Analisis combinatorio.ppt

ING/PF: Romel Luis
Jimenez Montes De Oca
Practica Resuelta
de Razonamiento Matemático
Tema: Análisis Combinatorio
Docente: Ing Romel Luís
Jiménez Montes De Oca
nandojigu@hotmail.com
romeljimont@yahoo.es
431345 - 9155656

ING/PF: Romel Luis
ANALISIS COMBINATORIO
 El análisis combinatorio estudia las
formaciones y estructuraciones que se
pueden realizar con elementos, así como
sus consecuencias
 PRINCIPIOS DEL ANALISIS COMBINATORIO
 Principio de Adición.
 Si un evento “A” ocurre de “m” maneras,
entonces, el evento “A” ó “B” no
simultáneamente, ocurre de “m + n” maneras
total es que se da:
A ó B m + n formas

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 En este principio la ocurrencia no es
simultanea, es decir ocurre el evento “A” o
el evento “B”, pero no ambos a la vez.
 Ejemplo 1:
 Si de una ciudad a otra puede irse por vía
férrea, de 8 maneras y por vía aérea de 6
maneras, en total de una ciudad a otra
podemos hacerla de:
 Solución:
 Férrea + aérea = 8 + 6 = 14 maneras

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 Ejemplo 2:
 Timoteo compra arroz en 3 mercados, en
el primero se tienen 8 tiendas, en el
segundo 7 tiendas y en el tercero 9
tiendas. ¿De cuántas maneras diferentes
pueden adquirir Timoteo su arroz?
 Solución:
 1ro 2do 3ro
 8 + 7 + 9 = 24 maneras

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Principio de Multiplicación:
 Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y
para cada una de éstas, otro “B” ocurre de
“n” maneras, entonces el evento “A”
seguido de “B” , ocurre de “m.n” maneras
 “A seguido de B”:
 En este principio la ocurrencia es uno a
continuación del otro, es decir, ocurre el
evento “A” y luego ocurre el evento “B”
A y B m.n formas

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 Ejemplo 1 :
 Karina puede viajar de “A a B” de 3 formas
y de “B a C” de 4 formas ¿De cuántas
maneras distintas puede ir de “A a C”
pasando por “B”?
 A) 10
 B) 12
 C) 14
 D) 16
 E) 18

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Solución:
 Sea A B C
 Como cada camino que parte de A va con
c/u de los que pasan por B se tienen 12
caminos.
 A B y B C
 3 . 4 = 12

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 Ejemplo 2 :
 ¿De cuántas maneras diferentes podrá
vestirse un alumno si tiene 2 pantalones,
3 camisas y 5 pares de zapatos?
 Solución:
 2 pantalones 3 camisas 5 pares de zapatos
 2 x 3 x 5 = 30

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 Ejemplo 3:
 Supongamos que una placa de automóvil
contiene dos letras seguidas de tres dígitos, con
el primer digito diferente de cero ¿cuántas
placas diferentes pueden fabricarse?
 Solución:
 Cada letra puede imprimirse de 27 maneras
diferentes, el primer digito de 9 maneras y c/u
de los otros dos dígitos de 10 maneras
 # de placas: 27x27x9x10x10 = 656100

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 PERMUTACIÓN:
 Es un arreglo u ordenación que se puede formar
con todos los elementos disponibles de un
conjunto: *Permutación Lineal (simple)
 Tipos *Permutación Circular
 *Permutación con repetición
 Permutación Lineal (simple): Cuando se toman
todos los elementos del conjunto para
ordenarlos o permutarlos. Se lee “permutación
de n elementos”
 P (n) = n!

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 Ejemplo 1:
 ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse
4 alumnos en una fila de 4 asientos?
 Solución:
 Número de maneras: P (n) = n !
 P (n) = 4 ! =
Si importa el orden
A B C D
24

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 Ejemplo 2 :
 5 tomos de una colección de matemáticas,
¿de cuántas maneras distintas se pueden
ubicar en una biblioteca?
 Solución:
 Numero de maneras: P (n) = n!
 P (5) = 5 ! = 120

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 Permutación Circular: es un arreglo u
ordenación de elementos diferentes
alrededor de un objeto; en estas
ordenaciones no hay primer ni último
elemento, por hallarse todos en línea
cerrada.
 Para determinar el número de
permutaciones circulares de “n” elementos
distintos, denotado por Pc (n), basta fijar
la posición de uno de ellos y los (n - 1)
restantes se podrá ordenar de (n - 1)!
Maneras: Pc (n) = (n – 1)!

