

[43]
CAPÍTULO IV
Buscar es más fácil cuando
las cosas están ordenadas
Cuando se trabaja con conjuntos de datos almacenados en estructuras de datos simples sean en
memoria o en disco, vectores o archivos respectivamente, surge la necesidad de llevar a cabo dos
actividades fundamentales para la gestión de estos datos el ordenamiento y la búsqueda.
Pero, ¿Por qué tenemos que ordenar los datos? Básicamente por dos razones, primero es mucho más
fácil para una persona poder leerlos y segundo facilita poder buscar un elemento dentro de dichos
datos. Normalmente cuando se trabaja en la gestión de datos uno de los principales requerimientos
que aparece es la necesidad de listarlos de manera ordenada, ya sea de forma ascendente o des-
cendente (o de acuerdo a algún criterio específico). Independientemente de la técnica, método o
forma de hacerlo, no es común mostrar los datos de forma desordenada o respetando el orden en
que han sido cargados. Por ello, es necesario ordenar los datos, por más que se sigan manteniendo
almacenados de forma desordenada. A continuación vamos a analizar los algoritmos clásicos de
ordenamiento y además haremos la correspondiente implementación en Python. También realiza-
remos una comparación entre los distintos algoritmos de acuerdo a varios aspectos: su complejidad
temporal usando notación O grande como vimos en el capítulo anterior, complejidad espacial (en
cuanto al uso de memoria), la estabilidad de dicho método –es decir que si hay valores repetidos
estos mantengan su orden original respecto de los demás–, si utiliza almacenamiento interno o
externo –es decir si almacena los datos en memoria o en disco–, si es un algoritmo recursivo o no
recursivo y, finalmente, el tipo de comparación utilizada por el algoritmos, es decir si es por com-
paración o no. Estos métodos suelen aplicarse sobre vectores, en nuestro caso como en Python los
vectores no son una estructura por defecto del lenguaje utilizaremos listas.
Las burbujas, nuestras alidadas para ordenar
de una manera simple
Este es un algoritmo cuyo funcionamiento es de tipo intercambio. Su nombre se deriva de cómo los
datos se desplazan por la lista durante el intercambio como si fueran burbujas, las más grandes (en
nuestro caso los valores mayores) llegan antes a la superficie (el final de la lista) y las más pequeñas
quedan debajo (el principio de la lista). La esencia del algoritmo es realizar iteraciones sobre los
elementos de la lista y comparar cada par de valores adyacentes y si estos no están en orden los
intercambia –sino quedan en el mismo lugar– y continúa con el siguiente par de valores, logrando
que los elementos mayores se desplacen al final de la lista. En la figura 1 se presenta el esquema de
funcionamiento de este algoritmo para ordenar una lista de números.

[44]
Figura 1. Esquema de funcionamiento del algoritmo burbuja
Porsupartelaimplementacióndedichoalgoritmoesmuysencillaylapodemosobservarenlafigura2.
Figura 2. Método de ordenamiento burbuja
Interpretando el código de la figura anterior, básicamente el algoritmo está compuesto por dos
ciclos para el primero que indica la cantidad de elementos a ordenar con la variable i de 0 a (n-1)
donde n representa el tamaño de la lista –se le resta uno dado que si la lista por ejemplo tiene 5
elementos al ordenar 4 el restante ya queda en su correspondiente lugar–, el segundo es controlado
por la variable j de 0 a (n-i-1) donde n es el tamaño de la lista, i representa las iteraciones del ciclo
del punto anterior, y se le resta uno debido a que la lista inicia en cero. Este ciclo se repite por cada
iteración del ciclo anterior, pero en cada iteración la cantidad de elementos tratados se decrementa,
durante las iteraciones se comparan los elementos de la posición actual del índice j con el siguiente
(j+1) están desordenados. Si la comparación del punto anterior es verdadera, se realiza el intercambio
entre los elementos de las posiciones i y j. Esto produce el desplazamiento de los valores por la lista.
Uno de los problemas que presenta este algoritmo es que si la lista está ordenada o al ordenar una
cierta cantidad de elementos la lista ya queda ordenada –como en la figura 1–. El algoritmo seguirá
haciendo iteraciones sin realizar intercambios. Es decir, estará desperdiciando tiempo de procesa-
miento y recursos, para lo cual podemos hacer una modificación del algoritmo anterior para me-
jorar su rendimiento en determinados casos, pero cabe aclarar que la complejidad del algoritmo
será la misma en el peor de los casos. Esta nueva versión del algoritmo la denominaremos “burbuja
mejorado” y su implementación se presenta en la figura 3.

[45]
Figura 3. Método de ordenamiento burbuja mejorado
Realicemos un breve análisis de las modificaciones del algoritmo, en primer lugar necesitaremos
una variable booleana de control, para determinar si se debemos seguir ordenando o la lista ya
se encuentra ordenada y tenemos que detener el algoritmo. Además remplazamos el primer ciclo
(para) del algoritmo original con un mientras, esto nos permitirá salir del ciclo si al cabo de cierta
cantidad de iteraciones la lista ya se encuentra ordenada utilizando las variables de control. En cada
iteración de este ciclo mientras asignamos a nuestra variable de control (o flag) el valor falso, luego si
se realiza algún intercambio dentro del ciclo para le asignaremos valor verdadero. Entonces luego de
cada iteración del ciclo mientras, si se produjo algún intercambio en la iteración anterior la variable
control tendrá valor verdadero y continuara el algoritmo una iteración mas; en el caso contrario si
no hubo intercambios la variable control tiene valor falso y significa que el vector esta ordenado por
lo cual el algoritmo se detendrá.
Otra implementación de este algoritmo es el ordenamiento cóctel también conocido como “bur-
buja bidireccional”, de hecho la esencia del algoritmo es similar por lo cual su complejidad será la
misma. La diferencia como su nombre lo indica es su cualidad bidireccional, es decir, luego de cada
iteración ordena el elemento mayor (cuando va desde el principio al final) y el menor (cuando vuel-
ve del final al principio). Este algoritmo también utiliza un ciclo mientras para detenerse cuando el
vector se encuentre ordenado, su implementación se puede ver en la figura 4, como el algoritmo no
varía demasiado de lo visto anteriormente la interpretación del mismo quedará a cargo del lector.

[46]
Figura 4. Método de ordenamiento cóctel
Solo nos resta hacer una tabla comparativa de este algoritmo de acuerdo a los aspectos menciona-
dos anteriormente.
Complejidad temporal O(n2)
Complejidad espacial En el lugar
Estabilidad Estable
Interno /Externo Interno
Recursivo/No recursivo No recursivo
Ordenamiento por comparación Comparativo
La selección natural también se valida en los algoritmos
aplicando ordenamiento por selección
Este es un algoritmo cuyo funcionamiento es del tipo selección, su naturaleza de funcionamiento es
recorrer iterativamente la lista de elementos en busca del menor y luego lo selecciona para ubicarlo
a la izquierda de la lista, pero también se puede buscar el mayor y moverlo a la derecha. Es decir
que en cada iteración se recorre el conjunto de elementos de la lista y se selecciona el “mejor”, es
decir el menor o mayor, para ubicarlo en su correspondiente posición. Veamos a continuación en la
figura 5 un ejemplo del funcionamiento del algoritmo.

[47]
Figura 5. Funcionamiento del algoritmo selección
En cuanto a la implementación de este algoritmo de ordenamiento la podemos ver a continuación
en la figura 6.
Figura 6. Método de ordenamiento selección
Analicemos ahora el algoritmo en detalle. Este está compuesto de dos ciclos: un ciclo para de 0 a (n-1)
determina la cantidad de iteraciones para ordenar los elementos y el segundo ciclo para de (i+1) a n,
donde n es el tamaño de la lista e i las iteraciones del ciclo anterior. Al comienzo de cada iteración del
primer ciclo se determina el valor del índice del elemento mínimo parcial en la lista, durante cada ite-
ración del segundo ciclo para se compara si el elemento de la posición j es menor que el de la posición
mínimo. Si la comparación es verdadera se actualiza el valor de la variable mínimo por el valor de j y
finalmente se realiza el intercambio de los valores almacenados en la posición i (donde debería quedar
el menor de la iteración actual) y en la posición mínimo (el elemento menor de los no ordenados).
Finalmente haremos la tabla comparativa de este algoritmo siguiendo los aspectos anteriormen-
te especificados.
Estabilidad Inestable

[48]
Insertar elementos en el orden correcto
aplicando ordenamiento por inserción
Este algoritmo cuyo funcionamiento es del tipo de inserción, opera de una forma muy natural para
las personas. Inicialmente toma como único elemento ordenado el primero de la lista (k elemento),
luego toma el siguiente elemento (k+1 elemento) y se compara con todos los elementos ordena-
dos, desplazando a la derecha los elementos mayores y se detiene cuando encuentra un elemento
menor o cuando no hay más elementos a la izquierda de la lista (es decir es el elemento menor).
Veamos la forma de operar de este algoritmo en la figura 7 así podremos comprender su esencia.
Figura 7. Forma de operar del algoritmo inserción
A continuación en la figura 8 se presenta la implementación del algoritmo por inserción para orde-
nar una lista.
Figura 8. Método de ordenamiento inserción
Vamos a describir en detalle este algoritmo, el cual utiliza dos ciclos, un ciclo para de 1 a (n) donde
n es el número de elementos de la lista, además comienza desde uno dado que se considera que el
primer elemento de la lista está ordenado. A la variable k se le asigna el valor (i), es decir, el elemen-
to que se va a ordenar (o insertar) en cada iteración del ciclo para y el ciclo mientras el valor k sea me-
nor que el anterior o hasta el principio de la lista, se deben intercambiar los valores de las posiciones
k y (k-1), generando un desplazamiento a la izquierda hasta encontrar la posición de inserción del
elemento y se decrementa la variable k para ver si es necesario continuar con el desplazamiento del
elemento a la izquierda.

[49]
Estabilidad Estable
Los algoritmos que describimos a continuación son recursivos, por lo que se recomienda que si el
lector no conoce el concepto de recursividad, se remita al capítulo II, para comprender el concepto
antes de continuar con la lectura de este capítulo y así poder comprender en detalle estos algoritmos.
Ordenando elementos a toda velocidad con ordenamiento rápido
Este es un algoritmo cuyo funcionamiento es del tipo partición que fue creado por Charles Antony
Richard Hoare en 19611
también conocido como quicksort, funciona seleccionando un elemento de
lista a ordenar, al que denominaremos pivote, luego se reubicarán los elementos menores a la iz-
quierda y los mayores a la derecha; luego el pivote se reubica en el lugar que le corresponde en la
lista, de esta manera nos quedan dos sublistas separadas por el elemento pivote. Finalmente se
llama recursivamente a cada sublista mientras tengan más de un elemento. A continuación en la
figura 9 podremos apreciar el esquema del funcionamiento de este algoritmo.
Figura 9. Esquema de funcionamiento del algoritmo de ordenamiento rápido
1 Hoare, C. A. R. (1961). Algorithm 64: Quicksort. Comm. ACM. 4 (7): 321. doi:10.1145/366622.366644

[50]
En cuanto a la implementación de este algoritmo la podemos observar a continuación en la figura 10.
Figura 10. Método de ordenamiento quicksort
Desglosemos analíticamente la figura anterior, se asignan los valores iniciales a la variables ín-
dices izquierda, derecha y pivote, donde izquierda y derecha se utilizan para barrer la lista desde
la izquierda a derecha y de derecha a izquierda respectivamente; y pivote almacena el índice del
elemento a ordenar para separar la lista en dos sublistas, donde la sublista de la izquierda tendrá
los elementos menores al elemento en la posición pivote y en la sublista derecha los elementos
mayores. Luego se procede a ubicar los elementos menores al pivote a la izquierda y los mayores
a la derecha con un ciclo mientras el índice izquierda sea menor que el de la derecha, en donde se
usan dos ciclos mientras: uno cuando el elemento de la lista en la posición izquierda es menor que
el elemento en la posición pivote se incrementa el índice izquierda, el segundo si el elemento de la
lista en la posición derecha es mayor que el elemento en la posición pivote se decrementa el índice
derecha. Cuando estos dos ciclos se detienen, si el índice izquierda es menor que el derecha signi-
fica que deben intercambiar los valores almacenados en dichos índices. Luego se continúa con el
ciclo del mientras izquierda sea menor que derecha para terminar de reubicar los valores menores
y mayores, cuando se terminan de intercambiarse estos elementos, se procede a ubicar el elemento
pivote a su posición final en la lista (quedando de esta manera ya ordenado). De esta manera queda
dividida la lista en dos sublistas parcialmente ordenadas, la de los menores sublista izquierda y la
de los mayores sublista derecha. Para terminar se evalúan si las sublistas izquierda y derecha tienen
elementos para ordenar, si es así, entonces se llama recursivamente a la función quicksort actualizan-
do los parámetros primero y último; para la llamada recursiva de la sublista izquierda se actualiza
el valor del último por (izquierda-1) y para la sublista derecha actualizamos el valor de primero por
(izquierda+1). Esto produce que se ejecute recursivamente la función antes descrita, particionando la
lista en sublistas hasta que las sublistas ya no puedan ser particionadas y queden ordenadas.
De la misma forma que hemos hecho con los algoritmos anteriores nos resta hacer la tabla com-
parativa del algoritmo basándonos en los aspectos preestablecidos. Cabe destacar que el algoritmo
quicksort es uno de los métodos más eficientes de ordenamiento utilizados por distintos lenguajes:
como Javascript (cuando llamamos al método sort para ordenar un vector), y también es el caso
Ruby (que dispone de un método qsort para ordenar vectores), en el caso particular de Python (ya
que estamos utilizando este lenguaje) no utiliza este método de ordenamiento, en su lugar imple-
menta el método de ordenamiento híbrido llamado timsort.

[51]
Complejidad temporal O(n log n)
Recursivo/No recursivo Recursivo
Mezclando los elementos de la receta en el orden correcto
gracias al ordenamiento por mezcla
Este algoritmo fue inventado por John Von Neumann en 19452
es un algoritmo cuyo principio de
funcionamiento es del tipo mezcla, que se basa en la técnica de divide y vencerás. La esencia del al-
goritmo es la siguiente, si el tamaño de la lista es uno o menor la lista está ordenada; sino, se divide
la lista en dos sublistas de la mitad del tamaño de la lista y se llama recursivamente a ordenar las su-
blistas usando ordenamiento por mezcla. Y por último se mezclan las sublistas ordenadas en una sola
lista, es decir la idea que persigue es que al ordenar una lista pequeña es más rápido que ordenar
una lista grande, y construir una lista ordenada a partir de dos listas ordenadas también es una acti-
vidad rápida. A continuación en la figura 11 se ilustra la mecánica de funcionamiento del algoritmo.
Figura 11. Funcionamiento del ordenamiento por mezcla
2 Knuth, Donald (1998). Section 5.2.4: Sorting by Merging. Sorting and Searching. The Art of Computer
Programming. 3 (2nd ed.). Addison-Wesley. pp. 158–168. ISBN 0-201-89685-0.

[52]
Ahora pasemos al implementación del algoritmo, esta estará compuesta por dos funciones, la pri-
mera la podemos ver en la figura 12.
Figura 12. Método de ordenamiento mezcla
Continuemos con el análisis del algoritmo. Primero se chequea si el tamaño de la lista es menor o
igual a uno, condición de fin de las llamadas recursivas y devuelve la lista, sino se calcula el valor
del índice medio dividiendo la cantidad de elementos de la lista divido por dos –utilizando división
entera– para comenzar a dividir la lista. Se crean las listas izquierda y derecha, luego se utilizan dos
ciclos (para) para cargar los elementos en dichas listas, un ciclo de cero al valor medio y el otro de
medio al tamaño de la lista. Luego se llama recursivamente a ordenamiento mezcla con las sublistas
izquierda y derecha, asignando los resultados en las mismas variables. Una vez que finalizan las
llamadas recursivas de las sublistas, es decir que ya no pueden ser particionadas y cada una de estas
se consideran ordenadas comienza el proceso de combinación de dichas sublistas. Para lo cual se
chequea si el último elemento de la sublista izquierda es menor o igual que el primero de la sublista
derecha, de ser así se concatena la sublista derecha al final de la izquierda; dada que ambas sublis-
tas están ordenadas y por ende significa que todos los elementos de la sublista derecha son mayores
o iguales que los de la sublista izquierda. En el caso contrario, es decir si no se pueden concatenar
las listas, es necesario mezclarlas para obtener una sola ordenada, para resolver esto llamamos a la
función mezcla cuya implementación se describe a continuación de la figura 13. Finalmente una vez
que hemos combinado todas las sublistas en una, se devuelve la lista ordenada.

[53]
Figura 13. Función para mezclar listas
La segunda función de este algoritmo se encarga de mezclar dos listas que ya se encuentran orde-
nadas, para lo cual se crea una lista y utilizamos un ciclo mientras las dos sublistas tengan al menos
un elemento, entonces determinamos que elemento es el menor, el primero de la sublista izquierda
o el primero de la sublista derecha, y luego quitamos el menor de estos para agregarlo a lista creada
anteriormente. Cuando finaliza el ciclo mientras significa que una de las dos sublistas está vacía y la
otra aún tiene elementos, entonces determinamos cual es la sublista que aún tiene elementos para
luego concatenarlos al final de la lista creada y por último se retorna la lista que contiene las dos
sublistas ordenadas.
Finalmente vamos a hacer la tabla comparativa de este algoritmo al igual que hemos hecho con los
algoritmos anteriores, previamente mencionamos que Python utiliza el método de ordenamiento
timsort, este combina ordenamiento por inserción y ordenamiento por mezcla aprovechando lo me-
jor de cada uno de estos para logar un rendimiento aún mejor que el del quicksort.
Complejidad espacial Fuera de lugar
Estabilidad Estable
Interno /Externo Externo
Recursivo/No recursivo Recursivo
Flotando y hundiendo los elementos mediante
ordenamiento por montículo
Es un algoritmo cuyo funcionamiento es del tipo selección, se basa en el uso del TDA montículo.
Para poder entender y realizar este tipo de ordenamiento es necesario conocer y entender el funcio-
namiento de dicho TDA, para ello se recomienda que el lector se remita al capítulo XII; en el cual
se describe y desarrolla el TDA montículo y después el ordenamiento por montículo. A modo de

[54]
resumen se presenta la tabla comparativa de dicho algoritmo, pero todos los detalles se describen
en el capítulo antes mencionado.
Contar ovejas, ¿truco para dormir o ejercicio
de ordenamiento de conteo?
Este es un algoritmo que solo sirve para ordenar números enteros positivos –dado que utiliza los
valores a ordenar como índices–, fue desarrollado por Harold H. Seward en 19543
, además este al-
goritmo asume que se conoce de ante mano el rango de valores a ordenar, es decir el valor mínimo
y el máximo. Este algoritmo a diferencia de los anteriores no ordena por comparación, sino que
utiliza un vector de conteo para determinar la posición de cada elemento en la nueva lista de los
elementos ordenados. A continuación en la figura 14 y 15 se presentan los pasos de funcionamiento
del algoritmo, en la primera podemos ver como se genera la lista de conteo y en la segunda vemos
como se ordenan los elementos.
Figura 14. Generación de vector de conteo
3 Seward, H. H. (1954), 2.4.6 Internal Sorting by Floating Digital Sort, Information sorting in the applica-
tion of electronic digital computers to business operations, Master's thesis, Report R-232, Massachusetts
Institute of Technology, Digital Computer Laboratory, pp. 25–28.

[55]
Figura 15. Funcionamiento del algoritmo ordenamiento por conteo
Ahora continuemos con la implementación del algoritmo, este lo describiremos en la figura 16.
Nótese que al no ser un algoritmo de ordenamiento por comparación no requiere utilizar una es-
tructura de ciclo de ciclo, lo cual le permite mejorar significativamente su rendimiento respecto de
los visto anteriormente.
Figura 16. Método de ordenamiento por conteo
Realicemos ahora una descripción del algoritmo desarrollado en la figura anterior. En primer lugar,
creamos el vector de conteo, cuya longitud es el rango entre el valor mínimo y el máximo –por de-
fecto tomaremos como valor mínimo cero, dado que es la posición inicial por defecto de una lista–,
y además creamos una lista para almacenar los elementos ordenados de la misma longitud que la
lista a ordenar. Luego, completamos la lista de conteo, para esto tomamos cada valor de la lista a or-
denar y lo usamos como indice para incrementar en uno el valor almacenado en dicha posición en
la lista de conteo. Después, tenemos que realizar una sumatorio y desplazamiento de los elementos

[56]
de la lista de conteo, tomamos los elementos de a dos, los sumamos y los almacenamos en la posi-
ción del segundo elemento, y repetimos esto para cada par de elementos desde el primer elemento
al último de la lista a ordenar. Para finalizar el algoritmo nos falta ubicar los elementos de la lista a
ordenar en su lugar correspondiente en la lista ordenada, para lo cual tomamos cada uno de estos
elementos y los utilizamos como índice para acceder a la lista de conteo, a partir del valor almace-
nado en dicha posición determinamos la ubicación de dicho elemento en la lista ordenada y tam-
bién debemos incrementar el valor almacenado en la lista de conteo por si hay elementos repetidos.
Para terminar con este algoritmo haremos la correspondiente tabla comparativa. Nótese que la no-
tación de orden incluye además del tamaño de la entrada n, el valor k que representa el rango de
los valores de la entrada. Aunque solo se considera el uso de k si este es mayor que el número de
entrada, en el caso contrario el algoritmo tiende a ser de orden lineal.
Complejidad temporal O(n + k)
Complejidad espacial Fuera de lugar
Estabilidad Estable
Ordenamiento por comparación No comparativo
Para cerrar esta sección de algoritmos de ordenamiento, a continuación en la siguiente tabla, pre-
sentamos en detalle la comparación de los tiempos requeridos por los distintos algoritmos de orde-
namiento descritos anteriormente, frente a distintos tamaños de entrada. Mientras que en la figura
17 se puede observar gráficamente el comportamiento de estos algoritmos cuando varía el tamaño
de la entrada. Claramente queda determinado que los algoritmos de orden O(n log n) son mucho
más eficientes que los de orden de O(n2
) y esta eficiencia mejora notablemente a medida que au-
menta el tamaño de la entrada.
Tamaño de entrada Ordenamiento
Burbuja - Selección - Inserción
O(n2)
Rápido - Mezcla - Montículo
O(n log n)
10 100 40
100 10 000 700
1 000 1 000 000 10 000
10 000 100 000 000 140 000
100 000 10 000 000 000 1 700 000
1 000 000 1 000 000 000 000 20 000 000
10 000 000 100 000 000 000 000 240 000 000

[57]
Figura 17. Comparación comportamiento de algoritmos de ordenamiento
Es momento de pasar a estudiar otra operación esencial que podemos hacer sobre un conjunto de
datos, independientemente del orden en que estos estén. Siempre es necesario buscar un elemento
para poder determinar si está presente o no dentro de nuestro conjunto de datos. Por ejemplo, se
podría necesitar saber si un determinado elemento está en una estructura de datos o no para deter-
minar qué actividades podrían realizarse: inserción en el caso de no estar y modificación o eliminación
en caso de estar, sin importar la técnica o forma que se utilice. A continuación describiremos y ana-
lizaremos los algoritmos clásicos de búsqueda con su correspondiente implementación en Python.
Además realizaremos una comparación de los algoritmos de acuerdo a los siguientes aspectos: su
complejidad temporal usando notación O grande, si los datos deben estar ordenados previamente
para poder utilizar el método –dado que esto implicaría un incremento en la complejidad–, si es
un algoritmo recursivo o no recursivo y finalmente si buscamos un elemento que esta repetido en
la estructura, cuál de estos encontraremos o nos devolverá el algoritmo. Estos métodos al igual que
los de ordenamiento suelen aplicarse sobre vectores, en nuestro caso particular utilizaremos listas
como mencionamos anteriormente.
Uno a uno revisamos cada elemento buscando a la fuerza
aplicando búsqueda secuencial
Este es el algoritmo de búsqueda más simple, también llamado “búsqueda por fuerza bruta”, como su
nombre lo indica compara secuencialmente el elemento buscado con cada elemento de la lista. El
elemento buscado puede existir o no dentro de la lista y la única forma de poder determinarlo es re-
correr la lista completa. A continuación en la figura 18 se puede ver la implementación del algoritmo.
Figura 18. Método de búsqueda secuencial con centinela

[58]
Realicemos una breve descripción del algoritmo, en primer lugar asignamos a la variable posición
el valor -1, esto indica que el elemento buscado no ha sido encontrado. Luego utilizamos un ciclo
para de 0 a la cantidad de elementos de la lista, para recorrer secuencialmente todos los elementos
de la lista, y chequeamos si el elemento buscado es igual al elemento de la lista en la posición de la
variable de control (lista[i]). Si la comparación es verdadera significa que se encontró el elemento
buscado y asignamos a la variable posición el valor de la variable i, es decir la posición donde fue
encontrado. Si al terminar el ciclo la variable posición aún tiene valor -1 significa que el elemento
buscado no se encuentra dentro de la lista, y finalmente devolvemos la variable posición.
A este algoritmo podemos agregarle una sutil mejora, esta consiste en detener el ciclo de recorrido
de la lista cuando se encuentra el elemento buscado. Por ejemplo si la lista tiene 10 000 elementos y
el elemento buscado está en la posición 50, el ciclo debería detenerse para no recorrer las restantes
9 950 elementos de la lista, dado que no tiene sentido realizarlo porque el elemento buscado ya fue
encontrado y estaríamos desperdiciando tiempo de procesamiento. Este algoritmo “mejorado” lo
llamaremos “búsqueda secuencial con centinela” y se observa en la figura 19.
Figura 19. Método de búsqueda secuencial con centinela usando break
Este algoritmo funciona exactamente igual que el anteriormente, solo que agregamos la sentencia
break cuando se encuentra el elemento buscado, entonces rompe el ciclo y devuelve el valor de po-
sición. Existen autores que no utilizan la sentencia break dentro de sus algoritmos por criterios par-
ticulares, una de las principales objeciones es que no les parece lógico “romper” el funcionamiento
de un ciclo. En ese caso podemos utilizar un ciclo mientras en lugar de un para evitando utilizar la
sentencia break como se aprecia a continuación en la figura 20.
Figura 20. Método de búsqueda secuencial con centinela sin usar break

[59]
Nótese que solo reemplazamos el ciclo para por un mientras con una condición extra, que la variable
posición sea igual a -1, esto significa que el elemento buscado aún no ha sido encontrado. Cuando
posición sea distinto de -1 se detendrá el ciclo mientras logrando el funcionamiento buscado sin
utilizar la sentencia break. De todas maneras esta modificación del algoritmo solo mejora su rendi-
miento en ciertos casos, por lo cual la complejidad será la misma.
Para terminar con este algoritmo vamos a realizar la tabla comparativa en base a los aspectos esta-
blecidos previamente.
Complejidad temporal O(n)
Datos ordenados/desordenados Desordenados
Elemento retornado si hay repetidos *Primero con cetinela
*Último sin centinela
Particionando nuestra lista de elementos una vez
tras otra con búsqueda binaria
Este algoritmo también llamado “búsqueda logarítmica” es muy eficiente en cuanto al número de
comparaciones requeridas para determinar si un elemento existe o no dentro de una lista de ele-
mentos, pero tiene un requisito no excluyente para que el mismo funcione, la lista de elementos
debe estar ordenada. Su principio de funcionamiento se basa en determinar si el elemento buscado
se encuentra en el medio de la lista dividiendo la lista en dos sublistas, la izquierda y la derecha. Si
el elemento buscado no está en el medio, dependiendo si este es menor o mayor, se repite el mismo
procedimiento con la sublista izquierda o la sublista derecha respectivamente descartando la otra.
Este procedimiento se repite mientras las sublistas puedan ser particionadas o se encuentre el ele-
mento buscado descartando una sublistas en cada partición, esto hace que este algoritmo sea muy
eficiente. A continuación en la figura 21 se presenta el esquema de funcionamiento y en la figura 22
podemos ver la implementación del algoritmo.
Figura 21. Esquema de funcionamiento de búsqueda binaria

[60]
Figura 22. Método de búsqueda binaria
Es momento de desglosar analíticamente este algoritmo, primero le asignamos a la variable posi-
ción el valor -1, para indicar que el elemento buscado no ha sido encontrado y además se asignan
los valores iniciales a las variables índice primero y último, cero y número de elementos de la lista
-1 respectivamente. Luego utilizamos un ciclo mientras, el índice primero sea menor o igual que úl-
timo (es decir aún se puede particionar o buscar en las sublistas) y todavía no se haya encontrado el
elemento buscado, se calcula el valor del índice medio de la lista, sumando los valores de primero y
último, y luego se los divide por dos, utilizando división entera. Después chequeamos si el elemento
en el medio de la lista es igual al buscado, de ser así a la variable posición se le asigna el valor de
medio, sino se procede a particionar la lista actualizando los índices primero o último, según corres-
ponda, y descartando el resto de la lista. Si el elemento buscado es menor que el valor de la lista
en la posición medio se actualiza el índice último asignándole el valor medio -1, sino se actualiza
el valor del índice primero asignándole el valor medio +1. Y por último devolvemos el valor de la
variable posición para poder determinar si el elemento buscado fue encontrado o no.
Ahora solo nos resta presentar la tabla comparativa de este algoritmo de la misma manera que lo
hemos hecho anteriormente:
Complejidad temporal O(log n)
Datos ordenados/desordenados Si o si ordenados
Recursivo/No recursivo No recursivo (por defecto)
*puede ser recursivo
Elemento retornado si hay repetidos Se desconoce
Finalmente para hacer un cierre de la sección de búsqueda, a continuación se presenta la compa-
ración de los tiempos requeridos por los distintos algoritmos de búsqueda descritos anteriormente,
frente a distintos tamaños de entrada, mientras que en la figura 23 se puede observar gráficamente
el comportamiento de estos algoritmos cuando varía el tamaño de la entrada. Claramente queda

[61]
determinado que los algoritmos del orden de O(log n) son mucho más eficientes que los del orden
de O(n) y esta eficiencia mejora significativamente a medida que aumenta el tamaño de la entrada.
Tamaño de entrada Búsqueda
Secuencial
O(n)
Binaria
O(log n)
10 10 4
100 100 7
1 000 1 000 10
10 000 10 000 14
100 000 100 000 17
1 000 000 1 000 000 20
10 000 000 10 000 000 24
100 000 000 100 000 000 27
1 000 000 000 1 000 000 000 30
Figura 23. Comparación comportamiento de algoritmos de búsqueda

[62]
A continuación se plantean una serie de actividades que nos permitirán comparar el rendimiento y
eficiencia de los algoritmos de ordenamiento y búsqueda.
1. Desarrollar el algoritmo de ordenamiento por casilleros (bucket sort).
2. Desarrollar el algoritmo de ordenamiento Shell (shell sort). Tiene este nombre debido a su in-
ventor Donald Shell.
3. Desarrollar el algoritmo de ordenamiento Radix (radix sort).
4. Explicar brevemente el funcionamiento del algoritmo de ordenamiento Timsort y su orden de
complejidad, –el cual fue desarrollado por Tim Peters en lenguaje Python– este algoritmo es de
tipo híbrido utilizado de forma nativa para ordenar los elementos de una colección en Python.
5. Generar una lista de elementos aleatorios de distintos tamaños (100 000, 1 000 000, 10 000
000), para probar los distintos algoritmos de ordenamiento vistos. Además agregar las instruc-
ciones necesarias para medir su tiempo de ejecución y poder compararlos.
6. Generar también otra lista de elementos aleatorios de distintos tamaños (100 000, 1 000 000, 10
000 000), para probar los distintos algoritmos de búsqueda vistos. Además agregar las instruc-
ciones necesarias para medir su tiempo de ejecución para poder compararlos.
7. Dada una lista de personajes de la saga de Star Wars de las que se conoce su nombre, resolver
la siguientes tareas:
a. listar los personajes ordenados alfabéticamente de manera ascendente;
b. determinar si el personaje Darth Maul está cargado y en qué posición se encuentra;
c. mostrar la información de los personajes que se encuentran antes y después de Hera Syndulla;
d. listar todos los personajes que comienzan con la letra L;
e. utilizar los métodos de ordenamiento y búsqueda más eficiente de acuerdo al tipo de dato.
8. Se dispone de las lista de superhéroes y villanos de la saga de Marvel Cinematic Universe
(MCU) de los que contamos con la información de nombre del personaje y año de la primera
película en la que apareció; a partir de estos resolver las siguientes actividades:
a. realizar un listado ascendente de los personajes ordenados por su nombre;
b. indicar quien fue el primer y el último personaje en aparecer en una película sin realizar
un recorrido de la lista (podrían ser más de uno tanto el primero como el último);
c. realizar un listado de los personajes ordenados de manera descendente por año de aparición;

[63]
d. calcular el rango de años entre el primer personaje en aparecer y el último;
e. determinar si los personajes Capitan America y Rocket Raccoon están en la lista y en qué
año aparecieron.
9. Se cuenta con una lista de Pokémons, de cada uno de estos se sabe su nombre, número y tipo
(solo considerar uno el principal), con los cuales deberá resolver las siguientes tareas:
a. mostrar un listado de los Pokémons ordenados por números usando el método de ordena-
miento por conteo;
b. realizar un listado ordenado por nombre utilizando el método de ordenamiento rápido;
c. mostrar toda la información de pokémon número 640;
d. listar todos los Pokémons que comienzan con la letra T;
e. determinar si existe el Pokémon Cobalion y mostrar toda su información;
f. realizar un listado de todos los Pokémon de tipo eléctrico y calcular cuántos son.
10. Un vendedor de “Fuko Pop”, tiene la lista de todos los funko que tiene disponibles en su tienda
con la siguiente información: número, nombre, colección y precio; para lo cual nos solicita le
desarrollemos un algoritmo que contemple los siguiente requerimientos:
a. realizar un listado ordenado por número;
b. realizar un listado de los funko pop de una colección;
c. determinar si tiene disponible el funko pop 130 de la colección de Star Wars y mostrar toda
la información;
d. mostrar todos los funko pop disponible número 295;
e. listar todos los modelos de Darth Vader y Capitana Marvel;
f. determinar si existen funko pop de Red Skull, Thanos y Galactus, además mostrar la infor-
mación de estos;
g. calcular el costo de todos los modelos de Tony Stark e Iron Man disponibles;
h. calcular el promedio de costo de todos los funko pop y el costo total de las colecciones de
Rocks y Harry Potter.
11. A partir de una lista con todos los caballeros Jedi y los lores Sith, de los que conocemos su nom-
bre y el de su maestro (considere solo uno), resuelva las siguientes actividades:
a. realizar un listado ordenado por nombre;

[64]
b. listar todos los Jedi ordenados por nombre;
c. listar todos los Sith ordenados por nombre;
d. mostrar los aprendices de Palpatine y de Obi-Wan kenobi, además contar cuantos apren-
dices tuvo cada uno;
e. determinar si Dath Malak está en la lista y mostrar su información;
f. mostrar la posición en la que se encuentra Yoda.
12. Dada una lista de dioses griegos a partir de la cual debemos desarrollar las funciones necesa-
rias para resolver los siguientes ítems:
a. emitir un listado de todos los dioses ordenados;
b. determinar si Atenea está en la lista;
c. indicar en qué posición se encuentra Deméter;
d. listar todos los dioses que comienzan con la letra H y además determinar cuántos son;
e. agregar al dios Helios y volver a listar los dioses ordenados alfabéticamente.
13. Se dispone de una lista de películas con la siguiente información: título, año de estreno, re-
caudación y valoración del público (de 1 a 5), los cuales debemos procesar contemplando las
siguiente tareas:
a. realizar un listado ordenado por título, año de lanzamiento y por recaudación este ultimo
de manera descendente;
b. mostrar toda la información de la película que mas recaudo;
c. listar todas las películas que tenga valoración 5;
d. determinar si la película “Avengers: Infinity War” está en la lista y mostrar
toda su información;
e. indicar en qué posición se encuentra la película “Star Wars: The Return of Jedi”;
f. calcular el total recaudado por las películas que en su título incluyen la palabra “Avengers”;
g. mostrar todas las películas que se estrenaron en el año 2017;
h. listar todas las películas que comienzan con la palabra “Iron”.
14. La empresa Netflix nos pone a nuestra disposición los datos de todas las series cargadas en esta
plataforma con los siguientes datos: nombre, cantidad de temporadas y cantidad de capítulos

[65]
totales de la serie. Los cuales debemos procesar desarrollando las funciones necesarias para
dar solución a las siguientes ítems:
a. listar las series ordenadas a cuerdo a los siguientes criterios: por nombre, por cantidad de
temporadas, por cantidad de capítulos;
b. mostrar toda la información de la serie “Los 100“;
c. determinar cuál es la serie con mayor cantidad de temporadas y mayor cantidad de capítulos;
d. calcular cuantas series dispone la plataforma y el promedio de temporadas;
e. determinar el promedio de capítulos por temporada de la serie “Star Wars: Rebels”;
f. listar el TOP 5 de series con mayor cantidad de capítulos y el top 10 de las series con mayor
cantidad de temporadas;
g. mostrar todas las series con tres o menos temporadas.
15. Se cuenta con una lista de canciones, de cada una de estas conocemos su nombre, nombre de la
bandas o artista, y el año de lanzamiento del álbum; desarrollar las funciones necesarias para
dar solución a las siguientes tareas:
a. realizar un listado ordenado por canción, por banda o artista y por año de lanzamiento,
utilizando el método que sea más optimo para cada tipo de dato;
b. determinar si en la lista existe alguna canción de Audioslave y Rolling Stone;
c. mostrar todas las canciones de Nirvana;
d. agregar una nueva canción a la lista, y volver a realizar un listado ordenado por nombre
de canción;
e. determinar cuantas canciones de los Red Hot Chili Peppers hay en la lista;
f. mostrar toda la información de las canciones “Fake tales of San Francisco” y
“Black hole sun”.
16. Dada una lista de las naves (y vehículos) de Star Wars –consideraremos a todos como naves– de
las que conocemos su nombre, largo, tripulación y cantidad de pasajeros, desarrollar los algo-
ritmos necesarios para resolver las actividades detalladas a continuación:
a. realizar un listado ordenado por nombre de las naves de manera ascendente y por largo de
las mismas de manera descendente;
b. mostrar toda la información del “Halcón Milenario” y la “Estrella de la Muerte”;
c. determinar cuáles son las cinco naves con mayor cantidad de pasajeros;

[66]
d. indicar cuál es la nave que requiere mayor cantidad de tripulación;
e. mostrar todas las naves que comienzan con AT;
f. listar todas las naves que pueden llevar seis o más pasajeros;
g. mostrar toda la información de la nave más pequeña y la más grande.

[67]
CAPÍTULO V
Representando modelos reales
con tipos de datos abstractos
Una estructura de datos es una colección de elementos, como ya mencionamos previamente, pero
además en muchas ocasiones estas representan un modelo de la vida real. Más allá de la manera
en que se almacenan los elementos –independientemente de si se utilizan estructuras estáticas o
dinámicas– el aspecto más importante son las actividades que la misma permite realizar sobre los
elementos. Las actividades mínimas que normalmente se realizan sobre cualquier estructura de
datos son insertar, eliminar, buscar y hacer un listado o barrido de sus elementos. Estas estructuras
de datos pueden ser lineales y no lineales –o ramificadas–, dependiendo de su tipo las operaciones
mencionadas pueden cambiar su orden de complejidad.
Las estructuras de datos están presentes en la vida cotidiana de las personas de manera implícita,
de hecho es común interactuar con estas diariamente. Por ejemplo cuando se dobla la ropa se la
suele apilar, en el supermercado se debe hacer cola para poder pagar, cuando se realiza una acti-
vidad muchas veces se hace una lista de tareas que conforman la misma, etcétera. Al momento de
representar el modelo real de estas estructuras en un modelo virtual es necesario extraer de estas
sus principales características, que permitan representarla virtualmente, y su mecánica de funcio-
namiento –es decir que actividades se pueden realizar–.
Para poder efectuar esta abstracción de un modelo real a uno virtual se utiliza una técnica denomi-
nada tipo de dato abstracto (TDA), que permite definir atributos que describen las características
deseadas del modelo real y funciones que representan las actividades –o comportamiento– que
se pueden realizar con el mismo. Con esta técnica se logra una representación parcial del modelo
real, suficiente para poder representar dicho modelo y usarlo de manera virtual. A lo largo de este
libro se utiliza el TDA para representar las distintas estructuras de datos clásicas de las ciencias
de la computación: pila, cola, lista, tabla de dispersión, árbol, montículo, grafo; cada una de estas
estructuras se desarrollan en detalle en distintos capítulos de este libro. Existen dos alternativas
para realizar estos TDA, utilizando variables estáticas –mediante el uso de vectores o matrices– o
variables dinámicas –recurriendo al uso de punteros y variables dinámicas–. Cabe destacar que
dependiendo del modelo a representar con una simple estructura estática es más que suficiente y
no es necesario recurrir a estructuras dinámicas.
Para poder definir la estructura interna de un TDA y sus funciones asociadas previamente es nece-
sario que se definan algunos conceptos básicos:
1. Variable dinámica: una variable dinámica es aquella que se puede crear y destruir en tiempo
de ejecución a diferencia de una variable estática que lo hace en tiempo de compilación. Este
tipo de variables son administradas mediante el uso de punteros.

