Aplicación a las derivadas
- 1. APLICACIÓNALAS DERIVADAS NOMBRE: ROGER HERNÁNDEZ. CÉDULA:28285404 EXTENSIÓN AGUSTÍN CODAZZI SECCIÓN B
- 2. página 2 INTRODUCCIÓN El presente trabajo busca investigar para describir las diferentes aplicaciones de las derivadas, para tener una idea más clara de los múltiples usos que se le pueden dar en sus diferentes formas. Tratando de representarlode forma gráfica ara tener una idea más clara de como se representa en ejercicios y gráficas.
- 3. APLICACIÓNALAS DERIVADAS LAS DERIVADAS TIENEN MUCHAS APLICACIONES EN EL ANÁLISIS DE FUNCIONES. EN PRIMER LUGAR, OFRECE LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. PERO TIENEN MUCHAS MÁS UTILIDADES. ESTA LISTA, SIGUIENDO EL ENLACE, NOS LLEVA A LAS MÁS IMPORTANTES APLICACIONES DE LAS DERIVADAS:
- 4. MONOTONÍADE UNAFUNCIÓN ESTUDIAR LA MONOTONÍA, ES DECIR EL CRECIMIENTO O EL DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO. PARA HALLAR LOS INTERVALOS DE MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN SE REALIZARÁ EL SIGUIENTE PROCEDIMIENTO: DERIVAR LA FUNCIÓN, OBTENIENDO F’(X). HALLAR LAS RAÍCES DE LA DERIVADA, ES DECIR, LOS VALORES DE X TALES QUE EN ELLOS LA DERIVADA SEA F’(X) = 0. CREAR INTERVALOS ABIERTOS CON EXTREMOS LAS RAÍCES HALLADAS DE F’(X). ESTUDIAR EL SIGNO QUE TOMA LA DERIVADA EN UN VALOR INTERIOR DE CADA INTERVALO. Monotonía de una función
- 5. CURVATURADEUNA FUNCIÓN LA DERIVADA PERMITE ESTUDIAR LA CONCAVIDAD O CONVEXIDAD. LA PRIMERA DERIVADA NOS PERMITE ESTUDIAR LA CURVATURA (CONCAVIDAD O CONVEXIDAD) DE UNA FUNCIÓN. LA SEGUNDA DERIVADA DETERMINA LA CURVATURA. EN TÉRMINOS VISUALES, UNA FUNCIÓN CÓNCAVA SE ASEMEJA A UNA MONTAÑA, MIENTRAS QUE UNA FUNCIÓN CONVEXA A UN VALLE. (HAY AUTORES QUE ADOPTAN EL CRITERIO CONTRARIO, LLAMANDO CÓNCAVA A LA FORMA DE VALLE Y CONVEXA A LA FORMA DE MONTAÑA).
- 6. PUNTOSDE INFLEXION LA DERIVADA PERMITE ESTUDIAR EXISTENCIA DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN. UN PUNTO DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN ES EL LUGAR DE SU DOMINIO EN DONDE CAMBIA DE CURVATURA, DONDE CAMBIA DE CONCAVO A CONVEXO O VICEVERSA. EN UN PUNTO DE INFLEXIÓN, LA TANGENTE ATRAVIESA LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN. SI ADEMÁS LA PRIMERA DERIVADA ES NULA, F’(A) = 0, ES UN PUNTO DE INFLEXIÓN DE TANGENTE HORIZONTAL.).
- 7. MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN PUEDEN ENCONTRARSE MEDIANTE LA DERIVADA. SI LA FUNCIÓN ESTÁ DEFINIDA EN UN INTERVALO (A, B) Y ES DERIVABLE EN ÉL, PARA QUE HAYA UN PUNTO EXTREMO LOCAL (MÁXIMO O MÍNIMO) C DEL INTERVALO), LA DERIVADA PRIMERA EN C DEBE SER NULA, F’(C) = 0. ESTA CONDICIÓN ES NECESARIA, PERO NO SUFICIENTE. ¿CÓMO PODEMOS SABER SI ESE PUNTO ES UN EXTREMO LOCAL Y SI ESTE EXTREMO ES UN MÁXIMO O UN MÍNIMO?: Y ES QUE PUEDE OCURRIR QUE F’(C) = 0 Y QUE EN C HAYA UN PUNTO DE INFLEXIÓN DE TANGENTE HORIZONTAL. LOS PUNTOS EN QUE SE ANULA LA PRIMERA DERIVADA SE DENOMINAN PUNTOS CRÍTICOS.).
- 8. CRITERIODELA PRIMERADERIVADA EL PUNTO (C, F(C)) ES UN MÁXIMO LOCAL DE F(X) SI SE CUMPLE QUE F’(C) = 0 Y EN EL ENTORNO INMEDIATO DE C LA PRIMERA DERIVADA PASA DE SIGNO POSITIVO A NEGATIVO. EL PUNTO (C, F(C)) ES UN MÍNIMO LOCAL DE F(X) SI SE CUMPLE QUE F’(C) = 0 Y EN EL ENTORNO INMEDIATO DE C LA PRIMERA DERIVADA PASA DE SIGNO NEGATIVO A POSITIVO. EL PUNTO (C, F(C)) ES UN PUNTO DE INFLEXIÓN DE TANGENTE HORIZONTAL DE F(X) SI SE CUMPLE QUE F’(C) = 0 Y EN EL ENTORNO INMEDIATO DE C LA PRIMERA DERIVADA NO CAMBIA DE SIGNO.
- 9. CRITERIODELA SEGUNDADERIVADA EL PUNTO (C, F(C) ES UN MÁXIMO LOCAL DE F(X) SI SE CUMPLE QUE LA PRIMERA DERIVADA EN ÉL ES NULA Y SU SEGUNDA DERIVADA ES NEGATIVA. EL PUNTO (C, F(C) ES UN MÍNIMO LOCAL DE F(X) SI SE CUMPLE QUE LA PRIMERA DERIVADA EN ÉL ES NULA Y SU SEGUNDA DERIVADA ES POSITIVA. EL CRITERIO DE LA DERIVADA SEGUNDA LO VEMOS RESUMIDO EN ESTE CUADRO:
- 10. página 10 CONCLUSIÓN Las derivadas osn un tema muy dinámico ya que agilizan muchos procesos matemáticos y son una herramienta fundamental como base fundamental para otros temas de mayor complejidad. Representa los avances matemáticos de los últimos siglos y están presentes la mayoría del tiempo en los avances matemáticos actuales.