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 Ejemplo 1 :
 ¿De cuántas maneras diferentes pueden
sentarse alrededor de una mesa circular 6
personas?.
 Solución:
 Pc(n) = (n – 1)!
 Pc(6) = (6 – 1)! = 5 !
 Pc(6) = 120

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 Ejemplo 2:
 Cuatro parejas de enamorados ¿de cuántas
maneras diferentes pueden ubicarse alrededor
de una fogata, de modo que los hombres y
mujeres queden alternados?
 Solución:
 # maneras: Hombres y Mujeres
 # maneras: 4! . 3!
 # maneras: 24 x 6 =
H M
H
M
H
M
H
M
144

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 Permutación con Repetición: Es un arreglo u ordenación
de elementos donde algunos de ellos se repiten.
 Si se tiene “N” elementos de los cuales:
 K1: elementos repetidos de una 1ra clase
 K2: elementos repetidos de una 2da clase
 K1: elementos repetidos de una 3ra clase
 ..
 ..
 Kn: elementos repetidos de una n-ésima clase

 P = N!________
 K1! . K2! . K3!......Kn!
N
K1,k2,k3….kn

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 Ejemplo 1 :
 ¿De cuántas maneras se pueden ordenar
las letras de la palabra “RAZONARA”?
 Solución:
 RAZONARA:
 Número total : N = 7
 K1 : 2(R se repite 2 veces)
 K2 : 3(A se repite 2 veces)
 P = 7 ! = 5070 = 420
 2! . 3! 2 x 6
7
2x3

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 Ejemplo 2:
 Un estante tiene capacidad para 5 libros
de algebra que tienen pasta azul, 4 libros
de Aritmética de pasta roja y 3 de
Geometría de pasta amarilla de cuantas
maneras pueden colocarse los libros según
los colores.
 P = 12 !____ = 27780
 5! x 4! x 3!
12
5x4x3

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Variación:
Es un arreglo u ordenamiento que se puede
formar con una parte de los elementos
disponibles de un conjunto
En una variación si interesa el orden de sus
elementos.
V = n ! 0 < K < n
(n – K) !
n
k

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 Regla Práctica:

 V = 8 x 7 = 56


 V = 10 x 9 x 8 = 720


 V = 20 x 19 x 18 x 17 = 116280


 V = n (n-1)(n-2)(n-3)…………
 K (factores)
2 factores
3 factores
4 factores
8
2
10
3
20
4
n
K

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 Ejemplo 1:
 Un grupo formado por 7 personas que
desean formar una comisión integrada por
un presidente, un secretario y un vocal
¿de cuántas maneras puede formarse
dicha comisión?
 Solución:
 V = 7 x 6 x 5 = 210
 3 factores
Se pueden formar de 210 maneras
7
3

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 Ejemplo 2:
 Encontrar el número total de enteros
positivos que pueden formarse utilizando
los dígitos 1; 2; 3; 4; si ningún digito ha
de repetirse cuando se forma un número
 Solución:
 a ab abc abcd
 V + V + V + V
 4 + 4x3 + 4x3x2 + 4x3x2x1
 4 + 12 + 24 + 24 =
4
1
4
2
4
3
4
0
64

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COMBINACIÓN
 Es una selección o grupo que se puede
formar con una parte o con todos los
elementos disponibles de un conjunto.
 En una combinación no interesa el orden
de sus elementos
 El número de combinaciones de “N”
elementos diferentes tomados de “K” en
“K”, se calcula como:
C = N !________
K!(N – K) !
N
K
0< K < N

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 C = 10 ! = 10x9x8! = 45
2!(10 - 2)! 2 x 8!
 REGLA PRACTICA:
 C = 10 x 9 = 45
1 x 2
 C = 20x19x18 = 1140
1x2x3
 C = 9x8x7x6 = 126
 1x2x3x4
10
2
10
2
20
3
9
4

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 El número superior se descompone en
tantos factores como indica el número
inferior y en el denominador va el
producto desde 1 hasta el número inferior.
C = n (n-1)(n-2)(n-3)……..
1x2x3x……K
n
K
K factores