[68]
2. Puntero: el puntero es un tipo de dato que se utiliza para almacenar una dirección de memoria
de una variable dinámica –es decir se podría decir que un puntero apunta a una variable diná-
mica
– esto también se conoce como dirección de referencia.
3. Nodo: es un tipo de datos que se define mediante el uso de una clase –dado que en Python no
existen los registros– para representar a cada elemento de nuestra estructura de datos. De-
pendiendo de esta pueden variar sus atributos, pero en su esencia un nodo debe tener míni-
mamente un campo donde se almacene la información y otro que lo enlace con el siguiente o
anterior nodo de la estructura.
4. Variables huérfanas: cuando una variable dinámica deja de ser apuntada por un puntero, que-
dará en memoria pero no podrá accederse a ella porque su dirección se perdió. En Python
cuando ocurre esto el intérprete elimina automáticamente dicha variable para liberar espacio
en memoria. Por lo que para eliminar una variable dinámica solo basta con cambiar la direc-
ción del puntero que la señala.
Figura 1. Variable estática, dinámica y huérfana
En la figura 2 se puede observar el funcionamiento asociado entre un puntero y una variable diná-
mica. Cabe hacer la aclaración de que en Python todas las variables son de tipo puntero a excepción
de las de tipo primitivo (booleanas, enteras, reales, complejas y cadenas de textos “String”). En el
primer caso la respuesta será (valor num1 1 valor num2 4) claramente se observa que son tratadas
como variables estáticas y el cambio en una no afecta a la otra. En cambio para el segundo caso
(valor lista1 [1, 7, 3, 87] valor lista2 [1, 7, 3, 87]) las variables son punteros que apuntan a la misma va-
riable dinámica, si se realiza el cambio con una de las variables que apunta a la variable dinámica.
Al acceder con la otra se refleja el cambio porque en efecto apunta a la misma variable, –codifique
el ejemplo para poder probarlo y ver los resultados–.
Figura 2. Variables estáticas y dinámicas

[69]
Una ventaja de trabajar con punteros es que almacenan una dirección de memoria por lo que se
puede tener más de un puntero que apunten a una misma variable dinámica. Las operaciones útiles
de comparaciones que se puede hacer entre punteros son dos, si ambas variables son iguales –es
decir si están apuntando a la misma variable dinámica– o si los punteros son distintos –si no están
apuntando a la misma variable dinámica
–. Esto se puede ver en la figura 3, la salida del programa
será para el primer caso “Apuntan a diferentes variable dinámica” y “Apuntan a la misma variable
dinámica” para el segundo caso. El único valor conocido que el programador le puede asignar a un
puntero es vacío o None (en el caso de Python) –dado que no es posible conocer las direcciones de
memoria–. Esto significa que el puntero no apunta a ninguna variable, también se puede asignar
una dirección de memoria que este almacenada en otro puntero. Las demás direcciones son asigna-
das automáticamente por el sistema operativo cuando creamos las variables dinámicas.
Figura 3. Comparación de punteros
Un nodo es un tipo de datos que se define con una clase como se observa en la figura 4, con el cual
se representan cada uno de los elementos de nuestra colección o estructura de datos. A diferencia
de las estructuras estáticas en las que se accede a los elementos mediante índices o posiciones como
en el caso de los vectores o las matrices. Las estructuras dinámicas son un conjunto de nodos enla-
zados entre sí –mediante el uso de punteros–, de manera tal que a partir de un determinado nodo
se puede acceder al anterior, al siguiente o a ambos, dependiendo de la estructura del nodo definida
y de la naturaleza de la estructura que se quiera modelar.
Figura 4. Nodo simplemente enlazado

[70]
Una característica importante que diferencia a las estructuras dinámicas de las estáticas es que por
su naturaleza dinámica pueden incorporar o eliminar elementos en tiempo de ejecución –dado
que utilizan variables dinámicas– esto le permite optimizar el espacio en memoria utilizando solo
lo necesario. En cambio, las segundas definen su cantidad de elementos en tiempo de compilación
lo que genera dos problemas: determinar el tamaño óptimo de dicha estructura (quedando casi
siempre espacio vacíos en el vector ocupando memoria) y la incapacidad de agregar o eliminar
posiciones cuando se lo requiera.
Un nodo simplemente enlazado básicamente está compuesto por dos campos, como vimos previa-
mente, información (o dato) y siguiente (o enlace). Aunque puede tener más si la estructura a mode-
lar lo requiere. El campo información puede ser un tipo de dato simple o una clase que agrupe un
conjunto de atributos y el campo siguiente es un puntero que almacenará la dirección del siguiente
o anterior elemento de la estructura (nodo), como se puede observar en la figura 5.
Figura 5. Nodos enlazados
Este tipo particular de nodo también se lo denomina “tipo de dato recursivo”, dado que si se ana-
liza en detalle su definición se puede observar que un nodo está compuesto de dos campos; infor-
mación donde se almacenan los datos y el siguiente que es un puntero que apunta a un nodo del
mismo tipo. El nodo simplemente enlazado es un tipo de dato, que por su definición representa el
modelo recursivo que ya se analizó antes. En el que la estructura tiene el campo enlace que repre-
senta las “llamadas recursivas” y en la cual la “condición de fin” es cuando el enlace siguiente es
vacío o None, es decir es el último elemento de la lista.
A continuación en la figura 6 se presenta un ejemplo en el cual se utiliza el tipo de dato nodo sim-
plemente enlazado definido anteriormente, y como se implementa con este la carga de un conjunto
de palabras que luego se listan. Vale destacar que los nodos son creados a medida que se necesitan
para cargar una palabra y que solo es necesaria una variable de tipo puntero para poder realizar un
barrido de todos los nodos –dado que a partir de campo siguiente se puede pasar de un nodo a otro–.
Figura 6. Manejo de nodos enlazados

[71]
Ahora hay que aplicar los conceptos vistos para crear un TDA, –se desarrollará el ejemplo del TDA
polinomio–, para ver en detalle cómo se define una estructura de datos y sus funciones asociadas
con un ejemplo sencillo.
Un TDA está compuesto de dos bloques básicos,
estructura o definición de tipos e interfaz o com-
portamiento. En el primero de estos bloques se hace la definición formal de la estructura es decir
las características que se utilizan para representar el modelo real de manera virtual. Mientras que
en el segundo se define mediante funciones el comportamiento de dicho modelo; estas funciones
serán los eventos mediante los cuales se debe manejar su funcionamiento.
En el bloque estructura además del tipo de dato nodo definido previamente, se deben definir los
tipos de datos datoPolinomio y Polinomio, donde el primero almacena el valor y el término de
dicho valor –es decir si es xn
, xn-1
,…, x0

– y el segundo es la estructura de datos polinomio que está
compuesto de dos campos el grado del polinomio y un puntero que apunta al termino mayor del
polinomio, como se puede observar en la figura 7.
Figura 7. Definición de tipos de datos

[72]
Por su parte en el bloque de la interfaz se desarrollan inicialmente los eventos necesarios para ad-
ministrar el polinomio, es decir, para poder cargar un elemento, modificarlo y obtener su valor. Se
detalla sus correspondientes implementaciones en las figuras 8 y 9.
Figura 8. Eventos para administrar el polinomio parte 1
Figura 9. Eventos para administrar el polinomio parte 2

[73]
Luego se definen las funciones específicas para realizar operaciones con polinomios, como sumar,
multiplicar y mostrar su contenido. Su código se puede ver en la figuras 10 y 11.
Figura 10. Eventos de operación sobre polinomios parte 1
Figura 11. Eventos de operación sobre polinomios parte 2

[74]
Ahora quedará a cargo del lector completar la funcionalidad del TDA polinomio, dado que solo se
desarrollaron algunas funciones, agregándole la capacidad de eliminar términos, y de determinar
si en un polinomio existe un término, para evitar tener que llamar a la función “obtener_valor” y
luego consultar si el resultado es distinto de cero para determinar si el polinomio tiene ese término
o no. Esta última debe ser una función booleana.

[75]
A continuación se plantean una serie de ejercicios. Para resolverlos primero se deberá desarrollar
los TDA, para luego dar solución a los problemas planteados.
1. implementar un TDA que le permita realizar el manejo de archivos. Debe contemplar las si-
guientes actividades:
a. abrir(ruta);
b. cerrar(archivo);
c. leer(archivo, posición);
d. guardar(archivo, dato);
e. modificar(archivo, posición, dato);
f. utilice la librería shelve.
2. Desarrollar un TDA que permita manejar el calendario del mes actual, sobre el que se puedan
resolver las siguientes actividades:
a. obtener el día actual (número y día de la semana);
b. obtener los días feriados;
c. obtener los días en que inicia luna llena, luna nueva, cuarto menguante y cuarto creciente;
d. Obtener los días y nivel de pesca del mes (calendario de pesca).
3. Implementar sobre el TDA polinomio desarrollado previamente las siguientes actividades:
a. restar;
b. dividir;
c. eliminar un término;
d. determinar si un término existe en un polinomio.

[76]
4. Implementar el TDA matriz que permita resolver las siguientes actividades:
a. crear una matriz de [n x n];
b. cargar una matriz de manera aleatoria;
c. sumar matrices;
d. restar matrices;
e. multiplicar matrices.

[77]
CAPÍTULO VI
Desde la cima de la pila, intentando
evitar el desbordamiento
Esta estructura de datos es una de las más simples, pero a su vez una de las más importantes den-
tro de las ciencias de la computación. Es utilizada por diversas técnicas, algoritmos y estructuras
más avanzadas. Una pila es una colección de elementos que se agregan y se eliminan siguiendo el
principio de último en entrar-primero en salir (LIFO, Last In-First Out), es decir, el último elemento
insertado en la pila es el primero en ser eliminado. Un elemento puede ser agregado en cualquier
momento a una pila, pero solo se puede acceder o eliminar el elemento que esté en la cima o tope
de la misma, como se observa en la figura 1.
Figura 1. Funcionamiento de una pila
Como se observa en la figura 1, existen dos actividades o eventos que administran los elementos de
una pila, esto también implica que en realidad el valor del dato almacenado no influye en el fun-
cionamiento de la estructura –por lo que se podría decir que en realidad la relevancia del valor de
los datos es secundaria para la estructura, pero sí son importantes para el sistema que los necesita
almacenar–. Estos eventos son: apilar cuando se agrega un nuevo elemento en la cima y desapilar
cuando se saca el elemento que está en la cima.
Esto implica que solo se puede acceder al elemento que está en la cima de la pila. La forma de acce-
der a los demás elementos de la colección es desapilar cada uno de estos, de a uno a la vez.
Algunos ejemplos donde implícitamente interactuamos con pilas en la vida cotidiana: los produc-
tos en una góndola, libros sobre una mesa, la ropa doblada, cajas en un depósito, platos o vasos en
una alacena, etcétera. En cualquiera de estos casos para poder quitar o acceder al último elemento
–es decir el que está más abajo sobre la base de la pila– es necesario quitar los anteriores que es-
tán arriba, de lo contrario se caerían todos los elementos y se destruye la pila. Si se observa la pila
con un enfoque abstracto, es decir su modelo virtual, también se lo utiliza sin tenerlo en cuenta,
por ejemplo, cuando se navega por internet el navegador trabaja con dos pilas que permiten ir a la

[78]
dirección anterior, es decir volver a la página que estaba antes o ir hacia adelante a una página que
ya se visitó; cuando se trabaja en un editor de texto existen los botones “hacer” y “deshacer”, esto
permite al usuario volver a versiones anteriores o posteriores del texto que se está editando de ma-
nera rápida; lo mismo ocurre con los editores de imágenes, etcétera. Ya a un nivel más abstracto los
sistemas operativos utilizan pilas para la gestión de la memoria de los procesos, para poder ejecutar
llamadas recursivas, para gestión de archivos, etc.
Por lo cual, una pila puede definirse de la siguiente manera: si consideramos su estructura y funcio-
namiento, es una estructura lineal dinámica de datos que no están ordenados y cuyas actividades
de inserción y eliminación se realizan a través de un índice llamado cima o tope. Es importante
remarcar que el orden de complejidad de las operaciones sobre la pila son de tiempo constante O(1)
dado que solo se pueden agregar y quitar elementos desde la parte superior de la misma, por lo que
no importa la cantidad de elementos que tenga.
¿Están realmente desordenados los datos? En una pila por la naturaleza de su funcionamiento los datos
no están ordenados siguiendo un criterio particular –salvo que se desarrolle un algoritmo que se
encargue de ordenarlos–, pero si consideramos el orden de inserción de los elementos, se puede
decir que la pila se encuentra ordenada por dicho criterio.
Hablemos del desbordamiento de pila –¿Qué es? ¿Por qué ocurre?– Esto está ligado casi directamente
al tipo de implementación
que se utilice –estática o dinámica como ya vimos en el capítulo IV–, en
la figura 2 se muestran ambas alternativas de representación. Además se debe considerar que las
pilas no tienen un límite superior entonces, si optamos por una implementación estática
–a la iz-
quierda en la figura– tenemos la limitación de la cantidad de elementos del vector esto implica que
si la cantidad de elementos a insertar es mayor se produce un desbordamiento de la pila porque no
hay espacio para almacenarlos (stack overflow). Pero, por otro lado, si usamos una implementación
dinámica –a la derecha de la figura– con nodos enlazados disponemos de toda la memoria para
crear nodos por lo cual es muy poco probable que se produzca un desbordamiento, ambas. Esta
última alternativa tiene la ventaja de que trabajamos en memoria principal por lo cual si la misma
se llenara
–lo cual es poco probable que ocurra– el sistema operativo continuará utilizando memo-
ria virtual (intercambiando la memoria a disco) extendiendo la memoria principal y por ende la
capacidad de la pila.
Figura 2. Tipos de representación de pila

[79]
Comencemos con el diseño del TDA pila, el mismo estará compuesto básicamente de un elemento
al que denominaremos cima, este es un puntero que se encarga de apuntar a un nodoPila, que está
compuesto de dos elementos información y siguiente –esto de describió en el capítulo anterior–,
y un conjunto de funciones que describen su comportamiento. Estas se enumeran a continuación
–adicionalmente puede agregarse el elemento tamaño en la definición del TDA para facilitar el
cálculo de la cantidad de elementos en la pila y no tener que hacer una función que se encargue de
contar los nodos–:
1. apilar(pila, elemento). Agrega el elemento sobre la cima de la pila;
2. desapilar(pila). Elimina y devuelve el elemento almacenado en la cima de la pila;
3. pila_vacia(pila). Devuelve verdadero (true) si la pila no contiene elementos;
4. cima(pila). Devuelve el valor del elemento que está almacenado en la cima de la pila pero
sin eliminarlo;
5. tamaño(pila). Devuelve la cantidad de elementos en la pila.
Pasemos ahora de la definición a la implementación del TDA pila, primero en la figura 3 se puede
ver la definición de la estructura. Para representar el tipo de dato pila se utiliza una clase, compues-
ta de dos atributos cima que es un puntero que apunta al nodo que está en la cima de la pila –que
inicialmente tiene valor None–, y tamaño que representa la cantidad de elementos que contiene la
pila cuyo valor inicial es 0; además se utiliza la clase nodoPila, compuesta de los atributos informa-
ción y siguiente cuyo valor inicial es None en ambos casos.
Figura 3. Definición de la estructura del TDA pila

[80]
Luego se definen las funciones mencionadas previamente, que serán los eventos mediante los cua-
les se administrará el funcionamiento de la pila, estas se pueden observar en las figuras 4 y 5.
Figura 4. Interfaz o eventos del TDA pila parte 1
Figura 5. Interfaz o eventos del TDA pila parte 2
Cuando tenemos que apilar un nuevo elemento, se debe crea una variable del tipo nodoPila a la
que se le asigna en su campo información el valor del elemento ingresado como dato. Luego en el
campo siguiente de dicho nodo se le guarda la dirección de referencia de la cima y después a cima
se le asigna la dirección del nodo creado. Y por último se incrementa el valor de tamaño.

[81]
Por otro lado, cuando hay que desapilar un elemento de la pila, se saca del nodo que está en la cima
de la pila su información y se almacena en una variable auxiliar, luego a cima se le asigna la direc-
ción de referencia almacenada en el atributo siguiente del nodo de la cima –es decir el siguiente
nodo de la estructura, el que está abajo–. Por último se decrementa el valor de tamaño y se retorna
el valor de la variable auxiliar, es decir el elemento eliminado.
El resto de las actividades son sencillas, por lo que el análisis e interpretación de las mismas que-
dará a cargo del lector.
Uds. se preguntarán:
—¿Se puede hacer un barrido de una pila?
Sí, se puede. Pero no de la forma tradicional como se realiza sobre otras estructuras de datos más
simples como los vectores o matrices.
—Pero ¿Cómo se hace?
Para poder barrer una pila se debe respetar la naturaleza del funcionamiento de esta estructura, es
decir, solo se puede acceder al elemento almacenado en la cima. Para listar el contenido completo
de una pila se debe eliminar cada elemento y mostrarlo de a uno a la vez. – ¿Pero entonces de esta
forma no queda vacía la pila?
– en efecto al eliminar los elementos de una pila la misma quedara
vacía, pero adicionalmente se puede utilizar una pila auxiliar para almacenar temporalmente los
elementos y luego reconstruir la pila original, como se puede observar en la figura 6.
Figura 6. Barrido y reconstrucción de pila

[82]
A modo de ejemplo en la figura 7 se presenta una implementación del TDA pila para la resolución
de un problema. En este caso se tiene una pila de números enteros y se desea dividirla en dos pilas,
una con los números pares y otra con los impares:
Figura 7. Ejemplo uso del TDA pila
A continuación, se describen las acciones realizadas para la resolución del ejercicio anterior paso
por paso, para poder comprender la mecánica de uso de un TDA, para ello se debe utilizar los even-
tos definidos en el bloque de interfaz del mismo.
Primero se deben importar del TDA pila las funciones que vamos a utilizar para resolver el problema,
luego se crean las variables necesarias de tipo pila. Luego, después de cargar los datos en la pila, se
procede a eliminar el elemento en la cima de la pila y se determina si el elemento desapilado es par o
impar para apilarlo en la pila correspondiente (par o impar). Y se repite el mismo procedimiento para
cada elemento hasta que la pila quede vacía para finalmente mostrar el contenido de ambas pilas.

[83]
A continuación se plantean una serie de problemas, que se deberán resolver utilizando el TDA pila.
1. Determinar el número de ocurrencias de un determinado elemento en una pila.
2. Eliminar de una pila todos los elementos impares, es decir que en la misma solo queden nú-
meros pares.
3. Reemplazar todas las ocurrencias de un determinado elemento en una pila.
4. Invertir el contenido de una pila, solo puede utilizar una pila auxiliar como estructura extra.
5. Determinar si una cadena de caracteres es un palíndromo.
6. Leer una palabra y visualizarla en forma inversa.
7. Eliminar el i-ésimo elemento debajo de la cima de una pila de palabras.
8. Dada una pila de cartas de las cuales se conoce su número y palo,–que representa un mazo de
cartas de baraja española–,resolver las siguientes actividades:
a. generar las cartas del mazo de forma aleatoria;
b. separar la pila mazo en cuatro pilas una por cada palo;
c. ordenar una de las cuatro pilas (espada, basto, copa u oro) de manera creciente.
9. Resolver el problema del factorial de un número utilizando una pila.
10. Insertar el nombre de la diosa griega Atenea en la i-ésima posición debajo de la cima de una
pila con nombres de dioses griegos.
11. Dada una pila de letras determinar cuántas vocales contiene.
12. Dada una pila con nombres de los personajes de la saga de Star Wars, implemente una función
que permita determinar si Leia Organa o Boba Fett están en dicha pila sin perder los datos.
13. Dada una pila con los trajes de Iron Man utilizados en las películas de Marvel Cinematic Uni-
verse (MCU) de los cuales se conoce el nombre del modelo, nombre de la película en la que se
usó y el estado en que quedó al final de la película (Dañado, Impecable, Destruido), resolver
las siguientes actividades:
a. determinar si el modelo Mark XLIV (Hulkbuster) fue utilizado en alguna de las películas,
además mostrar el nombre de dichas películas;
b. mostrar los modelos que quedaron dañados, sin perder información de la pila.

[84]
c. eliminar los modelos de los trajes destruidos mostrando su nombre;
d. un modelo de traje puede usarse en más de una película y en una película se pueden usar
más de un modelo de traje, estos deben cargarse por separado;
e. agregar el modelo Mark LXXXV a la pila, tener en cuenta que no se pueden cargar modelos
repetidos en una misma película;
f. mostrar los nombre de los trajes utilizados en las películas “Spider-Man: Homecoming” y
“Capitan America: Civil War”.
14. Realizar un algoritmo que permita ingresar elementos en una pila, y que estos queden orde-
nados de forma creciente. Solo puede utilizar una pila auxiliar como estructura extra –no se
pueden utilizar métodos de ordenamiento
–.
15. Realizar el algoritmo de ordenamiento quicksort de manera que funcione iterativamente.
16. Se tienen dos pilas con personajes de Star Wars, en una los del episodio V de “The empire
strikes back” y la otra los del episodio VII “The force awakens”. Desarrollar un algoritmo que
permita obtener la intersección de ambas pilas, es decir los personajes que aparecen en am-
bos episodios.
17. Dado un párrafo que finaliza en punto, separar dicho párrafo en tres pilas: vocales, consonan-
tes y otros caracteres que no sean letras (signos de puntuación números, espacios, etc.). Luego
utilizando las operaciones de pila resolver las siguientes consignas:
a. cantidad de caracteres que hay de cada tipo (vocales, consonantes y otros);
b. cantidad de espacios en blanco;
c. porcentaje que representan las vocales respecto de las consonantes sobre el total de carac-
teres del párrafo;
d. cantidad de números;
e. determinar si la cantidad de vocales y otros caracteres son iguales;
f. determinar si existe al menos una z en la pila de consonantes.
18. Dada una pila de objetos de una oficina de los que se dispone de su nombre y peso (por ejem-
plo monitor 1 kg, teclado 0.25 kg, silla 7 kg, etc.), ordenar dicha pila de acuerdo a su peso –del
objeto más liviano al más pesado–. Solo pueden utilizar pilas auxiliares como estructuras ex-
tras, no se pueden utilizar métodos de ordenamiento.
19. Dada una pila de películas de las que se conoce su título, estudio cinematográfico y año de es-
treno, desarrollar las funciones necesarias para resolver las siguientes actividades:
a. mostrar los nombre películas estrenadas en el año 2014;

[85]
b. indicar cuántas películas se estrenaron en el año 2018;
c. mostrar las películas de Marvel Studios estrenadas en el año 2016.
20. Realizar un algoritmo que registre los movimientos de un robot, los datos que se guardan son
cantidad de pasos y dirección –suponga que el robot solo puede moverse en ocho direcciones:
norte, sur, este, oeste, noreste, noroeste, sureste y suroeste–. Luego desarrolle otro algoritmo
que genere la secuencia de movimientos necesarios para hacer volver al robot a su lugar de
partida, retornando por el mismo camino que fue.
21. Realizar un algoritmo que ingrese en una pila los dos valores iniciales de la sucesión de Fi-
bonacci –o condiciones de fin de forma recursiva– y a partir de estos calcular los siguientes
valores de dicha sucesión, hasta obtener el valor correspondiente a un número n ingresado por
el usuario.
22. Se recuperaron las bitácoras de las naves del cazarrecompensas Boba Fett y Din Djarin (The
Mandalorian), las cuales se almacenaban en una pila (en su correspondiente nave) en cada
misión de caza que emprendió, con la siguiente información: planeta visitado, a quien capturó,
costo de la recompensa. Resolver las siguientes actividades:
a. mostrar los planetas visitados en el orden que hicieron las misiones cada uno
de los cazzarrecompensas;
b. determinar cuántos créditos galácticos recaudo en total cada cazarrecompensas y de estos
quien obtuvo mayor fortuna;
c. determinar el número de la misión –es decir su posición desde el fondo de la pila– en la
que Boba Fett capturo a Han Solo, suponga que dicha misión está cargada;
d. indicar la cantidad de capturas realizadas por cada cazarrecompensas.
23. Dada una pila con los valores promedio de temperatura ambiente de cada día del mes de abril,
obtener la siguiente información sin perder los datos:
a. determinar el rango de temperatura del mes, temperatura mínima y máxima;
b. calcular el promedio de temperatura (o media) del total de valores;
c. determinar la cantidad de valores por encima y por debajo de la media.
24. Dada una pila de personajes de Marvel Cinematic Universe (MCU), de los cuales se dispone de
su nombre y la cantidad de películas de la saga en la que participó, implementar las funciones
necesarias para resolver las siguientes actividades:
a. determinar en qué posición se encuentran Rocket Raccoon y Groot, tomando como posi-
ción uno la cima de la pila;

[86]
b. determinar los personajes que participaron en más de 5 películas de la saga, además indi-
car la cantidad de películas en la que aparece;
c. determinar en cuantas películas participo la Viuda Negra (Black Widow);
d. mostrar todos los personajes cuyos nombre empiezan con C, D y G.

[87]
CAPÍTULO VII
Por favor espere su turno
en la cola que será atendido
La estructura de datos cola es otra estructura lineal sencilla como la anterior, administrada por dos
eventos. Dicha estructura es clave para el funcionamiento de los sistemas operativos que la utilizan
para la gestión y planificación de procesos. También es usada por otras aplicaciones que deben ma-
nejar la concurrencia del uso de recursos compartidos –por ejemplo la impresora–, dado que estas
pueden trabajar administrando prioridades. Una cola es una colección de elementos que se agregan
y quitan basándose en el principio de primero en entrar-primero en salir (FIFO, First In-First Out).
Esto quiere decir que el primer elemento en ser insertado es el primero en ser eliminado. Un elemento
puede ser agregado en cualquier momento a una cola, esto se hace por el final, pero solo se puede
acceder o eliminar el elemento que esté en el frente de la misma, como se observa en la figura 1.
Figura 1. Funcionamiento de una cola
Como se puede ver en la figura 1, hay dos actividades o eventos que se encargan de administrar los
elementos de una cola. Entonces igual que en el caso del TDA pila podríamos volver a afirmar que
el valor del dato almacenado no influye en la manejo de la estructura –manteniéndose entonces
una relevancia secundaria del valor de los datos para la estructura, más allá de la importancia de
almacenarlos–, salvo los casos particulares en los que se aplica cola de prioridad donde, además de
los eventos, la prioridad de los datos influye en el funcionamiento de la estructura. Estos eventos
son dos: arribo cuando se agrega un nuevo elemento al final y atención cuando se saca el elemento
que está en el frente.
Esto implica que solo se puede acceder al elemento que está en el frente de la cola, la forma de ac-
ceder a los demás elementos de la colección es atender cada uno de estos, de a uno a la vez.
Algunos ejemplos de la vida cotidiana donde se pueden encontrar el uso de cola de manera natural
son en la parada del colectivos, en las cajas de los supermercados, venta de entradas de evento, en
los cajeros automáticos, turnos en la guardia de un hospital o consultorio, etcétera. En cualquiera
de estos casos para poder ser atendidos debemos pararnos al final de la cola y esperar que nos to-
que nuestro turno, es decir que atiendan a todos los que están antes. A medida que ocurre esto nos

[88]
vamos acercando al frente de la cola, de lo contrario nos estaríamos colando. Si se ve la cola desde
un enfoque abstracto, es decir, la representación virtual de este modelo también lo utilizamos de
manera implícita sin darnos cuenta de esto, por ejemplos si hay una impresora en una casa u orga-
nización a la cual se envían a imprimir documentos de diferentes maquinas, se imprime el primero
que llega y el resto queda en espera –es decir quedan en la cola de impresión para ser atendidos
una vez finalice de imprimir el documento actual
–. Y a un nivel aún más abstracto los sistemas
operativos utilizan cola para la gestión de procesos –de hecho tiene varias colas funcionando en
simultáneo para los procesos listos, suspendidos, bloqueados, etcétera–.
Entonces se puede definir una cola del siguiente modo: basándonos en su estructura y funciona-
miento: es una estructura lineal dinámica de datos que no están ordenados y cuyas actividades de
inserción y eliminación se realizan a través de los índices llamados frente y final respectivamente, sobre
la cual además se puede operar con criterios de prioridad. De igual manera que ocurre con la pila el
orden de complejidad de las actividades para administrar elementos en la cola es del orden de O(1)
dado que las misma se realizan en el frente o el final sin importar la cantidad de elementos que tenga.
Al igual que vimos para pila, en una cola por la naturaleza de su funcionamiento los datos no están or-
denados siguiendo un criterio particular –salvo que se desarrolle un algoritmo que se encargue de ha-
cerlo–, pero podemos considerar que están ordenados según el orden de inserción de los elementos.
Al momento de la representación tendremos las mismas alternativas que con la pila, como ya men-
cionamos previamente tendremos la limitación de cantidad de elementos si optamos por la im-
plementación estática. Además como vemos en la figura 2 si el vector esta completo y de repente
se elimina un elemento, quedaría un lugar disponible, pero si intentamos agregar un elemento
no tendremos lugar al final del vector –dado que el hueco esta al principio del mismo–. Entonces,
¿Cómo solucionamos este problema? Para esto tendremos dos soluciones: la primera desplazar todos
los elementos a la izquierda lo cual sería poco eficiente –dado que la operación de inserción sería
del orden de O(n)–; la segunda es implementarlo como un vector circular entonces cuando los ín-
dices llegan a la última posición del vector pasan al inicio del mismo donde si hay lugar para hacer
la inserción, con lo cual volveríamos a tener operaciones del orden de O(1), ambas soluciones se
pueden observar a la izquierda y derecha respectivamente al fondo de la figura. De todos modos en
ambos casos estamos limitados por el espacio del vector por lo cual la mejor alternativa es imple-
mentarlo con nodos enlazados al igual que en el TDA pila.
Figura 2.

[89]
Arranquemos con el diseño del TDA cola, el cual estará compuesto básicamente de dos elementos
que llamaremos frente y final. Estos son punteros que se encargan de apuntar a un nodoCola, que
su vez está compuesto de dos elementos, información y siguiente –como ya hemos vista anterior-
mente–, y las funciones que describen su comportamiento, que se enumeran a continuación –op-
cionalmente puede agregarse el elemento tamaño para determinar la cantidad de elementos en la
cola, y evitar tener que contar los nodos con una función adicional–:
1. arribo(cola, elemento). Agrega el elemento a la final de la cola;
2. atención(cola). Elimina y devuelve el elemento almacenado en el frente de la cola;
3. cola_vacia(cola). Devuelve verdadero (true) si la cola no contiene elementos;
4. en_frente (cola). Devuelve el valor del elemento que está almacenado en el frente de la cola
sin eliminarlo;
5. tamaño(cola). Devuelve la cantidad de elementos en la cola;
6. mover_al_final(cola).Eliminaelelementoenelfrentedelacolayloinsertaenelfinaldelamisma;
Para continuar, es momento de implementar el TDA cola. En primer lugar se puede observar en
la figura 3 la definición de la estructura. Para representar TDA cola volvemos a usar una clase, que
consta de tres atributos frente y final que son punteros que apunta al nodo que está en la frente y
final de la cola respectivamente –dichos punteros inicialmente tienen valor None– y tamaño que
indica la cantidad de elementos que contiene la cola cuyo valor inicial es 0. Además se utiliza la
clase nodoCola la cual está definida por los atributos información y siguiente cuyo valor inicial es
None en ambos casos.
Figura 3. Definición de la estructura del TDA cola

[90]
Seguimos ahora con las figuras 4 y 5 en las que se puede ver la definición de las funciones menciona-
das anteriormente, estas serán los eventos que permitirán administrar el funcionamiento de la cola.
Figura 4. Interfaz o eventos del TDA cola parte 1
Figura 5. Interfaz o eventos del TDA cola parte 2

[91]
Al momento de arribar un nuevo elemento a la cola, se crea una variable de tipo nodoCola, a la cual
en su campo información se le asigna el elemento ingresado como dato. Si el elemento ingresado es
el primero, al frente de la cola se le debe asignar la dirección del nodo creado, caso contrario al final
de la cola en el campo siguiente se le asigna la dirección del nodo creado. Finalmente cualquiera
sea el caso que haya ocurrido al nodo apuntado por final se le asigna la dirección del nodo creado y
se incrementa el valor de tamaño.
En cambio cuando se realiza una atención de un elemento de la cola, primero se obtiene la infor-
mación del nodo que está en el frente de la cola y se lo almacena en una variable auxiliar, luego a
frente le asignamos la dirección de referencia almacenada en el campo siguiente, del nodo que está
en el frente de la cola. Además si el elemento eliminado es el último de la cola, a final se le debe
asignar valor None. Por último se decrementa el valor de tamaño y se retorna el valor de la variable
auxiliar, es decir el elemento que se quitó.
Nuevamente como en toda estructura de datos seguramente en algún momento vamos a necesitar
hacer un barrido de sus elementos, al igual que pasó con pila en el capítulo anterior esta estructura
no permite hacer un barrido de forma natural. Pero como ustedes ya saben, este barrido puede
hacerse pero de manera tal que respete la naturaleza del funcionamiento de la cola utilizando una
cola auxiliar para almacenar temporalmente los elementos y luego poder reconstruir la estructura
original para no perder los datos. Esto se muestra en la figura 6, pero es importante remarcar que
tanto este barrido como el de pila
–dado que en esencia son iguales– son muy ineficientes ya que
son del orden de O(n2
).
Figura 6. Barrido y reconstrucción de cola
Pero además la cola tiene una gran diferencia respecto de la pila, la primera utiliza dos elementos
para administrar la inserción y eliminación de datos mientras que la segunda solo tiene uno. Esto
implica que en la cola se pueden realizar las operaciones para agregar o quitar datos de manera
independiente, lo que nos permitirá mejorar la eficiencia del algoritmo de barrido. Para hacer esto
vamos a utilizar la función mover_al_final, ya que esta estructura posee dos punteros uno para la
inserción (frente) y otro para la eliminación (final). También vamos a necesitar la función tama-
ño para determinar cuántos elementos hay en la cola y repite dicha cantidad de veces la función
mover_al_final, esto nos permitirá atender el elemento que está en el frente de la cola, del cual
obtendremos la información para mostrar –o resolver otra acción– y luego hacer el arribo de dicho
elemento al final como se puede ver en la figura 7.

[92]
Ahora si comparamos la complejidad de ambos barridos, el primer caso está en el orden de O(n2
)
dado que se pasan todos los elementos a una cola auxiliar y después se los vuelve a pasar a la cola
original para reconstruirla; mientras que el segundo caso es del orden de O(n) dado que solo pasa
los elementos del frente al final logrando una mayor eficiencia por parte de este último algoritmo.
Figura 7. Barrido usando función mover al final
Para entender cómo usar el TDA cola en la figura 8 se presenta un ejemplo de su uso para la resolu-
ción de un problema. Para este caso particular se cuenta con una cola de caracteres y se desea dejar
en ella solamente las vocales:
Figura 8. Ejemplo de uso del TDA Cola
Ahora, se presenta una breve descripción de las acciones realizadas para la resolución del ejercicio
anterior, para lo cual se utilizan los eventos definidos en el bloque de interfaz.
En primer lugar se importan del TDA cola las funciones que utilizaremos en la resolución del pro-
blema enunciado, luego se crean las variables de tipo cola que necesitaremos. Después debemos

[93]
cargar los datos en la cola para poder procesarlos de la siguiente manera: eliminamos el elemento
en el frente de la cola y determinar si el elemento atendido es una vocal o no, en el caso de serlo
hacemos la inserción de dicha letra en la cola de vocales. Luego repetimos este procedimiento hasta
que la cola esté vacía y terminamos mostrando el contenido de la cola de vocales.
Adelantarse en la cola de manera correcta
utilizando prioridad
Como mencionamos previamente la cola permite aplicar una propiedad especial que altera en
cierta medida su principio de funcionamiento, la prioridad. Es decir que al momento de insertar
un elemento, no siempre ira al final, su prioridad puede alterar la posición donde el dato debe ser
almacenado; logrando de esta manera un tratamiento especial para determinados datos que sean
más importantes que el resto –por esta particularidad es utilizada internamente por los sistemas
operativos para la gestión de recursos–. la mayoría de los ejemplos mencionados previamente utili-
zan colas de prioridad aunque muchas veces no nos demos cuenta, en el caso de colas de personas
siempre tienen prioridad los mayores, mujeres embarazadas y con discapacidad. Por su parte en
una empresa el departamento o maquina desde la cual se envié el documento a imprimir puede
tener más prioridad, por ejemplo, el documento del gerente que el del resto de los empleados. Y lo
mismo ocurre con las colas de los sistemas operativos, por defecto los procesos del sistema siempre
tendrán mayor prioridad que el de los usuarios.
Uds. se preguntarán ¿Cómo funciona o se aplica la prioridad en una cola? ¿Todo lo que hemos hecho hasta
ahora no sirve más? Todo lo que hemos desarrollado seguirá funcionando perfectamente y lo segui-
remos usando, lo único que debemos agregar es una función más que denominaremos “arribo
_
con_prioridad” –la cual se describe a continuación–, además para trabajar con colas de prioridad al
nodoCola debemos agregarle un atributo extra denominado prioridad:
• arribo_con_prioridad(cola, elemento, prioridad). Agrega el elemento al final de la cola y luego
lo acomoda según su criterio de prioridad. Para poder aplicar el mecanismo de prioridad en
una cola el nodoCola, este debe contener el atributo prioridad.
Veamos ahora cómo funciona el arribo con prioridad, para esto se trabajará con el siguiente caso:
supongamos que debemos diseñar un algoritmo para administrar las atenciones de la guardia de
un hospital, donde los turnos de los pacientes además de ordenarlos por orden de llegada –es un
caso típico de cola hasta aquí– se los clasifica según el siguiente criterio de prioridad:
1. Consulta, por ejemplo pacientes con gripe, dolor de cabeza, control mensual, un esguince, etc.
2. Emergencia, por ejemplo pacientes con quebraduras expuestas, con heridas y pérdida de san-
gre, quemaduras graves, mujeres con trabajo de parto, etc.
3. Urgencia, por ejemplo pacientes con paro respiratorio, con un ataque cerebro vascular, con
convulsiones, etc.

[94]
Para este ejemplo tenemos tres niveles de prioridad para consultas (1), emergencias (2) y urgencias
(3), pero podrían ser dos o más, esto dependerá del tipo de problemas que se deban que resolver.
Entonces de acuerdo a estos criterios si arriba un paciente con prioridad tres debería insertarse al
final de la cola y adelantarse mientras su prioridad sea mayor que la del paciente que esté antes –si
ya existe otro paciente con prioridad tres, este quedará atrás–.
Entonces ¿Qué sucede cuando arriba un nuevo elemento a la cola? Si la cola está vacía el elemento que-
dará primero y solo se deberá utilizar la función de arribo. Pero en caso contrario lo que debería
suceder –si se respeta la naturaleza del modelo real– es que el elemento se agregue al final y a partir
de ese lugar se comience a adelantar mientras su prioridad sea mayor que la del elemento anterior.
De acuerdo a la representación actual del TDA cola no se puede reflejar esta acción, dado que no
se cuenta un puntero que permita pasar al nodo anterior de la estructura para determinar la nue-
va ubicación.
Si bien se podría dar solución de manera sencilla al uso de colas de prioridad sin alterar demasiado
el TDA, para lo cual deberíamos mover al final todos los elementos que tengan prioridad mayor o
igual al nuevo elemento, luego insertar el nuevo elemento y después el resto de los elementos que
quedaron pendientes en la cola. Al hacer la inserción con prioridad de esta manera, la función
arribo pasaría de estar en el orden de O(1) en arribo sin prioridad a estar en el orden de O(n) para
arribos con prioridad, lo cual es muy ineficiente por esta razón no implementaremos aún la función
“arribo_con_prioridad”; lo dejaremos pendiente para resolverlo más adelante en el capítulo XII
utilizando la estructura de datos montículo, lo cual nos permitirá resolver la operación de arribo
aplicando prioridad de manera eficiente.

