Base
- 1. BASE<br />La base es un subconjunto, linealmente independiente, que genera a un espacio vectorial.<br />Sea ( V, R, +, • ) un espacio vectorial y SV, si S = { s1, s2, …, sn } es una base del espacio vectorial V, entonces todo vector de V se puede expresar de una y solo de una manera como combinación lineal de los vectores de S. La combinación lineal es única.<br />Pasos para hallar una base:<br />Hallar el conjunto generador.<br />Hallar las restricciones.<br />Reemplazar las restricciones.<br />Contar el número de variables involucradas.<br />Descomponer en suma de vectores.<br />Extraer los vectores.<br />Escribir el conjunto generador.<br />Demostrar que es L.I.<br />Escribir la base.<br />Nota: Si el número de vectores de S es igual a la dimensión del espacio vectorial V, entonces S es base de V.<br /># vect. S = Dim V -> S es base de V<br />Para completar la base de un espacio vectorial, partiendo de la base de un subespacio vectorial:<br />Se debe aumentar, a S, un vector “u” que no pertenezca a la cápsula del subespacio vectorial que genera S.<br />El nuevo conjunto S' debe ser L.I., es decir, que no puede ser combinación lineal de los vectores de S. El número de vectores de S' debe ser igual a la dimensión del espacio vectorial.<br />Entonces S' será la base buscada, se la escribe.<br />Nota: Si se desea agregar más de un vector, se debe primero encontrar la cápsula del conjunto S' y nuevamente aplicar los pasos antes mencionados. Solo se puede aumentar un vector a la vez.<br />EJERCICIOS PROPUESTOS<br />Hallar la base de los siguientes subespacios vectoriales:<br />1) W = { ( x, y, z ) / y = 2x - z }<br />W = { ( x, 2x - z, z ) / x, z є R }Se reemplazan las restricciones.<br />W = { ( x, 2x, 0 ) + ( 0, -z, z ) / x, z є R }Se descompone en suma de vectores.<br />W = { x( 1, 2, 0 ) + z( 0, -1, 1 ) / x, z є R }Se extraen los vectores sacando el factor común.<br />S = { ( 1, 2, 0 ), ( 0, -1, 1 ) }Se escribe el conjunto generador. <br />S genera a W -> ‹ S › = WConclusión del conjunto generador.<br />Dim W = Dim R3 - # de rest. = 3 – 1 = # vect. SDimensión del subespacio vectorial igual al número de vectores del conjunto generador.<br />S es base de WEl conjunto generador es la base que buscábamos.<br />2) W = { a+bx+cx2 / b = 0 ^ a = c }<br />W = { a+0x+ax2 / a є R }Se reemplazan las restricciones.<br />W = { a( 1+0x+x2 ) / a є R }Se extraen los vectores sacando el factor común.<br />S = { 1+x2 }Se escribe el conjunto generador. <br />S genera a W -> ‹ S › = WConclusión del conjunto generador.<br />Dim W = Dim P2(x) - # de rest. = 3 – 2 = 1 = # vect. SDimensión del subespacio vectorial igual al número de vectores del conjunto generador.<br />S es base de WEl conjunto generador es la base que buscábamos.<br />3) Dado W = { ( a, b, c ) / b = a - c }, a partir de una base de W completar una base para R3.<br />W = { (a, a – c, c ) / a, c є R }Se reemplazan las restricciones.<br />W = { ( a, a, 0 ) + ( 0, -c, c ) / a, c є R }Se descompone en suma de vectores.<br />W = { a( 1, 1, 0 ) + c( 0, -1, 1 ) / a, c є R }Se extraen los vectores sacando el factor común.