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 Ejemplo 1:
 ¿Cuántos grupos de cinco personas se
pueden formar con 8 personas?
 Solución:
 N = 8 (total de elementos)
 K = 5 (Elementos de cada grupo)
 No importa el orden
 C = 8x7x6x5x4 = 56
 1x2x3x4x5
8
5

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 2) un granjero compra 3 vacas, 2 cerdos y
4 gallinas a un hombre que tiene 6 vacas,
5 cerdos y 8 gallinas. ¿Cuántas maneras
de seleccionar tiene el granjero?
 Solución:
 Las vacas puede escoger de: C maneras
 Las cerdos puede escoger de: C maneras
 Las gallinas puede escoger de: C maneras
 En total se puede escoger: C C C
 6x5x4 6x4 8x7x6x5 = 14000 manera
 1x2x3 1x2 1x2x3x4
6
3
5
2
8
4
6 5 8
3 2 4

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PROBLEMAS RESUELTOS:
1) ¿De cuantas manera diferentes podrá
viajar una persona de A a E sin pasar ni
regresar por el mismo camino?
A) 33 B
B) 32
C) 31 A C
D) 36
E) 40 E D

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 Solución:
 Observa el grafico.
calcularemos las
rutas:
ABCDE: 2.3.2.2 = 24
ADE: 3.2 = 6
AE: = 3
Total de maneras =
B
A
E D
C
33

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 2) El mayor número de banderas
diferentes que se pueden construir
disponiendo de tres colores y con máximo
de dos costuras es:
 A) 16
 B) 17
 C) 18
 D) 19
 E) 20

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 Sean A, B y C los colores:
 1. sin costura: A, B y C = 3 banderas
 2. con 1 costura: AB, AC y BC = 3
 3. con 2 costuras: ABC, ACB, BAC, BCA,
CAB, CBA, ABA, BAB, ACA, CAC, BCB = 12
banderas
 Luego el total de banderas:

3 + 3 + 12 = 18 banderas

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 3) El capital de un barco solicito 2 oficiales
y 3 marineros, si se prestaron 8 oficiales y
6 marineros, ¿de cuantas maneras
diferentes se podrá elegir la tripulación?
 A) 560
 B) 550
 C) 570
 D) 540
 E) 530

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 Solución:
 De 8 oficiales y 6 marineros
 Se escoge: 2 3 no interesa el orden
 Nº total = C . C
 Nº total = 8x7 . 6x5x4 = 560
 1x2 1x2x3
8 6
2 3
La tripulación se puede elegir de 560 maneras

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 4) Se tiene 8 vasos diferentes; 5 de los
cuales deben ser llenados con vino y los 3
restantes con chicha. ¿de cuántas
maneras diferentes se pueden realizar el
llenado?
 A) 52
 B) 53
 C) 54
 D) 55
 E) 56

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 Solución:
 N = 8 Permutación con repetición:
 K1 = 5 P = 8! = 8x7x6x5!
 K2 = 3 5!.3! 5!.6
8
5.3
P = 56 maneras se
Pueden llenar
8
5.3

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 5) ¿Cuántos números de tres cifras
diferentes se pueden formar con los
siguientes dígitos 1; 3; 5; 7; 8 y 9?
 A) 120
 B) 122
 C) 124
 D) 140
 E) 150

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 Solución:
 Importa el orden al formar los conjuntos
 N = 6
 V = 6x5x4 = 120
 K = 3
6
3
Se pueden formar 120 números

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 6) ¿De cuántas maneras se pueden
ordenar las letras de la palabra
DIVISIBILIDAD?
 A) 8648640
 B) 8648641
 C) 8648642
 D) 8648643
 E) 8648644

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 Solución:
 N = 13
 K1 = 3 (D se repite 3 veces)
 K2 = 5 (I se repite 5 veces)
 Permutación con repetición:
 P = 13 ! = 13x12x11x10x9x8x7x6x5!
3!.5! 6 x 5!
P = 8648640 maneras
13
3.5
13
3.5

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 7) Se extraen do cartas de una baraja ¿de
cuantas maneras se pueden hacer eso?
 A) 1213
 B) 1236
 C) 1326
 D) 1336
 E) 1456

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 Solución:
 El total de cartas en una baraja es de 52
de ellas se extraen 2 ¡No importa el orden!
 C = 52. 5! = 1326 maneras
1x2
52
2

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