[95]
AcontinuaciónseplanteanunaseriedeproblemasquedeberánresolverutilizandolosTDAcolaypila.
1. Eliminar de una cola de caracteres todas las vocales que aparecen.
2. Utilizando operaciones de cola y pila, invertir el contenido de una cola.
3. Dada una secuencia de caracteres utilizando operaciones de cola y pila determinar
si es un palíndromo.
4. Dadaunacoladenúmeroscargadosaleatoriamente,eliminardeellatodoslosquenoseanprimos.
5. Utilizando operaciones de cola y pila, invertir el contenido de una pila.
6. Contar la cantidad de ocurrencias de un determinado elemento en una cola, sin utilizar ningu-
na estructura auxiliar.
7. Eliminar el i-ésimo elemento después del frente de la cola.
8. Realizar un algoritmo que mantenga ordenado los elementos agregados a una cola, utilizando
solo una cola como estructura auxiliar.
9. Dada una cola de valores enteros calcular su rango y contar cuántos elementos negativos hay.
10. Dada una cola con las notificaciones de las aplicaciones de redes sociales de un Smartphone,
de las cual se cuenta con la hora de la notificación, la aplicación que la emitió y el mensaje,
a. escribir una función que elimine de la cola todas las notificaciones de Facebook;
b. escribir una función que muestre todas las notificaciones de Twitter, cuyo mensaje incluya
la palabra ‘Python’, si perder datos en la cola;
c. utilizar una pila para almacenar temporáneamente las notificaciones producidas entre las
11:43 y las 15:57, y determinar cuántas son.
11. Dada una cola con personajes de la saga Star Wars, de los cuales se conoce su nombre y planeta
de origen. Desarrollar las funciones necesarias para resolver las siguientes actividades:
a. mostrar los personajes del planeta Alderaan, Endor y Tatooine
b. indicar el plantea natal de Luke Skywalker y Han Solo
c. insertar un nuevo personaje antes del maestro Yoda
d. eliminar el personaje ubicado después de Jar Jar Binks

[96]
12. Dada dos colas con valores ordenadas, realizar un algoritmo que permita combinarlas en una
nueva cola. Se deben mantener ordenados los valores sin utilizar ninguna estructura auxiliar,
ni métodos de ordenamiento.
13. Dada una cola de 50000 caracteres generados aleatoriamente realizar las siguientes actividades:
a. separarla en dos colas una con dígitos y otra con el resto de los caracteres.
b. determinar cuántas letras hay en la segunda cola.
c. determinar además si existen los caracteres “?” y “#”.
14. Realizar un algoritmo que permita realizar las siguientes funciones:
a. cargar semáforos de una rotonda y sus respectivos tiempos de encendido en verde –cargue
al menos tres semáforos–.
b. simular el funcionamiento de los semáforos cargados (cola circular).
c. debe mostrar por pantalla el cambio de colores y el número del semáforo.
15. Suponga que se escapa hacia el planeta tierra en un Caza TIE robado –huyendo de un Destruc-
tor Estelar y necesita localizar la base rebelde más cercana– y se tiene una cola con informa-
ción de las bases rebeldes en la tierra de las cuales conoce su nombre, número de flota aérea,
coordenadas de latitud y longitud. Desarrolle un algoritmo que permita resolver las siguientes
tareas una vez que aterrice:
a. determinar cuál es la base rebelde más cercana desde su posición actual.
b. para el cálculo de la distancia deberá utilizar la fórmula de Haversine:
donde r es el radio medio de la tierra en metros (6371000), φ1 y φ2 las latitudes de los
dos puntos –por ejemplo coordenadas actual–, λ1 y λ2 las longitudes de los dos puntos
–coordenadas de la base– ambos expresadas en radianes; para convertir de grados a
radianes utilice la función math.radians(ángulo coordenada).
c. mostrar el nombre y la distancia a la que se encuentran las tres bases más cercanas y deter-
minar cual tiene mayor flota aérea.
d. determinar la distancia hasta la base rebelde con mayor flota aérea.

[97]
16. Utilice cola de prioridad, para atender la cola de impresión tomando en cuenta el siguiente
criterio (1- empleados, 2- staff de tecnologías de la información “TI”, 3- gerente), y resuelva la
siguiente situación:
a. cargue tres documentos de empleados (cada documento se representa solamente con
un nombre).
b. imprima el primer documento de la cola (solamente mostrar el nombre de este por pantalla).
c. cargue dos documentos del staff de TI.
d. cargue un documento del gerente.
e. imprima los dos primeros documentos de la cola.
f. cargue dos documentos de empleados y uno de gerente.
g. imprima todos los documentos de la cola de impresión.
17. Desarrollar un algoritmo que permita cargar procesos a la cola de ejecución de un procesador,
de los cuales se conoce id del proceso y tiempo de ejecución. Resuelva las siguientes situaciones:
a. simular la atención de los procesos de la cola transcurriendo su tiempo –utilizando la fun-
ción time.sleep (segundos) – hasta que se vacíe la cola.
b. considerar que el quantum de tiempo asignado por el procesador a cada proceso es como
máximo 4.5 segundos –si el proceso no terminó su ejecución deberá volver a la cola con el
tiempo restante para terminar su ejecución–.
c. cuando se realiza el cambio de proceso, porque finalizó su ejecución o porque se le agotó el
quantum de tiempo, se pueden ingresar nuevos procesos a la cola por el usuario.
d. no se aplican criterios de prioridad en los procesos.
18. Dada una cola con los códigos de turnos de atención (con el formato #@@@, donde # es una
letra de la A hasta la F y “@@@” son tres dígitos desde el 000 al 999), desarrollar un algoritmo
que resuelva las siguientes situaciones:
a. cargar 1000 turnos de manera aleatoria a la cola.
b. separar la cola con datos en dos colas, cola_1 con los turnos que empiezan con la letra A, C
y F, y la cola_2 con el resto de los turnos (B, D y E).
c. determinar cuál de las colas tiene mayor cantidad de turnos, y de esta cuál de las letras
tiene mayor cantidad.
d. mostrar los turnos de la cola con menor cantidad de elementos, cuyo número de turno sea
mayor que 506.

[98]
19. Modificar las funciones de arribo y atención del TDA cola para adaptarlo a una cola circular,
que no necesite la función mover al final; y desarrollar un función que permita realizar un ba-
rrido de dicha estructura respetando el principio de funcionamiento de la cola.
20. Desarrollar un algoritmo para el control de un puesto de peaje (que posee 3 cabinas de cobro),
que resuelva las siguientes actividades:
a. agregar 30 vehículos de manera aleatoria a las cabinas de cobro, los tipos de vehículos son
los siguientes:
I. automóviles (tarifa $47);
II. camionetas (tarifa $59);
III. camiones (tarifa $71);
IV. colectivos (tarifa $64).
b. realizar la atención de las cabinas, considerando las tarifas del punto anterior.
c. determinar qué cabina recaudó mayor cantidad de pesos ($).
d. determinar cuántos vehículos de cada tipo se atendieron en cada cola.
21. Desarrollar un algoritmo que permita administrar los despegues y aterrizajes de un aeropuer-
to que tiene una pista, contemplando las siguientes actividades:
a. de cada vuelo se conoce el nombre de la empresa, hora salida, hora llegada, aeropuerto de
origen, aeropuerto de destino y su tipo (pasajeros, negocios o carga).
b. utilizar una cola para administrar los despegues, se deben cargan ordenados por horario de
salida. Otra para los aterrizajes, se deben agregan a medida que arriban al aeropuerto.
c. en la pista solo puede haber un avión realizando una maniobra de aterrizaje o despegue.
d. se debe permitir agregar vuelos tanto de aterrizaje como de despegue en ambas colas des-
pués de realizar una atención.
e. se debe atender siempre que se pueda a los elementos de la cola de aterrizaje –dado que son
aviones que están sobrevolando en la zona de espera–, salvo que sea el horario de salida del
primer avión de la cola de despegue, en ese caso se deberá atender dicho despegue.

[99]
f. cada tipo de avión tiene su tiempo de uso de la pista para la maniobra de despegue y aterri-
zaje –adaptados a segundo para los fines prácticos del ejercicio–:
I. pasajeros (aterrizaje = 10 segundos, despegue = 5 segundos);
II. negocios (aterrizaje = 5 segundos, despegue = 3 segundos);
III. carga (aterrizaje = 12 segundos, despegue = 9 segundos).
g. se debe poder cancelar vuelos de despegue y poder reprogramar un vuelo para más tarde
cuando se lo atiende para despegar (en esta caso el horario de salida será mayor que el
último de la cola).
22. Se tienen una cola con personajes de Marvel Cinematic Universe (MCU), de los cuales se cono-
ce el nombre del personaje, el nombre del superhéroe y su género (Masculino M y Femenino
F) –por ejemplo {Tony Stark, Iron Man, M}, {Steve Rogers, Capitán América, M}, {Natasha Ro-
manoff, Black Widow, F}, etc., desarrollar un algoritmo que resuelva las siguientes actividades:
a. determinar el nombre del personaje de la superhéroe Capitana Marvel;
b. mostrar los nombre de los superhéroes femeninos;
c. mostrar los nombres de los personajes masculinos;
d. determinar el nombre del superhéroe del personaje Scott Lang;
e. mostrar todos datos de los superhéroes o personaje cuyos nombres comienzan
con la letra S;
f. determinar si el personaje Carol Danvers se encuentra en la cola e indicar su nombre
de superhéroes.

[101]
CAPÍTULO VIII
Como vagones de un tren
enlazamos elementos para
construir una lista enlazada
Cuando hablamos de estructuras lineales significa que sus elementos están en secuencia uno de-
trás de otro siguiendo un orden, las listas elanzadas son su principal referente. Estas presentan mu-
chas diferencias respecto de las estructuras anteriores: en primer lugar los eventos para insertar e
eliminar un elemento pueden hacerse en cualquier lugar de la lista –ya sea al principio, en el medio
o al final–. En segundo lugar, los elementos están ordenados por lo que el dato a almacenar influye
en el funcionamiento de la estructura, dado que a partir del mismo se determinará la posición en
la cual debe agregarse. La lista es una estructura clásica utilizada para la gestión de la información,
ya que los elementos ordenados por lo cual hacer una búsqueda o emitir un listado es algo sencillo.
Una lista es una colección lineal de elementos a los que podemos acceder de manera aleatorio, es
decir que podemos acceder a cualquier elemento de la lista. El acceso a la lista se realiza desde su
inicio, como se observa en la figura 1. Además existen distintos tipos de listas las cuales analizare-
mos a lo largo del capítulo.
Figura 1. Funcionamiento de una lista
Una diferencia muy importante de destacar respecto de las estructuras vistas anteriormente, es que
las listas pueden ser barridas de principio a fin realizando distintos tipos de actividades, como pue-
den ser mostrar su contenido, buscar un elemento, sumar su contenido, realizar una determinada
acción con su contenido, etcétera; siendo las primeras de estas la más comunes.
Existen numerosos ejemplos del uso de listas que podemos encontrar en la vida cotidiana: lista de
tareas a hacer, una receta, los alumnos de un curso, productos de un supermercado, padrón electo-
ral, etc. Nótese que en estos tres últimos casos es muy importante que el criterio de orden sea alfa-
béticamente mientras que en los primeros dos el criterio podría ser el orden de las tareas a realizar.

[102]
Si se ve desde un enfoque informático, las listas están presentes en un montón de aplicaciones: con-
tactos en un teléfono celular, archivos dentro de una carpeta, correos electrónicos en la bandeja de
entrada. En cualquiera de estos casos se puede variar el criterio de orden, ya sea por nombre, fecha
de edición, importancia, etcétera y además puede ser ascendente o descendente.
Por lo tanto se puede definir una lista basándose en su estructura y funcionamiento, como una
estructura lineal dinámica de datos que están ordenados –por algún criterio– en la cual podemos
realizar las actividades de inserción, eliminación y búsqueda. Estas actividades se deberán hacer por
un campo clave, las dos primeras (inserción y eliminación) pueden hacerse en cualquier posición
de la lista. En la inserción para determinar la posición donde se agregara el nuevo elemento para
que quede ordenado –por lo general en orden ascendente–, mientras que para la eliminación la
clave determinará el elemento a quitar –si la clave no se encuentra en la lista no se elimina ningún
elemento–. Esto último también marca una gran diferencia respecto de las estructuras vistas an-
teriormente, dado que a la hora de eliminar un elemento debemos indicarle cuál se quiere quitar.
A la hora de representar la lista nuevamente nos enfrentamos al dilema de optar por una imple-
mentación estática o dinámica: con la primera de estas opciones cada vez que insertamos o elimina-
mos un elemento debemos hacer un desplazamiento a la derecha y a la izquierda respectivamente,
por lo cual el orden de estas operaciones están en el orden de O(n2
). Mientras que con la segunda no
es necesario operaciones de desplazamiento ya que son variables enlazadas, esto implica que estas
actividades son del orden de O(n) así que en este aspecto la implementación dinámica es mucho
más rápida.
Por otra parte, realizar una búsqueda con una implementación estática es eficiente ya que podre-
mos acceder mediante índices y aplicar búsqueda binaria, lo cual no se puede aplicar con la im-
plementación dinámica, así que en este aspecto la implementación estática es más eficiente O(log
n) frente a O(n). Ya que, como la implementación estática nos limita respecto de la cantidad de
elementos, optaremos por hacerlo de manera dinámica.
Para poder comprender el funcionamiento básico de una lista
, comencemos por observar el fun-
cionamiento del tipo más básico, lista simplemente enlazada. Entonces pasemos ahora a definir el
TDA lista: compuesto básicamente de un elemento al que denominaremos inicio (también suele
llamarse cabecera), que es un puntero que se encarga de apuntar a un nodoLista, el primero de
la lista, compuesto este último de dos elementos información y siguiente –al igual que los TDA
anteriores–, y las operaciones que describen sus comportamientos. Además se puede agregar el
elemento tamaño para facilitar el cálculo de la cantidad de elementos en la lista y no tener la tarea
extra de contar los nodos:
1. insertar(lista, elemento). Agrega el elemento a la lista de manera que el mismo quede ordenado;
2. eliminar(lista, clave). Elimina y devuelve de la lista si encuentra un elemento que coincida con
la clave dada –el primero que encuentre–, si devuelve None significa que no se encontró la clave
en la lista, y por ende no se elimina ningún elemento;
3. lista_vacia(lista). Devuelve verdadero (true) si la lista no contiene elementos;

[103]
4. buscar(lista, clave). Devuelve un puntero que apunta al nodo que contiene un elemento que
coincida con la clave –el primero que encuentra–, si devuelve None significa que no se encontró
la clave en la lista;
5. tamaño(lista). Devuelve la cantidad de elementos en la lista;
6. barrido(lista). Realiza un recorrido de la lista mostrando la información de los elementos al-
macenado en la lista.
Es tiempo de pasar a la implementación del TDA lista simplemente enlazada, para esto primero
en la figura 2 se presenta la definición de la estructura. Nuevamente se utilizará una clase para
representar el TDA lista, la misma estará formada por dos atributos, uno llamado inicio que es un
puntero que apunta al nodo que está al principio de la lista –que inicialmente tendrá valor None–, y
el segundo denominado tamaño que representa la cantidad de elementos que contiene la lista que
comenzará con valor 0. Será necesario también definir la estructura del nodoLista como ya hicimos
previamente con los campos información y siguiente.
Figura 2. Definición de la estructura del TDA lista
Luego en las figuras 3,4 y 5 se presenta la definición de las funciones mencionadas anteriormente,
estas serán los eventos que se dispondrán para administrar el funcionamiento de la lista.

[104]
Figura 3. Interfaz o eventos del TDA lista parte 1

[105]
Cuando tenemos que agregar un nuevo elemento a la lista se crea un nodoLista, en el cual a su cam-
po información se le asigna el elemento ingresado como dato. Luego se procede a enlazar el nodo
a la estructura donde se presentan dos casos: si el elemento a agregar es el primero de la lista o es
menor que el primero de la lista se le debe asignar al campo siguiente del nodo creado la dirección
de inicio de la lista. Y al inicio de la lista se le asigna la dirección del nodo creado. En el caso contra-
rio –es decir cuando es un nodo intermedio o final– se utilizan dos punteros, que denominaremos
anterior y actual, para barrer la lista y determinar la posición donde debe ser enlazado. Una vez que
esté determinada la posición de inserción del nuevo nodo se procede a reconstruir el enlace de los
nodos, al campo siguiente del nodo se le asigna la dirección de actual y al campo siguiente de ante-
rior se le asigna la dirección del nodo creado. Por último independientemente del caso que ocurra
se incrementa el valor de tamaño.
En cambio, cuando se va a eliminar un elemento de la lista, si este es el primero de la misma, se saca
del nodo que está en el inicio la información y se almacena en una variable dato. Luego al inicio
se le asigna la dirección almacenada en el campo siguiente del puntero inicio –este es el caso más
simple–. En el caso de no ser el primero se recorre la lista en busca del elemento a eliminar –es decir
el que concuerde con la clave–, con dos punteros anterior y actual al igual que en la inserción. Si el
elemento que se desea quitar es encontrado –es decir si actual es distinto de None– se saca el valor
del campo información del nodo apuntado por actual y se almacena en una variable dato, luego
se le asigna al atributo siguiente del nodo apuntado por anterior la dirección del campo siguiente
del nodo apuntado por actual para poder reconstruir el enlace
. En ambos casos, si se encuentra un
elemento que coincida con la clave se decrementa el tamaño. Y por último se devuelve el valor de la
variable dato –por defecto si no se encuentra el valor de dato será None–.

[106]
Por su parte, para buscar un elemento en la lista se utiliza un puntero auxiliar al que se le asigna
la dirección del inicio de la lista, luego mientras el puntero auxiliar sea distinto de None y el campo
información de auxiliar sea distinto de clave que se está buscando, a auxiliar se le asigna la direc-
ción de campo siguiente del puntero auxiliar. Finalmente se devuelve el puntero auxiliar. Si este es
distinto de None, la clave fue encontrada y auxiliar tiene la dirección del nodo que la contiene, caso
contrario la clave no fue encontrada.
Continuando ahora en la figura 6 se observa un ejemplo del uso del TDA lista para resolver un proble-
ma. En esta ocasión se tiene una lista de palabras no repetidas y se pretende determinar si una palabra
dada está en dicha lista. De ser así habría que eliminarla y finalmente realizar un barrido de la lista:
Figura 6. Ejemplo de uso del TDA Lista
Siguiendo con el ejemplo, vamos a realizar una descripción detallada de las actividades llevadas
a cabo para la resolución del ejercicio anterior, para interpretar la dinámica del uso del TDA lista
usando los eventos definidos en la etapa de diseño.
Para comenzar importamos del TDA lista las funciones que necesitamos utilizar, después se crea
una variable de tipo lista que vamos a usar para proceder a la carga de datos. Luego ingresamos el
dato a buscar en la lista y se busca dicho valor, seguidamente se determina si el dato buscado está
en la lista. De ser así, se pasa a eliminarlo y mostrarlo, para finalmente realizar un barrido para
mostrar el contenido de la lista.
Ahora pensemos en lo siguiente ¿Qué pasa cuando el dominio del dato utilizado no es un dato simple? es
decir es un registro representado con una clase, al momento de realizar las operaciones de inser-
ción, eliminación y búsqueda deben hacerse por uno de estos campos, pero el criterio para cada

[107]
una de estas operaciones pueden ser distintos. Por ejemplo, si se tiene una lista de persona es pro-
bable que la inserción se haga por apellido para que queden ordenados alfabéticamente, mientras
que para la eliminación esto puede hacerse por el código de identificación no repetido –podría ser
número de pasaporte o DNI
–. Entonces, dichas funciones pueden ser redefinidas agregando un
parámetro que denominaremos “campo” y una función extra que se llamará criterio; esto permitirá
en función del parámetro ingresado como campo determinar por qué campo o criterio se realizarán
las actividades mencionadas –sin tener que modificar el código de dichas funciones cuando cambia
el tipo de dato–.
En este punto ustedes se preguntarán ¿Cómo se aplica entonces esta función criterio en una lista? ¿Qué
debemos cambiar en nuestro TDA para que funcione? En realidad la forma de aplicar esta función de
criterio es muy sencilla y solo deberemos hacer unos pequeños y sutiles cambios en las funciones
insertar, eliminar y buscar del TDA lista.
Por lo cual, continuando con el ejemplo anterior, cuando se cargan personas a la lista vamos a que-
dar ordenadas por apellido –este será nuestro criterio de inserción–.
Pero, ¿Qué pasa cuando vamos a eliminar una persona de la lista?, no se puede hacer por el mismo cam-
po que se cargó, ya que podríamos tener más de una persona con el mismo apellido y se eliminaría
la primera que encuentra. Entonces para eliminar a una persona de la lista se debería hacerlo por
el campo que identifica a cada persona unívocamente –es decir por el número de pasaporte o DNI–,
este será el criterio de eliminación.
¿Y cuándo tenemos que buscar una persona? En este caso cuando se realiza una búsqueda podría que-
rer hacerlo por cualquiera de los criterios antes mencionados. Además si el dominio del problema
cambia también cambian los criterios y esto implicaría que debería alterar todo el código del TDA
lista para cada problema a resolver. Pero tranquilo no es tan dramático como parece, se puede re-
solver de una manera sencilla.
Primero hay que ver en qué consiste la función criterio, esta se puede observar en la figura 7, que
recibirá dos parámetros dato y campo, y retornará el campo por el cual se debe realizar la compara-
ción en las funciones antes mencionadas.
Figura 7. Función Criterio

[108]
Desglosada analíticamente la figura 7, primero necesitaremos determinar si el tipo de dato ingresa-
do es un tipo de dato primitivo o una clase –utilizada como registro en este libro–. Una vez determi-
nado esto si el dato ingresado es una clase, se debe determinar si el campo ingresado es un atributo
de la misma –que indicaría el criterio con el cual se quiere realizar la comparación para los eventos
de la lista–. Para esto se obtienen los atributos de la clase con una propiedad llamada “__dict__”, que
devuelve un diccionario donde el nombre de los atributos son las claves, y los valores asociados a
dichas claves son los valores almacenados en la variable.
A partir de esto se debe determinar si el campo ingresado está en el diccionario, de ser así se devuel-
ve el valor del atributo ingresado como campo de criterio, en cualquiera de los casos contrarios. Es
decir, siempre que el campo ingresado no sea un atributo del dato o que el tipo de dato sea primi-
tivo, se devuelve el dato como entró a la función. De esta manera, se obtiene una función genérica
que puede recibir datos primitivos o clases y seguir funcionando sin problemas ni necesidad de
alterar el código cada vez que cambie el domino de tipo de dato.
Entonces, ¿Dónde se aplica la función criterio en el TDA lista? Como ya se mencionó previamente se
debe utilizar en los eventos insertar, eliminar, buscar y cualquier otra nueva actividad que lo re-
quiera. Cuando se realiza una comparación del campo información, en su lugar se debe llamar a la
función criterio pasándole como parámetros la variable información y el campo por el cual quere-
mos comparar –que por defecto puede tener valor None para que de esta manera sea un parámetro
opcional–. Esto es útil por ejemplo si es un dato primitivo, ya que ingresar el campo por el cual
compara sería innecesario.
En resumen las funciones quedan redefinidas dentro del TDA de la siguiente manera como se
muestra en la figura 8, 9 y 10.
Figura 8. Uso de la función criterio en el TDA lista parte 1

[109]
Ahora que ya conocemos los conceptos fundamentales de las listas y cómo funcionan, veamos otros
tipos, uno de ellos es lista doblemente enlazada, en la cual la lista tiene dos enlaces anterior y si-
guiente. Esto es muy útil para poder barrer fácilmente una lista de manera ascendente o descenden-
te, lo cual no es posible en el tipo de lista visto anteriormente. Además, como cada nodo tiene un
enlace al anterior y al siguiente es posible realizar las operaciones de inserción y eliminación utili-
zando un solo puntero, sin necesidad de recurrir a un puntero auxiliar como vimos anteriormente

–quedará a cargo del lector demostrarlo–; y por lo general también se agrega un atributo más en el
TDA lista llamado fin, que es un puntero para acceder de manera rápida al último elemento de la
lista. En otras palabras, para realizar operaciones con el campo anterior se usa el puntero final mien-
tras que para operar con el campo siguiente se utiliza el puntero fin, como se observa en la figura 11.

[110]
Figura 11. Esquema lista doblemente enlazada con puntero inicio y fin
Otro tipo es la lista circular. Es un caso particular de lista simplemente enlazada en la cual el atri-
buto siguiente del último nodo de la lista en lugar de tener valor None tiene asignada la dirección
del primer nodo de la lista, como se observa en la figura 12. Se debe tener en cuenta a la hora de
barrer la lista y determinar el fin de la misma, que el ultimo nodo de la lista no tendrá valor None en
su campo siguiente, sino que se debe preguntar si el valor siguiente del puntero auxiliar (utilizado
para barrer la lista) es igual que el del inicio. De ser así habrá terminado el barrido.
Figura 12. Esquema de lista circular
Por último tenemos el tipo lista de lista que utilizamos cuando tenemos un conjunto de elementos
como veníamos viendo anteriormente, pero además cada uno de estos elementos tiene un conjunto
de subelementos, es decir cada elemento de la lista tiene una lista. Por ejemplo suponga el siguiente
caso donde se tienen las estaciones meteorológicas de una empresa en distintos lugares del país
y cada una de esta registra los datos tiempo, incluso estas estaciones podrían registrar diferentes
cantidades de veces al día –o sea que cada sublista no necesariamente tiene la misma cantidad de
elementos que las otras–, como se puede observar en la figura 13.
Figura 13. Estructura lista de lista dinámica
Pero ¿Cómo se implementa el TDA lista de lista? En realidad lo único que debemos hacer es definir el
tipo de dato lista de lista –que será igual que la tipo de dato lista– y agregar un nuevo atributo que se
denomina sublista que será de tipo lista (simplemente enlazada). Entonces gracias a la flexibilidad

[111]
del lenguaje se seguirán utilizando todas las funciones del TDA lista simplemente enlazada, sola-
mente cambiaremos la lista que pasamos como parámetro a las funciones. En resumen podemos
pasar la lista principal –o sea del tipo de lista de lista siguiendo el ejemplo la lista de las estaciones
meteorológicas– o el de una de las sublistas de la lista principal –es decir la lista de los datos del
clima de una de las estaciones
–, como se ve en la figura 14.
Figura 14. Uso de eventos del TDA lista para la lista y sublista

[112]
A continuación se plantean una serie de problemas, que se deberán resolver utilizando los distintos
tipos de TDA lista.
1. Diseñar un algoritmo que permita contar la cantidad de nodos de una lista.
2. Diseñar un algoritmo que elimine todas las vocales que se encuentren en una lista de caracteres.
3. Dada una lista de números enteros, implementar un algoritmo para dividir dicha lista en dos,
una que contenga los números pares y otra para los números impares.
4. Implementar un algoritmo que inserte un nodo en la i-ésima posición de una lista.
5. Dada una lista de números enteros eliminar de estas los números primos.
6. Dada una lista de superhéroes de comics, de los cuales se conoce su nombre, año aparición,
casa de comic a la que pertenece (Marvel o DC) y biografía, implementar la funciones necesa-
rias para poder realizar las siguientes actividades:
a. eliminar el nodo que contiene la información de Linterna Verde;
b. mostrar el año de aparición de Wolverine;
c. cambiar la casa de Dr. Strange a Marvel;
d. mostrar el nombre de aquellos superhéroes que en su biografía menciona la palabra
“traje” o “armadura”;
e. mostrar el nombre y la casa de los superhéroes cuya fecha de aparición
sea anterior a 1963;
f. mostrar la casa a la que pertenece Capitana Marvel y Mujer Maravilla;
g. mostrar toda la información de Flash y Star-Lord;
h. listar los superhéroes que comienzan con la letra B, M y S;
i. determinar cuántos superhéroes hay de cada casa de comic.
7. Implementar los algoritmos necesarios para resolver las siguientes tareas:
a. concatenar dos listas, una atrás de la otra;
b. concatenar dos listas en una sola omitiendo los datos repetidos y manteniendo su orden;
c. contar cuántos elementos repetidos hay entre dos listas, es decir la intersección de ambas;

[113]
d. eliminar todos los nodos de una lista de a uno a la vez mostrando su contenido.
8. Utilizando una lista doblemente enlazada, cargar una palabra carácter a carácter, y determinar
si la misma es un palíndromo, sin utilizar ninguna estructura auxiliar.
9. Se tiene una lista de los alumnos de un curso, de los que se sabe nombre, apellido y legajo.
Por otro lado se tienen las notas de los diferentes parciales que rindió cada uno de ellos con
la siguiente información: materia que rindió, nota obtenida y fecha de parcial. Desarrollar un
algoritmo que permita realizar la siguientes actividades:
a. mostrar los alumnos ordenados alfabéticamente por apellido;
b. indicar los alumnos que no desaprobaron ningún parcial;
c. determinar los alumnos que tienen promedio mayor a 8,89;
d. mostrar toda la información de los alumnos cuyos apellidos comienzan con L;
e. mostrar el promedio de cada uno de los alumnos;
f. mostrar todos los alumnos que rindieron la cátedra “Algoritmos y estructuras de datos”;
g. indicar el porcentaje de parciales aprobados de un alumno indicado por el usuario;
h. indicar cuantos alumnos aprobaron y desaprobaron parciales de la cátedra “Base de datos”;
i. mostrar todos los alumnos que rindieron en el año 2020;
j. debe modificar el TDA para implementar lista de lista.
10. Se dispone de una lista de canciones de Spotify, de las cuales se sabe su nombre, banda o artis-
ta, duración y cantidad de reproducciones durante el último mes. Desarrollar un algoritmo que
permita realizar las siguientes actividades:
a. obtener la información de la canción más larga;
b. obtener el TOP 5, TOP 10 y TOP 40 de canciones más escuchadas;
c. obtener todas las canciones de la banda Arctic Monkeys;
d. mostrar los nombres de las bandas o artistas que solo son de una palabra.
11. Dada una lista que contiene información de los personajes de la saga de Star Wars con la si-
guiente información nombre, altura, edad, género, especie, planeta natal y episodios en los que
apareció, desarrollar los algoritmos que permitan realizar las siguientes actividades:
a. listar todos los personajes de género femenino;

[114]
b. listar todos los personajes de especie Droide que aparecieron en los primeros seis episo-
dios de la saga;
c. mostrar toda la información de Darth Vader y Han Solo;
d. listar los personajes que aparecen en el episodio VII y en los tres anteriores;
e. mostrar los personajes con edad mayor a 850 años y de ellos el mayor;
f. eliminar todos los personajes que solamente aparecieron en los episodios IV, V y VI;
g. listar los personajes de especie humana cuyo planeta de origen es Alderaan;
h. mostrar toda la información de los personajes cuya altura es menor a 70 centímetros;
i. determinar en qué episodios aparece Chewbacca y mostrar además toda su información.
12. Desarrollar un algoritmo que elimine el anteúltimo nodo de una lista independientemente de
la información del mismo, utilizando lista simplemente enlazada y después con lista doble-
mente enlazada.
13. Desarrollar un algoritmo que permita visualizar el contenido de una lista de manera ascenden-
te y descendente de sus elementos, debe modificar el TDA para implementar lista doblemen-
te enlazada.
14. Un grupo de amigos se reúnen a jugar un juego de dados, suponga que dichos jugadores están
cargados en una lista de acuerdo a un número asignado de manera aleatoria y su nombre. De-
sarrollar un algoritmo que contemple las siguientes condiciones:
a. simular la tirada de un dado –de seis lados D6– en cada turno del jugador;
b. el orden de turno de los jugadores es el mismo en el que están cargados en la lista;
c. después de que tira el último jugador de la lista debe seguir el primero;
d. el juego termina cuando uno de los jugadores saca un 5, en ese caso mostrar su nombre;
e. Debe modificar el TDA para implementar lista circular.
15. Se cuenta con una lista de entrenadores Pokémon. De cada uno de estos se conoce: nombre, can-
tidad de torneos ganados, cantidad de batallas perdidas y cantidad de batallas ganadas. Y ade-
más la lista de sus Pokémons, de los cuales se sabe: nombre, nivel, tipo y subtipo. Se pide resolver
las siguientes actividades utilizando lista de lista implementando las funciones necesarias:
a. obtener la cantidad de Pokémons de un determinado entrenador;
b. listar los entrenadores que hayan ganado más de tres torneos;

[115]
c. el Pokémon de mayor nivel del entrenador con mayor cantidad de torneos ganados;
d. mostrar todos los datos de un entrenador y sus Pokémos;
e. mostrar los entrenadores cuyo porcentaje de batallas ganados sea mayor al 79 %;
f. los entrenadores que tengan Pokémons de tipo fuego y planta o agua/volador
(tipo y subtipo);
g. el promedio de nivel de los Pokémons de un determinado entrenador;
h. determinar cuántos entrenadores tienen a un determinado Pokémon;
i. mostrar los entrenadores que tienen Pokémons repetidos;
j. determinar los entrenadores que tengan uno de los siguientes Pokémons: Tyrantrum, Te-
rrakion o Wingull;
k. determinar si un entrenador “X” tiene al Pokémon “Y”, tanto el nombre del entrenador
como del Pokémon deben ser ingresados; además si el entrenador tiene al Pokémon se
deberán mostrar los datos de ambos;
16. Se deben administrar las actividades de un proyecto de software, de estas se conoce su costo,
tiempo de ejecución, fecha de inicio, fecha de fin estimada, fecha de fin efectiva y persona a
cargo. Desarrollar un algoritmo que realice las siguientes actividades:
a. tiempo promedio de tareas;
b. costo total del proyecto;
c. actividades realizadas por una determinada persona;
d. mostrar la información de las tareas a realizar entre dos fechas dadas;
e. mostrar las tareas finalizadas en tiempo y las finalizadas fuera de tiempo;
f. indicar cuántas tareas le quedan pendientes a una determinada persona, indicada por
el usuario.
17. Se cuenta con los vuelos del aeropuerto de Heraklion en Creta, de estos se sabe la siguiente
información: empresa, número del vuelo, cantidad de asientos del avión, fecha de salida, des-
tino, kms del vuelo. Y además se conoce los datos de cantidades de asientos totales y ocupados
por clase (primera y turista). Implemente las funciones necesarias que permitan realizar las
siguiente actividades:
a. mostrar los vuelos con destino a Atenas, Miconos y Rodas;
b. mostrar los vuelos con asientos clase turista disponible;

[116]
c. mostrar el total recaudado por cada vuelo, considerando clase turista ($75 por kilómetro) y
primera clase ($203 por kilómetro);
d. mostrar los vuelos programados para una determinada fecha;
e. vender un asiento (o pasaje) para un determinado vuelo;
f. eliminar un vuelo. Tener en cuenta que si tiene pasajes vendidos, se debe indicar la canti-
dad de dinero a devovler;
g. mostrar las empresas y los kilómetros de vuelos con destino a Tailandia.
18. Se tienen los usuarios colaboradores de un repositorio de GitHub y de cada uno de estos se tie-
ne una lista de los commit realizados, de los cuales se cuenta con su timestamp (en formato fecha
y hora), mensaje de commit, nombre de archivo modificado, cantidad de líneas agregadas/elimi-
nadas (puede ser positivo o negativo) –suponga que solo puede modificar un archivo en cada
commit que se haga–. Desarrollar un algoritmo que permita realizar las siguientes actividades:
a. obtener el usuario con mayor cantidad de commits –podría llegar a ser más de uno–;
b. obtener el usuario que haya agregado en total mayor cantidad de líneas y el que haya eli-
minado menor cantidad de líneas;
c. mostrar los usuarios que realizaron cambios sobre el archivo test.py después de las 19:45 sin
importar la fecha;
d. indicar los usuarios que hayan realizado al menos un commit con cero líneas agregados
o eliminadas;
e. determinar el nombre del usuario que realizó el último commit sobre el archivo app.py in-
dicando toda la información de dicho commit;
f. deberá utilizar el TDA lista de lista.
19. Los astilleros de propulsores Kuat, son la mayor corporación de construcción de naves milita-
res que provee al imperio galáctico –dentro de sus productos más destacados están los cazas
TIE, destructores estelares, transporte acorazado todo terreno (AT-AT), transporte de explo-
ración todo terreno (AT-ST), ejecutor táctico todo terreno (AT-TE), entre otros
– y nos solicita
desarrollar las funciones necesarias para resolver las siguientes necesidades:
a. debe procesar los datos de las ventas de naves que están almacenados en un rudimenta-
rio archivo de texto, en el cual cada línea tiene los siguientes datos: código del astillero
que lo produjo, producto (los mencionados previamente), precio en créditos galácticos, si
fue construido con partes recicladas o no (booleano), quien realizo la compra (en algunos
casos se desconoce quién realizo la compra y este campo tiene valor desconocido), todos
estos datos están separados por “;” en cada línea del archivo;

[117]
b. cargar los datos procesados en el punto anterior en dos listas, en la primera las ventas de
las que se conocen el cliente y la segunda las que no;
c. el código del astillero son tres caracteres el primero en una letra mayúscula de la “A” hasta
la “K” seguido de dos dígitos;
d. obtener el total de ingresos de créditos galácticos y cuantas unidades se vendieron;
e. listar los nombres de todos los clientes, los repetidos deberán mostrarse una sola vez, pue-
de utilizar una estructura auxiliar para resolverlo;
f. realizar un informe de las compras realizadas por Darth Vader;
g. se le debe realizar un descuento del 15% a los clientes que compraron naves que fueron
fabricadas con partes recicladas, mostrar los clientes y los montos a devolver a cada uno;
h. determinar cuánto ingreso genero la producción de naves cuyos modelos contengan la
sigla “AT”.
20. Una empresa meteorológica necesita registrar los datos de sus distintas estaciones en las cua-
les recolecta la siguiente información proveniente de sus distintas estaciones de adquisición
de datos diariamente, implemente las funciones para satisfacer los siguientes requerimientos:
a. se deben poder cargar estaciones meteorológicas, de cada una de estas se sabe su país de
ubicación, coordenadas de latitud, longitud y altitud;
b. estas estaciones registran mediciones de temperatura, presión, humedad y estado del cli-
ma –como por ejemplo soleado, nublado, lloviendo, nevando, etcétera– en distintos lapsos
temporales, estos datos deberán guardarse en la lista junto con la fecha y la hora de la me-
dición;
c. mostrar el promedio de temperatura y humedad de todas las estaciones durante el mes
de mayo;
d. indicar la ubicación de las estaciones meteorológicas en las que en el día actual está llo-
viendo o nevando;
e. mostrar los datos de las estaciones meteorológicas que hayan registrado estado del clima
tormenta eléctrica o huracanes;
f. debe implementar el TDA lista de lista.
21. Se cuenta con una lista de películas de cada una de estas se dispone de los siguientes datos:
nombre, valoración del público –es un valor comprendido entre 0-10–, año de estreno y recau-
dación. Desarrolle los algoritmos necesarios para realizar las siguientes tareas:
a. permitir filtrar las películas por año –es decir mostrar todas las películas de un determina-
do año–;

[118]
b. mostrar los datos de la película que más recaudo;
c. indicar las películas con mayor valoración del público, puede ser más de una;
d. mostrar el contenido de la lista en los siguientes criterios de orden –solo podrá utilizar una
lista auxiliar–:
I. por nombre,
II. por recaudación,
III. por año de estreno,
IV. por valoración del público.
22. Se dispone de una lista de todos los Jedi, de cada uno de estos se conoce su nombre, maestros,
colores de sable de luz usados y especie. implementar las funciones necesarias para resolver las
actividades enumeradas a continuación:
a. listado ordenado por nombre y por especie;
b. mostrar toda la información de Ahsoka Tano y Kit Fisto;
c. mostrar todos los padawan de Yoda y Luke Skywalker, es decir sus aprendices;
d. mostrar los Jedi de especie humana y twi'lek;
e. listar todos los Jedi que comienzan con A;
f. mostrar los Jedi que usaron sable de luz de más de un color;
g. indicar los Jedi que utilizaron sable de luz amarillo o violeta;
h. indicar los nombre de los padawans de Qui-Gon Jin y Mace Windu, si los tuvieron.