<br />S = { ( 1, 1, 0 ), ( 0, -1, 1 ) }Se escribe el conjunto generador. <br />S genera a W -> ‹ S › = WConclusión del conjunto generador.<br />Dim W = Dim R3 - # de rest. = 3 – 1 = 2 = # vect. SDimensión del subespacio vectorial igual al número de vectores del conjunto generador.<br />S es base de WEl conjunto generador es base del subespacio vectorial.<br />u = ( 1, 0, 2 ) ¬є ‹ S ›Se busca un vector que no pertenezca al subespacio vectorial.<br />( 1, 0, 2 ) ≠ α₁( 1, 1, 0 ) + α₂( 0, -1, 1 )El vector u no debe ser combinación lineal de los vectores de la base S.<br />S' = { ( 1, 1, 0 ), ( 0, -1, 1 ), ( 1, 0, 2 ) } es L.I.Se escribe el nuevo conjunto, que es linealmente independiente.<br />Dim R3 = 3 = # vect. S'Dimensión del espacio vectorial igual al número de vectores del nuevo conjunto.<br />S' es base de R3El nuevo conjunto es base del espacio vectorial.<br />EJERCICIOS RESUELTOS<br />Hallar la base de los siguientes subespacios vectoriales:<br />1) W = { ( x, y, z, w ) / x + y + z = 0 ^ y + z + w = 0 }<br />x + y + z = 0<br /> - y - z - w = 0 <br />x - w = 0<br />W = { ( x, y, z, w ) / x = w }<br />W = { ( x, y, z, x ) / x, y, z є R }<br />W = { ( x, 0, 0, x ) + ( 0, y, 0, 0 ) + ( 0, 0, z, 0 ) / x, y, z є R }<br />W = { x( 1, 0, 0, 1 ) + y( 0, 1, 0, 0 ) + z( 0, 0, 1, 0 ) / x, y, z є R }<br />S = { ( 1, 0, 0, 1 ), ( 0, 1, 0, 0 ), ( 0, 0, 1, 0 ) } <br />S genera a W -> ‹ S › = W<br />Dim W = Dim R4 - # de rest. = 4 – 1 = 3 = # vect. S<br />S es base de W<br />2) W = { ( x, y, z ) / y = 0 ^ x = z }, a partir de una base de W completar una base para R3.<br />W = { ( x, 0, x ) / x є R }<br />W = { x( 1, 0, 1 ) / x є R }<br />S = { ( 1, 0, 1 ) } <br />S genera a W -> ‹ S › = W<br />Dim W = Dim R3 - # de rest. = 3 – 2 = 1 = # vect. S<br />S es base de W<br />u = ( 3, 0, 2 ) ¬є ‹ S ›<br />( 3, 0, 1 ) ≠ α₁( 1, 0, 1 )<br />S' = { ( 1, 0, 1 ), ( 3, 0, 2 ) } es L.I.<br />‹ S' › = { ( x, y, z ) / y = 0 }<br />u' = ( 2, 1, 5 ) ¬є ‹ S' ›<br />( 2, 1, 5 ) ≠ α₁( 1, 0, 1 ) + α₂( 3, 0, 2 )<br />S\" = { ( 1, 0, 1 ), ( 3, 0, 2 ), ( 2, 1, 5 ) } es L.I.<br />Dim R3 = 3 = # vect. S\" <br />S\" es base de R3<br />3) W = abcd a + b – c = 0 ^ a – c – d = 0 <br /> a + b – c = 0<br />- a + c + d = 0 <br /> b + d = 0<br />W = abcd b = - d <br />W = abc-b a, b, c є R <br />W = a000 + 0b0-b + 00c0 a, b, c є R <br />W = a1000 + b010-1 + c0010 a, b, c є R <br />S = 1000, 010-1, 0010 <br />S genera a W -> ‹ S › = W<br />Dim W = Dim M2 - # de rest. = 4 – 1 = 3 = # vect. S<br />S es base de W<br />4) W = { a+bx+cx2 / a = 2b – 3c }<br />W = { 2b-3c+bx+cx2 / b, c є R }<br />W = { ( 2b+bx+0 ) + ( -3c+0+bx2 ) / b, c є R }<br />W = { b( 2+x+0 ) + c( -3+0+x2 ) / b, c є R }<br />S = { 2+x, -3+x2 } <br />S genera a W -> ‹ S › = W<br />Dim W = Dim P2(x) - # de rest. = 3 – 1 = 2 = # vect. S<br />S es base de W<br />5) W = { ( x, y ) / x, y є R}<br />W = { ( x, 0 ) + ( 0, y ) / x, y є R }<br />W = { x( 1, 0 ) + y( 0, 1 ) / x, y є R }<br />S = { ( 1, 0 ), ( 0, 1 ) } <br />S genera a W -> ‹ S › = W<br />Dim W = Dim R2 - # de rest. = 2 – 0 = 2 = # vect. S<br />S es base de W<br /> <br />