[119]
CAPÍTULO IX
Utilizando mapas para acceder
rápidamente a los datos
con tablas hash
Hasta el momento las estrategias de búsqueda que se han visto consisten en recorrer las estructuras
comparando cada uno de sus elementos con lo que se está buscando –es decir se está haciendo una
búsqueda por fuerza bruta–, por lo que la eficiencia de esta operación es del orden de O(n). Ahora
imagine una estrategia de búsqueda o aproximación a la búsqueda totalmente diferente a las vistas
anteriormente, en la cual se puede evitar realizar estas sucesivas comparaciones, y que en su lugar
utilice una función de mapeo hash(k) que nos permita determinar la posición de un elemento k de
manera directa en nuestra estructura de datos. Es decir que las operaciones de acceso para agregar o
buscar elementos en la estructura son de tiempo constante del orden de O(1). Pero ¿Esto es demasiado
bueno para ser cierto, verdad? De hecho todo parece muy simple y en verdad es una estructura muy sen-
cilla de manejar, pero ya veremos más adelante que no todo es bueno y existen algunos factores que
nos complicarán un poco. Peero tranquilos, encontraremos las manera de sortear estas dificultades.
En resumen, una tabla hash, tabla asociativa o tabla de dispersión es una colección estática de n
elementos a loes que podemos acceder de manera directa utilizando una función denominada hash
que transforma una clave (dato o parte de él) en una posición, como podemos observar en la figura 1.
Figura 1. Esquema de una tabla hash
Como podemos apreciar en la figura anterior, la función hash no permite realizar el mapeo de un
elemento transformándolo en una posición de la tabla (representada con un vector), mediante esta
función podemos acceder de manera directa. Ahora observemos el ejemplo de la figura 2 en el cual

[120]
tenemos una tabla hash de nueve elementos: ¿Pero que hace exactamente la función hash para determi-
nar la posición de cada nombre? Seguramente ya lo deben haber deducido, nuestro algoritmo utiliza
el operador modulo (%) para obtener el resto de la división entera entre la cantidad de caracteres de
la palabra –sin contar espacios– y el tamaño de la tabla.
Figura 2. Funcionamiento de una tabla hash
Quizás el desafío más importante que enfrentaremos para utilizar esta estructura es poder encon-
trar esta función que transforme los datos en posiciones. Continuando con el ejemplo anterior,
suponga que ahora tenemos que agregar en la tabla a “Obi-Wan Kenobi”. Al aplicar la función hash
la posición obtenida será cuatro y esto no es bueno porque ya hay un valor en esa posición –les dije
que esto se complicaría un poco–, esto se conoce colisión y es muy normal que ocurra en una tabla
hash; pero no te desesperes ya veremos cómo solucionarlo.
Si bien no parece una estructura que estemos acostumbrado a ver, está presente en nuestra vida
cotidiana: por ejemplo, los diccionarios –con marcas de inicio de cada letra– que para buscar una
palabra accedemos rápidamente a la sección donde está la primera letra de la palabra que busca-
mos y nos facilita encontrarla, archiveros de fichas de personas donde se almacenan por rango de
letras, las guías de teléfonos donde accedemos inicialmente por localidad y luego accedemos por
la letra inicial de la persona. Si lo vemos desde un enfoque informático, los códigos de seguimiento
de envíos postales, los códigos de cifrado para el envío seguro de información, etcétera. Por su parte
los sistemas operativos y las bases de datos relacionales las utilizan para generar índices de acceso
a los archivos, por algoritmos de encriptación que generan sus códigos hash a partir de estas tablas.
También las bases de datos NoSQL de tipo clave-valor están basadas en el concepto de hash.
Así que podemos definir una tabla hash considerando su estructura y funcionamiento: es una es-
tructura lineal estática de datos –también llamadas de tipo diccionario– a la que accedemos direc-
tamente mediante una posición determinada por una función hash, la cual nos permite mapear los
datos en la tabla.
Analicemos en detalle las fortalezas y debilidades de las funciones hash, está se encargará de trans-
formar una clave –ya sea un número entero o una cadena de caracteres– en un entero (posición de
la tabla). Algunos factores importantes a tener en cuenta al momento de elegir –o desarrollar– la
función a utilizar: debe ser fácil de calcular –y no requerir gran cantidad de cómputo–, que distribu-
ya los valores uniformemente en la tabla, debe minimizar el número de colisiones –recordemos que

[121]
una colisión ocurre cuando dos valores distintos comparten la misma posición–y además obvia-
mente tiene que retornar siempre la misma posición ante un mismo elemento ingresado. Por lo ge-
neral, estas funciones suelen utilizar el operador módulo entre el valor obtenido por la función hash
y el tamaño de la tabla para garantizar que la posición obtenida no exceda el tamaño de dicha tabla.
Existen distintos tipos de funciones hash que detallaremos a continuación, comencemos con el hash
por división el cual consiste en tomar el resto de la división entre la clave y el número de elementos
de la tabla. Es recomendable que sea un número primo no cercano a potencias de 2 o de 10 para que
no dependa de los bits menos representativos de la clave. De esta manera la fórmula general de la
función hash de división queda determinada de la siguiente manera:
Donde % es el operador módulo que representa el resto de la división entera entre dos números y el
valor de k se puede obtener de distintas maneras: puede ser la cantidad de caracteres, o la suma de
sus caracteres en código ASCII, etcétera.
Por su parte el hash por multiplicación requiere algunas operaciones más para hacer el cálculo de
la posición, primero se debe multiplicar la clave por una constante A, que está en el rango de 0 A
1, para luego extraer la parte fraccionaria del resultado y seguido de esto es multiplicarlo por m que
representa un número significativo en función del número de elementos de la tabla –una buena
opción es 2n
, donde n es la cantidad de elementos de la tabla o bien 232
–,
finalmente del resultado
obtenido será un número mayor que el tamaño de la tabla por lo que tendremos que aplicar el ope-
rador modulo entre dicho valor y el tamaño de la tabla, dicho valor será la posición donde deberá
localizarse el elemento en la tabla. Por lo que la fórmula general de la función hash por multiplica-
ción queda de la siguiente manera:
Por lo que solo falta determinar el valor de A, para esto normalmente se utiliza la fórmula propuesta
por Donald Knuth1
(1973, p.516). En esta, el valor de A se obtiene de la siguiente manera:
Donde el valor de ⍺ proviene del siguiente cálculo:
Cuyo resultado aproximado es ⍺ ≃ 2 654 435 769,4972305, dependiendo de las especificaciones del
lenguaje en que se programe, y 𝜔 = 232
, cuyo resultado es 𝜔 = 4 294 967 296. De esta forma, finalmente
se obtiene que el valor sea aproximadamente A ≃ 0,6180339887498949. Se ha demostrado que el uso
de este valor reduce notablemente el número de colisiones de la función hash.
1 Knuth, D. E. (1973). The Art of Computer Programming. Volume III. Searching and Sorting. Addison-Wesley.

[122]
Finalmente, presentaremos la función de Bernstein, que se suele utilizar cuando se requiere que
para dos claves alfanuméricas similares la función hash obtenga posiciones alejadas entre sí. Para
lograr esto, Bernstein propone multiplicar el valor de h por 33 y luego sumarle el valor en código
ASCII del primer carácter guardando el nuevo resultado en h. Luego repite el mismo procedimien-
to para cada carácter de la cadena –la variable h representara el valor de la posición asociada a la
cadena–. El número utilizado por Bernstein para multiplicar (el 33), es conocido como el número
mágico, dado que se ha probado que da muy buenos resultados cuando se lo utiliza, pero aún no
se ha demostrado el porqué. Probablemente el valor de h obtenido por esta función sea mayor que
el tamaño de la tabla, por lo que se deberá obtener el resto de la división entera entre h y el tamaño
de la tabla como se mencionó antes. En la figura 3 se observa la implementación de dicha función:
Figura 3. Función hash de Bernstein para cadenas de texto
Ahora volvamos un poco para atrás para entender los tipos de tablas hash, para esto comencemos
con el caso más sencillo llamado tabla hash cerrada o de dirección directa, este se presentó previa-
mente en la figura 2. Se usa cuando el universo de claves es relativamente pequeño, de tal forma
que cada clave o elemento es almacenado en una posición de la tabla y cuando ocurren colisiones
–y sabemos que ocurrirán–, es necesario hacer un sondeo sobre la tabla para determinar la nueva
posición del elemento y desplazar, de este modo, dicho elemento a una posición libre de la tabla.
Una manera sencilla de manejar las colisiones es buscar otra posición libre utilizando una función
de sondeo que determinará la nueva ubicación del elemento. Veamos las funciones de sondeo más
utilizadas para la resolución de colisiones:
Sondeo lineal: en este caso se busca la siguiente posición contigua libre en la tabla, es el método
de mejor rendimiento de caché pero es el más propenso a generar aglomeramientos. El intervalo
entre cada intento es constante generalmente 1, pero es de esperar que el tiempo de acceso total
a la estructura esté en el orden de O(1/(1-⍺)) donde ⍺ representa el factor de carga de la tabla y se
obtiene con la siguiente fórmula ⍺ = m/n donde m es el número de claves ingresadas y n el tamaño
de la tabla.
Doble hash: cuando ocurre una colisión se ejecuta una segunda función de hash, para determinar
la nueva localización del elemento en la tabla. Al requerir realizar más cálculos el rendimiento es
menor, pero elimina el aglomeramiento.
Sondeo cuadrático: para este caso particular los índices se incrementan de manera cuadrática. En
cuanto a rendimiento este sondeo se ubica entre los dos mencionados previamente, y disminuyen
el aglomeramiento que se genera en el sondeo lineal.

[123]
Dejemos de lado las funciones de sondeo para poder entender ¿Qué es un aglomeramiento? El aglo-
meramiento es un problema grave para las tablas hash –les dije anteriormente que aparecerían
algunas complicaciones–, y ocurre cuando todos los datos están concentrados en una parte de la
tabla, en cambio si los datos están distribuidos por toda la tabla podemos decir que nuestros datos
están bien espaciados, estas dos situaciones se pueden ver en la figura 4. Si se produce un aglo-
meramiento en la tabla hash es un claro indicador de que nuestra función hash tiene un problema
–puede que la función utilizada no sea la indicada para el tipo de dato de los elementos–, por eso es
esencial para el funcionamiento de la estructura la función hash que desarrollemos.
Figura 4. Distribuciones de datos en una tabla hash
Además, este tipo de tabla tiene buen rendimiento cuando se encuentra por debajo del 75% de
su capacidad, dado que cuando supera dicho valor el número de saltos requeridos por la función
sondeo para determinar la nueva posición aumenta considerablemente y por ende su rendimiento
decae rápidamente.
Pero ¿Qué sucede cuando se excede el umbral de elementos de la tabla?, es decir se supera el 75% de su
capacidad y necesitamos seguir agregando elementos. En este caso, debemos hacer un rehashing
de ella para seguir manteniendo la eficiencia de acceso. Esto implica crear una nueva tabla de ma-
yor tamaño y volver a ingresar todos los elementos que estaban en la tabla anterior, dado que, al
cambiar el tamaño de la tabla, las posiciones determinadas por la función hash variarán y todos los
elementos deberán ser reubicados –obviamente esto es una operación costosa en cuanto al tiempo
de ejecución pero necesaria para mejorar la eficiencia de la tabla–.
Cuando quitamos un elemento se deben contemplar dos situaciones: la primera cuando se elimine
el elemento se debe corroborar con la función de sonde si existen otros elementos en la tabla que
coincida con la calve del eliminado –en este caso, se deben desplazar a la izquierda los elementos
que colisionaron en la posición del elemento eliminado y fueron reubicados–. La segunda ocurre
cuando en la posición determinada por la función hash no se encuentre el dato que se pretende eli-
minar, esto puede suceder si al momento de insertarlo ocurrió una colisión y fue necesario utilizar
una función de sondeo. Entonces, debemos realizar la misma acción para localizarlo en la tabla
para posteriormente quitarlo
–o en su defecto si no lo encontramos es porque no está–.
Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente tabla “tabla A”, en la cual hemos almacenado
las claves en la posición que nos determina una función hash, como puede observarse en la figura 5.
Nótese que las claves F, H y W comparten el mismo valor de la función hash (índice 4), y se realizó
un sondeo lineal para determinar las nuevas posiciones. Si eliminamos la clave H y simplemente
dejamos el espacio vacío “tabla B”, cuando busquemos W la función hash devolverá 4, pero ahí se
encuentra F. Entonces, buscará en la posición siguiente y encontrará vacío y determinara que no
se encuentra W, lo cual es un error. Como mencionamos previamente la solución a este problema
es que luego de eliminar H, se debe seguir recorriendo la tabla mientras la clave coincida con la

[124]
función hash y desplazar los elementos por la tabla para quitar los espacios vacíos “tabla C”; ahora,
si buscamos la clave W, la podremos encontrar.
Figura 5. Eliminar elemento en tabla hash cerrada
Otra alternativa para manejar las colisiones –y evitar el problema del aglomeramineto generado
por las funciones de sondeo–, sería almacenar varios elementos en una misma posición de la tabla
y esto lo lograremos encadenando elementos. Las tablas hash abiertas o encadenadas utilizan una
técnica de encadenamiento para solucionar las colisiones, es decir, se utiliza una estructura de da-
tos auxiliar para agrupar todos los elementos que colisionan en la misma posición de la tabla, como
se muestra en la figura 6. Por lo general, se utilizan listas enlazadas o árboles binarios de búsqueda
si el tiempo de acceso es crítico(estos últimos los veremos en el próximo capítulo).
Figura 6. Tabla hash abierta o encadenada
Para que estas tablas funcionen eficientemente depende exclusivamente de la función hash utiliza-
da. Esta debe distribuir los elementos de manera uniforme por la tabla, como mencionamos previa-
mente, para que cada lista enlazada mantenga un tamaño similar y el orden de acceso a cada una
de estas sea semejante. Por ejemplo si tenemos una tabla de m posiciones e insertamos n elementos,
el coste de acceso a cada posición debería estar en el orden de O(1 + ⍺) –si los elementos están dis-
tribuidos uniformemente–, donde ⍺ representan el factor de carga de los casilleros de la tabla y se
calcula ⍺ = n/m. En cambio, si los elementos quedaron concentrados en un par de casilleros de la

[125]
tabla el coste de acceso podría llegar a estar en el orden de O(n). Una gran ventaja que tiene este tipo
de tabla es que al momento de eliminar un elemento es mucho más simple dado que tanto las listas
enlazadas como los árboles tienen operaciones para quitar elementos sin necesidad de recurrir a
desplazamientos que afecten el rendimiento. Además el crecimiento de la tabla hash encadenada
puede ser pospuesto por mucho más tiempo dado que el degradamiento es lineal si se utilizan listas
enlazadas, o logarítmico si se utilizan árboles.
Analicemos el siguiente ejemplo: el DLE tiene 93 000 palabras, si utilizaremos una lista enlazada
para almacenar todas las palabras y luego si tenemos que buscar una palabra en dicha estructura el
costo es del orden de O(n), es decir 93 000, pero si en su lugar utilizamos una tabla hash encadenada
de 28 posiciones –una para cada letra del abecedario– y supongamos que la cantidad de palabras
que empieza con cada letra es aproximadamente similar –más allá que no lo sea– el costo de buscar
una palabra en este caso es del orden de O(1 + ⍺), esto es igual a (1 + 93 000/28) aproximadamente 3
322, lo cual implica una diferencia significativa respecto a la eficiencia de ambas estructuras.
Ahora que ya tenemos un panorama general respecto de las tablas hash es momento de adentrar-
nos en la implementación. El TDA tabla hash estará compuesto básicamente de un vector de n
elementos al que denominaremos “tabla”. Y además contará con un conjunto de funciones que
describen su comportamiento, las cuales se enumeran a continuación:
1. crear_tabla(tamaño). Crea y devuelve una tabla hash vacía con la cantidad de elementos, deter-
minado por el tamaño ingresado;
2. agregar(tabla, dato). Agrega el elemento a la tabla en la posición determinada por la función
hash, si se produce una colisión se deberá reubicar el elemento con una función de sondeo y si es
una tabla encadenada deberá utilizar una función extra para insertarla en la estructura auxiliar;
3. quitar(tabla, dato). Elimina y devuelve el elemento de la tabla en la posición indicada por la
función hash, puede requerir además aplicar la función utilizada en la inserción para resolver
colisiones para encontrar dicho elemento o una función extra si es una tabla encadenada. Si
devuelve None significa que no se encontró el dato en la tabla –y por ende no
se elimina nin-
gún elemento–;
4. buscar(tabla, dato). Devuelve la posición de la tabla en la que se encuentra el elemento busca-
do, puede requerir utilizar la función utilizada en la inserción para resolver las colisiones –si es
una tabla hash cerrada– o una función extra si es una tabla hash encadenada. Si devuelve None
significa que no se encontró la clave en la lista;
5. funcion_hash(dato, tamaño_tabla). Devuelve la posición que le corresponde al dato en el vec-
tor. Es probable que se disponga de más de una función hash dado que no se utilizará siempre
la misma y dependerá del dominio de los datos.
6. sondeo(posicion, tamaño_tabla). Devuelve la nueva posición que le corresponde al dato en la
tabla, para poder resolver las colisiones, o estructura auxiliar que permita resolver las colisio-
nes que ocurran.

[126]
7. cantidad_elementos(tabla). Devuelve la cantidad de elementos en la tabla, puede requerir uti-
lizar alguna función extra si es una tabla encadenada para contar los elementos de la estruc-
tura auxiliar.
A diferencia de los TDA anteriores no es necesario definir una estructura de datos –dado que solo
se utilizará un vector–, por lo que en las figuras 7, 8, 9 y 10 se puede observar la implementación de
las funciones mencionadas previamente, nótese que varias funciones están dos veces dado que se
presentan las alternativas para tabla hash cerrada y encadenada –incluso algunas están incomple-
tas–; además solo se presenta una función hash y quedará a cargo del lector desarrollar las otras
como también las funciones de sondeo para completar las que no están completas. Estos serán los
eventos con los que contaremos para trabajar con las tablas hash.
Figura 7. Interfaz o eventos del TDA tabla hash parte 1

[127]

[128]
En el momento que un nuevo elemento se va cargar a la tabla se utiliza la función hash para deter-
minar la posición donde debe ser agregado, luego se evalúa si dicha posición tiene valor None lo que
implica que no hay elemento y puede ser cargado; en el caso de que ya haya un elemento cargado
dependiendo del tipo de tabla, se debe realizar una de las siguientes actividades: si es una tabla
cerrada, se debe aplicar la función de sondeo correspondiente para determinar la nueva posición,
en algunos casos puede ser necesario repetir esta acción varias veces si ocurren muchas colisiones
en una misma posición. En cambio, si la tabla utilizada es encadenada, se debe utilizar una función
extra para insertar dicho elemento en la estructura auxiliar que se esté utilizando –ya sea insertar
en la lista enlazada o en un árbol binario de búsqueda–, por lo que no se requiere función extra
para resolver las colisiones.
En cambio, para quitar un elemento de la tabla, se calcula la posición de la tabla donde debería es-
tar con la función hash, si dicha posición es distinta de None significa que el elemento podría estar y
se pueden dar algunos de los siguientes casos dependiendo del tipo de tabla: si es una tabla cerrada,
se debe verificar si el elemento en la posición determinada por la función hash es el que se quiere
eliminar. En ese caso, se quita el elemento y se debe aplicar la función sondeo para determinar si
no hay más elementos con la misma clave y reubicarlos para evitar el problema mencionado ante-
riormente. En cambio, si en la posición no esté el elemento que se desea eliminar se debe aplicar la
función de sondeo para buscarlo en otra posición, por si ocurrieron colisiones, de igual manera que

[129]
para el otro caso. Mientras que, si es una tabla encadenada se debe utilizar una función extra para
eliminar el elemento de la estructura auxiliar, pero con este tipo de tabla no existe el problema de
tener que reubicar los elementos cuando han ocurrido colisiones. Cualquiera fuera el caso y tipo de
tabla puede ocurrir que al intentar eliminar un elemento no lo encontremos en la tabla por lo que
la función devolverá valor None.
Ahora, nos resta entender cómo utilizar el TDA tabla hash, para esto resolveremos un problema a
modo de ejemplo, el cual se presenta en la figura 11. En este caso particular, vamos a implementar
una tabla hash encadenada para almacenar nombres de personajes –el cual venimos trabajando
desde el principio del capítulo–, dicha tabla tendrá 9 posiciones. Sobre esta se requiere hacer una
búsqueda para determinar si un personaje está o no cargado. Para este caso, usaremos una tabla
encadenada, por lo que no importa si ocurren colisiones dado que los elementos se almacenan en
una estructura auxiliar. La función hash utilizada para este caso particular es la que hemos men-
cionado previamente, que suma los caracteres del nombre meno los espacios para luego aplicar un
hash por división.
Figura 11. Ejemplo de uso del TDA tabla hash
Ahora se desglosa analíticamente las actividades realizadas para la resolución del ejercicio anterior, y
entender la manera de usar el TDA tabla hash usando los eventos definidos en el bloque de interfaz.
Para arrancar, se importan del TDA tabla hash las funciones que vamos a utilizar para dar solución
al problema, después creamos una variable de tipo tabla hash de la dimensión indicada. Luego se
cargan personajes en la tabla, una vez finalizada la carga se ingresa el nombre del personaje a bus-
car y se realiza la búsqueda para determinar si el personaje buscado está cargado en la tabla o no.

[130]
A continuación se plantean una serie de problemas, se deberá utilizar las funciones definidas en el
TDA tabla hash para dar solución a estos.
1. Desarrollar un algoritmo que permita implementar una tabla hash para representar un diccio-
nario que permita resolver las siguientes actividades:
a. agregar una palabra y su significado al diccionario;
b. determinar si una palabra existe y mostrar su significado;
c. borrar una palabra del diccionario;
d. la tabla debe tener 28 posiciones y manejar las colisiones con lista enlazadas;
e. mejorar el rendimiento de la tabla utilizando árboles binarios de búsqueda.
2. Desarrollar un algoritmo que implemente una tabla hash para una guía de teléfono, los datos
que se conocen son número de teléfono, apellido, nombre y dirección de la persona. El campo
clave debe ser el número de teléfono.
3. Implementar un tabla hash cerrada para guardar las cátedras de una carrera universitaria de
acuerdo a su código, que permita resolver las siguientes actividades:
a. cargar cátedras de una carrera de las cuales se conoce nombre, modalidad (anual o cuatri-
mestral), cantidad de horas;
b. además se deben poder agregar los docentes vinculados con las cátedras;
c. debe ser una tabla cerrada;
d. debe poder solucionar las colisiones;
e. no podrán estar cargadas de manera correlativa de acuerdo a un número.
4. Desarrollar un algoritmo que implemente una tabla hash para cargar personajes de Star Wars
de los que solo se conoce su nombre, contemplando las siguientes actividades:
a. la tabla inicialmente será de 20 posiciones;
b. deberá permitir el manejo de colisiones;
c. cuando el factor de carga de la tabla exceda el 75%, se deberá incrementar el tamaño de la
tabla al doble y hacer un rehashing de las claves cargadas.

[131]
5. Desarrollar un algoritmo que implemente una tabla hash cerrada para administrar los contac-
tos de personas de las cuales se conoce nombre, apellido y correo electrónico, contemplando
las siguientes pautas:
a. El campo clave para generar las posiciones son el apellido y nombre.
b. Deberá contemplar una función de sondeo para resolver las colisiones.
6. Los Stormtrooper del imperio galáctico se identifican de la siguiente manera:
Darth Vader le encarga desarrollar los algoritmos para organizar los Stormtrooper cumpliendo
con las siguientes demandas:
a. Deberá generar 2000 Stormtrooper siguiendo el formato de la imagen anterior contemplan-
do las siguientes legiones FL, TF, TK, CT, FN, FO y los dígitos generados de manera alea-
toria;
b. deberá cargar los Stormtrooper generados en dos tablas hash encadenadas, en la primera se
deberá agrupar de acuerdo a los tres últimos dígitos del código y en la segunda a partir de
las iniciales de la legión;
c. determinar si el Stormtrooper FN-2187 está cargado para poder quitarlo porque es un trai-
dor desertor.
d. ahora obtenga todos los Stormtrooper terminados en 781 para asignarlos a una misión de
asalto y a los terminados en 537 para una misión de exploración;
e. ahora obtenga los Stormtrooper de la legión CT para que custodien a Darth Vader a una
misión de exploración al planeta Hoth y los de la legión TF para una misión de extermi-
nación a Endor.
7. Escribir un algoritmo que permita utilizar tres tablas hash para guardar los datos de Pokémons,
que contemple las siguientes actividades:
a. en la primera tabla hash la función hash debe ser sobre el tipo de Pokémon, en la segunda
tabla la función hash deberá utilizar el número del Pokémon como clave, mientras que en
la tercera el campo clave de la función hash será por el nombre del Pokémon.
b. el tamaño de la primera tabla debe ser lo suficientemente grande como para que pueda
almacenar todos los distintos tipos de Pokémon, debe manejar las colisiones con alguna
función de sondeo;

[132]
c. el tamaño de cada una de las segundas tablas debe ser 15;
d. el algoritmo debe permitir cargar tipos de Pokémon en la primera tabla y crear su respec-
tiva segunda tabla, –en el caso de que no exista–;
e. si el Pokémon es de más de un tipo deberá cargarlo en cada uno de las tabla que indiquen
estos tipos;
f. deberá permitir cargar Pokémons de los cuales se dispone de su número, nombre, tipo, nivel.
8. La alianza rebelde necesita comunicarse de manera segura pero el imperio galáctico interviene
todas la comunicaciones, por lo que la princesa Leia nos encarga el desarrollo de un algoritmo
de encriptación para las comunicaciones rebeldes, que contemple los siguientes requerimientos:
a. cada carácter deberá ser encriptado a ocho caracteres;
b. se deberá generar dos tablas hash para encriptar y desencriptar, para los caracteres desde
el “ ” hasta el “}” –es decir desde el 32 al 125 de la tabla ASCII.
9. Desarrollar un algoritmo que permita cifrar y descifrar un mensaje carácter a carácter, contem-
plando las siguientes pautas:
a. Se debe utilizar una tabla hash para guardar los valores de codificación y decodificación
respectivamente que se vayan utilizando.
b. Se deberá cifrar de la siguiente manera: primero, convertir al valor numérico correspondien-
te de la tabla ASCII cada carácter y luego, cada número de dicho valor se deberá rempla-
zar por su valor correspondiente según los siguientes valores: 1 – “abd”, 2 – “def”, 3 – “ghi”,
4 –“ jkl”, 5 –“mnñ”, 6 – “opq”, 7 – “rst”, 8 – “uvw”, 9 – “xyz”, 0 – “#?”, y se debe agregar al final
el carácter %. Por ejemplo D = 68 debería quedar de la siguiente manera “opquvw%”.
10. Implementar una tabla hash para almacenar la información de todos los Jedi, de los cuales se
conoce su nombre y quien fue su maestro –este último puede ser más de uno o desconocido–
contemplando las siguientes requerimientos:
a. la tabla debe ser de 15 posiciones;
b. debe poder manejar las colisiones que se produzcan dependiendo del tipo
de tabla utilizado;
c. cargar al menos 30 Jedi;
d. determinar si están cargados los Jedi: Yoda, Luke Skywalker y Ahsoka Tano.
Si no están, agregarlos;
e. crear una función que permita determinar el factor de carga de la tabla, dependiendo del
tipo utilizado;

[133]
f. mostrar toda la información de Ahsoka Tano, Obi-Wan Kenobi y Qui-Gon Jin;
g. mostrar los maestros y aprendices (padawan) de Yoda y Luke Skywalker; los aprendices no
son parte de la información, debe determinarlos a partir del campo maestro de cada Jedi.
11. Nick Fury director de la agencia S.H.I.E.L.D. intenta detener a la organización Hydra y a su
líder Red Skull, los agentes de la agencia pueden interceptar los mensajes de Hydra pero están
cifrados, por tanto no pueden hacer nada con estos; afortunadamente el Capitán América en
una misión encubierta logró determinar las pautas del método de codificación. Ahora Fury
nos solicita desarrollar el algoritmo que permita decodificar los mensajes, contemplando las
siguientes pautas:
a. Las codificación se realiza de la siguiente manera:
I. primero se convierte el carácter a su valor en la tabla ASCII y se lo multiplica por 37
para transformarlo en un número de cuatro dígitos;
II. segundo se calcula un complemento en base al valor del carácter:
III. luego a cada digito obtenido en el punto uno se lo eleva al cuadrado y se le suma
un complemento obtenido en el punto anterior y se transforma a carácter;
IV. por último se juntan los cuatros caracteres y se le agrega al final el carácter corres-
pondiente al complemento.
Por ejemplo el carácter R se codifica de la siguiente manera:
R = 82, 82 * 37 = 3034, complemento = 32 + 82 – 79 = 35 = “#”
32
+ 35 = 44 = “,”, 02
+ 35 = 35 = “#”, 32
+ 35 = 44 = “,”, 42
+ 35 = 51 = “3”
El resultado final son estos cinco caracteres “,#,3#”;
b. deberá utilizar una tabla hash cerrada para almacenar cada una de las cadenas de carac-
teres –de cinco caracteres– asociados a cada clave, una buena alternativa para la función
hash podría ser la función de Bernstein;
c. no se debe decodificar todas las cadenas de caracteres, esto debe hacerse a medida que se
necesitan y no están en la tabla;
d. ayuda al Capitán América descifrando los siguientes tres mensajes para poder conocer
cuáles serán los próximos movimientos de Hydra (los mensajes están almacenados en ar-
chivos de texto, que deberá leerlos previamente desde cada archivo, en el siguiente link:
https://github.com/belwalter/mensajes_codificados).

[135]
CAPÍTULO X
Desde la raíz hasta las hojas,
entendiendo los árboles desde
otro punto de vista
Ahora es el momento de comenzar a estudiar las estructuras ramificadas, cuya principal diferencia
con las lineales –donde cada elemento de la estructura tiene un anterior y un siguiente–, en las es-
tructuras ramificadas cada elemento puede relacionarse con muchos elementos. En este caso, nos
centraremos en la estructura de datos árbol y los distintos tipos que existen. Cuando el tamaño de
la entrada de nuestro problema es muy grande, y el tiempo de acceso lineal de orden O(n) que tiene
con el uso de listas enlazadas no es una opción viable, es necesario recurrir a estructuras arboleas
que nos otorgan en promedio un orden de O(log n). De estas, haremos énfasis al modelado de un
caso particular que nos garantice –en el peor caso– un orden de O(log n) para las operaciones de
inserción, eliminación y búsqueda. Esta estructura es el árbol binario de búsqueda balanceado.
Un árbol es una colección de datos jerárquica, en el que cada nodo tiene un padre a excepción del
nodo raíz, que representa la jerarquía máxima sobre el resto de los elementos. Los árboles son una
estructura de datos recursiva ya que está compuesta por árboles más pequeños llamados subárboles,
es decir los hijos de un nodo son la raíz de los subárboles de dicho nodo. Los hijos de un nodo están
conectados mediante una rama dirigida padre-hijo, es decir que desde los hijos no se puede acceder
al padre
. Los árboles en la vida real sin importar su tipo crecen a partir de sus raíces, en las estruc-
turas de datos árboles pasa lo mismo, siempre deben tener una raíz, de hecho un solo nodo es un
árbol. Los árboles se dibujan al revés con la raíz en la parte superior como se observa en la figura 1.
Figura 1. Estructura de un árbol

[136]
Tomando como ejemplo el árbol de la figura 1 detallaremos la terminología básica referida a árbo-
les para poder comprender los conceptos que se desarrollarán a lo largo del capítulo:
Raíz: es el nodo que se encuentra en la parte superior del árbol, mediante el cual se accede al
árbol. En este caso el nodo A.
Hijo: es un nodo que depende directamente de otro, es decir está conectado mediante una fle-
cha que llega. Todos, menos el nodo raíz.
Padre: es aquel nodo del que depende al menos un nodo hijo, es decir que los hijos son aquellos
nodos a los que apuntan las flechas que salen de este. En este caso A, B, C, G.
Hermanos: son el conjunto de nodos que tienen el mismo padre, para este caso se puede obser-
var los siguientes grupos de hermanos “B-C”, “D-E”, “F-G-H”.
Descendientes: los descendientes de un nodo son todos aquellos nodos que pertenecen a los
subárboles de los hijos de dicho nodo. Por ejemplo los descendientes de B son D y E, mientras
que los de C son F, G, H, I.
Ancestros: los ancestros de un nodo, son todos aquellos nodos en el camino desde la raíz a dicho
nodo. Para este caso por ejemplos los ancestros de E son A y B, mientras que los de I son A, C, G.
Hoja: son todos los nodos que no tienen hijos, se ubican en la parte superior del árbol, pero
pueden estar en distintos niveles, en nuestro ejemplo D, E, F, H, I.
Nodo interno: son todos aquellos nodos que tienen al menos un hijo, a excepción de la raíz, es
decir B, C, G.
Grado de un nodo: es el número de subárboles de dicho nodo, por ejemplo el grado de A es dos
y el de G es uno.
Rama: es la conexión entre dos nodos, también es llamado enlace.
Grado de un árbol: es el grado (o aridad) máximo de todos los nodos del árbol, es decir la can-
tidad máxima de hijos que tiene alguno de los nodos del árbol. En este caso, el grado del árbol
es tres.
Camino: es una secuencia de nodos desde un nodoj a un nodok –distintos entre sí– de modo
que exista una rama que conecte cada par de nodos –siempre en sentido descendente
–, su lon-
gitud es el número de ramas que contiene. Para este caso por ejemplo el camino de C hasta I es
“C-G-I” y su longitud es dos. Además cada nodo del árbol a excepción del nodo raíz puede ser
accedido desde este último mediante un camino único a través de una secuencia de ramas. Si
existe un camino entre un nodoj y un nodok, entonces nodoj es un ancestro de nodok y nodok
es un descendiente de nodoj.
Nivel de un nodo: se define por el número de ramas entre dicho nodo y la raíz más uno, es decir
para este caso el nivel de A es uno y el de F es tres.

[137]
Altura de un nodo: es el número de ramas del camino más largo entre ese nodo y una hoja, por
ejemplo la altura de C es dos y la de B es uno.
Altura de un árbol: es la altura de su nodo raíz, para este caso particular la altura del árbol
es tres.
Profundidad de un nodo: es el número de ramas desde la raíz del árbol hasta dicho nodo, por
ejemplo la profundidad de I es tres y la de B es uno.
Subárbol: es un subconjunto de nodos del árbol aunque un solo nodo es considerado un árbol
también. Por ejemplo el subárbol B está formado por su raíz B y sus dos hijos D y E, pero D tam-
bién es un subárbol compuesto solo por él mismo.
Bosque: es un conjunto de dos o más árboles –si solo se elimina el nodo raíz de un árbol se pue-
de generar un bosque formado por los subárboles de la raíz–, para este ejemplo al eliminar A se
puede generar el bosque formado por los árboles B y C.
Si bien los árboles a simple vista no parecen una estructura con la que estemos familiarizados
también está presente en nuestra vida cotidiana y podemos mencionar varios ejemplos: para re-
presentar el árbol genealógico de una familia, en los organigramas de una organización u empresa,
para representar el índice de un libro. Visto desde un enfoque informático, se usan para analizar
circuitos eléctricos, representar expresiones matemáticas, para analizar la estructura sintáctica del
código fuente de un algoritmo, por algoritmos de minería de datos, por las bases de datos para ma-
nejar los índices de acceso a la información y además por los sistemas operativos para manejar los
directorios de una computadora y rutas de accesos a archivos
–conocidos como paths
–.
Por lo cual podemos definir un árbol de esta forma considerando su estructura y mecánica de fun-
cionamiento: es una estructura ramificada dinámica de datos que están ordenados de manera ge-
neral o por nivel dependiendo del tipo.
Los árboles son muy eficientes para realizar operaciones de búsqueda aun cuando el volumen de
datos es muy grande por lo que suelen ser utilizados como índices para acceder a la información
que se almacena en el disco –memoria secundaria– por lo que normalmente no se almacena toda la
información en cada nodo del árbol sino que se almacena el campo clave –sobre el que se realizará
la búsqueda– y la posición donde se encuentra el resto de la información en el archivo, también
llamado número relativo de registro (nrr). Esto también reduce significativamente el tamaño de la
representación del árbol en memoria mejorando su rendimiento y permitiendo utilizar esos recur-
sos para construir más de un árbol con distintos índices de acceso a un mismo archivo.
Recién hemos comenzado a trabajar con estructuras ramificadas y seguro nos surge la pregunta:
¿cómo realizar un barrido en este tipo de estructura? Para el caso particular de árboles que es una es-
tructura jerárquica, existen tres maneras útiles de mostrar el contenido de un árbol, por preorden o
de orden previo, inorden o en orden y postorden o de orden posterior. Estos barridos son recursivos
y se definen de forma general de la siguiente manera: en el primero caso preorden en el cual pri-
mero se trata el nodo raíz y luego se llama recursivamente el barrido con sus nodos hijos, primero
el izquierdo y luego el derecho. El segundo es inorden para este primero se trata el hijo izquierdo
recursivamente, luego el nodo raíz y después el hijo derecho recursivamente. Y el último caso es
postorden en el que primero se trata el hijo derecho recursivamente, luego el nodo raíz y luego el hijo
izquierdo recursivamente.

[138]
Un árbol compuesto de dos árboles,
siempre pensando en binario
El árbol binario de búsqueda (abb) es un caso particular de árbol en el que cada nodo puede tener
como máximo dos hijos, los cuales se denominan hijo izquierdo e hijo derecho, por ende el grado
del árbol como máximo será dos. Estos están ordenados de manera general, es decir que todos los
nodos del subárbol izquierdo son menores que el padre y todos los del subárbol derecho mayores,
a partir de esto se puede establecer la siguiente regla: para cada nodo del árbol se establece que el
nodo izquierdo es menor y el nodo derecho es mayor, como se puede ver en la figura 2. Además
los árboles binarios son una estructura ramificada regular que puede ser representada utilizando
simplemente un vector, aunque en nuestro caso trabajaremos con la implementación dinámica.
Figura 2. Árbol binario de búsqueda
Además estos árboles se utilizan para representar expresiones matemáticas que pueden ser des-
compuestas en base dos, también se los utiliza para construir árboles de decisión, que nos permite
representar la estructura de razonamiento de un sistema experto a partir de reglas simples y tam-
bién en el área de minería de datos. Estos casos particulares de árboles binarios no están ordenados
de manera general, sino que son construidos de una manera específica, determinada por las reglas
necesarias para resolver el problema sobre el que se trabaja, a continuación en la figura 3 se observa
un ejemplo de ambos casos de izquierda a derecha respectivamente.
Figura 3. Árbol binario de expresión y de decisión

[139]
A partir de las reglas definidas previamente se pueden observar las siguientes propiedades: el nú-
mero máximo de nodos en el nivel i de un árbol binario es 2i-1
, y el número máximo de nodos en un
árbol binario de altura k es 2k
-1. Se dice que un árbol binario de altura k está lleno si tiene 2k
-1 nodos,
se dice que un árbol binario de altura k está completo si está lleno hasta la altura k-1 y su último
nivel está ocupado de izquierda a derecha. Además debemos tener en cuenta el desequilibrio pro-
ducido durante la carga de un árbol, para que este no pierda su eficiencia de búsqueda y acceso en
todos los subárboles. Por ejemplo, en la figura 4 a la izquierda se puede observar un árbol desequi-
librado dado que en el subárbol izquierdo en el peor solo se hará una comparación O(1), mientras
que en el subárbol derecho se harán cuatro comparaciones O(4) –es decir que la eficiencia en los
subárboles no es la misma–. Por su parte a la derecha de la figura podemos ver el peor caso de un
árbol –en el cual los elementos han sido cargados en orden– esto se lo conoce como árbol degene-
rado y el orden de acceso es de O(n) como si fuera una lista. Esta situación representa un problema
crítico que debemos solucionar para que los árboles realmente puedan ser eficientes, más adelante
veremos cómo podemos lograr equilibrar los árboles.
Figura 4. Árbol desequilibrado (a la izquierda) y degenerado (a la derecha)
Ya conocemos las bases fundamentales de árboles para pasar al diseño del TDA árbol binario de
búsqueda, a diferencia de los anteriores solo necesitaremos una variable puntero –que será la raíz
del árbol– que apuntará a un nodoArbol. Este último está compuesto de tres elementos, informa-
ción, hijo izquierdo e hijo derecho, además de las funciones que detallan su manera de operar, las
cuales se enumeran a continuación:
1. insertar_nodo(raíz, elemento). Agrega el elemento al árbol;
2. eliminar_nodo(raíz, clave). Elimina y devuelve del árbol si encuentra un elemento que coincida
con la clave dada –el primero que encuentre–, si devuelve None significa que no se encontró la
clave en el árbol, y por ende no se elimina ningún elemento;
3. reemplazar(raíz). Determina el nodo que reemplazará al que se va a eliminar, esta es una fun-
ción interna que solo es utilizada por la función eliminar;

[140]
4. arbol_vacio(raíz). Devuelve verdadero (true) si el árbol no contiene elementos;
5. buscar(raíz, clave). Devuelve un puntero que apunta al nodo que contiene un elemento que
coincida con la clave –el primero que encuentra–, si devuelve None significa que no se encontró
la clave en el árbol;
6. preorden(raíz). Realiza un recorrido de orden previo del árbol mostrando la información de los
elementos almacenados en el árbol;
7. inorden(raíz). Realiza un recorrido en orden del árbol mostrando la información de los ele-
mentos almacenados en el árbol;
8. postorden(raíz). Realiza un recorrido de orden posterior del árbol mostrando la información
de los elementos almacenados en el árbol.
9. por_nivel(raíz). Realiza un recorrido del árbol por nivel mostrando la información de los ele-
mentos almacenados.
Es momento de comenzar con la implementación del TDA abb, para lo cual definiremos primero la
estructura del nodoArbol que se presenta en la figura 5. El cual tiene tres campos –como ya mencio-
namos– información, izquierdo y derecho, el primero tendrá el valor de dato a cargar en el nodo y
los dos últimos None. Dado que solo necesitamos un puntero que apunte al nodo raíz no será nece-
sario definir una clase árbol como lo hicimos en los TDA de las estructuras anteriores. Luego en las
figuras 6, 7, 8, 9 y 10 se pueden encontrar la definición de las funciones mencionadas anteriormente,
estos serán los eventos que nos permitirán administrar el funcionamiento del árbol.
Figura 5. Definición de la estructura del nodoArbol

[141]
Figura 6. Interfaz o eventos del TDA árbol parte 1

[142]

[143]
Para entender cómo se realizan las actividades de insertar, eliminar y buscar elementos, desglose-
mos analíticamente las acciones realizadas por dichas funciones, denotando lo siguiente: cuando
se inserta un elemento, primero verifica si la raíz del árbol es None, de ser así crea un nodoArbol al
cual se le carga el campo información con el dato ingresado; caso contrario se chequea si el dato es
menor que el almacenado en el nodo raíz, si es menor llamamos recursivamente a la función con
el subárbol izquierdo y sino con el subárbol derecho, hasta encontrar el lugar donde se insertará el
nuevo nodo (tenga en cuenta que siempre que se agrega un nodo a un árbol, este se agrega como
una hoja del mismo, nunca como nodo intermedio). Por su parte, para eliminar un nodo del árbol
primero se debe buscar el nodo que se desea quitar. Para hacer, esto evaluamos si el elemento a eli-
minar es menor o mayor que el que está en el nodo raíz y se llama recursivamente a la función con
el subárbol izquierdo o derecha respectivamente hasta encontrar el elemento o llegar a una hoja del
árbol. Si el elemento fue encontrado en el árbol, entonces ocurrirá uno de los siguientes tres casos:
El primer caso es que el nodo a eliminar no tenga hijo derecho, en este caso al nodo a eliminar se
le asigna el hijo izquierdo de dicho nodo. El segundo caso ocurre cuando no tiene hijo izquierdo, al
igual que el anterior al nodo a eliminar se le asigna el hijo derecho. El último caso es que presen-
te ambos hijos, este es un poco más complicado que los anteriores, para resolverlo requeriremos
realizar algunas operaciones –dado que hay que enlazar los dos subárboles del nodo que se quita
manteniendo el orden de los mismos–. Entonces, tenemos que buscar un nodo hoja cuyo valor
reemplace al del nodo que se quiere eliminar para luego quitar dicha hoja. Para lo cual hay dos

[144]
alternativas, buscar la hoja mayor del subárbol izquierdo o la menor del subárbol derecho, esto lo
resolveremos con una función auxiliar denominada “reemplazar” cuya tarea es encontrar la hoja
con la cual se intercambiará la información. En el ejemplo de la figura 11 se quiere eliminar el nodo
con valor K, y se opta por buscar la hoja mayor del subárbol izquierdo para este caso particular es el
nodo con valor J, después se copia la información y se procede a eliminar dicha hoja. Sin importar
cuál de estos casos ocurra se puede quitar previamente la información de nodo a eliminar antes
de remplazarlo.
Figura 11. Eliminación de nodo con ambos hijos
Nos resta las búsquedas. Para esto mientras la raíz sea distinto de None, comparamos si el valor al-
macenado en la raíz es igual al buscado, en dicho caso se guarda la dirección del nodo en la variable
auxiliar posición –es decir hemos encontrado el elemento buscado– caso contrario al igual que en
la inserción determinamos si el valor buscado es menor o mayor que el del nodo raíz, para llamar
recursivamente a la función con el subárbol izquierdo o derecho respectivamente. Finalmente, se
devuelve el puntero auxiliar posición. Si este es distinto de None, el dato fue encontrado y la varia-
ble posición tiene la dirección del nodo que la contiene, sino no fue encontrada. Los árboles bina-
rios nos permiten realizar una búsqueda binaria incluso en la implementación dinámica, algo que
no podíamos hacer en las estructuras lineales.
Finalmente nos queda examinar las funciones para recorrer un árbol inorden, preorden y postor-
den, las que solamente cambian el orden en que se trata el nodo y hacen las llamadas recursivas.
Siguiendo con el ejemplo del primer árbol a la izquierda en la figura 11 al ejecutar los distintos re-
corridos obtendremos las siguientes salidas: con el recorrido inorden la salida es B, E, F, H, J, K, R,
si lo hacemos con preorden obtendremos F, B, E, K, H, J, R y finalmente con postorden el resultado
es R, K, J, H, F, E, B. Mientras que el barrido “por nivel” utiliza internamente una cola, primero trata
el nodo y luego hace un arribo de los hijos de dichos nodos que quedaran pendientes de ser trata-
dos y pasa al siguiente nodo de la cola, cuando la cola está vacía termina el barrido la salida que se
obtiene es F, B, K, E, H, R, J.

[145]
Comprimiendo información con árboles binarios
gracias a los códigos de Huffman
Los códigos Huffman se utilizan para compresión de datos, para esto se crea una tabla de códigos de
longitud variable para codificar un determinado símbolo –como un carácter en un archivo o trama a
transmitir–, dicha tabla se genera de una manera específica basada en la frecuencia y aparición de di-
cho símbolo, también llamada peso. Este algoritmo de compresión fue desarrollado por David A. Hu-
ffman1
en 1952, como trabajo final de la asignatura Teoría de la Información del profesor Robert Fano,
quien trabajaba con Claude Shannon, el fundador del campo de la Teoría de la Información2
en 1948.
Esta codificación se genera a partir de un método específico para determinar la representación de
cada símbolo, generando un código prefijo, es decir, que el código que representa a un símbolo en
particular nunca es el prefijo de otro código de un símbolo distinto. Dicho código representa los
caracteres que aparecen más frecuentemente usando cadenas de bits cortas, los menos frecuentes
con cadenas más largas.
Otra característica muy útil de los códigos de Huffman es que son de decodificación inmediata, esto
quiere decir, que no es necesario utilizar algún carácter especial para separar o delimitar las distin-
tas partes de la cadena codificada, gracias a la propiedad de los códigos de ser prefijos. Entonces,
cuando decodificamos una cadena seguimos su recorrido desde la raíz del árbol hasta llegar una
hoja lo que implica que se ha decodificado una parte de la cadena y luego comienza la otra. Además
se puede garantizar que ante un número C de caracteres de entradas, el árbol tendrá como máximo
(2*C) -1 nodos.
¿Pero cómo se generan los códigos? ¿Cómo construimos el árbol binario?
Bueno vamos a contestar esto a través de un ejemplo del proceso de generación de códigos de Hu-
ffman y de cómo construir el árbol necesario para esto. Primero partiremos de un bosque de nodos
raíces en el cual cada nodo contará con el peso que se observa en la siguiente tabla de frecuencias:
Carácter Frecuencia
I 0.28
N 0.16
T 0.08
E 0.16
L 0.08
G 0.08
C 0.08
A 0.08
1 David A. Huffman: A method for the construction of minimum-redundancy codes, Proceedings of the
I.R.E., sept 1952, pp 1098-1102.
2 Claude E. Shannon: A Mathematical Theory of Communication, Bell System Technical Journal, Vol. 27,
pp. 379–423, 623–656, 1948.

[146]
Los nodos del bosque estarán ordenados de menor a mayor, primero por peso y luego por orden
alfabético del campo información, entonces nuestro bosque quedará de la siguiente manera:
Figura 12. Bosque inicial de nodos
Luego se eligen los dos primeros nodos del bosque A y C en este caso y se genera un nuevo nodo
cuyo peso es la suma de ambos, en el cual el hijo izquierdo de este nuevo nodo será el primero de los
dos elegidos y el derecho el segundo. Después se inserta el nuevo nodo por el final del bosque y se
adelanta mientras su peso sea menor que el del nodo anterior, por lo cual nuestro bosque quedará
de la siguiente manera –nótese que los nuevos nodos que solo tienen peso son insertados al bosque
como una cola de prioridad ordenados por el dicho campo–:
Figura 13. Árbol Huffman paso 1
Nuevamente se vuelve a repetir el mismo proceso con los siguientes nodos de menor peso, en este
caso G y L obtendremos el siguiente bosque:

[147]
Seguimos repitiendo este procedimiento hasta que el bosque se transforme en un árbol como se ve
a continuación:

[148]
Finalmente, obtendremos el árbol que se observa a en la figura 19, en el cual las ramas que apuntan
a la izquierda son ceros y las que apuntan a la derecha unos, mediante el cual podremos generar la
tabla de código –que se observa después del árbol–, además también utilizaremos dicho árbol para
decodificar o descomprimir la cadena codificada, nótese que el nodo raíz debería tener valor uno o
aproximado a este dependiendo de los decimales tomados en el cálculo de las frecuencias:
Figura 19. Árbol Huffman final

[149]
Carácter Código
I 10
N 110
T 010
E 011
L 001
G 000
C 1111
A 1110
Para finalizar con el ejemplo, veamos cómo se decodifica una cadena. Supongamos que dispone
de la siguiente cadena comprimida “10110010011001100000111101111101110”, como se puede aplicar
descodificación instantánea –por lo que no hay caracteres delimitadores de las partes de la cade-
na– se toma el primer carácter y partiendo de la raíz del árbol, si es un cero, pasamos al subárbol
izquierdo y, si es un uno, al subárbol derecho. Luego se toma el siguiente carácter de la cadena y se
vuelve a hacer lo mismo, hasta que el nodo accedido sea una hoja del árbol. Cuando llegamos a una
hoja hemos decodificado un carácter y se vuelve a iniciar desde la raíz con el resto de la cadena. Si-
guiendo con el ejemplo, tomamos el primer carácter que es un uno, entonces se accede al subárbol
derecho luego sigue un cero por lo que se accede al derecho, y en este caso ya es una hoja por lo que
el primer carácter de la cadena decodificada es una I, luego siguen dos uno y un cero, el carácter es
una N. Obsérvese que como los códigos son prefijos solo hay una combinación posible a cada hoja.
Ahora queda a cargo del lector terminar de decodificar la cadena para descubrir cuál es el mensaje
y, luego, diseñar un algoritmo que permita realizar la decodificación de manera automática gene-
rando el árbol binario obtenido previamente.
Árboles que pueden equilibrarse
un poco de ayuda de AVL
Este tipo de árbol binario fue desarrollado por los matemáticos rusos Adelson-Velskii y Landis en
19623
(de ahí proviene su nombre). Fue el primer árbol de búsqueda binario auto balanceado. Un ár-
bol AVL está siempre equilibrado, de tal modo que para todos los nodos la diferencia de altura entre
la rama izquierda y la altura de la rama derecha no difiere en más de una unidad. Gracias a esta
propiedad de mantener su equilibrio, la complejidad de realizar búsqueda en uno de estos árboles
esta siempre en orden de O(log n). El factor de equilibrio, es decir la altura de cada nodo, se puede
almacenar directamente en cada nodo o ser calculado a partir de las alturas de los subárboles. Para
poder realizar el cálculo del factor de equilibrio es necesario conocer la altura de cada nodo, por
lo que debemos redefinir el nodoArbol agregándole el campo altura, como se observa en la figura
20. Dicho campo se actualiza en cada operación de inserción, eliminación o rotación simple que se
3 Adelson-Velsky, Georgy; Landis, Evgenii (1962). An algorithm for the organization of information. Proce-
edings of the USSR Academy of Sciences (in Russian). 146: 263–266. English translation by Myron J. Ricci
in Soviet Mathematics - Doklady, 3:1259–1263, 1962.

[150]
realiza en el árbol, como dichas operación son recursivas se actualizara la altura de todos los nodos
que forman parte del camino desde el nodo donde se realizo dicha operación hasta la raíz, para
garantizar que todo el árbol quede balaceado.
Figura 20. Nodo árbol AVL
Primero necesitaremos determinar la altura de cada nodo para lo cual utilizaremos dos funciones
una que se encargue calcular la altura y la otra de actualizarla cuando el nodo tiene hijos –como
mencionamos anteriormente la altura de un nodo es la longitud del camino más largo desde dicho
nodo a una hoja–, podemos ver ambas funciones en la figura 21.
Figura 21. Cálculo de altura de un nodo
Veamos ahora cómo hacer para que los árboles se auto balanceen, para conseguir esto luego de las
operaciones de inserción y eliminación de los nodos debemos revisar si el árbol rompió su condi-
ción de equilibro, es decir si la altura de sus subárboles izquierdo y derecho difieren en más de una
unidad, en dicho caso hay que realizar una serie de acciones entre nos los nodos llamadas rotacio-
nes para volver a balancear el árbol. Existen dos tipos de rotaciónes “rotación simple” y “rotación
doble”, ambas pueden hacerce haciaa la izquierda como a la derecha, por lo cual tendremos cuatro
casos posibles para recuperar el equilibro del árbol y los detallaremos a continuación: comencemos

[151]
con el primer caso es rotación simple a la derecha, como se nota en la figura 22 se rompe el factor
de equilibro –el subárbol izquierdo tiene altura 2 y el derecho 0–, por lo cual se debe rotar el hijo
izquierdo de la raíz de árbol a la derecha. El hijo izquierdo se transforma en la raíz y la raíz pasa a
ser el hijo derecho, finalmente se actualizan las alturas de los nodos involucrados y de esta manera
ambos subárboles quedan con altura 1.
Figura 22. Rotación simple a la derecha
El segundo caso es el simétrico opuesto al anterior –rotación simple a la izquierda–, es decir rota-
mos el hijo derecho de la raíz del árbol a la izquierda como podemos apreciar en la figura 23, enton-
ces el hijo derecho se transforma en la raíz del árbol para equilibrar la altura de los dos subárboles.
Figura 23. Rotación simple a la izquierda
Seguimos con el tercer caso es rotación doble a la derecha, lo cual implica hacer dos rotaciones sim-
ples para poder recuperar el equilibrio del árbol primero se rota el hijo derecho del hijo izquierdo
de la raíz a la izquierda y luego se rota el hijo izquierdo de la raíz a la derecha como se muestra en
la figura 24 para restablecer finalmente el factor de equilibrio.

[152]
Figura 24. Rotación doble a la derecha
Por último, el cuarto caso es el opuesto simétrico al anterior –rotación doble a la izquierda–. En
esta ocasión, primero rotamos el hijo izquierdo del hijo derecho de la raíz hacia la derecha y luego,
rotamos el hijo derecho de la raíz hacia la izquierda logrando balancear el árbol, como se puede
apreciar en la figura 25.
Figura 25. Rotación doble a la izquierda
Nos resta ver de qué manera implementamos estas funciones para lograr que el árbol pueda auto
balancearse cuando el mismo crece o decrece en cantidad de elementos, en las figuras 26 y 27 se pre-
sentan las funciones de rotación simple y rotación doble respectivamente, las cuales reciben como
parámetros de entrada la raíz del subárbol desequilibrado y una variable de control booleana que
indica si la rotación debe hacerse a la derecha (True) o a la izquierda (False).

[153]
Figura 26. Funciones rotación simple
Figura 27. Funciones rotación doble
En este momento ustedes se preguntarán ¿De qué manera determina el árbol qué tipo de rotación debe
hacer? Para esto desarrollaremos una función que se denominará “balancear” que se encargará de
verificar si se rompió el factor de equilibro. Si así lo fuera, será necesario determinar qué caso de
rotación debe aplicar para restaurar el equilibrio. Dicha función se presenta en la figura 28, nótese
que las acciones de rotación se ejecutan cuando el factor de equilibrio es igual a dos.
Figura 28. Función balancear

[154]
Finalmente para poder aplicar el proceso de balanceo de árboles en las figuras 29 y 30 podemos
observar cómo se aplica la función para balancear el árbol en las operaciones de inserción y elimi-
nación respectivamente.
Figura 29. Llamadas a la función balancear al insertar
Figura 30. Llamadas a la función balancear al eliminar
Ahora dejemos un momento de lado los árboles binarios y centrémonos en los árboles n-arios
también llamados de multicamino, en los que cada nodo del árbol puede tener n hijos, por lo que la
representación y recorrido de los mismos no es tan sencilla como en los árboles binarios que hemos
visto hasta acá. Como cada nodo puede tener n hijos, para poder representar esto cada nodo deberá

[155]
tener un vector o una lista de hijos ordenados de izquierda a derecha. Respecto del tratamiento, es
un poco más complejo que en los árboles binarios, por lo que vamos a necesitar de otras funcio-
nes como hijo_mas_izquierda(raíz) y hermano_derecho(raíz), las cuales veremos cómo funcionan a
continuación y quedarán a cargo del lector desarrollarlas.
Entonces ¿Qué debemos modificar en nuestro TDA para trabajar con estos árboles? Por suerte existe una
técnica que permite generar un árbol binario a partir de un árbol multicamino –un árbol binario
no balanceado dado que si no se perdería la relación padre-hijos del árbol n-ario–. Esta técnica se
denomina “transformada de Knuth”4
o árbol binario hijo- izquierdo hermano-derecho5
. Esta téc-
nica nos permitirá transformar un árbol n-ario a binario y utilizar el TDA abb para operar sobre el
mismo, teniendo algunas consideraciones particulares al momento de insertar y eliminar.
Los pasos que se deben seguir son los siguientes: primero se debe enlazar en forma vertical (en el
subárbol izquierdo) del nodo padre con el hijo que se encuentra más a la izquierda, además se debe
eliminar el vínculo de ese padre con el resto de sus hijos. Segundo se debe enlazar el resto de los
hijos de manera horizontal (en el subárbol derecho del nodo hijo cargado en el subárbol izquierdo)
es decir sus hermanos. Luego repetir este proceso para cada nodo del árbol.
A continuación en la figura 31 se observa un árbol multicamino –de parte del árbol genealógico
de deidades griegas– el cual se transformará pasa a paso en un árbol binario siguiendo los pasos
antes mencionados.
Figura 31. Árbol n-ario
Primero, se carga en la raíz del árbol binario el titán Cronos, luego, en su subárbol izquierdo se
coloca el hijo que se ubica más a la izquierda –en este caso el dios Zeus– y se deja en espera al resto
de sus hermanos, y vuelve a repetir el mismo proceso, es decir en el subárbol izquierdo del Zeus se
inserta el hijo más a la izquierda, en este caso la diosa Atenea. Como esta no tiene hijos se procede
a cargar del siguiente hermano que quedo pendiente. Entonces se procede a cargar los hermanos
4 Computer Data Structures. John L. Pfaltz. McGraw-Hill, 1977.
5 Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. Introduction to
Algorithms (2nd ed.). MIT Press and McGraw-Hill. pp. 214–217.

[156]
que quedaron pendientes, Apolo, Artemisa, Dionisio y Hermes dado que ninguno de estos tiene
hijos –nótese que los hermanos siempre se cargan en el subárbol derecho y el subárbol izquierdo
es el primer hijo–. En este punto ya se cargaron todos los descendientes de Zeus, pero aún quedó
pendiente tratar a sus hermanos. De la misma manera que se procedió anteriormente se agregan
al subárbol derecho de Zeus a Poseidón, Hades y Hera, como esta última tiene hijos se procede a la
carga de estos, por lo que ahora insertamos a Ares y Hefesto. Luego, continuamos con los hermanos
de Hera que quedaron pendientes aplicando el mismo procedimiento, entonces ahora se agrega a
la diosa Deméter y su hija Perséfone para finalmente cargar a la diosa Hestia que había quedado
pendiente. De esta manera, hemos logrado transformar un árbol n-ario en uno binario, el árbol
resultante de aplicar la transformada de Knuth sobre él árbol de la figura 31 se puede observar a
continuación, en la figura 32.
Figura 32. Árbol general transformado a binario
Retomando con árboles binarios en la figura 33 presentaremos un ejemplo de la implementación
del TDA árbol AVL para dar solución a un problema. En este caso debemos cargar un árbol con
nombres de países de manera desordenada (21 como máximo). Luego los tendremos que listar de
manera ordenada y además eliminar uno de los países elegido por el usuario –si el mismo se en-
cuentra en el árbol–. Finalmente hay que modificar el nodo con valor “Tailanda” –suponiendo que
el mismo esta– porque fue mal cargado por “Tailandia”y por último volver a listar el contenido del
árbol para verificar que los cambios se hayan realizado de manera correcta.

[157]
Figura 33. Ejemplo de uso del TDA árbol AVL
Ahora repasemos las actividades realizadas para la resolución del ejercicio anterior, para consoli-
dar la mecánica del manejo del TDA árbol binario de búsqueda mediante los eventos definidos.
Para comenzar tenemos que importar del TDA árbol las funciones que vamos a utilizar, luego de-
bemos crear la variable raíz para cargar los países al árbol para luego listarlos ordenados alfabéti-
camente utilizando la función inorden. Después ingresaremos el nombre del país que queremos
eliminar, si dicho país está cargado se lo quitara del árbol. Seguidamente procedemos a modificar el
país que está mal cargado, para esto se debe quitar dicho elemento del árbol modificarlo y volverlo
a insertar, dado que al modificar el campo clave de un nodo alteraremos el orden del árbol –regla
para que los abb funcionen–. Al quitarlo y volverlo a insertar quedará ordenado por lo cual el árbol
continuará funcionando correctamente y finalmente volvemos a listar el contenido del árbol.

[158]
A continuación se plantean una serie de problemas, que se deberán resolver utilizar el TDA árbol
binario de búsqueda AVL, salvo que el ejercicio pida utilizar otro tipo particular de árbol.
1. Desarrollar un algoritmo que permita cargar 1000 número enteros –generados de manera alea-
toria– que resuelva las siguientes actividades:
a. realizar los barridos preorden, inorden, postorden y por nivel sobre el árbol generado;
b. determinar si un número está cargado en el árbol o no;
c. eliminar tres valores del árbol;
d. determinar la altura del subárbol izquierdo y del subárbol derecho;
e. determinar la cantidad de ocurrencias de un elemento en el árbol;
f. contar cuántos números pares e impares hay en el árbol.
2. Implementar una función que permita cargar una expresión matemática en un árbol binario
(no balanceado), y resuelva lo siguiente:
a. determinar cuál de los barridos muestra la expresión en el orden correcto;
b. resolver la expresión matemática y muestre el resultado.
3. Desarrollar un algoritmo que permita cargar el índice del libro Ingeniería de Software de Ian
Summerville de manera automática desde un archivo de texto, transformando el árbol n-ario
del índice en un árbol binario no balanceado mediante el uso de la transformada de Knuth,
para resolver las siguientes actividades:
a. listar el índice en su orden original;
b. mostrar la parte del índice correspondiente al subtitulo “Diseño de software
de tiempo real”;
c. deberá almacenar además del texto de índice la página del libro donde está dicho tema;
d. determinar cuántos capítulos tiene;
e. determinar todos los temas que contengan las palabras modelo y métrica.
4. Implementar un algoritmo que contemple dos funciones, la primera que devuelva el hijo dere-
cho de un nodo y la segunda que devuelva el hijo izquierdo.

[159]
5. Dado un árbol con los nombre de los superhéroes y villanos de la saga Marvel Cinematic Univer-
se (MCU), desarrollar un algoritmo que contemple lo siguiente:
a. además del nombre del superhéroe, en cada nodo del árbol se almacenará un campo boo-
leano que indica si es un héroe o un villano, True y False respectivamente;
b. listar los villanos ordenados alfabéticamente;
c. mostrar todos los superhéroes que empiezan con C;
d. determinar cuántos superhéroes hay el árbol;
e. Doctor Strange en realidad está mal cargado. Utilice una búsqueda por proximidad para
encontrarlo en el árbol y modificar su nombre;
f. listar los superhéroes ordenados de manera descendente;
g. generar un bosque a partir de este árbol, un árbol debe contener a los superhéroes y otro a
los villanos, luego resolver las siguiente tareas:
I. determinar cuántos nodos tiene cada árbol;
II. realizar un barrido ordenado alfabéticamente de cada árbol.
6. Dado un archivo con todos los Jedi, de los que se cuenta con: nombre, especie, año de naci-
miento, color de sable de luz, ranking (Jedi Master, Jedi Knight, Padawan) y maestro, los últimos
tres campos pueden tener más de un valor. Escribir las funciones necesarias para resolver las
siguientes consignas:
a. crear tres árboles de acceso a los datos: por nombre, ranking y especie;
b. realizar un barrido inorden del árbol por nombre y ranking;
c. realizar un barrido por nivel de los árboles por ranking y especie;
d. mostrar toda la información de Yoda y Luke Skywalker;
e. mostrar todos los Jedi con ranking “Jedi Master”;
f. listar todos los Jedi que utilizaron sabe de luz color verde;
g. listar todos los Jedi cuyos maestros están en el archivo;
h. mostrar todos los Jedi de especie “Togruta” o “Cerean”;
i. listar los Jedi que comienzan con la letra A y los que contienen un “-” en su nombre.

[160]
7. Partiendo del árbol n-ario del directorio, que se observa en la siguiente figura, implementar los
algoritmos necesarios para poder transformarlo a un árbol binario no balanceado –utilizando
la transformada de Knuth
–. Tener en cuenta que los archivos serán nodos hojas –es decir que
estos no pueden tener hijos– y además resolver las siguientes actividades:
a. el nodo deberá tener un campo que indique si es un directorio o un archivo;
b. realizar un barrido inorden del árbol;
c. listar el contenido de la carpeta /Imágenes;
d. contar cuantos archivos hay en cada carpeta;
e. mostrar todos los archivos
8. Desarrollar un algoritmo que implemente dos funciones, una para obtener el mínimo nodo del
árbol y la segunda para obtener el máximo.
9. Poe Dameron, líder del escuadrón negro de la Resistencia, tiene dificultades para transmitir los
mensajes a la base de la Resistencia, dado que los mismos son muy largos y los satélites espías
de la Primera Orden los intercepta, en un lapso muy corto desde que se transmiten. Por lo cual,
nos solicita desarrollar un algoritmo que permita comprimir los mensajes para enviarlos más
rápido y no puedan ser interceptados. Contemplando los siguientes requerimientos, imple-
mentar un algoritmo que los resuelva:

[161]
a. crear un árbol de Huffman a partir de la siguiente tabla:
Símbolo Frecuencia
A 0.2
F 0.17
1 0.13
3 0.21
0 0.05
M 0.09
T 0.15
b. desarrollar las funcionas para comprimir y descomprimir un mensaje.
10. Desarrollar dos algoritmos, el primero que permita calcular en el número de nodos de un nivel
del árbol –a partir de un nivel ingresado–. La segunda que cuente los nodos que hay en dicho
nivel
–dado que podría no estar completo–, para responder las siguientes actividades:
a. determinar si el nivel del árbol está completo;
b. ¿cuántos nodos faltan para completar dicho nivel?
11. Escribir un algoritmo que permita resolver las siguientes actividades:
a. contar el número de nodos del árbol;
b. determinar el número de hojas del árbol;
c. mostrar la información de los nodos hojas;
d. determinar el padre de un nodo;
e. determinar la altura de un árbol.
12. Generar un árbol binario que tenga nueve niveles, luego diseñar los algoritmos necesarios para
a. generar un bosque cortando los tres primeros niveles del árbol;
b. contar cuántos nodos tiene cada árbol del bosque;
c. realizar un barrido preorden de cada árbol del bosque;
d. determinar cuál es el árbol con mayor cantidad de nodos;
e. indicar que árboles del bosque están completos.

[162]
13. Nick Fury, líder de la agencia S.H.I.E.L.D., tiene la difícil tarea de decidir qué vengador asig-
nará a cada nueva misión –por ahora considere que solo se asignará un superhéroe por cada
misión–. Por lo que nos solicita desarrollar un árbol de decisión para resolver esta tarea con los
siguientes requerimientos:
a. cada nodo hoja del árbol debe ser un superhéroe y en cada nodo intermedio inclusive el
raíz debe haber una pregunta;
b. si la respuesta es sí, se debe desplazar hacia el subárbol izquierdo, si es no al subárbol derecho;
c. desarrollar una función que determine el superhéroes para una misión;
d. los Guardianas de la Galaxia son ideales para misiones intergalácticas en equipo;
e. Ant-Man es excelente en misiones de recuperación donde sea necesario no se detectado;
f. para misiones de destrucción Hulk es una excelente opción;
g. el Capitán América es un supersoldado de ética incorruptible ideal para comandar misio-
nes de defensa y de recuperación;
h. Capitana Marvel es muy poderosa y puede viajar por las distintas galaxias;
i. Spider-Man es muy hábil y puede ser útil para varias misiones;
j. para misiones de recuperación donde requiera infiltrarse con personas del lugar, Black Wi-
dow es la indicada;
k. Iron Man es un líder para planear misiones de defensa, además es un genio y domina el
manejo de tecnología avanzada, cuenta con un traje muy poderoso;
l. cuando se requiere elegir cuál será la próxima acción a tomar y moverse rápidamente de un
lugar a otro, Doctor Strange es la opción más lógica;
m. Thor tiene el poder para destruir ejércitos completos;
n. no se debe utilizar árbol balanceado.

[163]
14. Desarrollar un algoritmo que permita decodificar mensajes en código morse, para ello deberá
resolver las siguientes consignas:
a. generar un árbol que contenga todo el alfabeto y los dígitos del 0 al 9, cuyos códigos morse
están en la siguiente figura:
b. cada nodo del árbol contendrá una letra o un digito, el cual se debe construir de manera
manual (en un árbol que no sea auto balanceado), cuya raíz es vacía y, a partir de esta, la
izquierda significa punto y la derecha guion –y se cargaran según su codificación morse,
como se observa en la siguiente figura:
c. el espacio separa cada letra de una palabra y la “/” separa cada palabra;
d. descifrar los siguientes mensajes:
Mensaje 1 (Dr. Abraham Erskine): .--. .- ... . / .-.. --- / --.- ..- . / .--. .- ... . / -- .- .- -. .- / .--. .-. ---
-- - .- -- . / .- .-.. --. --- / --.- ..- . / ... . --. ..- .. .-. / ... .. . -. -.. --- / ..- ... - . -.. / -. --- / ..- -. / ... --- .-.. -..
.- -.. --- / .--. . .-. ..-. . -.-. - --- --..-- / ... .. -. --- / ..- -. / -... ..- . -. / .... --- -- -... .-. . .-.-.
Mensaje 2 (Rocket Raccoon): -. --- ... --- - .-. --- ... / ... --- -- --- ... / .-.. --- ... / -- .- .-.. -.. .. - --- ...
/ --. ..- .- .-. -.. .. .- -. . ... / -.. . / .-.. .- / --. .- .-.. .- -..- .. .- .-.-.

[164]
Mensaje 3 (Natasha Romanoff): -.-- --- / ... --- .-.. --- / .- -.-. - ..- --- / -.-. --- -- --- / ... .. / . -. / ...- .
.-. -.. .- -.. / .-.. --- / ... ..- .--. .. . .-. .- / - --- -.. --- .-.-.
Mensaje 4 (Tony Stark): -.-. .... .. -.-. --- ... / . ... - --- -.-- / .-.. .-.. . ...- .- -. -.. --- / .-.. .- / ..-. .. . ... - .- /
.... .- -.-. .. .- / ..- ... - . -.. . ... .-.-.
Mensaje 5 (Steve Rogers): .--. --- -.. .-. .. .- / .... .- -.-. . .-. / . ... - --- / - --- -.. --- / . .-.. / -.. .. .- .-.-.
15. Desarrollar un algoritmo que permita implementar un árbol como índice para hacer consultas
a un archivo que contiene personajes de la saga de Star Wars, de los cuales se sabe su nombre,
altura y peso. Además deberá contemplar los siguientes requerimientos:
a. en el árbol se almacenara solo el nombre del personaje, además de la posición en la que se
encuentra en el archivo (nrr);
b. se debe poder cargar un nuevo personaje, modificarlo (cualquiera de sus campos) y darlo
de baja;
c. mostrar toda la información de Yoda y Boba Fett;
d. mostrar un listado ordenado alfabéticamente de los personajes que miden más de 1 metro;
e. mostrar un listado ordenado alfabéticamente de los personajes que pesan menos de 75 ki-
los;
f. deberá utilizar el TDA archivo desarrollado en el capítulo V;
16. Una empresa de nano satélites dedicada al monitoreo de lotes campo destinados al agro, tiene
problemas para la transmisión de los datos recolectados, dado que la ventana de tiempo que
dispone para enviar los datos antes de una nueva medición es muy corta, por lo que nos solicita
desarrollar un algoritmo que permita comprimir la información para poder enviarla más rápi-
do, para lo cual se debe tener en cuenta los siguientes requerimientos:
a. la información transmitida por el nano satélite son estado del tiempo, humedad del suelo,
y tres dígitos que identifican el lote al cual pertenecen los datos;
b. desarrollar un árbol de Huffman que permita comprimir la información para transmitirla,
la frecuencia de la información transmitida se observa en la siguiente tabla:

[165]
Variable Símbolo Frecuencia
Estado del clima Despejado 0.22
Nublado 0.15
Lluvia 0.03
Humedad del suelo Baja 0.26
Alta 0.14
Código de identificación 1 1 0.05
2 0.01
5 0.06
8 0.025
c. comprimir un mensaje y descomprimirlo, para ver si no se pierde información durante el
proceso de codificación, la trama enviada por el nano satélite tiene el siguiente formato
(estado del clima-humedad del suelo-cod1-cod2-cod3), por ejemplo la siguiente trama es
válida “Nublado-Baja-1-5-7”, –los guiones son a fines de comprender como está formada la
trama pero no forman parte de la misma–;
d. determinar la diferencia en tamaño de memoria utilizada por la trama original y la trama
comprimida
–puede utilizar la función getsizeof() de la librería sys–.
17. Se tiene un archivo con los Pokémons de las 8 generaciones cargados de manera desordenada
(890 en total) de los cuales se conoce su nombre, número, tipo/tipos, debilidad frente a tipo/
tipos, para el cual debemos construir tres árboles para acceder de manera eficiente a los datos
almacenados en el archivo, contemplando lo siguiente:
a. los índices de cada uno de los árboles deben ser nombre, número y tipo;
b. mostrar todos los datos de un Pokémon a partir de su número y nombre –para este último,
la búsqueda debe ser por proximidad, es decir si busco “bul” se deben mostrar todos los
Pokémons cuyos nombres comiencen o contengan dichos caracteres–;
c. mostrar todos los nombres de todos los Pokémons de un determinado tipo agua, fuego,
planta y eléctrico;
d. realizar un listado en orden ascendente por número y nombre de Pokémon, y además un
listado por nivel por nombre;
e. mostrar todos los Pokémons que son débiles frente a Jolteon, Lycanroc y Tyrantrum;
f. mostrar todos los tipos de Pokémons y cuántos hay de cada tipo.

[166]
18. La armería de la base Starkiller, central de la primera orden, almacena los registros de los re-
portes de fallos en armas de las tropas de sus principales generales –Kylo Ren, general Hux y
capitana Phasma–. Para dicha labor, se solicita desarrollar un algoritmo que permita resolver
las siguientes tareas:
a. se debe registrar el nombre del general a cargo de la misión, fecha de la misión –a los fines
del ejercicio considere como máximo 20 fechas de misiones–, código de blaster generado
de manera aleatoria –de 8 dígitos y no puede estar repetido–, estado del blaster (si falló
o no) y el tipo de soldado que portaba el blaster –Imperial Stromtrooper, Imperial Scout
Trooper, Imperial Death Trooper, Sith Trooper o First Order Stromtrooper–;
b. debe generar y cargar al menos 10 000 registros;
c. determinar el total de armas que fallaron por general;
d. indicar la cantidad y tipo de soldado de las misiones de Kylo Ren;
e. determinar cuántos Sith Troopers salieron en misiones y a cuantos les fallaron los blasters;
f. listar los códigos de los blasters de las misiones de una determinada fecha, indicando ade-
más el porcentaje de armas que fallaron;
g. mostrar los datos del blaster código “75961380” si fue utilizado en alguna misión.
19. Desarrollar los algoritmos necesarios que permitan almacenar libros, de los cuales se conoce
su título, ISBN, autores, editorial y cantidad páginas en un archivo, contemplando los siguien-
tes requerimientos y tareas:
a. utilizar el TDA archivo desarrollado en el capítulo V;
b. deberá cargar al menos 100 libros;
c. implementar tres árboles para manejar los índices de acceso, estos serán por título, ISBN y
autores. En cada nodo del árbol se almacenará el campo clave correspondiente y la posi-
ción en el archivo donde está el resto de la información;
d. las búsquedas deberán ser de la siguiente manera:
I. por exactitud en el árbol de ISBN,
II. que esté contenido en el árbol de autores –es decir si son más de un autor y busco
por uno debería encontrarlo
–,
III. por proximidad en el inicio del nombre en el árbol de título –si busco “Alg” debe-
ría encontrar todos los libros cuyo nombres comienzan así–.

[167]
20. Ahoraresuelvalassiguientesconsultasmostrandotodalainformacióndeloslibroscorrespondiente:
a. los libros de los autores Tanenbaum, Connolly, Rowling, Riordan, Morgan Kass;
b. mostrar los libros de “minería de datos”, “algoritmos” y “bases de datos”;
c. mostrar los libros de más de 873 páginas;
d. mostrar los datos del libro ISBN 9789504967453;
e. mostrar el autor del libro “los 100”.
21. Implementar un algoritmo que permita generar un árbol de decisión meteorológico para la
predicción del estado del tiempo basado en las reglas de la siguiente figura, considerando los
siguientes requerimientos:
a. los 5 posibles estados del tiempo son despejado, parcialmente nublado, mayormente nu-
blado, nublado y lluvia;
b. los nodos hojas del árbol representan los estados del tiempo que predice el árbol –en la
figura están con negrita–;
c. en cada nodo deberá almacenar el nombre de la variable o campo que se utilizará en ese
nodo para la decisión y el valor umbral: se avanza hacia la izquierda si el valor es menor o
igual y se avanza a la derecha cuando el valor es mayor;
d. dado un nuevo registro con datos meteorológicos del cual se conoce temperatura, presión,
humedad, visibilidad, velocidad del viento, se debe predecir el estado del tiempo de ma-
nera automática.

[168]
22. Parta de la base del árbol genealógico “greek-gods” (n-arios) que se observa en el siguiente link:
https://drive.google.com/file/d/13lMB6A2k4zO2zq-wuTgdxZdgwUKLl4Tr/view?usp=sharing, y
utilice la transformada de Knuth para convertirlo en un árbol binario que permita realizar las
siguiente actividades (no se deben utilizar árboles balanceados):
a. la raíz del árbol debe ser Urano;
b. además del nombre de los dioses, deberá cargar una breve descripción de quien es o lo que
representa, no más de 20 palabras;
c. listar el árbol por niveles, es decir, mostrando primero los hermanos. Para esto desarrolle
una función barrido llamada “hermanos(raíz)” que devuelva todos los hijos derechos de
un determinado nodo de un árbol general transformado a binario;
d. solo se representarán las relaciones padre-hijo, a excepción de los dioses que en la imagen
no tengan padre, –en este caso se deberá cargar la relación madre-hijo–, en los demás la
madre será almacenada en un campo del nodo;
e. dado el nombre de un dios mostrar los hijos de este;
f. dado el nombre de un dios mostrar su nombre, padre, madre, hermanos y sus hijos;
g. realizar un barrido inorden, preorden y por nivel de dicho árbol;
h. realizar un barrido inorden mostrando el nombre de cada dios y el de su madre;
i. mostrar todos los ancestros de un determinado dios;
j. generar un bosque eliminando el nodo Uranos:
I. determinar cuántos árboles forman dicho bosque,
II. realizar un barrido inorden de cada árbol del bosque,
III. determinar cuántos nodos hay en cada árbol y cuál es el nombre del dios del
nodo raíz del árbol más grande;
k. mostrar todos los hijos de Tea.
23. Implementar un algoritmo que permita generar un árbol con los datos de la siguiente tabla y
resuelva las siguientes consultas:
a. listado inorden de las criaturas y quienes la derrotaron;
b. se debe permitir cargar una breve descripción sobre cada criatura;
c. mostrar toda la información de la criatura Talos;

[169]
d. determinar los 3 héroes o dioses que derrotaron mayor cantidad de criaturas;
e. listar las criaturas derrotadas por Heracles;
f. listar las criaturas que no han sido derrotadas;
g. además cada nodo debe tener un campo “capturada” que almacenará el nombre del héroe
o dios que la capturo;
h. modifique los nodos de las criaturas Cerbero, Toro de Creta, Cierva Cerinea y Jabalí de
Erimanto indicando que Heracles las atrapó;
i. se debe permitir búsquedas por coincidencia;
j. eliminar al Basilisco y a las Sirenas;
k. modificar el nodo que contiene a las Aves del Estínfalo, agregando que Heracles
derroto a varias;
l. modifique el nombre de la criatura Ladón por Dragón Ladón;
m. realizar un listado por nivel del árbol;
n. muestre las criaturas capturadas por Heracles.
Criaturas Derrotado por Criaturas Derrotado por
Ceto - Cerda de Cromión Teseo
Tifón Zeus Ortro Heracles
Equidna Argos Panoptes Toro de Creta Teseo
Dino - Jabalí de Calidón Atalanta
Pefredo - Carcinos -
Enio - Gerión Heracles
Escila - Cloto -
Caribdis - Láquesis -
Euríale - Átropos -
Esteno - Minotauro de Creta Teseo
Medusa Perseo Harpías -
Ladón Heracles Argos Panoptes Hermes
Águila del Cáucaso - Aves del Estínfalo -
Quimera Belerofonte Talos Medea
Hidra de Lerna Heracles Sirenas -
León de Nemea Heracles Pitón Apolo
Esfinge Edipo Cierva de Cerinea -
Dragón de la Cólquida - Basilisco -
Cerbero - Jabalí de Erimanto -

[170]
24. Desarrollar los algoritmos necesarios para generar un árbol de Huffman a partir de la siguiente
tabla –para lo cual deberá calcular primero las frecuencias de cada carácter a partir de la can-
tidad de apariciones del mismo–, para resolver las siguientes actividades:
a. la generación del árbol debe hacerse desde los caracteres de menor frecuencia hasta los
de mayor, en el caso de que dos caracteres tengan la misma frecuencia, primero se toma el
que este primero en el alfabeto, el carácter “espacio” y “coma” se consideraran anteúltimo
y último respectivamente en el orden alfabético;
b. descomprimir los siguientes mensajes –cuyo árbol ha sido construido de la misma manera
que el ejemplo visto anteriormente
:
I. Mensaje 1: “100010111010110000101110100011100000110110000001111001111010010110
0001101001110011010001011101011111110100001111001111110011110100011000110000
00101101011110111111101110101101101110011101101111001111111001010010100101000001
011010110001011001101000111001001011000011001000110101101010111111111110110111
0111001000010010101100011111110001000111011001100101101000110111110101101000
1101110000000111001001010100011111100001100101101011100110011110100011000110
000001011010111110011100”
II. Mensaje 2: “01101010110111001010001111010111001101110101101101000010001110101001
011110100111111101110010100011110101110011011101011000011000100110100011100100
10001100010110011001110010010000111101111010”
c. finalmente, calcule el espacio de memoria requerido por el mensaje original
y el comprimido.
Carácter Cantidad Frecuencia
A 11
B 2
C 4
D 3
E 14
G 3
I 6
L 6
M 3
N 6
O 7
P 4
Q 1
R 10
S 4
T 3

[171]
U 4
V 2
‘ ’ espacio 17
, coma 2
25. A partir del organigrama de un empresa de desarrollo que se presenta en la siguiente figura (ár-
bol n-ario) implementar las funciones necesarias para resolver los siguientes requerimientos:
a. utilizar la transformada de Knuth para convertirlo en un árbol binario;
b. realizar un barrido inorden y peor nivel de dicho árbol;
c. agregue una persona a cada puesto de la empresa, salvo a los puesto de desarrollador, tes-
ter y soporte al cliente, en estos cargue cinco personas;
d. mostrar todos los empleados dependiente del líder de proyecto;
e. mostrar todo los empleados dependientes directamente del director de proyectos;
f. mostrar todos los empleados del nivel tres del organigrama (recuerde que la raíz
es el nivel uno).

[173]
CAPÍTULO XI
Pintandonodosdecolorrojoynegro,
¡conozcamos los árboles rojinegros!
Por un momento continuaremos estudiando más respecto de árboles, en particular de árboles bi-
narios. Como la mayoría de las cosas en el área de desarrollo existen más de una manera de imple-
mentarlas, y las estructuras de datos no son la excepción. En esta ocasión veremos otro tipo de árbol
binario de búsqueda que tiene a capacidad de auto balancearse, este tipo de árbol utiliza el color
de sus nodos como factor de equilibrio. Pero en esencia su comportamiento es similar al árbol AVL
visto en el capítulo anterior.
Un árbol rojo-negro es un árbol binario de búsqueda equilibrado (como el AVL visto en el capítulo
anterior), esta estructura de datos fue creada originalmente por Rudolf Bayer1
en 1972, que le dio el
nombre de “árboles-B binarios simétricos”, pero la estructura de árbol rojo-negro fue creado por
Leonidas Guibas y Robert Sedgewick en 19782
inspirados en el trabajo de Bayer. Este árbol sin embar-
go es una estructura que debe apegarse a un conjunto muy estricto de reglas para asegurar su auto
equilibro. Precisamente, estas reglas nos permiten garantizar su complejidad de tiempo logarítmico.
Básicamente estas son las cuatro reglas que deben seguirse pase lo que pase
, cuando realizamos
una operación de inserción y eliminación
, de lo contrario no es considerado un árbol rojo-negro y
además dejaría de estar equilibrado:
1. Cada nodo en el árbol debe ser rojo o negro.
2. El nodo raíz del árbol debe ser siempre negro.
3. Dos nodos rojos nunca pueden aparecer consecutivamente, uno tras otro. Es decir un nodo
rojo siempre debe tener un nodo padre negro e hijos negros.
4. Cada ruta de bifurcación del árbol desde el nodo raíz a un nodo hoja vacío (o nulo) debe pasar
por el mismo número exacto de nodos negros. Los nodos hojas vacíos también se deben consi-
derar como un nodo negro del camino, ya que representa la ruta que se tomará si se busca un
nodo que no existe dentro del árbol.
La figura 1 muestra un árbol rojo-negro que cumple las cuatro reglas. Observe que siempre las hojas
del árbol serán vacías (Null o None en el caso de Python) y de color negro. Si bien no es necesario
dibujarlas hay que saber que están ahí y cuentan como un nodo negro –esto nos ayudará a cumplir
la tercera y cuarta regla–.
1 Rudolf Bayer (1972). Symmetric binary B-Trees: Data structure and maintenance algorithms.
Informatic Record. 1 (4): 290–306.
2 Leonidas J. Guibas and Robert Sedgewick (1978). A Dichromatic Framework for Balanced Trees. Proce-
edings of the 19th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. pp. 8–21.

[174]
Figura 1. Árbol rojo-negro
Muchos de ustedes se estarán preguntado ¿Por qué los colores rojo y negro? ¿Por qué no otros colores?,
estas preguntas también se las hicieron a los inventores de este árbol y estas fueron sus repuestas:
“[…] fue debido a que los bolígrafos disponibles en aquel entonces para poder dibujar árbo-
les eran rojos y negros […]” (Leonidas Guibas, inédito).
Por su parte Robert Sedgewick respondió:
Bueno, inventamos esta estructura de datos, esta forma de ver árboles equilibrados, en una
Xerox PARC, que fue la computadora personal y muchas otras innovaciones con las que vi-
vimos hoy al ingresar a las interfaces gráficas de usuario, Ethernet y programaciones orien-
tadas a objetos y muchas otras cosas. Pero una de las cosas que se inventó fue la impresión
láser y estábamos muy entusiasmados de tener una impresora láser a color cerca que pudie-
ra imprimir las cosas en color y de los colores el rojo se veía mejor. Entonces, es por eso que
elegimos el color rojo para distinguir los enlaces rojos, los tipos de enlaces, en los nodos de
árbol (Robert Sedgewick, inédito).
Ahora vamos a describir cómo es el procedimiento de inserción para comprender cómo funcionan
estas reglas, primero debemos determinar la ubicación en el árbol de la misma manera que vimos
en el capítulo anterior –recordemos que siempre insertamos hojas–. Este proceso al principio parece
un poco más complejo de entender respecto de los árboles AVL, pero tranquilos iremos paso o paso
para que sea más sencillo. El primer interrogante a resolver ¿De qué color debe ser el nodo que inserta-
mos? La estrategia más sencilla es siempre insertar un nodo rojo, esto permite que sea mucho más
fácil identificar cualquier infracción a una de las reglas, para luego poder corregirlo. Entonces, si se
rompió una de las reglas, ¿cómo lo corregimos? Para esto utilizaremos dos técnicas: coloreo y rotación.

[175]
Para analizar los posibles casos de infracción a las reglas que pueden ocurrir durante la inserción,
trabajaremos con el siguiente ejemplo: supongamos que tenemos un conjunto de Pokémon de los
que conocemos su número y nombre, los cuales queremos insertar en un árbol rojo-negro orde-
nado por su número. Estos son los datos con los que trabajaremos: 278 Wingull, 128 Tauros, 470
Leafeon, 639 Terrakion, 745 Lycanroc, 126 Magmar, 127 Pinsir.
Comenzamos cargando el primer elemento 278 Wingull, como ya mencionamos, siempre inserta-
mos nodos rojos. Como podemos ver en la figura 2 ya estamos rompiendo la segunda regla –la raíz
del árbol debe ser de color negro–, para reparar este caso si el nodo no tiene padre, es decir es la raíz,
utilizamos la técnica de coloreo y pintamos el nodo de color negro para cumplir con todas las regla.
Figura 2. Ruptura y reparación regla 2
Luego, procedemos a ingresar los elementos siguientes dos elementos del conjunto 128 Tauros y 471
Leafeon, como observamos en la figura 3 no se rompe ninguna de las reglas.
Figura 3. Inserción sin infringir reglas
Continuando con el ejemplo, al insertar el cuarto elemento 639 Terrakion se rompe la tercera regla,
es decir no puede haber dos nodos rojos seguidos. Para reparar este caso, cuando tanto el padre
como el tío del nodo insertado son rojos, aplicamos coloreo por para cambiar el color del padre y el
tío del nodo insertado a negro y el del abuelo a rojo. Al hacer esto, el nodo raíz queda infringiendo
la segunda regla. Como la inserción es recursiva la reparación también, entonces esta se hace desde
la hoja insertada hasta la raíz. Así que, por último, se aplica coloreo nuevamente para reparar la
regla rota por la raíz del árbol, este proceso se presenta en la figura 4.
Figura 4. Ruptura y reparación con coloreo de regla 3

[176]
Ahora es momento de insertar el quinto elemento 745 Lycanroc, esto rompe nuevamente la tercera
regla. Pero en este caso el padre es rojo pero el tío no, por lo cual no lo podremos corregir solo co-
loreando, por lo que se debe utilizar además la técnica de rotación. Entonces usamos coloreo para
pintar el padre del nodo de color negro y el abuelo de rojo, luego aplicaremos rotación simple a la
izquierda del abuelo como se detalla en la figura 5 para finalizar la reparación –nótese que tanto el
nodo como el padre son hijos derechos–. Estas rotaciones son similares a las utilizadas en árboles
AVL pero debemos contemplar algunas cuestiones que veremos más adelante.
Figura 5. Ejemplo reparación usando coloreo y rotación
Sigamos cargando más elementos. Ahora es turno del 126 Magmar y 127 Pinsir. Después de agregar
el segundo elemento volvemos a infringir la regla 3, como sucedió en el caso anterior el padre es rojo
pero el tío no, así que solo colorear no repara el árbol. A diferencia del caso anterior el nodo es hijo
derecho y el padre es hijo izquierdo por lo que una rotación simple tampoco nos alcanza, así que para
repararlo debemos usar dos rotaciones simple y coloreo de la siguiente manera: primero rotamos al
padre a la izquierda, luego coloreamos el padre de negro y al abuelo de rojo, y finalmente rotamos
el abuelo a la derecha para terminar de reparar el árbol. Estas acciones se representan en la figura 6.
Figura 6. Ejemplo reparación usando coloreo y dos rotaciones

[177]
Además los casos vistos anteriormente que rompen las reglas –a excepción del primero–, tienen
opuestos simétricos, es decir que se solucionan de la misma manera pero invirtiendo las rotaciones.
Queda a cargo del lector hacer la representación para comprobar dichos casos.
Continuemos detallando lo que ocurre cuando se elimina un nodo del árbol. En primer lugar, se
debe determinar si el valor que se pretende eliminar esta en el árbol. Recordemos que si el nodo a
eliminar tiene ambos hijos debemos buscar un nodo hoja para remplazar dicho valor y luego quitar
dicha hoja como se explicó en el capítulo anterior. Por ello, debemos considerar el color del nodo
que se quita, si el nodo a eliminar es rojo, no se rompen ninguna de las reglas del árbol rojo-negro,
por lo cual queda equilibrado y simplemente se elimina el nodo al igual que en un abb y se acomo-
dan los enlaces correspondientes. Pero en el caso contrario, es decir, que el color del nodo sea negro,
al quitarlo se rompe la cuarta regla y debemos reparar el árbol de manera similar a como lo hicimos
en la inserción, detallaremos este proceso a continuación describiendo cada caso con un ejemplo.
Cuando quitemos un nodo negro ocurrirá una de las siguientes situaciones: que el nodo a eliminar
solo tenga un hijo izquierdo, en este caso se remplaza el nodo a eliminar por el nodo hijo y si este
último es rojo tenemos que pintarlo de negro como se observa en la figura 7. Además esta situación
tiene un opuesto simétrico que queda a cargo del lector verificarlo.
Figura 7. Eliminación nodo negro con un hijo
La segunda situación es que el nodo a eliminar no tenga hijo, lo que significa que es una hoja y por
la propiedades del árbol sabemos que si o si tiene un hermano que puede ser rojo o negro –salvo
que se al raíz que es un caso excepcional–, cuando ocurre esto se dice que estamos en presencia
de un nodo “doble negro” y para poder reparar esto es necesario identificar cuál de los seis casos
posible ha ocurrido. Veamos en detalle cómo solucionar cada uno de estos caso de “doble negro”
en algunas ocasiones deberemos aplicar más de un caso para lograr reparar el árbol, desde la hojas
hasta la raíz.
El primer caso es que el doble negro sea la raíz. Cuando ocurre esto simplemente se descarta el
doble negro porque es la raíz del árbol y se ha reparo el equilibrio, es decir hemos subido desde la
hoja que rompió el equilibrio y ya no queda nada mas por reparar.
Luego el segundo caso es cuando el hermano del doble negro es rojo y su padre es negro. Lo pri-
mero que hacemos es una rotación a la derecha del padre, luego se colorean el padre de negro y el
hermano de rojo, solucionando parcialmente el problema para terminar de repararlo con el cuarto
caso. Esto lo podemos observar en la figura 8.

[178]
Figura 8. Ejemplo de eliminación caso 2
Por su parte en el tercer caso el hermano es negro y si tiene hijos son de color negro. Para solucionar
esto se colorea el hermano de rojo con lo cual queda reparado como se aprecia en la figura 9.
En cambio en el cuarto caso se da que el padre del doble negro es rojo. Esto se corrige coloreando
el hermano de rojo y el padre de negro como podemos ver en la figura 10.
Seguimos con el quinto caso ocurre cuando el hijo izquierdo del hermano es rojo. Para reparar esto
primero se realiza una rotación a la derecha del hermano, luego se colorea el hermano de rojo y el
hijo izquierdo del hermano de negro, logrando una solución parcial como observa en la figura 11
que luego terminaremos de reparar con el caso 6.

[179]
Finalmente el sexto caso sucede cuando el hijo derecho del hermano es rojo. Sin importar el color
que tenga el padre y el hijo izquierdo –por eso se observan con fondo rayado en la imagen–, dado
que los nodos que ocupen su lugar mantendrán dicho color, para reparar esto se realiza una rota-
ción a la izquierda del padre, luego se coloreamos: el padre de negro, el hermano del color que tenía
el padre, el hijo derecho del hermano de negro, y el hijo izquierdo del hermano mantiene su color,
como se ilustra en la figura 12.
Además todos los casos vistos anteriormente –al igual que ocurrió en los caso de inserción– tienen
sus casos opuestos simétricos a excepción del primero, quedará a cargo del lector hacer la represen-
tación correspondiente para comprobar dichos casos.
Nos resta hacer una evaluación de la estructura respecto de las actividades detalladas hasta este
momento, si bien las operaciones de inserción y eliminación tienen cierta dificultad para comprender
los casos que rompen las reglas y cómo corregirlo coloreando y rotando nodos, evaluemos desde la
perspectiva del esfuerzo o costo de las actividades en un árbol rojo-negro:
Insertar, eliminar y buscar son operaciones en el orden de O(log n) al igual que en un árbol binario
de búsqueda perfectamente balanceado, es decir tiempo logarítmico.

[180]
Colorear un nodo tiene un tiempo constante de orden O(1), dado que solo implica cambiar el valor
de una variable.
Rotar y colorear un nodo para acomodar la regla que rompa sigue manteniendo el orden O(1), dado
que solo cambiamos el valor de unas pocas variables –por lo que es despreciable–. Pero a veces,
como vimos, es necesario corregir varios nodos incluso hasta llegar a la raíz lo que implicaría que
el coste sería en el orden de O(log n). Igualmente sigue siendo muy bueno dado que es logarítmico
en el peor de los casos.
La complejidad espacial de un árbol rojo-negro es de orden O(n) de igual manera que para los ár-
boles AVL.
Sin embargo, la representación o seguimiento del factor de equilibro, en este caso el color de un
nodo, solo requiere un bit de almacenamiento. Un bit es un solo digito en sistema binario –que
representa la menor unidad de almacenamiento en informática
–, y solo eso necesitamos para re-
presentar el color de un nodo en el árbol, dado que solo puede tomar dos colores rojo (1) o negro (0),
lo cual representa un ventaja significativa respecto a otros árboles balanceados.
Quizás el principal referente de uso de un árbol rojo-negro es en el “Planificador Completamente
Justo” (CFS) del kernel de Linux, que fue introducido en 2007. Su objetivo es mantener el equilibro
al proporcionar tiempo a los procesos, donde cada proceso reciba la cantidad justa de tiempo de
uso del procesador. El uso de árbol rojo-negro permite mejorar significativamente el rendimiento
de la administración de los proceso para el uso del CPU frente a las colas que utilizaba el modelo
anterior. En la figura 13 se puede ver un ejemplo de cómo se distribuyen los procesos en base al
tiempo que necesita cada uno.
Figura 13. Árbol rojo-negro del CFS de Linux
Ya contamos con los conocimientos necesarios para empezar con la implementación del TDA árbol
rojo-negro. Hemos visto las reglas que debe cumplir para mantener su equilibrio, los casos parti-
culares que ocurren durante la inserción y eliminación que rompen dichas reglas, así como también

[181]
las técnicas de coloreo y rotación que nos permiten repararlo. Lo primero que haremos es definir
el nodoArbolRN que a diferencia del nododArbol agrega los siguientes atributos “color” para po-
der representar el color del nodo y “padre” que hace referencia al padre de dicho nodo –este será
esencial para poder reparar el árbol– como se puede ver en la figura 14. Para representar el color
utilizaremos un byte, es decir valores 0 y 1, que representarán los colores negro y rojo respectiva-
mente. Nótese en la figura que el valor por defecto de la variable color es 1 dado que como vimos
anteriormente siempre insertaremos nodos rojos.
Figura 14. Definición de la estructura del nodoArbolRN
Como ya sabemos la inserción en un árbol binario se puede hacer de manera recursiva, pero en esta
ocasión se presenta una alternativa iterativa. Básicamente determinamos la posición donde se debe
insertar –siempre agregamos nodos hojas–, seguidamente se agrega incorpora el nuevo nodo y fi-
nalmente se llama a la función reparar inserción para chequear si se rompió alguna de las reglas del
árbol rojo-negro y restaurar su equilibrio, como se presenta en la figura 15.
Figura 15. Función para insertar nodo en árbol rojo-negro

[182]
Por su parte la función que se encarga de reparar el equilibrio del árbol luego de una inserción, uti-
liza dos técnicas coloreo y rotación. Esta función contempla los casos mencionados anteriormente,
en algunas ocasiones es necesario aplicar más de un caso para reparar el equilibrio, por eso se co-
mienza a trabajar desde el nodo insertado y se va subiendo a través de su enlace padre –aplicando
la técnica necesaria– hasta poder balancearlo o llegar a la raíz, como se detalla en la figura 16 y 17.
Figura 16. Función para reparar equilibrio de árbol rojo-negro después de insertar parte 1
Figura 17. Función para reparar equilibrio de árbol rojo-negro después de insertar parte 2

[183]
Las figuras 18 y 19 presentan la implementación de las funciones rotar a la derecha y a la izquierda,
utilizada por las funciones para reparar la inserción y eliminación. Estas funciones son muy similares
a las descriptas en árbol AVL, contemplando la salvedad que los nodos del árbol rojo-negro tiene
un enlace extra, que lo conecta con su padre.
Figura 18. Función rotar a la derecha
Figura 19. Función rotar a la izquierda

[184]
Por su parte, la eliminación en un árbol rojo-negro inicialmente es igual a la usada para árbol bina-
rio, pero en este caso optaremos por una versión iterativa para encontrar el nodo a eliminar. Una
vez identificado dicho nodo, si se trata de uno intermedio se busca el nodo que lo reemplazará y se
intercambian los valores, sino se procede de la misma manera que para un árbol AVL. Finalmente
si el color del nodo eliminado es negro –sabemos que se rompe una regla del árbol– y tenemos que
usar la función para reparar el árbol, como se puede ver en las figuras 20 y 21.
Figura 20. Función para eliminar nodo en árbol rojo-negro parte 1
Figura 21. Función para eliminar nodo en árbol rojo-negro parte 2

[185]
Cuando quitamos un nodo negro del árbol se rompe la cuarta regla y tenemos que acudir a las
técnicas de coloreo y rotación para reparar el árbol. Para esto la función para reparar debe contem-
plar todos los casos mencionados anteriormente, al igual que antes, se comienza a trabajar desde
el nodo eliminado y vamos subiendo a través del enlace padre del árbol aplicando la técnica que
corresponda –dado que se puede necesitar más de una técnica–, hasta poder repararlo como se
detalla en la figura 22 y 23.
Figura 22. Función para reparar equilibrio de árbol rojo-negro después de eliminar parte 1
Figura 23. Función para reparar equilibrio de árbol rojo-negro después de eliminar parte 2

[186]
Además de las funciones que vimos debemos sumar al TDA árbol rojo-negro las funciones “árbol
vacío”, buscar y los barridos inorden, preorden y postorden, las cuales son exactamente las mismas
vistas en el capítulo anterior–, dado que ambas estructuras son árboles binarios de búsqueda.
Para probar el TDA árbol rojo-negro utilice el mismo ejemplo del capítulo anterior, de hecho las
funciones se llaman de la misma manera por lo cual solo debe cambiar el nombre del TDA del cual
importa las funciones necesarias para resolver el problema.
Los problemas que se plantean para resolver con el TDA árbol rojo-negro son los mismos de la guía
del capítulo anterior, en los que debemos trabajar con árboles AVL.

[187]
CAPÍTULO XII
Simplifiquemos las cosas usando
montones, ¡montículos para todo!
Ahora que ya contamos con ciertas bases fundamentales para poder entender los montículos, va-
mos a adentrarnos en esta estructura de datos que no es más que un árbol binario que cumple con
ciertas propiedades. Por lo general, cuando hablamos de montículos nos referiremos a montículos
binarios, este es una estructura muy simple que puede ser representada utilizando solo un vector.
Además, podremos implementar de manera eficiente colas de prioridad –algo que mencionamos
en el capítulo VII– y también el método de ordenamiento por montículos (heapsort) –que nombra-
mos en el capítulo IV–.
En primer lugar, vamos estudiar qué es un montículo. Se trata de un árbol binario que debe cum-
plir dos propiedades esenciales para ser considerado como montículo, estas son de estructura y or-
den: para que se cumpla la propiedad de estructura el árbol binario debe ser completo. Esto implica
que todos los niveles del árbol deben estar completos, a excepción del último que debe completar
desde la izquierda. La segunda propiedad, la de orden, significa que el árbol debe estar ordenado
por niveles, ya sea de manera ascendente o descendente. A partir de esto se pueden clasificar en
montículos de orden máximo o de orden mínimo, en donde cada padre de los primeros es mayor
que sus hijos y en los segundos los padres son menores que sus hijos.
En resumen, un montículo, cumple las dos condiciones mencionadas anteriormente y por ser bina-
rio cada padre solo puede tener como máximo dos hijos. Es importante que aclaremos que el orden
de los nodos hermanos no está definido para ningún tipo de montículo. A continuación, en la figura
1 se presenta montículo máximo representado en forma de árbol binario, en el cual podemos ver
que los nodos están ordenados por niveles pero no presentan ninguna relación de orden entre los
nodos del mismo nivel.
Figura 1. Representación de montículo binario en forma de árbol

[188]
Por su parte un árbol binario completo o casi completo es tan regular que se puede representar de
manera sencilla utilizando un vector como se observa en la figura 2, y podremos operar sobre este
con las siguientes reglas: la raíz del árbol está ubicada siempre en la posición cero del vector, los hi-
jos de un nodo padre ubicado en la posición k se obtienen de la siguiente manera, el hijo izquierdo
está en la posición (2*k) +1 y el hijo derecho está en (2*k) +2, mientras que la ubicación del padre de
un hijo ubicado en la posición k se calcula de la siguiente forma (k-1) // 2.
Figura 2. Representación de montículo binario en forma de vector
Resulta sencillo demostrar que un árbol binario está completo de la siguiente manera, si el árbol
tiene un nivel n y una altura h la cantidad de nodos del mismo debe ser: nodos = 2n
-1. También po-
demos determinar si un árbol está balanceado o casi lleno cuando la cantidad de nodos que tiene
está entre 2h
y 2h+1
-1, inclusive ambos valores.
Para realizar la definición del TDA montículo utilizaremos solamente un vector de n elementos que
denominaremos “heap”, este será útil para representar un árbol binario como ya vimos anterior-
mente. También dispondremos de un conjunto de funciones que definen su funcionamiento:
1. crear_montículo(tamaño). Crea y devuelve un montículo vacío con la cantidad de elementos,
determinado por el tamaño ingresado;
2. agregar(montículo, dato). Inserta un elemento al final del montículo y luego lo flota hasta que
dicho elemento cumpla la propiedad de orden;
3. quitar(montículo, dato). Quita y devuelve el máximo o mínimo elemento del montículo –de-
pendiendo de su tipo–, es decir el dato que se ubica en la raíz del árbol , y en su lugar se coloca
el último elemento del montículo y luego lo hunde hasta que cumpla la propiedad de orden;
4. flotar(montículo, índice). Flota el dato almacenado en el montículo desde el índice indicado
hasta que cumpla la propiedad de orden;
5. hundir(montículo, índice). Hunde el dato almacenado en el montículo desde el índice indicado
hasta que cumpla la propiedad de orden;
6. montículo_vacio(montículo). Devuelve verdadero (true) si el montículo no contiene elementos;
7. montículo_lleno(montículo). Devuelve verdadero (true) si el montículo no puede almacenar
más elementos;
8. tamaño(montículo). Devuelve la cantidad de elementos del montículo;
9. monticulizar(montículo). Convierte un vector de elementos en un montículo;

[189]
Cabe destacar que tanto las operaciones para insertar y eliminar elementos en un montículo son
del orden de O(log n) lo cual es muy eficiente, dado que es una representación de un árbol binario
y mantiene dicha propiedad.
Centrémonos en analizar de qué manera hacemos que se mantenga la propiedad de orden cuando
agregamos o quitamos elementos, estas se resuelven de las siguientes maneras: cuando se insertar
un nuevo elemento se agrega al final y luego se lo debe flotar hasta que cumpla la condición de or-
den –es decir, mientras sea mayor o menor que su padre dependiendo si es un montículo máximo o
mínimo respectivamente–, por ejemplo suponga que en el montículo de la figura 1 se quiere agregar
el valor 23, el mismo flotara
dos veces hasta quedar en la posición correcta del montículo, como se
detalla en la figura 3.
Figura 3. Secuencia de inserción de un elemento al montículo
En cambio, cuando se elimina un elemento, siempre se quita el elemento que está en la cima del
mismo, para esto se procede de la siguiente manera: se lo intercambia con el último elemento del
montículo, luego se hunde el elemento colocado en la cima hasta que cumpla la propiedad de orden
–al igual que en la inserción dependiendo si es un montículo máximo o mínimo–. Continuando con
el ejemplo, si se quiere quitar un elemento se quitará el 92, el 3 pasará a ocupar a cima del montículo
y se hundirá 2 veces hasta quedar en su correspondiente posición, como se puede ver en la figura 4.
Figura 4. Secuencia de eliminación de un elemento del montículo

[190]
Continuemos con la implementación del TDA montículo, para esto utilizaremos una clase que dis-
pondrá de un vector para representarlo y el tamaño para indicar la cantidad de elementos, esto lo
podemos observar en la figura 5, luego en las figuras 6, 7 y 8 se presenta la implementación de las fun-
ciones mencionadas previamente que nos permitirán administrar el funcionamiento del montículo.
Figura 5. Definición de la estructura del TDA montículo
Figura 6. Interfaz o eventos del TDA heap parte 1

[191]
Cada vez que un elemento se inserta al montículo se llama a la función flotar, la cual mientras el
índice donde fue ingresado sea mayor que cero y dicho elemento sea mayor que su padre –que se
encuentra ubicado en la posición (índice -1) // 2–, entonces se intercambiarán dichos valores y ac-
tualizará la posición del índice por la del padre y se continúa repitiendo esto hasta que se cumpla
la condición de orden. En el peor de los casos el elemento flotará hasta la cima del mismo. Por otro
lado, cuando se quita un elemento se llama a la función hundir, esta primero determina si tiene un
hijo –el izquierdo–, de ser así significa que se debe comparar. Si es necesario hundir el padre, antes
de hacer esto determina si tiene hijo derecho. Luego, se determina cuál de los hijos es el mayor, en
el caso de que ambos existan, si el hijo mayor es mayor que el padre se procede a intercambiarlo
con su padre, a continuación se actualiza la posición del índice del padre por la del hijo que se inter-
cambió y se repite este procedimiento hasta que el elemento cumpla la condición de orden, es decir
que sea mayor que sus dos hijos o quede ubicado en el fondo del montículo.
Pero ¿Cómo hacemos para construir un montículo a partir de un vector que ya está cargado? Para crear un
montículo a partir de un árbol binario almacenado en un vector –que podría no estar ordenado
por niveles– o simplemente a partir de un vector de elementos, recurriremos a un procedimiento
denominado “montículizar”, para lo cual se aplica la función flotar desde el segundo elemento del
vector hasta el último elemento, como se observa a continuación en la figura 9, esta operación es
del orden de O(n log n).

[192]
Figura 9. Función para montículizar un vector
Ahora que ya conocemos cómo funcionan los montículos podremos usarlos para implementar co-
las, en particular para implementar colas de prioridad las cuales dejamos pendiente en el capítulo
VII, las colas de prioridad son muy útiles para que los sistemas operativos puedan administrar
los distintos recursos del sistema y para otros ejemplos que ya vimos en dicho capítulo. Al usar
un montículo para aplicar cola de prioridad
–la propiedad de orden será la prioridad asignada al
dato–, quedando en la raíz del árbol el nodo de mayor o menor prioridad dependiendo del tipo de
montículo (máximo o mínimo). Como ya sabemos, en un montículo los elementos se agregan al
final y luego se lo flota hasta cumplir la propiedad de orden. Esto permite respetar la naturaleza de
una cola –permitiendo que los elementos de mayor prioridad se adelanten– y tener un coste de in-
serción del orden de O(log n). A continuación, se presentan las funciones que necesitaremos definir
para poder implementar las colas de prioridad:
1. arribo(montículo, dato, prioridad). Agrega el elemento al final del montículo y luego lo flota
según su criterio de prioridad, para utilizarlo como cola de prioridad;
2. atención(montículo). Elimina y devuelve el elemento almacenado en la cima del montículo,
utilizado como cola de prioridad;
3. cambiar_prioridad(montículo, índice, prioridad). Cambia la prioridad de un elemento del
montículo y lo flota o hunde según corresponda.
Sigamos ahora observando la figura 10 en la cual se presenta la implementación de las funciones
anteriores, para poder utilizar el montículo como si fuera una cola. La función arribo solamente
llamará a la función agregar definida en el TDA montículo, y agrupará los campos prioridad y
dato –para no tener que alterar dicha función
–, mientras que la función atención solo llamará a la
función quitar.

[193]
Figura 10. Cola de prioridad con montículo
Pasemos a un ejemplo de uso del TDA montículo (como cola de prioridad) para la resolución de
un problema en la figura 11. En este caso, se deben generar números aleatorios (del 0 al 100) junto
con prioridades también generadas aleatoriamente (de 1 a 3) hasta completar el montículo y luego
realizar la atención de todos los elementos de la cola de acuerdo a su orden de prioridad.
Figura 11. Ejemplo de uso del TDA Cola
Hagamos una breve descripción de las acciones realizadas para la resolución del ejercicio anterior,
para comprender el uso del TDA montículo como cola de prioridad utilizando los eventos defini-
dos previamente.

[194]
Lo primero que hacemos es importar del TDA montículo las funciones que se utilizaremos, inclui-
do el módulo random para generar números aleatorios, luego hay que crear la variable de tipo heap
para después generar los números y su prioridad de manera aleatoria y agregarlos a la cola. Final-
mente, realizamos la atención de todos los elementos de la cola mostrando sus valores.
Flotando y hundiendo los elementos mediante
ordenamiento por montículo
Es un algoritmo cuyo funcionamiento es del tipo selección, creado por John William Joseph Wi-
lliams en 19641
. Funciona siguiendo los principios de montículo, es decir que los elementos a orde-
nar siguen las propiedades de dicha estructura, luego para ordenar los elementos toma el mayor o
menor (dependiendo si es un montículo de tipo máximo o mínimo), es decir el que está situado en
la primera posición del vector y lo intercambia con el último elemento del vector. Luego reubica el
elemento colocado en la primera posición hundiéndolo (para restablecer la propiedad de orden del
montículo) y marca el último elemento como ordenado decrementando el tamaño del vector. Y se
repite sucesivamente este proceso con el resto de los elementos del vector hasta que el tamaño del
vector desordenado es uno. A continuación, en la figura 12 se puede observar el funcionamiento del
algoritmo para ordenar un vector, nótese que inicialmente se debe llamar a la función montículizar
para transformar el vector en un montículo.
Figura 12. Ejemplo de funcionamiento del algoritmo heapsort
1 Williams, J. W. J. (1964), Algorithm 232 - Heapsort, Communications of the ACM, 7 (6): 347–348,
doi:10.1145/512274.512284

[195]
Pasemos ahora a observar la implementación del algoritmo de ordenamiento por montículos en la fi-
gura 13. Nótese que es uno de los algoritmos de ordenamientos más sencillos que hemos vistos, dado
que solo son cuatro líneas de código, esto es posible por la simplicidad del uso de los montículos.
Figura 13. Método de ordenamiento heapsort
Finalmente realicemos la comparación del algoritmo de ordenamiento por montículos respecto
a los otros algoritmos de ordenamiento, utilizando los mismos aspectos que mencionamos en el
capítulo IV.

[196]
A continuación se plantean una serie de problemas, los cuales deberán resolver utilizando el
TDA montículo.
1. Resolver el ejercicio 15 de la guía de ejercicios del capítulo VII, utilizando cola de prioridad.
2. Desarrollar un algoritmo que permita implementar cola de prioridad para administrar los tur-
nos de atención de la guardia de un hospital, con el siguiente criterio: consultas (1), emergen-
cias (2) y urgencias (3). Resuelva las siguientes actividades:
a. cargar 10 pacientes con diferentes prioridades;
b. realizar la atención de los pacientes, luego de atender cada paciente se pueden agregar
nuevos a la cola;
c. antes de realizar todas las atenciones, cambiar la prioridad del turno que está en la posi-
ción i-ésima.
3. El general Hux es la persona encargada de administrar todas las operaciones de la base Starki-
ller, para lo cual nos solicita desarrollar un algoritmo que permita controlar las actividades que
se realizan, contemplando lo siguiente:
a. debe contemplar distintas prioridades para el control de operaciones de acuerdo al siguien-
te criterio: pedidos de líder supremo Snoke y de Kylo Ren nivel tres, de capitán Phasma
nivel dos y el resto de las operaciones nivel a cargo de los generales de la base de nivel uno;
b. de cada actividad se conoce quien es el encargado, una descripción, la hora y opcional-
mente la cantidad de Stormtroopers requeridos;
c. utilizar una cola de prioridad para administrar las distintas operaciones, debe cargar al
menos ocho: dos de nivel tres, cuatro de nivel dos y cuatro de nivel uno;
d. opcionalmente se podrán agregar operaciones luego de atender una;
e. realizar la atención de las operaciones de la cola;
f. luego de atender la quinta operación, agregar una operación solicitada por capitán Phasma
para revisión de intrusos en el hangar B7 que requiere 25 Stormstroopers;
g. luego de atender la sexta operación, agregar una operación solicitada por el líder supremo
Snoke para destruir el planeta Takodana.
4. Resolver el ejercicio 4 de la guía de ejercicios del capítulo IV utilizando el método de ordena-
miento heapsort y comparar con los otros algoritmos probados en dicho capítulo.

[197]
5. El gran almirante Thrawn es el estratega del imperio galáctico para combatir contra los re-
beldes, el mismo normalmente se encuentra desbordado de pedidos de sugerencia de cómo
actuar por los distintos generales, para lo cual nos solicita desarrollar un algoritmo que le per-
mita atender los pedidos de ayuda de acuerdo a la prioridad de los mismo en base a los siguien-
te requerimientos:
a. se deben contemplar tres niveles de prioridad para la cola;
b. cada pedido de sugerencia cuenta con la siguiente información: nombre del general solici-
tante, planeta en el que se encuentra o el más próximo y descripción del pedido;
c. aquellos pedidos que provengan del “Gran Inquisidor”, el planeta de Lothal o la descrip-
ción mencione a “Hera Syndulla” tendrán la mayor prioridad;
d. si el pedido es del “Agente Kallus” o la descripción menciona “Destructor Estelar” o vehí-
culos “AT-AT” tendrán prioridad media;
e. el resto de los pedidos serán de prioridad baja;
f. realizar la atención de la cola almacenando los pedidos de mayor prioridad en una pila
llamada “bitácora” para revisión y seguimiento;
g. luego de cada atención se podrá agregar un pedido a la cola.
6. El comandante de la estrella de la muerte el gran Moff Tarkin debe administrar las asigna-
ciones de vehículos y Stromtroopers a las distintas misiones que parten desde la estrella de
la muerte, para facilitar esta tarea nos encomienda desarrollar las funciones necesarias para
gestionar esto mediante prioridades de la siguiente manera:
a. de cada misión se conoce su tipo (exploración, contención o ataque), planeta destino y
general que la solicitó;
b. si la misión fue pedida por Palpatine o Darth Vader estas tendrán alta prioridad, sino su
prioridad será baja;
c. si la misión es de prioridad alta los recursos se asignarán manualmente independiente-
mente de su tipo;
d. si la misión es de baja prioridad se asignarán los recursos de la siguiente manera depen-
diendo de su tipo:
I. exploración: 15 Scout Troopers y 2 speeder bike,
II. contención: 30 Stormtroopers y tres vehículos aleatorios (AT-AT, AT-RT, AT-TE,
AT-DP, AT-ST) pueden ser repetidos,
III. ataque: 50 Stormtroopers y siete vehículos aleatorios (a los anteriores se le suman
AT-M6, AT-MP, AT-DT),

[198]
e. realizar la atención de todas las misiones y mostrar los recursos asignados a cada una, per-
mitiendo agregar nuevos pedidos de misiones durante la atención;
f. indicar la cantidad total de recursos asignados a las misiones.

[199]
CAPÍTULO XIII
Conectando puntos. Cómo formar
una red conocida como grafo
Es momento de enfocarnos en una nueva estructura ramificada, formada por una red de nodos co-
nectados entre sí, que se conoce como grafo. Anteriormente, estudiamos la estructura de árbol y sus
diferentes tipos, estos también son casos particulares de grafos pero con ciertas restricciones. Los
grafos son útiles para abordar problemas de distintas disciplinas como ciencias de la computación,
matemáticas, ingeniería y otras tantas, en las que es necesario representar algún tipo de relación en-
tre datos se almacenan en dicha estructura. A diferencia de un árbol, el grafo no tiene un nodo raíz,
además desde un nodo se puede acceder a muchos otros y un nodo puede ser accedido desde distin-
tos nodos. A continuación se analizará en detalle la estructura de datos grafos y sus tipos, las distintas
alternativas de representación y también las diferentes variantes de exploración y búsqueda. Además
se hará foco en algunos algoritmos especiales para resolver los problemas clásicos de grafo, como
determinar el camino más corto o encontrar el árbol de expansión mínimo, entre otras cuestiones.
La teoría de grafos tuvo su origen a partir de un trabajo de Leonhard Euler matemático suizo en
19361
, como resultado al histórico problema matemático de los siete puentes Königsberg. La cual
actualmente es la ciudad de Kaliningrado en Rusia, esta conocida por los siete puentes que conec-
ta los márgenes del río Pregel con dos de sus islas, como se puede ver en la figura 1. El problema
en cuestión era idear un paseo por la ciudad que cruzara cada uno de esos puentes una sola vez y
volver al punto de inicio. De manera general el problema consistía en determinar si: ¿es posible, par-
tiendo de un lugar arbitrario, regresar a dicho lugar de partida cruzando cada ruta una sola vez?
Euler demostró que el problema no tenía solución representando el problema de los puentes de Kö-
nigsberg con un grafo –dando origen a la teoría de grafo–. La mayor dificultad que tuvo en el proce-
so fue el desarrollo de una técnica de análisis adecuado y las pruebas posteriores que establecieron
dicha afirmación con rigor matemático. En efecto Euler logra resolver un problema más general:
¿qué condiciones debe cumplir un grafo para que se pueda volver al punto de partida pasando por todos los
nodos? Para esto todos los vértices deben ser de grado par y esto se denomina como ciclo euleriano.
Figura 1. Esquema de puentes de Königsberg
1 Euler, Leonhard (1736). Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. Comment. Acad. Sci. U.
Petrop 8, 128–40.

[200]
Básicamente existen dos tipos de grafos, dirigidos y no dirigidos, comencemos a estudiar el primero
de estos también conocido como digrafos. Este es un conjunto G= (V, A) que está compuesto por
un conjunto de vértices o nodos V (v1, v2, v3,…, vn) y un conjunto de aristas o arcos A (a1, a2, a3,…,
an). Una arista está compuesta por un par ordenado (a, b), se decir que a es el vértice origen y b el
vértice destino, es decir que el vértice b es accedido desde a y se lo representa con una flecha, como
se observa en la figura 2. Nótese que la arista tiene una dirección, por eso se denominan grafos. Esta
arista que representa la relación entre dos vértices también se denomina adyacencia, se dice enton-
ces que el vértice b es adyacente de a.
Figura 2. Arista que une el vértice a con el b
Mediante grafos podemos representar y modelar múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana
por ejemplo: ciudades y rutas que las conectan, aeropuertos y sus correspondientes vuelos que los
unen, puertos y las rutas marítimas, circuitos eléctricos, una red neuronal, puntos de conexión de
una red, relaciones entre personas, diagrama de actividades, seguidores o amigos de un usuario en
una red social y un largo etcétera. Tomando el ejemplo de las redes sociales, los vértices serían per-
sonas y las aristas las relaciones de amistad –o si sigue a una determinada persona–. A continuación
en la figura 3 se presenta un grafo dirigido que tomaremos como ejemplo para explicar la termino-
logía básica referida a gafos. Este nos ayudará a comprender los conceptos que se desarrollan a lo
largo del capítulo.
Figura 3. Estructura de un grafo dirigido

[201]
Camino: en un grafo dirigido en un conjunto de vértices (v1, v2, v3) tal que existen los arcos del
camino (v1-v2, v2-v3). Por ejemplo el camino de vértices A, C, F, D, está compuesto de los arcos
AC, CF, FD.
Longitud de un camino: es la cantidad de aristas del camino o la cantidad de vértices del camino
menos uno. Siguiendo el ejemplo del camino anterior, la longitud es tres.
Etiquetadeunaarista:esunvalorqueestáasociadoalarelaciónentredosvértices.Estesueleserun
valor numérico que representa tiempo, distancia, cantidades que indican el valor de ir desde el vér-
tice origen al destino, también se lo denomina peso. Por ejemplo la etiqueta de la arista CF es nueve.
Conexo: un grafo dirigido es conexo si desde cualquier vértice se puede acceder a cualquier
otro, ya sea de manera directa o indirecta –es decir pasando por nodos intermedios–. Para el
caso de la figura no es conexo dado que, por ejemplo, desde el vértice C no puedo acceder al
vértice B de ninguna manera.
Acíclico: un grafo dirigido es acíclico si no tiene ciclos, esto implica que para cada vértice del
grafo no exista ningún camino que empiece en un vértice y termine en el mismo –un vértice
podría tener un arco a sí mismo y formar un ciclo–. Continuando con el ejemplo de la figura, el
grafo no es acíclico dado que existe un ciclo entre C-F-D.
Camino hamiltoniano: es un camino que consiste en visitar todos los vértices de grafo pasando
solo una vez por cada uno, si además el primer vértices es adyacente de el último el camino tam-
bién es un ciclo hamiltoniano. En el ejemplo el camino A-B-E-F-D-C es un camino hamiltoniano.
Caminoeuleriano:esuncaminoqueconsisteenpasarporcadaaristadelgrafosolounavez–noim-
porta que visite los vértices más de una vez–, asimismo si el vértice de partida es el vértice de llegada
el camino es un ciclo euleriano (este último es el famoso problema de los puentes de Königsberg).
Por lo cual, podemos definir un grafo de la siguiente manera basándonos en su estructura y su
mecánica de funcionamiento: es una estructura ramificada de datos llamados vértices, relaciona-
dos entre sí por medio de arista que pueden tener una etiqueta que refleja alguna característica de
dicha relación.
Para comenzar a trabajar con grafos primero debemos entender de qué manera podemos represen-
tar todos los conceptos abordados. Como ya sabemos un grafo está formado por un conjunto de
vértices y un conjunto de aristas que enlazan los vértices. Cuando el número de aristas es elevado
respecto a la cantidad de vértices se dice que el grafo es denso, en el caso contrario es disperso. La
primera alternativa que tenemos es una forma muy intuitiva de representar un grafo, para lo cual
utilizamos una matriz cuadrada donde la etiqueta de los vértices serán las filas y columnas de la
misma. Luego, como es un grafo dirigido, cargamos las aristas de la siguiente manera: el origen será
la fila y el destino la columna. Y en la intersección colocaremos el peso de la etiqueta de la arista –si
es sin peso colocaremos un 1 para indicar que dichos vértices están conectados–, siguiendo con el
ejemplo tomamos el vértice A (fila) y luego completamos en la intersección de las columnas de los
vértices adyacentes: en B se coloca un 7, en C ponemos un 5, en D completamos con un 5, después
en el resto de las columnas se pone cero y se repite el mismo procedimiento para las demás filas
como se ve en la figura 4. Si fuera un grafo no dirigido sería una matriz simétrica, es decir tanto en
la intersección fila-columna y columna-fila deberá ir el peso de la etiqueta.

[202]
Figura 4. Matriz de adyacencia de un grafo dirigido
La principal desventaja de utilizar una matriz de adyacencia es que si el grafo no es denso se des-
perdicia mucho espacio de la matriz dado que solo se almacenan ceros, como se observa en la figu-
ra anterior, y además las etiquetas de los vértices deben estar enumeradas consecutivamente con
números o caracteres que puedan ser mapeados de manera directa. Caso contrario necesitaremos
una función que se encargue de realizar la transformación de la etiqueta del vértice a una posición
fila-columna cuyo datos estarán almacenados en un vector que altera la eficiencia de acceso. Pero
no todo es malo, la ventaja de esta representación es que rápidamente podemos localizar si existe
una arista, por ejemplo si queremos saber si existe una conexión entre el vértice D y F, accedemos
a la matriz en la posición correspondiente a cada vértice (matriz[3] [5]) y nos preguntamos si es dis-
tinto de cero, con un coste de acceso de orden O(1), lo cual es muy eficiente.
Otra alternativa de representación es utilizar un vector de listas de adyacencia, en el vector tendre-
mos cada uno de los vértices y una lista de aristas, las cuales almacenarán la etiqueta del vértice
destino y el peso de ir del vértice origen al destino. Como se observa en la figura 5 solo se repre-
sentan las conexiones, por esto ocupa menos espacio que la representación anterior, lo cual es una
buena estrategia a utilizar cuando el grafo no es denso, dado que el tamaño es proporcional al
número de aristas del grafo. La desventaja de esta representación es que si queremos determinar si
hay una conexión entre dos vértices debemos recorrer la lista de adyacencia del vértice origen para
determinar si está el destino lo cual es una operación de costo lineal del orden de O(n); además las
etiquetas de los vértices deben ser enumeradas consecutivamente o se requerirá una función que
se encargue de transformar las etiquetas como en el caso anterior.
Figura 5. Vector de listas de adyacencia de un grafo dirigido

[203]
La última alternativa que podemos utilizar es completamente proporcional al número de vértices
y aristas, como se puede observar a continuación en la figura 6, usando lista de listas de adyacen-
cia. La ventaja de este modelo respecto de los anteriores es que es completamente dinámico, por
lo cual se puede cambiar el número de vértices sin necesidad de volver a crear la matriz o el vector
requerido en los casos anteriores. Al igual que en el caso anterior su desventaja es que el costo de
acceso es lineal tanto cuando buscamos un vértice o una arista. Esta implementación es recomen-
dada cuando hay que representar un grafo disperso y volátil, es decir que se agreguen y eliminen
elementos con mucha frecuencia.
Figura 6. Lista de listas de adyacencia de un grafo dirigido
En resumen el criterio para elegir el tipo de representación a utilizar no será siempre el mismo y
dependerá de los siguientes parámetros: del tipo de problema a trata, su densidad y volatilidad.
Pongamos la atención por un momento en como recorrer un grafo, algunas preguntas que segu-
ramente se te vendrán a la mente: ¿Cómo se realiza un barrido de esta red de nodo? ¿Por dónde se debe
comenzar? Básicamente existen dos tipos de barridos que se pueden aplicar a grafos ya sean dirigido
o no dirigido, para esto primero debemos marcar todos los vértices como no visitados y cuando
pasamos por cada nodo lo marcamos como visitado, para evitar pasar dos veces por el mismo nodo
–y entrar en un ciclo infinito– dado que hay más de un camino al mismo nodo:
Exploración en profundidad: se comienza por un vértice arbitrariamente, se trata dicho vértice
y se lo marca como visitado, luego se trata recursivamente todos los vértices adyacentes no visi-
tados, si al finalizar quedan vértices sin visitar se toma el siguiente vértice sin tratar y se repite
el procedimiento. Continuando con el grafo de ejemplo, si aplicamos este barrido se obtendrá
como salida A, B, D, C, E, F.
Exploración en amplitud: se crea una cola a la cual se agrega un vértice arbitrariamente y se lo
marca como visitado, luego mientras la cola no esté vacía se atiende el primer elemento de la
cola y se trata el vértice. A continuación se agregan a la cola y se marcan como visitados todos
los vértices adyacentes que aún no hayan sido visitados; cuando la cola queda vacía si aún que-
dan vértices sin visitar, se toma el siguiente vértice sin tratar y repite el procedimiento anterior.
La salida si aplicamos este barrido al grafo de ejemplo es A, B, C, D, E, F.

[204]
Comencemos a pensar en el diseño del TDA grafo, este tendrá muchas similitudes con el TDA lista
dado que optaremos por una representación de lista de listas de adyacencia. En el TDA tendremos
la clase grafo compuesta básicamente de dos elementos denominados inicio y dirigido, el primero
apuntará a un nodoVertice y segundo es un campo booleano que indicará si es un grafo dirigido
o no. El nodoVertice, por su parte, contará con los siguientes campos: información que almacena el
dato del vértice, siguiente que almacena la dirección del siguiente vértice de la lista, visitado es un
campo booleano utilizado para los barridos y adyacentes que es de tipo arista que representa la lista
de arcos que sale de dicho vértice es decir sus adyacentes. La clase arista es una lista de nodoArista
el cual consta de los siguientes campos información que almacena el peso de la arista, destino con
el valor de la etiqueta del vértice destino y siguiente que guardará la dirección de la siguiente arista
adyacente. Opcionalmente pude agregarse el campo tamaño tanto a la clase grafo y arista para faci-
litar el cálculo de la cantidad de elementos en cada una sin necesidad de utilizar funciones extras.
Además tendremos un conjunto de operaciones que dispondremos para administrar el grafo, las
cuales son enumeradas a continuación:
1. insertar_vértice(grafo, dato). Agrega el elemento como un vértice al grafo;
2. insertar_arista(grafo, dato, vértice origen, vértice destino). Agrega el elemento como una arista
desde el vértice destino al vértice origen, si el grafo es dirigido y si es no dirigido también lo
inserta desde el vértice destino al origen;
3. agregar_arista(vértice origen, dato, vértice destino). Agrega una arista a la lista de aristas del
vértice origen al vértice destino;
4. eliminar
_vértice(grafo, clave). Elimina y devuelve del grafo si encuentra un vértice que coin-
cida con la clave dada –el primero que encuentre– y además recorre el resto de los vértices
eliminando las aristas cuyo destino sea el vértice eliminado, si devuelve None significa que no
se encontró la clave en el grafo, y por ende no se elimina ningún elemento;
5. eliminar_arista(vértice, destino). Elimina y devuelve del vértice si encuentra una arista que
coincida con el destino dado –el primero que encuentre–, si devuelve None significa que no se
encontró la arista destino en el vértice, y por ende no se elimina ningún elemento;
6. buscar_vértice(grafo, clave). Devuelve un puntero que apunta al vértice que contiene un ele-
mento que coincida con la clave –el primero que encuentra–, si devuelve None significa que no
se encontró la clave en el grafo;
7. buscar_arista(grafo, vértice origen, vértice destino).Devuelve un puntero que apunta a la arista
que contiene el elemento que coincida con el destino –el primero que encuentra–, en la lista
de aristas del vértice origen, si devuelve None significa que no se encontró el destino desde el
vértice origen;
8. grafo
_vacío(grafo). Devuelve verdadero (true) si el grafo no contiene elementos;
9. tamaño(grafo). Devuelve la cantidad de vértices en la grafo;
10. barrido_vértices(grafo). Realiza un barrido de los vértices ordenados;

[205]
11. es_adyacente(vértice, destino). Devuelve verdadero (true) si el destino es un nodo adyacente
al vértice;
12. adyacentes(vértice). Realiza un barrido de los nodos adyacentes al vértice;
13. marcar_no_visitado(grafo). Marca todos los nodos vértices como no visitados poniendo el cam-
po visitado con valor falso (false);
14. existe_paso(grafo, vértice origen, vértice destino). Devuelve verdadero (true) si es posible ir des-
de el vértice origen hasta el vértice destino, caso contrario retornará falso (false);
15. barrido_profundidad(grafo, vértice inicio). Realiza un barrido en profundidad del grafo a par-
tir del vértice de inicio;
16. barrido_amplitud(grafo, vértice inicio). Realiza un barrido en amplitud del grafo a partir del
vértice de inicio;
17. dijkstra(grafo, vértice origen, vértice destino). Devuelve el camino más corto desde el vértice
origen al vértice destino;
18. prim(grafo, vértice inicio). Devuelve el árbol de expansión mínimo del grafo a partir del vértice
de inicio;
19. kruskal(grafo, vértice inicio). Devuelve el árbol de expansión mínimo del grafo a partir del
vértice de inicio.
Empecemos con la implementación del TDA para lo cual debemos crear las clases nodoVertice y
nodoArista detalladas anteriormente. Además se deben definir los tipos de dato arista y grafo, am-
bos con los campos inicio y tamaño con valores None y cero respectivamente –como lo hicimos en el
TDA lista
–, las definiciones de todos estos tipos de datos se presentan en las figuras 7 y 8.

[206]
Figura 7. Definición de la estructura del TDA grafo
Figura 8. Definición de la estructura del TDA grafo
Además desde la figura 9 hasta la 19 se detalla la implementación de las funciones TDA menciona-
das anteriormente, que serán los eventos que nos permitirán utilizar el TDA grafo.

[207]
Figura 9. Interfaz o eventos del TDA grafo parte 1

[208]

[209]

[210]

[211]

[212]
Como habrán podido notar muchas de las funciones vistas en las figuras anteriores son similares
a las del TDA lista así que no las volveremos a analizar –dado que solo presentan pequeños cam-
bios de adaptación que quedarán a cargo del lector interpretarlas–, pero sí nos detendremos para
desglosar analíticamente las actividades que se realizan en las funciones “barrido en profundidad”,
“barrido en amplitud”, “existe paso” e “insertar arista”, de las cuales podemos resaltar lo siguiente: el
barrido en profundidad parte desde una lista de vértices y consiste en tratar el nodo inicial y luego
tratar todos sus nodos adyacentes de manera recursiva –cada vez que trata un nodo se lo marca
como visitado para no caer en un ciclo–, es decir que podemos conocer todos los vértices accesibles
desde dicho vértice, si luego de terminar las llamadas recursivas quedaron vértices sin visitar se
toma el siguiente de la lista –no visitado– y se repite el procedimiento hasta que todos los vértices
estén marcados como visitados. En cambio en el barrido en amplitud parte de una lista de vértices
creando una cola con el vértice inicial, luego mientras la cola no está vacía realiza las siguientes
actividades, primero atiende el primer vértice de la cola lo trata y lo marca como visitado y luego
agrega a la cola todos los vértices adyacentes a este que estén no visitados –para evitar caer en un
ciclo
–; una vez que la cola está vacía si quedaron vértices sin visitar en la lista se toma el siguien-
te –no visitado
– y se repite el procedimiento hasta que todos los vértices hayan sido visitados. Por
su parte para determinar si existe paso se utiliza el barrido en profundidad para determinar si es
posible acceder al vértice destino desde el origen, solamente que al final las llamadas recursivas
no se vuelve a tomar el siguiente vértice de la lista, si no se encontró el vértice destino significa que
no existe paso entre origen y destino. Por su parte la función insertar arista nos simplifica la tarea
de insertar una arista, si el grafo es dirigido agrega la arista del vértice origen al destino y si es no
dirigido además la inserta desde el destino hacia el origen. Esto permite un manejo transparente al
momento de insertar una arista.
Por su parte un grafo no dirigido es un conjunto de vértice V y aristas A, es decir G= (V, A), que se di-
ferencia de un grafo dirigido en que cada arista A no es un par ordenada (a, b) sino que (a, b) = (b, a),

[213]
es decir no tiene asociado un sentido, los grafos no dirigidos se los suele denominar simplemente
grafos. Gráficamente los vértices están unidos con una línea en lugar de una flecha, como el grafo
que se presenta en la figura 20. Respecto de todo lo visto anteriormente aplica también para grafos
no dirigidos, es decir: técnicas de representación, barridos e implementación. Respecto de esto úl-
timo ya mencionamos que solo debemos indicar mediante la variable booleana dirigido, si el grafo
es dirigido tendrá valor verdadero y si es no dirigido falso.
Figura 20. Grafo no dirigido
Encontrando el camino más corto con la ayuda
del algoritmo de Dijkstra
Este algoritmo nos permite encontrar el camino más corto entre dos vértices de un grafo cuya aris-
tas tienen peso positivo –funciona tanto para grafos dirigidos como no dirigidos–. Su nombre pro-
viene de su inventor Edsger Dijkstra, científico de ciencias de la computación holandés, quien lo
creó en 1956 y fue publicado unos años más tarde2
. Si el grafo tiene aristas con peso negativo se
puede utilizar el algoritmo de Bellmand3
-Ford4
.
La esencia del algoritmo consiste en partir desde un nodo origen desde el cual se calculan las dis-
tancias a cada uno de sus vértices adyacentes (no tratados), luego se selecciona el vértice adyacente
más cercano no tratado y se vuelve a repetir este procedimiento; el algoritmo termina cuando todos
los vértices del grafo han sido tratados. Tenga en cuenta que si el grafo es dirigido previamente
debería determinar si existe paso desde el origen al destino para no ejecutar el algoritmo en vano.
2 Dijkstra, E. W. (1959). A note on two problems in connexion with graphs. NumerischeMathematik 1:
269–271. doi: 10.1007/BF01386390 (http://dx.doi.org/10.1007/BF01386390).
3 Bellman, Richard (1958). On a routing problem. Quarterly of Applied Mathematics. 16: 87–90.
4 Ford, Lester R. Jr. (August 14, 1956). Network Flow Theory. Paper P-923. Santa Monica, California:
RAND Corporation.

[214]
La mejor manera de entender este algoritmo es analizar su mecánica de funcionamiento a través de
un ejemplo, para esto vamos a ver todas las etapas de iteración del algoritmo partiendo del grafo de
la siguiente figura para encontrar el camino más corto desde el vértice T hasta el Z:
Figura 21. Grafo no dirigido cuyas aristas tiene peso positivo
Primero debemos asignar valor infinito a las distancias desde el inicio a todos los nodos a excepción
del inicial que tendrá valor cero y no tiene vértice anterior, además todos los vértices están marca-
dos como no visitados, como se observa en la siguiente tabla.
Vértice Peso desde inicio Vértice anterior Visitado
T 0 - No
X ∞ No
F ∞ No
R ∞ No
Z ∞ No
Ahora tomamos el vértice de menor distancia no visitado y calculamos la distancia a todos los vér-
tices adyacentes a este no visitado, es decir se elige el vértice T y sus adyacentes son X a 6, F a 3, R 8.
Si dichas distancias son menores a las actuales se actualizan dichos valores –en este caso son todas
menores dado que tiene valor infinito–, además si se cambian las distancias se actualiza el vértice
anterior de dichos nodos con el valor del vértice actual que se está tratando (en este caso se coloca
T) y luego se indica como tratado el vértice actual como se observa a continuación.
T 0 - Si
X ∞6 T No
F ∞3 T No
R ∞8 T No
Z ∞ No
Para continuar, volvemos a elegir el vértice que tiene menor distancia de los no tratado, en este caso
F, se calcula la distancia a sus adyacentes –teniendo en cuenta que se debe considerar la distancia
para requerida para llegar al vértice F desde el anterior (3) por lo cual las distancias serán X a 5 y R a
5, en ambos casos los vértices están a 2 de distancia del vértice actual por lo cual la distancia total es

[215]
5 (3 + 2), como las distancias son menores a las actuales se actualizan dichos valores y se actualiza el
vértice anterior por el actual y se indica que el vértice F fue visitado como se ve en la tabla.
T 0 - Si
X ∞6 5 T F No
F ∞3 T Si
R ∞8 5 T F No
Z ∞ No
En la siguiente iteración ocurre que tenemos dos vértices que comparten la distancia mínima, para
lo cual el criterio de desempate es arbitrario, continuando con el ejemplo tomamos el vértice X, las
distancias a sus adyacentes son R a 10, Z a 14, por lo cual solo se actualiza la distancia a Z ya que la
nueva distancia a R es mayor que la que tiene actualmente, después actualizamos el vértice anterior
de Z y indicamos que X ya está visitado. Como podemos observar a continuación en la tabla.
T 0 - Si
X ∞6 5 T F Si
F ∞3 T Si
R ∞8 5 T F No
Z ∞ 14 X No
Seguimos repitiendo el mismo procedimiento, en este caso el de menor distancia es el vértice R y su
adyacente es Z a 9, dado que los demás vértices ya han sido visitados, como la distancia es menor
que la actual procedemos a actualizar la distancia y también el vértice anterior por el actual, por
último nos resta indicar que el vértice R ya fue visitado como se observa en la tabla.
T 0 - Si
X ∞6 5 T F Si
F ∞3 T Si
R ∞8 5 T F Si
Z ∞14 9 X R No
Finalmente solo nos queda un vértice por visitar Z, por lo cual esta es la iteración final y solo mar-
camos el vértice como visitado y finaliza el algoritmo.
T 0 - Si
X ∞6 5 T F Si
F ∞3 T Si
R ∞8 5 T F Si
Z ∞14 9 X R Si

[216]
Una vez finalizado el algoritmo ya con toda la tabla completa, ¿Cómo determino el camino mínimo y
su costo?, continuando con nuestro ejemplo de encontrar el camino más corto para llegar del vértice
T a Z: para determinar el costo mínimo del camino nos fijamos en la columna peso o distancia del
vértice destino, es decir, para este caso Z y el costo es 9, mientras que para obtener el camino –es
decir los vértices por los que debe pasar
– se construye desde atrás hacia adelante: nuevamente nos
posicionamos en la fila de Z y no fijamos el vértice anterior (R) y luego repetimos este proceso hasta
llegar al vértice origen –es decir el que no tiene anterior
–, por lo cual para este caso el camino más
corto es T-F-R-Z, como se describe gráficamente en la siguiente tabla.
T 0 - Si
X ∞6 5 T F Si
F ∞3 T Si
R ∞8 5 T F Si
Z ∞14 9 X R Si
De acuerdo al proceso descrito anteriormente necesitaremos un estructura auxiliar para poder im-
plementar el algoritmo de Dijkstra, para esto utilizaremos una cola de prioridad (basada en un
montículo mínimo). Esta se encargara de ordenar los vértices de acuerdo a la distancia hasta el
vértice origen, para que al realizar una atención en cada iteración podamos tomar el vértice de me-
nor distancia. Si se opta por otra manera de implementación sin cola, se deben utilizar dos vectores
auxiliares de n elementos (donde n representa el número de vértices del grafo), uno para guardar la
distancia de cada vértice al origen y el otro para indicar si dicho vértice fue visitado.
Pero hablando en términos de eficiencia, ¿Cuál es la complejidad del algoritmo de Dijkstra? Esta depen-
derá de la implementación utilizada: si se usa cola de prioridad, la complejidad es del orden de O(a
log2 n) donde a es el número de aristas y n el número de vértices, en cambios si se opta por usar
vectores la complejidad es del orden de O(n2
).
A continuación, en la figura 22, se pude ver la implementación del algoritmo de Dijkstra utilizando
colas de prioridad, la devuelve una pila con los resultados de la tabla para obtener el camino.

[217]
Figura 22. Implementación algoritmo de Dijkstra

[218]
Expandiendo un árbol a través de un grafo
que conecte todos los vértices
Suponga un grafo no dirigido G conexo con aristas etiquetadas con peso, un árbol de expansión
mínimo para el grafo G, es un árbol libre que conecta todos los nodos con las aristas de menor peso
y además no debe existir ciclo entre sus nodos. A continuación en la figura 23 se observa un grafo
y todos los posibles árboles de expansión que se pueden obtener de dicho grafo, de los cuales el de
la izquierda es el árbol de expansión mínimo que tiene un peso total de 6, nótese que no pueden
existir ciclos.
Figura 23. Árboles de expansión de un grafo
Los árboles de expansión mínimos son muy útiles por ejemplo para determinar una ruta para reco-
rrer todos los puntos en menor tiempo, saber cuál es el orden de las actividades de un proyecto para
poder minimizar costos, suponiendo en ambos caso que existiera múltiples caminos a al menos
un vértice. Aunque en ocasiones también puede ser útil hallar el árbol de expansión máximo, por
ejemplo: si las aristas del grafo representan beneficios y se quiere maximizarlos, en este caso se de-
ben invertir los algoritmos; otra alternativa es transformar el peso de las aristas de beneficios a cos-
tos y hallar el árbol de expansión mínimo. Para encontrar el árbol de expansión mínimo existen dos
técnicas populares el algoritmo de Prim y el de Kruskal que analizaremos en detalle a continuación.
Arranquemos estudiando el algoritmos de Prim que nos permite encontrar el conjunto de arista
que une todos los vértices de un grafo con el costo mínimo formando un árbol de expansión, el
cual tiene diversas aplicaciones como ya se mencionó previamente. Fue desarrollado en 1930 por el

[219]
matemático checo Vojtěch Jarník5
y luego redescubierto y republicado por Robert C. Prim6
en 1957.
Este algoritmo tiene una complejidad del orden de O(a log v) si utilizamos cola de prioridad, donde
a es el número de aristas del grafo y n la cantidad de vértices.
Comprendamos la esencia de este algoritmo a través de un ejemplo, sigamos trabajando con el gra-
fo de la figura 21. Inicialmente creamos un árbol con un nodo con el valor del vértice inicial –elegido
arbitrariamente–, para nuestro ejemplo arrancaremos desde T. Después debemos tomar la arista
de menor peso que conecte a alguno de los vértices adyacentes que aún no esté en el árbol. Como
se observa en la figura 24 las opciones son los vértices F a 3, R a 8 y X a 6, de los cuales se selecciona
el F y se agrega el árbol como hijo de T.
Figura 24. Algoritmo de Prim iteración 1
Luego se vuelve a repetir el mismo procedimiento hasta que el árbol tenga la misma cantidad de
nodos que vértices en el grafo, pero al momento de seleccionar la arista de menor peso se suman
además las aristas del último vértice agregado al árbol. Por lo que ahora las posibles alternativas
son desde T: X a 6 y R a 8 y desde F: X a 2 y R a 2. Como verán, tenemos dos aristas con el mínimo
peso, la elección es de manera arbitraria. Para este ejemplo tomaremos la arista de F a X de peso 2
y agregaremos X al árbol como hijo F, como se observa a continuación. Nótese que las aristas que
conectan dos vértices que ya estén en el árbol, se eliminarán ya sea porque forman parte del árbol
o porque dichos vértices ya están conectados en el árbol con un camino más corto.
5 Jarník, V. (1930), O jistémproblémuminimálním [About a certain minimal problem],
PráceMoravskéPřírodovědeckéSpolečnosti (in Czech), 6 (4): 57–63.
6 Prim, R. C. (November 1957), Shortest connection networks And some generalizations, Bell System
Technical Journal, 36 (6): 1389–1401, Bibcode:1957BSTJ...36.1389P.

[220]
En la siguiente iteración las posibles aristas a utilizar son desde T: R a 8, desde F: R a 2 y desde X: R
a 5 y Z a 9, por lo cual se elige la arista de F a R y se agrega R al árbol como hijo de F, como se ve en
la siguiente figura.
Ya solo resta agregar un vértice al árbol por lo cual esta será la última iteración del algoritmo, en la
que quedan dos posibilidades de R: Z a 4 y desde X: Z a 9, de las cuales se elige de R a Z y se agrega
Z al árbol como hijo de R, como se describe en la siguiente figura, para finalmente obtener el árbol
de expansión mínimo (a la izquierda en la figura 27), cuyo peso total es 11.
Para implementar el algoritmo de Prim utilizaremos una cola de prioridad, usando un montículo
mínimo, para almacenar las aristas disponibles para elegir, de esta manera en cada iteración saca-
remos la arista de menor peso que está en el frente de la cola, el árbol de expansión se guarda en un
vector auxiliar llamado bosque en forma de par ordenado padre-hijo (o vértice origen-destino). En
la figura 28 y 29 se presenta la implementación completa del algoritmo.

[221]
Figura 28. Implementación algoritmo de Prim parte 1
Figura 29. Implementación algoritmo de Prim parte 2
Otra alternativa que nos permite hallar el árbol de expansión mínimo es el algoritmo de Krus-
kal, fue publicado por el matemático estadunidense Joshep Kruskal7
y de ahí proviene su nombre.
Además de estos dos algoritmos existen otros similares menos conocidos como el algoritmo de
7 Kruskal, J. B. (1956). «On the shortest spanning subtree and the traveling salesman problem». Proceedings
of the American Mathematical Society (7): 48-50. JSTOR 2033241.

[222]
Boruvka8
utilizado como un método eficiente para construir la red eléctrica de Moravia en 19269
.
Este algoritmo tiene una complejidad del orden de O(a log v) al igual que el visto anteriormente
dado que se implementa con cola de prioridad.
Para demostrar que este algoritmo devuelve el mismo resultado que el anterior trabajaremos con el
mismo grafo de ejemplo. Al iniciar el algoritmo creamos un bosque donde cada uno de los nodos
del grafo es un árbol solo con raíz y además se crea una cola de prioridad –utilizando un montícu-
lo mínimo– a la cual se agregan todas las aristas del grafo, con su origen-destino y peso, como el
montículo es mínimo las aristas quedarán ordenadas de menor a mayor, como se puede observar
a continuación.
Figura 30. Algoritmo de Kruskal configuración inicial
Ahora mientras el tamaño del bosque sea mayor que uno –es decir que haya más de un árbol en
el bosque–, ya que cuando el bosque tenga tamaño uno significa que tendremos todos los nodos
conectados, repetiremos el siguiente procedimiento: hacemos la atención de la primera arista de la
cola para este caso la arista de F hasta R con peso 2. Si dicha arista conecta dos árboles del bosque,
se quita del bosque el árbol que contiene el nodo igual al destino de la arista y se lo agrega al árbol
que contenga el nodo igual al origen, como hijo de este; caso contrario se descarta la arista dado que
implica que dicho nodos ya están conectados en algún árbol del bosque. Para este caso se quita el
árbol con raíz R y se agrega como hijo del árbol con raíz F, esto se puede ver en la siguiente figura.
Figura 31. Algoritmo de Kruskal iteración 1
8 Borůvka, Otakar (1926). O jistémproblémuminimálním [About a certain minimal problem]. Práce Mor.
Přírodověd.Spol.V Brně III (in Czech and German).3: 37–58.
9 Borůvka, Otakar (1926). Příspěvek k řešeníotázkyekonomickéstavbyelektrovodníchsítí (Contribution
to the solution of a problem of economical construction of electrical networks).ElektronickýObzor (in
Czech). 15: 153–154.

[223]
En la siguiente iteración, la arista que se atiende es de F hasta X cuyo peso es 2, como la arista co-
necta dos árboles del bosque se quita el árbol que contiene X del boque y se agrega como hijo de F,
como se detalla en la siguiente figura. Como las aristas están almacenadas en una cola de prioridad
mínima por su campo peso en cada atención se extraerá siempre la de menor peso.
Continuando con el ejemplo es el turno de atender la arista de peso 3 que va desde F hasta T, esta
también une dos árboles del bosque por lo que volvemos a repetir el procedimiento y combinamos
los dos árboles en uno solo como en los casos anteriores. Como se aprecia a continuación ya solo
quedan dos árboles en el bosque.
Por último la arista que se encuentra en el frente de cola para ser atendida tiene peso 4 y va desde
R a Z, en esta ocasión también la arista conecta dos árboles del bosque por lo cual se agrega la Z
como hijo de R; al terminar esta iteración el bosque tiene tamaño uno, lo que indica que ya hemos
encontrado el árbol de expansión mínimo y se detiene el algoritmo. Si alguna de las aristas que se
atiende no conecta dos árboles se descarta dado que implica que dichos valores ya están inclui-
dos en un mismo árbol. En la siguiente figura, a la izquierda está el árbol de expansión mínimo
obtenido el cual tiene un peso total de 11, como se habrá notado es el mismo que obtuvimos con el
algoritmo anterior.

[224]
En lo que respecta a la implementación del algoritmo de Kruskal basado en el uso de cola de prio-
ridad y se utiliza un vector denominado bosque para guardar el árbol de expansión mínimo, como
se detalla a continuación en la figura 35 y 36.
Figura 35. Implementación algoritmo de Kruskal parte 1

[225]
Figura 36. Implementación algoritmo de Kruskal parte 2
Volviendo un poco para atrás, mencionamos que a veces es útil hallar el árbol de expansión máxi-
mo, pero ¿Cómo hacemos para hallarlo? Los algoritmos son los mismos que utilizamos anteriormente,
pero para que en cada iteración tomen la arista de mayor peso, debemos utilizar un montículo máxi-
mo para la cola de prioridad. Otra alternativa para encontrar el árbol de expansión máximo sin mo-
dificar los algoritmos hechos para hallar el árbol de expansión mínimo, es transformar el peso de las
aristas a mínimo. Para hacer esto primero buscamos la arista de mayor peso del grafo y luego a dicho
valor le restamos el original de cada arista, como se puede observar en la siguiente tabla. Nótese que
ahora las aristas que antes tenían mayor peso, ahora tienen el menor peso y las menores ahora son
mayores, lo cual nos permite aplicar los algoritmos desarrollados para hallar el árbol mínimo.
Arista Peso Nuevo Peso
T-Z 3 9 – 3 = 6
F-X 2 9 – 2 = 7
T-X 6 9 – 6 = 3
T-R 8 9 – 8 = 1
F-R 2 9 – 2 = 7
R-Z 4 9 – 4 = 5
X-Z 9 9 – 9 = 0
R-X 5 9 – 5 = 4

[226]
Cabe aclarar que para los dos algoritmos descritos anteriormente si el grafo no es conexo, se encon-
trarán los árboles de expansión para cada uno de los componentes conexos que forman dicho grafo.
Para terminar nos queda probar a través de un ejemplo el uso del TDA grafo para la resolución de un
problema. Para lo cual continuaremos trabajando con el grafo que hemos usado para explicar los dis-
tintos algoritmos –el de la figura 21–. Sobre el cual realizaremos un barrido en profundidad y en am-
plitud, además determinaremos el camino más corto desde el vértice T hasta Z, y también debemos
hallar el árbol de expansión mínimo de dicho grafo, esto se aprecia a continuación en la figura 37.
Figura 37. Ejemplo de uso del TDA grafo
Describamos las acciones realizada para lograr comprender el manejo del funcionamiento del TDA
grafo mediante el uso de los eventos definidos: primero vamos a importar del TDA grafo las funcio-
nes que vamos a utilizar y del TDA pila las funciones que necesitaremos para procesar la salida del
algoritmo de Dijkstra, primero vamos a crear un grafo no dirigido pasándole el parámetro False y
procedemos a cargarlo con una función para cargar los vértices y las aristas del grafo del ejercicio –
no se agrega el código de esta función, la misma queda a cargo del lector–. Continuamos realizando
un barrido en profundidad y amplitud para ver los elementos del grafo para lo cual previamente se

[227]
marcan todos los vértices del grafo como no visitados. Luego se busca si existen los vértices origen y
destino, en el caso que ambos vértices existan, determina si existe paso desde el origen hasta el des-
tino. Si existe paso entonces obtenemos el camino más corto con Dijsktra y se procesa el resultado
obtenido vaciando la pila mostrando el camino más corto y su peso. Nuevamente se marcan todos
los vértices del grafo como no visitados para poder obtener el árbol de expansión mínimo, en este
caso utilizamos Kruskal, para finalmente mostrar el árbol obtenido por dicho algoritmo.

[228]
A continuación se plantean una serie de problemas, que se deberán resolver utilizando el TDA gra-
fo, para lo cual se implementarán grafos dirigidos salvo que el ejercicio indique lo contrario.
1. Generar un grafo con 15 vértices aleatorios no repetidos (con números de 1 a 100), luego agregar
30 aristas –no repetidas– que conecten vértices de manera aleatoria, con etiquetas –también
aleatorias– dentro del rango de 1 a 100, después resolver las siguientes actividades:
a. primero eliminar los vértices que hayan quedado desconectados, es decir, que ningún otro
vértice tenga una arista que lo apunte y que de él no salga ninguna arista;
b. determinar el nodo con mayor cantidad de aristas que salen de él, puede ser más de uno;
c. determinar el nodo con mayor cantidad de aristas que llegan a él, puede ser más de uno;
d. indicar los vértices desde los cuales no se puede acceder a otro vértice;
e. contar cuantos vértice componen el grafo, dado que se genera aleatoriamente y se elimi-
nan los vértices que quedan desconectados;
f. determinar cuántos vértices tienen un arista a sí mismo, es decir, un ciclo directo;
g. determinar la arista más larga, indicando su origen, destino y valor –puede ser más de una.
2. Sobre el siguiente dígrafo implementar los algoritmos necesarios para resolver las tareas que
se presentan a continuación:
a. represéntelo como arreglo de listas de adyacencias y lista de listas de adyacencia;
b. cargue el valor de las etiquetas de todas las aristas;
c. encuentre el árbol de expansión mínima, para este punto considere el grafo como no dirigido;
d. agregue un arco de E hasta C;
e. encuentre el camino más corto de A hasta D.

[229]
3. Implementar un grafo no dirigido que permita cargar puertos y las aristas que conecten dichos
puertos, que permita resolver las siguientes tareas:
a. cada arista debe tener la distancia que separa dichos puertos;
b. realizar un barrido en profundidad desde el primer puerto en el grafo;
c. determinar el camino más corto desde puerto Madero al puerto de Rodas;
d. determinar el puerto con mayor número de aristas y eliminarlo.
4. Un empresa de telefonía celular dispone de la información de sus antenas, de las cuales se
conoce: su ubicación (latitud y longitud), código de identificación, velocidad de transferencia
en megabytes/segundos, y además las antenas a las que transmite y las distancias a cada una de
estas. Implementar un algoritmo que permita resolver los siguientes requerimientos:
a. utilizar un grafo no dirigido;
b. cargar la información de antenas y la relación con las demás;
c. determinar el tamaño del grafo;
d. determinar el camino más corto para transmitir desde la antena ubicada en la capital de
Mendoza a la antena ubicada en la capital de Misiones, utilizando el algoritmo de Dijkstra;
e. encontrar el árbol de expansión mínimo del grafo, utilizando Prim o Kruskal;
f. determinar si la antena con código “TGK-783” existe, de ser así mostrar toda su información.
5. Cargar el esquema de red de la siguiente figura en un grafo e implementar los algoritmos nece-
sarios para resolver las tareas, listadas a continuación:
a. cada nodo además del nombre del equipo deberá almacenar su tipo: pc, notebook, servi-
dor, router, switch, impresora;
b. realizar un barrido en profundidad y amplitud partiendo desde la tres notebook:
Red Hat, Debian, Arch;
c. encontrar el camino más corto para enviar a imprimir un documento desde la pc: Manjaro,
Red Hat, Fedora hasta la impresora;
d. encontrar el árbol de expansión mínima;
e. determinar desde que pc (no notebook) es el camino más corto hasta el servidor “Guaraní”;
f. indicar desde que computadora del switch 01 es el camino más corto
al servidor “MongoDB”;

[230]
g. cambiar la conexión de la impresora al router 02 y vuelva a resolver el punto b;
h. debe utilizar un grafo no dirigido.
6. Partiendo del árbol genealógico de los dioses griegos que se observa en la imagen del ejercicio
20 de la guía de árboles (capítulo X), convertirlo en un grafo y resolver las siguientes actividades:
a. además del nombre de los dioses, deberá cargar una breve descripción de quien es o lo que
representa, no más de 20 palabras;
b. deberá cargar todas las relaciones entre los distintos dioses: padre, madre, hijo, hermano,
pareja, la etiquetas de dichas aristas son estos nombre de relación.
c. dado el nombre de un dios mostrar los hijos de este;
d. dado el nombre de un dios mostrar su nombre, padre, madre, hermanos y sus hijos;
e. determinar si existe relación directa entre dos vértice cualquieras, de ser así cual es la rela-
ción entre ambos;
f. dados dos dioses determinar el camino más corto entre estos y mostrarlo. Considere como
camino más corto el que tenga menor número de aristas;
g. realizar un barrido en profundidad y amplitud de dicho grafo;
h. realizar un barrido mostrando el nombre de cada dios y el de su madre;
i. mostrar todos los ancestros de un determinado dios;

[231]
j. mostrar todos los nietos de Cronos;
k. mostrar todos los hijos de Tea;
l. persista los datos del grafo en archivos, uno para los vértices y otro para las aristas.
7. Implementar los algoritmos necesarios para resolver las siguientes tareas sobre el grafo de la figura:
a. barrido en profundidad y amplitud partiendo de A, C, F;
b. el camino más corto de A hasta F, de C hasta D, de B hasta G;
c. agrega una arista de C hasta A, de C hasta B, de G hasta D y vuelva a ejecutar los puntos del
ítem anterior sin camino;
d. realice la representación de matriz de adyacencia del grafo.
8. Implementar un grafo social y los algoritmos necesarios para atender
los siguientes requerimientos:
a. cargar personas como vértices del grafo;
b. cargar aristas con las siguientes etiquetas: Twitter, Instagram, Facebook y la cantidad de re-
twitters y me gusta respectivamente, que representan si la persona del vértice origen sigue
o es amigo de la persona del vértice destino;
c. hallar el árbol de expansión máximo para cada red social –considere el grafo como no dirigi-
do para este punto–, es decir que las conexiones deben ser las de mayor peso –ósea el segui-
dor que tenga mayor interacción
–; para lo cual si desea utilizar Prim o Kruskal sin modificar
el código, puede determinar la arista de mayor peso entonces cuando aplique estos algoritmo
el peso de cada arista será la arista de mayor peso menos el peso de la arista;
d. determine si es posible conectar la persona Guido Rossum con Mark Hamill a través de la
red social Twitter;

[232]
e. determine si es posible conectar la persona Tom Holland con Robert Downey a través de
cualquier red social;
f. indique a todas las personas que sigue a través de su red de Instagram la persona Daisy Rid-
ley.
9. Implementar un grafo no dirigido que permita administrar vuelos internacionales contem-
plando los siguientes requerimientos:
a. de cada aeropuerto se conoce: su nombre, ubicación (latitud y longitud) y cantidad de pis-
tas;
b. cada arista representa un viaje de un aeropuerto a otro, en cada una de esta puede haber
más de un vuelo, de los cuales se conoce: hora de salida, hora de arribo, nombre de la em-
presa, costo del pasaje –considere que todos los pasajes cuestan lo mismo
–, duración del
viaje y distancia en km;
c. debe persistir los datos del grafo en archivos;
d. el grafo debe contener los aeropuertos de los siguientes países: Argentina, China, Brasil,
Tailandia, Grecia, Alemania, Francia, Estados Unidos, Japón y Jamaica;
e. calcular el camino más corto desde el aeropuerto de Argentina a Tailandia considerando
los siguientes criterios:
I. menor distancia,
II. menor duración de tiempo,
III. menor costo,
IV. menor número de escalas.
f. determinar todos los aeropuertos a los que se puede arribar desde Grecia de manera direc-
ta o indirecta.
10. Generar un grafo no dirigido con planetas de Star Wars y diseñar los algoritmos necesarios
para resolver las siguientes actividades:
a. los siguientes planetas deben estar en el grafo: Alderaan, Endor, Dagobah, Hoth, Tatooine,
Kamino, Naboo, Mustafar, Scarif, Bespin, agregue 7 más;
b. genere al menos 4 aristas para cada uno de los planetas del grafo, no puede haber nodos
con arcos a sí mismo;
c. encuentre el árbol de expansión mínima en cuanto a costos para recorrer todos los planetas;

[233]
d. hallar el camino más corto desde:
I. Tatooine hasta Dagobah,
II. Alderaan hasta Endor,
III. Hoth hasta Tatooine;
e. determinar todos los planteas a los que se puede llegar desde Tatooine.
11. Construir un grafo de afinidad entre los superhéroes de la película “Capitán América: Civil
War” y resuelva las siguientes tareas:
a. cada vértice representara un superhéroes y las arista el nivel de afinidad (de 1 a 10);
b. cargar los siguientes super héroes: Capitan America, Iron Man, Black Widow, Falcon, The
Winter Soldier, War Machine, Spider-Man, Ant-Man, Black Panther,Hawkeye, Scarlet
Witch, Vision;
c. obtener el árbol de expansión máximo del Team Cap (CapitanAmerica) y del Team Stark
(IronMan), considerando solo las arista cuyo valor sea superior a 7;
d. obtener el árbol de expansión máximo completo de Black Widow y Black Panther.
12. Representar en un grafo no dirigido las actividades de un proyecto, en el cual los arcos repre-
sentan el tiempo de dicha tarea y cuáles son las que pueden realizarse a continuación, teniendo
en cuenta lo siguiente:
a. además del tiempo las aristas deberá almacenar el nombre de la persona que la realiza –un
vértice no puede tener más de una arista de la misma persona–;
b. determinar el tiempo total mínimo del proyecto, las personas que realizan cada tarea;
c. determinar el menor tiempo requerido partiendo desde la actividad “análisis de requeri-
mientos” hasta llegar a la actividad “presentación de mockups”;
d. indicar todas las tareas que puede realizar la persona Harry.
13. El servicio postal de su ciudad le solicita desarrollar un algoritmo para mejorar el recorrido de
sus carteros, considerando las siguientes cuestiones:
a. cada vértice del grafo tendrá la dirección de los puntos de entrega, además si se trata de una
carta o un paquete –en el caso de este último también se dispondrá del peso–;
b. cada arista tendrá las distancias entre los distintos puntos de entrega, debe utilizar un grafo
no dirigido;
c. encontrar el árbol de expansión mínimo de acuerdo a las distancias de los puntos de entrega;

[234]
d. encontrar el árbol de expansión máximo de acuerdo al peso de la entrega –en el caso de ser
una carta considerar como peso cero–.
14. Implementar sobre un grafo no dirigido los algoritmos necesario para dar solución a las si-
guientes tareas:
a. cada vértice representar un ambiente de una casa: cocina, comedor, cochera, quincho,
baño 1, baño 2, habitación 1, habitación 2, sala de estar, terraza, patio;
b. cargar al menos tres aristas a cada vértice, y a dos de estas cárguele cinco, el peso de la aris-
ta es la distancia entre los ambientes, se debe cargar en metros;
c. obtener el árbol de expansión mínima y determine cuantos metros de cables se necesitan
para conectar todos los ambientes;
d. determinar cuál es el camino más corto desde la habitación 1 hasta la sala de estar para
determinar cuántos metros de cable de red se necesitan para conectar el router con el
Smart Tv.
15. Se requiere implementar un grafo para almacenar las siete maravillas arquitectónicas moder-
nas y naturales del mundo, para lo cual se deben tener en cuenta las siguientes actividades:
a. de cada una de las maravillas se conoce su nombre, país de ubicación (puede ser más de
uno en las naturales) y tipo (natural o arquitectónica);
b. cada una debe estar relacionada con las otras seis de su tipo, para lo que se debe almacenar
la distancia que las separa;
c. hallar el árbol de expansión mínimo de cada tipo de las maravillas;
d. determinar si existen países que dispongan de maravillas arquitectónicas y naturales;
e. determinar si algún país tiene más de una maravilla del mismo tipo;
f. deberá utilizar un grafo no dirigido.
16. Implementar un grafo no dirigido para almacenar puntos turísticos de interés de un determi-
nado país teniendo en cuenta los siguientes requerimientos:
a. debe ser un grafo completo es decir que todos los vértices se deben conectar con todos;
b. cargar los siguientes lugares (con sus coordenadas de latitud y longitud) templos de: Ate-
nas (Partenón), Zeus (Olimpia), Hera (Olimpia), Apolo (Delfos),Poseidón (Sunión), Arte-
misa (Éfeso) y Teatro de Dionisio (Acrópolis)
c. hallar el árbol de expansión mínimo partiendo de cualquiera de estos lugares;

[235]
d. hallar el camino más corto para ir desde el templo de Atenea, el Partenón, en Atenas hasta
el templo de Apolo, en Delfos.
17. Dado un grafo no dirigido con personajes de la saga Star Wars, implementar los algoritmos
necesarios para resolver las siguientes tareas:
a. cada vértice debe almacenar el nombre de un personaje, las aristas representan la cantidad
de episodios en los que aparecieron juntos ambos personajes que se relacionan;
b. hallar el árbol de expansión máximo desde el vértice que contiene a C-3PO, Yoda y la prin-
cesa Leia;
c. determinar cuál es el número máximo de episodio que comparten dos personajes, e indi-
car todos los pares de personajes que coinciden con dicho número
d. cargue al menos los siguientes personajes: Luke Skywalker, Darth Vader, Yoda, Boba Fett,
C-3PO, Leia, Rey, Kylo Ren, Chewbacca, Han Solo, R2-D2, BB-8;
e. indicar qué personajes aparecieron en los nueve episodios de la saga.
18. Implemente un grafo geográfico y los algoritmos necesarios que contemplen los siguientes re-
querimientos:
a. el grafo debe ser no dirigido y almacenar los países de América y sus capitales (omitir los
países que son islas);
b. las aristas representan la distancia entre las capitales de los países;
c. cada país solo puede tener aristas a los países limítrofes;
d. obtener el árbol de expansión mínimo;
e. determinar el camino más corto para ir desde Argentina hasta Canadá;
f. persista los datos en archivos –los vértices y aristas por separado–;
g. determinar el país con mayor cantidad de países adyacentes.
19. Se requiere implementar una red de ferrocarriles compuesta de estaciones de trenes y cambios
de agujas (o desvíos). Contemplar las siguientes consideraciones:
a. cada vértice del grafo no dirigido tendrá un tipo (estación o desvió) y su nombre, en el caso
de los desvíos el nombre es un número –estos estarán numerados de manera consecutiva–;
b. cada desvío puede tener múltiples puntos de entrada y salida;
c. se deben cargar seis estaciones de trenes y doce cambios de agujas;

[236]
d. cada cambio de aguja debe tener al menos cuatro salida o vértices adyacentes;
e. y cada estación como máximo dos salidas o llegadas y no puede haber dos estaciones co-
nectadas directamente;
f. encontrar el camino más corto desde:
I. la estación King's Cross hasta la estación Waterloo,
II. la estación Victoria Train Station hasta la estación Liverpool Street Station,
III. la estación St. Pancras hasta la estación King's Cross;
g. encontrar el árbol de expansión mínimo del ramal del tren.
20. Se dispone del acervo bibliográfico de tesis de carreras de una facultad de informática. Imple-
mentar los algoritmos necesarios para satisfacer los requerimientos que nos solicitan:
a. cada vértice tendrá el nombre de la tesis, el autor de la misma y cuatro palabras claves;
b. las aristas representan la relación entre dos tesis cuyo contenido es similar, para lo cual
consideramos como mínimo dos palabras claves en común –se deben cargar al menos tres
aristas por vértice–;
c. realizar un barrido en profundidad desde una tesis que contenga la palabra clave “progra-
mación” o “inteligencia artificial”, considerar solamente las tesis que son accesibles desde
el inicio sin reiniciar el barrido (si quedaron sin tratar);
d. obtener el árbol de expansión máximo partiendo desde un vértice que tenga la palabra
clave “minería de datos”.

[237]
CAPÍTULO XIV
Técnicas de diseño de algoritmos,
intentando desarrollar
algoritmos eficientes
En la ciencia de la computación se han identificado diversas técnicas generales que producen algo-
ritmos eficientes para la resolución de muchas clases de problemas, entre estas podemos destacar:
voraces o ávidas, divide y vencerás, programación dinámica, programación paralela, ramificación y
poda, búsqueda con retroceso, entre otros. A continuación se analizarán en detalle las primeras tres
de estas y se describirán de manera general el resto. Se debe tener en cuenta que cada una de estas
técnicas es eficiente para resolver determinados problemas. Por lo tanto, el tipo o clase del proble-
ma es fundamental para la elección correcta de la técnica a utilizar.
Existen esencialmente tres tipos o clases de problemas de computación genéricos: problemas de
optimización, de búsqueda y de decisión. Básicamente se hará enfoque en el uso de técnicas efi-
cientes para el diseño de algoritmos genéricos que sirvan como métodos generales para abordar y
solucionar estos tipos de problemas.
Devorando nuestros problemas
con algoritmos voraces
Esta es una de las técnicas más simples y a su vez muy utilizada, normalmente es usada para resol-
ver problemas de optimización –estos pueden ser de minimización o de maximización
–, también
denominados método codicioso. Se puede considerar como esencia de esta técnica que recibe como
entrada un conjunto de candidatos –es decir un conjunto de elementos que podrían formar parte
de la solución– a partir de los cuales, un subconjunto de estos satisfacen determinadas condiciones
o restricciones que los convierten en una solución factible1
al problema. El objetivo del algoritmo es
encontrar la solución factible óptima que minimice o maximice una determinada función objetivo,
denominada solución óptima2
. Es importante destacar que en muchos casos no siempre el enfoque
voraz llegará a dar la solución óptima, este puede dar una buena solución factible, pero el resultado
general puede ser pobre –esto dependerá en gran parte de como se diseñe del algoritmo–.
1 Solución factible: son aquellos subconjuntos de elementos que cumplen todas las condiciones para ser
solución del problema.
2 Solución óptima: es aquel subconjunto de elementos que permite obtener el valor mínimo o máximo de
una determinada función objetivo de un problema de optimización.

[238]
A lo largo del libro ya hemos visto y analizado algunos algoritmos voraces, por ejemplos en el ca-
pítulo X se describe el algoritmo voraz para generar códigos de Huffman que permite encontrar la
forma óptima de representar caracteres con códigos binarios de acuerdo a su frecuencia de apa-
rición. Luego, en el capítulo XIII, se presentaron tres algoritmos ávidos: el primero el algoritmo
de Dijkstra que encuentra el camino mínimo desde un vértice origen a un vértice destino de un
grafo con aristas de peso positivo. Los otros dos algoritmos, Prim y Kruskal, obtienen el árbol de
expansión mínimo de un grafo no dirigido y conexo, todos estos se basan en el uso de estrategias
voraces distintas.
La mecánica de funcionamiento de los algoritmos voraces es en pasos. En cada paso se toma una
decisión que parece ser buena sin considerar las consecuencias futuras –es decir se selecciona el
que se considera en ese momento el mejor candidato del conjunto de candidatos
–, esto significa
que se elige un óptimo local. Cuando el algoritmo termina de ejecutarse, se espera que el óptimo
local sea igual al óptimo global, de no ser así habremos hallado una solución subóptima –es decir
una solución factible–. El nombre voraz proviene de la estrategia de “tomar lo que sea mejor ahora”
en cada etapa. En la figura 1 podemos observar el esquema general de un algoritmo ávido:
Figura 1. Esquema general de un algoritmo ávido
Como se observa en la figura anterior un algoritmo voraz es fácil de implementar y cuando están
bien diseñados son eficientes –y suelen producir una solución óptima–. Sin embargo hay muchos
problemas que no se pueden resolver con este enfoque. Básicamente estos algoritmos están com-
puestos por los siguientes elementos:
Conjunto de candidatos que almacena todos los elementos que pueden formar parte de la solución;
Conjunto solución, inicialmente está vacío y en cada paso del algoritmo se intenta agregar “el mejor
elemento del conjunto de candidatos” basado en alguna función de optimización denominada fun-
ción de selección;
Función de selección del mejor candidato, se encarga de determinar cuál es el elemento más promete-
dor del conjunto de candidatos en cada etapa del algoritmo;

[239]
Función de factibilidad, se utiliza para determinar si un elemento candidato –elegido por la función de
selección– es factible para formar parte de la solución. Si es factible dicho elemento, se agrega al con-
juntosoluciónypermanecerásiempreenél,casocontrarioesdescartadoynovuelveaserconsiderado;
Función solución, su objetivo es determinar si los elementos en el conjunto solución son una solu-
ción factible del problema o no, independientemente de que sea la óptima o no.
Cabe destacar que el aspecto clave a tener en cuenta al momento del diseño de un algoritmo ávido
es diseñar una buena función de selección. Esto será crucial para garantizar que el algoritmo obten-
ga la solución óptima al problema en lugar de una solución subóptima.
Suponga que debemos solucionar el problema del cambio, el cual consiste en devolver un monto en
algún sistema monetario utilizando el menor número de monedas posibles, para lo cual partimos
de un conjunto de monedas validas –euros en este caso–, las cuales se observan en la figura 2, las
cuales se supone que hay la cantidad suficiente para devolver el importe requerido y el valor de
dicho importe.
Figura 2. Conjunto de monedas validas
De acuerdo a los conceptos descritos anteriormente en las figuras 3 y 4, se presenta la implemen-
tación de la función “es solución” y el algoritmo voraz para solucionar el “problema del cambio”
respectivamente.
Figura 3. Función es solución para el algoritmo voraz del problema cambio

[240]
Figura 4. Algoritmo voraz para solucionar el cambio
Como se puede observar el conjunto solución inicialmente está vacío, luego mientras haya elemen-
tos en el conjunto de candidatos y no se llegue a una solución se procede con el algoritmo. Primero
se selecciona el mejor candidato
–para nuestro caso la moneda de mayor valor– y se verifica si
puede formar parte de la solución. Para esto se chequea si el valor de dicha moneda es menor que
el importe a devolver; si es así se determina cuántas monedas de ese monto se pueden utilizar y se
agrega al conjunto solución. Y continuamos repitiendo este procedimiento hasta que no se cumpla
una de las condiciones mencionadas previamente, finalmente evaluamos si el conjunto solución
es una solución factible, de ser así devolvemos el conjunto solución en caso contrario el algoritmo
devolverá None. La función solución se encarga de evaluar si la suma de los elementos almacenados
en el conjunto soluciones es igual al importe del monto a devolver.
El algoritmo codicioso del cambio produce una solución óptima general debido a las propiedades
de las monedas, siempre y cuando existan los valores de monedas que permitan devolver cualquier
valor –no todos los sistemas monetarios lo tienen
–. Ahora, ¿qué pasa si eliminamos las monedas de 1 y
2 euros de nuestro sistema monetario y agregamos una de valor 0.75? Si se debe dar como vuelto 1 euro,
la solución de nuestro algoritmo voraz es una moneda de 0.75, una de 0.2, y una de 0.05. Pero, ¿esa es
la solución óptima? Como se habrán dado cuenta no lo es, la solución óptima es dos monedas de 0.5.
Por eso es que el algoritmo que se diseñe también dependerá del problema y de las características
de los elementos que forman parte del conjunto de candidatos.
Ahora veamos otro ejemplo, supongamos que debemos resolver el problema de la mochila: el mis-
mo consiste en llenar una mochila que soporta un peso máximo con un conjunto de objetos, cada
uno de estos con un peso y un beneficio; los objetos colocados en la mochila deben maximizar el
beneficio obtenido sin exceder el límite de peso que soporta la mochila. Este problema tiene su
origen en los primeros trabajos del matemático Tobias Dantzig, quien hace referencia al problema
de empacar los artículos más valiosos o útiles sin sobrecargar el equipaje.
Formalmente se puede definir el problema de la siguiente manera: se dispone de n objetos de los
cuales supondremos cantidades x infinitas –inicialmente para simplificar el problema–, cada uno
de dicho objetos tiene un peso p y un beneficio b, la mochila además tiene una capacidad máxi-
ma cmax. El objetivo es llenar la mochila maximizando el beneficio total obtenidos de los objetos
almacenados, sin exceder la capacidad de la mochila. Por lo tanto, el problema se puede expresar
matemáticamente de la siguiente manera:

[241]
Siguiendo con el ejemplo de la mochila, en la figura 5 y 6 se describe la implementación de la fun-
ción “es solución” y el algoritmo voraz para resolver el problema de la mochila, para este caso solo
hay una unidad de cada elemento, no son infinitos ni fraccionables. Como pueden observar las
funciones son muy similares a las utilizadas en el problema del cambio dado que la estrategia es
la misma.
Figura 5. Función es solución para el algoritmo ávido de la mochila
Figura 6. Algoritmo ávido para el problema de la mochila
Como ya se mencionó previamente la función que selecciona el mejor candidato del conjunto de
soluciones es quizás el punto crítico para que el algoritmo logre encontrar una solución óptima,
para este caso particular de los elementos almacenados en el conjunto de candidatos se conoce:
nombre, peso y beneficio. Entonces lo que podemos hacer es agregar un nuevo valor, que es be-
neficio dividido el peso del elemento, para poder obtener una medida del beneficio del elemento
respecto de su peso. Luego ordenamos el vector de candidatos de menor a mayor tomando como
criterio de orden este nuevo valor –es decir que al final del vector estarán los elementos con mejor

[242]
relación beneficio-peso. Esto le permite al algoritmo en cada iteración tomar el elemento con mejor
relación beneficio-peso para agregarlo al conjunto solución, siempre y cuando no se exceda la capa-
cidad máxima de la mochila. Cabe aclarar que a diferencia del caso anterior puede que no se utilice
toda la capacidad de la mochila, es decir, que seguramente quedará un sobrante de capacidad dis-
ponible dado que los elementos son fraccionables.
Para este caso en particular el problema a resolver es poner en el portatermo (mochila) los ele-
mentos que nos brinden mayor beneficio. La implementación de lo mencionado anteriormente se
puede apreciar en la figura 7.
Figura 7. Conjunto de elementos válidos y criterio de orden
En resumen, el esquema voraz es una estrategia heurística que no siempre conduce a la solución
óptima, es muy útil cuando la solución óptima general puede construirse a partir de la selección
de óptimos locales que se toman en cada paso sin depender de las futuras selecciones. Podríamos
decir que esta estrategia voraz es del tipo top-down tomando una decisión voraz tras otra –es decir
comiendo la mejor parte en cada etapa– reduciendo iterativamente el problema.
Divide y vencerás, también aplica
al diseño de algoritmos
Esta es quizás una de las técnicas más importantes y utilizadas para el diseño de algoritmos eficien-
tes, la cual consiste en descomponer un problema de tamaño n en subproblemas más pequeños
del mismo problema –hasta que el problema se vuelva muy sencillo y la solución sea muy obvia–.
Luego se resuelve cada subproblema de manera independiente de los demás y a partir de la so-
lución de cada uno de estos, se combinan para construir la solución al problema completo. Cabe
aclarar que esta técnica se aplica de manera recursiva o mediante el uso de pilas para sustituir las
llamadas recursivas.

[243]
Esta técnica tiene varias aplicaciones en la vida real, no solo aplicada en el diseño de algoritmos
eficientes sino también en el diseño de circuitos, para hacer demostraciones matemáticas, como es-
trategia militar y muchos otros campos. De hecho ya hemos utilizado varios algoritmos que utilizan
esta técnica en este libro, por ejemplo en el capítulo IV se describió el algoritmo de búsqueda bina-
ria que en cada iteración particiona el vector de datos en dos y reduce así el espacio de búsqueda;
a su vez en dicho capitulo también se analizaron dos algoritmos de ordenamiento basados en esta
técnica: ordenamiento mezcal (merge sort) y ordenamiento rápido (quicksort), los cuales utilizan esta
técnica pero de diferentes maneras.
El funcionamiento de esta técnica se divide en dos partes: la primera es “dividir” en subproblemas el
problema general los cuales se resuelven de manera recursiva –a excepción del caso base del cual
ya se conoce la solución–, y la segunda es “vencer” –es decir combinar las soluciones parciales– en
la cual se construye la solución general a partir de las soluciones a los subproblemas. El nombre
divide y vencerás proviene del hecho de que es más fácil y eficiente resolver muchos problemas
sencillos y combinarlos para resolver un problema complejo que resolver dicho problema comple-
to. A continuación en la figura 8 se describe el esquema general de un algoritmo divide y vencerás.
Figura 8. Esquema general de un algoritmo divide y vencerás
Como podemos observar en la figura anterior un algoritmo de tipo divide y vencerás debe constar
de las siguientes partes:
Caso base, es decir la condición que indicará que ya no se deben realizar más divisiones del proble-
ma, porque se ha llegado a un caso simple cuya solución se conoce;
Descomponer el problema, es decir realizar las particiones del problema en subproblemas dependien-
do del funcionamiento del algoritmo y del problema;
Resolver los subproblemas, es decir las llamadas recursivas al mismo algoritmo divide y vencerás,
actualizando los parámetros de entrada de dicho algoritmo de acuerdo a las particiones realizadas
en el punto anterior;
Combinar las soluciones de los subproblemas, es decir construir la solución al problema en base a los
resultados obtenidos luego de resolver los subproblemas.

[244]
Por lo general se dice que los algoritmos que tiene al menos dos llamadas recursivas son de tipo
divide y vencerás dado que supone que ambos subproblemas suelen ser independientes, no así los
que solo tienen una llamada recursiva.
Por ejemplo, en el caso de tener que multiplicar dos números enteros, como ya lo describimos en
el capítulo III, se lo puede considerar como una operación elemental, siempre y cuando los nú-
meros a multiplicar entren en una variable de la computadora
–a nivel de representación interna
de hardware
–. En caso contrario, cuando los enteros son grandes el coste de la multiplicación de
dos números enteros es del orden de O(n * m), donde n y m representan la cantidad de dígitos de
los dos números a multiplicar, entonces por ejemplo si tenemos que multiplicar 1 257 * 34 908 el
coste computacional de esta operación es O(20), lo cual es muy distinto del coste O(1) de una opera-
ción elemental.
Para resolver problema multiplicación de enteros grandes existe una manera más eficiente de ha-
cerlo que la anterior denominada algoritmo de Karatsuba que fue descubierto por Anatolii Ka-
ratsuba en 1960 y publicado un par de años más tarde en 19623
. Este algoritmo utiliza la técnica de
divide y vencerás para resolver el problema de la multiplicación de enteros.
Por ejemplo suponga que tiene dos números enteros de la misma cantidad de dígitos num1 y num2
–funciona con número con distinta cantidad de dígitos también–, se los descompone en mitades
con la misma cantidad de dígitos, por lo tanto obtendremos lo siguiente:
Para finalmente obtener que el resultado de multiplicación de ambos números enteros es:
Si resolvemos esto dentro del algoritmo, el coste de algoritmo seguirá siendo del orden de O(n2
). Para
lograr una eficiencia se debe calcular wy, (wz +xy) e xz en tan solo tres multiplicaciones entonces sí:
Y de esta manera se evita tener que hacer las dos multiplicaciones wz e xy, y en su lugar solo se rea-
liza la multiplicación (w + x)(y + z) más algunas sumas adicionales. Entonces se obtiene que el algo-
ritmo está en el orden de O(nlog 3
) ≃ O(n1.585
). Si bien no aparenta haber mucha diferencia significativa
3 A. Karatsuba and Yu. Ofman (1962). «Multiplication of Many-Digital Numbers by Automatic Compu-
ters». Translation in Physics-Doklady, 7 (1963), pp. 595–596. Proceedings of the USSR Academy of
Sciences 145: 293-294.

[245]
o interesante entre dicho orden y el del método clásico O(n2
) se vuelve interesante cuando se debe
multiplicar enteros grandes, por ejemplo si los números son de 700 dígitos: con la multiplicación de
Karatsuba el coste es 32 320 mientras que con el método clásico el coste es 490 000, si son números
de 1 000 dígitos los órdenes serán 56 885 y 1 000 000 para los mismos algoritmo respectivamente y
aquí si es relevante el uso de un método u otro.
A continuación en la figura 9 se presenta la implementación del algoritmo de Karatsuba, nótese que
solo se realizan las tres multiplicaciones descritas anteriormente para mejorar la eficiencia del al-
goritmo, este realiza las llamadas recursivas con los números particionados. En el mismo se puede
configurar cuál es el tamaño de partición mínimo, es decir, cuándo se considera un caso simple y
se procede a resolver la multiplicación de los números. Para este caso particular el valor es uno. Fi-
nalmente devuelve el valor de las multiplicaciones y los va sumando para obtener la solución final.
Figura 9. Algoritmo de Karatsuba
Menos iteraciones y más programación dinámica
para reducir la complejidad
Es un método de optimización matemático y además una técnica de programación que fue creada
por Richar Bellman4
en 1957. Se utiliza típicamente para resolver problemas de optimización resol-
viendo los problemas mediante secuencia de decisiones –al igual que los algoritmos voraces– con la
diferencia de que se producen varias secuencias de decisiones y solamente al finalizar se sabe cuál
es la mejor. Descompone un problema en pequeños subproblemas del mismo tipo –al igual que la
técnica divide y vencerás– diferenciándose de estos en que los subproblemas están superpuestos
entre sí, los cuales comparten soluciones que se calculan una vez luego se almacenan
–dicha ca-
pacidad se denomina memorizar
– y se reutilizan por los subproblemas que lo vuelven a necesitar.
Esta técnica se basa en el principio de optimalidad de Bellman que dice lo siguiente “dada cualquier
4 Bellman, Richard (1957), Dynamic Programming, Princeton University Press. Dover paperback edition
(2003), ISBN 0-486-42809-5.

[246]
secuencia de decisiones óptima, toda subsecuencia de decisiones de ella es óptima también”. Esta
técnica permite evitar explorar todas las secuencias de soluciones de un problema mediante la
resolución de subproblemas de tamaño creciente memorizando los resultados en una tabla para
facilitar cálculos posteriores que requieran dicho valor.
Avanzando y volviendo para atrás:
búsqueda con retroceso
Se utiliza para encontrar la mejor solución de un conjunto de soluciones que cumplen determina-
das condiciones, permite realizar una búsqueda sistemática a través de todas las soluciones posibles
conocidas como espacio de solución que se representa mediante un árbol. Cada solución resulta de
una secuencia de decisiones y además existe una función objetivo que se debe satisfacer por dicha
solución, el objetivo principal del esta técnica es encontrar la solución que optimiza dicha función
objetivo –ya sea que maximice o minimice, dependiendo del tipo de problema–. Este tipo de técnica
se aplica a problemas de optimización en los cuales se cumple el principio de optimalidad de Be-
llman y en los que no queda otra forma de resolverlos más que buscar en el espacio de soluciones.
Explorar el espacio de soluciones por fuerza bruta por lo general resulta ineficiente, dado que di-
cho espacio suele ser muy grande. La manera de mejorar esto y alcanzar antes una solución es me-
diante el uso de la técnica de búsqueda con retroceso o vuelta atrás, mediante la cual la solución se
construye de manera progresiva comprobando que para cada nodo interno del árbol –es decir cada
elemento agregado a la solución– nos pueda llevar a una solución satisfactoria. Caso contrario, se
realiza una vuelta atrás en el árbol de soluciones y se continua por otra rama, lo que nos permite
evitar recorrer un subárbol cuyas soluciones no satisfacen las condiciones de la función objetivo.
Entonces, ¿Qué diferencia tiene este tipo de técnica respecto de las vistas anteriormente? Las técnicas vo-
races construyen una solución tomando una decisión en cada paso, los elementos que son agrega-
dos a la solución siempre permanecen en esta y se descartan los que en ese momento no resultan
factible. Por su parte en la búsqueda con retroceso la elección de un candidato en una etapa no es
definitiva es decir que puede ser descartado si se encuentra una mejor alternativa realizando una
vuelta atrás. El tipo de problemas que se abordarán con la técnica de búsqueda con retroceso no
pueden ser descompuestos en subproblemas del mismo tipo, por lo cual no resulta factible aplicar
técnicas con enfoque de divide y vencerás.

[247]
Expandiendo ramas útiles del árbol y podando las
innecesarias con ramificación y poda
Esta técnica es utilizada para la resolución de problemas de optimización discretos y en problemas
de juegos –es decir de tipo búsqueda–, también se lo suele considerar como una forma mejorada de
la técnica de búsqueda con retroceso. La similitud con dicha técnica es que ambas generan un es-
pacio de solución sobre un árbol que luego recorren sistemáticamente. Las principales diferencias
respecto a la búsqueda con retroceso son:
Ramificación: el recorrido del árbol no es solo en profundidad, también puede ser en amplitud
;
Poda: se realiza en base a estimaciones de cotas inferiores CI, superiores CS y de beneficio estimado
BE antes de explorar cada nodo del árbol, a partir de estas cotas que deben ser fiables podemos de-
terminar cuándo se debe realizar una poda y descartar dicho subárbol lo cual nos permitirá reducir
significativamente el espacio de búsqueda.
En términos generales la estrategia del algoritmo es la siguiente para cada nodo i:
Ramificación: se hace un recorrido del árbol de soluciones –ya sea en profundidad, o en amplitud o
según beneficio estimado–. Para hacer estos recorridos se utiliza una lista de nodos vivos –es decir
aquellos que no son podados
–; para determinar el siguiente nodo a explorar de la lista de nodos
vivos se utilizan distintos enfoques pila (lifo en profundidad), cola (fifo en amplitud), o estrategias
menor costo (least cost) que seleccionan el siguiente nodo que tenga mayor beneficio o menor costo
pila (lc-lifo), cola (lc-fifo). Las dos primeras son búsquedas a ciegas o por fuerza bruta, mientras que
en las segundas se tiene en cuenta el beneficio mediante una función de estimación. En resumen,
la mejor estrategia es ramificar a partir de la cota BE(i) de cada nodo es decir el mejor de los nodos
vivos, independientemente de que sea por profundidad o amplitud.
Poda: a partir de las cotas CI(i) y CS(i) se determina qué subárboles se deben podar, dado que no
tiene sentido expandirlos si la soluciones en dichos subárboles no serán óptimas.
Números, operaciones aritméticas y más números:
algoritmos numéricos
Un algoritmo numérico es un conjunto de instrucciones ordenadas para resolver un problema que in-
volucra procesos matemáticos –con cálculo de fórmulas de manera repetida–. Este tipo de algoritmos
no admiten ambigüedades y deben darse cada uno de los pasos para llegar a su solución. Este tipo de
algoritmos suele tener un problema con la representación de los decimales dependiendo del lenguaje
sobre el cual se implemente. Al representarse de distintas maneras los resultados nunca serán los mis-
mos, este fenómeno se conoce como propagación de errores, dado que estas diferencias de decimales
se propaga y acumula a través de las distintas iteraciones del algoritmo hasta obtener la solución. En
algunas situaciones las diferencias son significativas y el porcentaje de error es muy importante.

[248]
A continuación se plantean una serie de problemas. Para resolverlos se deberá desarrollar un algo-
ritmo utilizando algunas de las técnicas vistas.
1. Resuelva el problema de dar los siguientes cambios de monedas diseñando un algoritmo voraz:
a. el costo es 4.01 y se paga con 10,
b. el costo es 10.75 y se paga con 20,
c. el costo es 0.93 y se paga con 5.
Para ello, considerar los siguientes sistemas de monedas:
d. monedas griegas: 0.01, 0.02, 0.05, 0.10, 0.20, 0.50, 1.00, 2,00 euros;
e. monedas japonesas: 1, 5, 10, 50, 100, 500 yen;
f. monedas rusas: 0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1, 2, 5, 10 rublo;
g. monedas tailandesas: 0.01, 0.05, 0.1, 0.25, 0.5, 1, 2, 5 baht.
Responda las siguientes preguntas:
h. ¿el mismo algoritmo funciona para todos los sistemas monetarios?;
i. ¿todos los sistemas monetarios tiene solución?;
j. ¿si se obtiene una solución siempre es óptima?
2. Implementar un algoritmo que permita determinar qué elementos debe llevar un Jedi en su
mochila de manera que se optimice el beneficio, con las siguientes consideraciones:
a. los elementos tienen una cantidad máxima y no son fraccionables;
b. la mochila tiene una capacidad de 27 kilos;

[249]
c. los elementos son los siguientes:
Elemento Peso Beneficio Cantidad
frutas 0.73 50 8
carpa 3 90 2
termo stanley 1.5 75 3
sable de luz 1.3 175 1
mapa holograma 1.1 93 1
traje Jedi 0.9 87 4
bolsa de créditos galácticos 5 100 3
lata de alimento 0.79 75 10
galletitas 1 60 15
yerba canarias 0.64 70 7
pan 2.5 65 5
botella de agua 1.9 99 5
soga 2.3 40 3
mate 0.8 75 6
blaster 8.3 85 2
3. Desarrollar un algoritmo que indique los alimentos que se deben llevar para un campamento,
suponiendo que todos los alimentos son fraccionables y la capacidad de la mochila es de 21
kilos –no hay límite respecto de las cantidades de cada uno–, pero además se debe tener en
cuenta la duración de dichos alimentos antes de ponerse en mal estado –considere 30 días
como máximo–:
Alimento Peso Beneficio Duración
arroz 5 250 30
manzana 3 231 19
caramelo 15 20 20
papa 6 215 23
galletita 10 50 30
fideo 7 175 30
cereales 13 150 15
zanahoria 4 245 20
choclo 7 166 27
queso 8 207 10
helado 9 90 0
lechuga 10 188 5
pollo 6 235 1
aceituna 17 117 11
pan 4 220 7

[250]
fiambre 15 124 1
tomate 9 193 6
carne 10 190 1
atún 9 230 1
4. Implemente un algoritmo para resolver el problema de la mochila en el cual, además de conside-
rar el beneficio y el peso de cada elemento, se considere la cantidad de espacios que ocupa cada
uno de estos. Entonces la mochila además de tener un peso máximo tendrá una cantidad máxi-
ma de lugares –considere que los objetos no son fraccionables para simplificar el problema–.
5. Resuelva el problema de colocar las n-reinas sin que las mismas se amenacen, para tableros de
las siguientes dimensiones
–solo es necesario encontrar una de las soluciones
–:
a. 4 reinas tablero de 4 x 4;
b. 8 reinas tablero de 8 x 8;
c. 16 reinas tablero de 16 x 16.
6. Desarrollar un algoritmo del tipo divide y vencerás, que permita resolver el producto matrices
de [2 x 2] y [3 x 3]. Este algoritmo debe ser del orden de O(n2
) por lo cual debe evitar el tercer
ciclo, sabiendo que las matrices solo pueden ser de las dimensiones indicadas.
7. Implementar un algoritmo para la multiplicación de enteros grandes que permita configurar
el tamaño mínimo de la partición de los números enteros –utilizando la técnica divide y vence-
rás–. El algoritmo debe aceptar números de distinto largo, pruebe con los siguientes tamaños
de partición si el algoritmo funciona: 2, 3, 5, 7.
8. Resuelva el problema de la torre de Hanói
–ejercicio 23 de la guía de recursividad– de manera
iterativa utilizando una de las técnicas vistas –a excepción de divide y vencerás cuyo mecánica
es recursiva–.
9. Implementar un algoritmo del tipo divide y vencerás, que permita calcular la potencia de un
número n elevado a la k, es decir (nk
) de manera eficiente.
10. Implementar un algoritmo que permita elaborar el calendario de los torneos de básquet y vó-
ley de todos los equipos que asistieron al campus de verano, teniendo en cuenta las siguien-
tes cuestiones:
a. durante el torneo todos los equipos deben enfrentarse contra todos lo demás;
b. cada equipo jugara un partida por día;
c. Los equipos de básquet son 10 y los de vóley 7.

[251]
11. Implementar un algoritmo que permita resolver el problema del turista, el cual consiste en
visitar todas las ciudades una sola vez y volver a la ciudad de partida recorriendo la menor
distancia posible. Contemple lo siguiente:
a. las ciudades son: Concepción del Uruguay (Argentina), Rodas (Grecia), Tulum (México),
Phuket (Tailandia), Tokio (Japón), Atenas (Grecia), Orlando (Estados Unidos), Santiago
(Chile), Moscú (Rusia), Bombinhas (Brasil), Londres (Reino Unido), Paris (Francia), Sídney
(Australia), Berlín (Alemania);
b. debe considerar las distancias reales en kilómetros;
c. ciudad de salida Concepción del Uruguay;
d. ahora además de considerar la menor distancia, mejore el algoritmo para que también
considere el menor costo.
12. Nick Fury se encuentra en los cuarteles generales de S.H.I.E.L.D. y debe visitar a varios su-
perhéroes para convencerlos de unirse para formar un grupo de vengadores, dado que es un
asunto de suma importancia nos solicita implementar un algoritmo que permita determinar el
recorrido de menor distancia –el menor posible, no importa que sea el más óptimo– y terminar
dicho recorrido de vuelta en los cuarteles (solo se puede pasar una vez por cada lugar).
a. Considere los siguientes superhéroes: S.H.I.E.L.D. (a), Tony Stark (b), Natasha Romanoff
(c), Steve Rogers (d), Carol Danvers (e), Bruce Banner (f), Scott Lang (g), Peter Quill (h);
b. las distancias entre la localización de cada superhéroe está cargada en la siguiente matriz:
a b c d e f g h
a 675 400 166 809 720 399 233
b 675 540 687 179 348 199 401
c 400 540 107 752 521 385 280
d 166 687 107 111 540 990 361
e 809 179 752 111 206 412 576
f 720 348 521 540 206 155 621
g 399 199 385 990 412 155 100
h 233 401 280 361 576 621 100
13. Resuelva el problema del laberinto
–ejercicio 22 de la guía de recursividad– de manera iterati-
va, utilice la técnica que crea más conveniente.
14. Desarrollar un algoritmo numérico iterativo que permita calcular el método de la bisección de
una función f(x).
15. Desarrollar un algoritmo numérico iterativo que permita calcular el método de la secante de
una función f(x).

[252]
16. Desarrollar un algoritmo numérico iterativo que permita calcular el método de Newton-Raph-
son de una función f(x).
17. Comparar los tres algoritmos anteriores para resolver la siguiente función: x3
+ x +16 = 0, res-
pecto de la cantidad de iteraciones necesarias por cada método para converger. ¿Cuánto es la
diferencia en decimales entre las distintas soluciones?
Método Cantidad de iteraciones Solución
Secante
Bisección
Newton-Raphson

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